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非质点类物体的机械能守恒
学习目标　在应用能量方法处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再视为质点来处理，若只有重力做功，物体整体机械能守恒。在确定物体重力势能的变化量时，要根据情况，将物体分段处理，确定好各部分的重心及重心高度的变化量。根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。
模型　绳索、链条类物体的机械能守恒
一般情况下常分段计算各部分的重力势能，并用各部分重力势能之和作为系统总的重力势能，参考平面以系统初、末状态重力势能便于表示为宜。
例1 (多选)(2024·四川成都七中校考)如图1所示，有一条柔软的质量为m、长为L的均匀链条，开始时链条的长在水平桌面上，而长垂于桌外，用外力使链条静止。不计一切摩擦，重力加速度为g，桌子足够高，桌角右上方有一光滑的约束挡板以保证链条不会飞起。下列说法中正确的是(　　)
图1
A.若自由释放链条，则链条刚离开桌面时的速度v＝
B.若自由释放链条，则链条刚离开桌面时的速度v＝
C.若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做功
D.若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做功
答案　BD
解析　若自由释放链条，以桌面为零重力势能参考平面，根据机械能守恒定律可得－·＝－mg·＋mv2，解得链条刚离开桌面时的速度为v＝，故A错误，B正确；若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做的功等于垂于桌外链条增加的重力势能，则有Wmin＝·＝，故C错误，D正确。
模型　“液柱”类物体的机械能守恒
例2 (多选)内径面积为S的U形圆筒竖直放在水平面上，筒内装水，底部阀门K关闭时两侧水面高度分别为h1和h2，如图2所示。已知水的密度为ρ，重力加速度为g，不计水与筒壁的摩擦阻力。现把连接两筒的阀门K打开，到两筒水面高度相等的过程中(　　)
图2
A.水柱的重力做正功
B.大气压力对水柱做负功
C.水柱的机械能守恒
D.水柱动能的改变量是ρgS(h1－h2)2
答案　ACD
解析　把连接两筒的阀门K打开，到两筒水面高度相等的过程中，等效于把左管高的水柱移至右管，如图中的阴影部分所示，该部分水重心下降，重力做正功，故A正确；把连接两筒的阀门打开到两筒水面高度相等的过程中大气压力对左筒水面做正功，对右筒水面做负功，抵消为零，故B错误；由上述分析知，只有重力做功，故水柱的机械能守恒，重力做的功等于重力势能的减少量，等于水柱增加的动能，由机械能守恒定律得ΔEk＝WG＝Δmg·＝ρgS·＝ρgS(h1－h2)2，故C、D正确。
模型　多个小球类的机械能守恒
例3 (多选)如图3所示，在竖直平面内半径为R的四分之一圆弧轨道AB、水平轨道BC与斜面CD平滑连接在一起，斜面足够长。在圆弧轨道上静止着N个半径为r(r R)的光滑小球(小球无明显形变)，小球恰好将圆弧轨道铺满，从最高点A到最低点B依次标记为1、2、3、…、N。现将圆弧轨道末端B处的阻挡物拿走，N个小球由静止开始沿轨道运动，不计摩擦与空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
图3
A.N个小球在运动过程中始终不会散开
B.第1个小球从A到B过程中机械能守恒
C.第1个小球到达B点前第N个小球做匀加速运动
D.第1个小球到达最低点的速度v<
答案　AD
解析　在下滑的过程中，水平面上的小球要做匀速运动，而曲面上的小球要做加速运动，则后面的小球对前面的小球有向前挤压的作用，所以小球之间始终相互挤压，冲上斜面后后面的小球把前面的小球往上压，所以小球之间始终相互挤压，故N个小球在运动过程中始终不会散开，故A正确；第一个小球在下落过程中受到挤压，所以有外力对小球做功，小球的机械能不守恒，故B错误；由于小球在下落过程中速度方向发生变化，相互间的挤压力变化，所以第N个小球不可能做匀加速运动，故C错误；当重心下降时，根据机械能守恒定律得mv2＝mg·，解得v＝；同样对整体在AB段时，重心低于，所以第1个小球到达最低点的速度v<，故D正确。
(1)物体虽然不能看作质点，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。
(2)在确定物体重力势能的变化量时，要根据情况，将物体分段处理，确定好各部分的重心及重心高度的变化量。
(3)分析非质点类物体的动能时，要看物体各部分是否都在运动，运动的速度大小是否相同，若相同，则物体的动能才可表示为mv2。
(4)在解决多个小球类问题时，应抓住小球之间是否始终相互挤压。　　
1.如图1所示，有一条长L＝1 m的均匀金属链条，有一半在光滑的足够高的斜面上，斜面顶端是一个很小的圆弧，斜面倾角为30°，另一半竖直下垂在空中，当链条从静止开始释放后链条滑动，则链条刚好全部滑出斜面时的速度为(g取
10 m/s2)(　　)
图1
A.2.5 m/s B. m/s
C. m/s D. m/s
答案　A
解析　设链条的质量为2m，以开始时链条的最高点所在水平面为零势能面，链条的机械能E＝－×2mg·sin 30°－×2mg·＝－mgL，链条全部滑出后，动能Ek′＝×2mv2，重力势能Ep′＝－2mg·，由机械能守恒定律可得E＝Ek′＋Ep′，即－mgL＝mv2－mgL，解得v＝2.5 m/s，故A正确，B、C、D错误。
2.(2024·江苏南京市十一校调研)如图2所示，倾角θ＝30°的粗糙斜面固定在地面上，长为l、质量为m、粗细均匀、质量分布均匀的软绳置于斜面上，其上端与斜面顶端平齐，重力加速度为g。用细线将物块与软绳连接，物块由静止释放后向下运动，直到软绳刚好全部离开斜面(此时物块未到达地面)，在此过程中(　　)
图2
A.物块的机械能逐渐增加
B.软绳的重力势能共减少了mgl
C.物块减少的重力势能等于软绳克服摩擦力所做的功
D.软绳减少的重力势能大于其增加的动能与克服摩擦力所做的功之和
答案　B
解析　物块克服细线的拉力做功，其机械能逐渐减少，A错误；软绳重力势能减少量ΔEp减＝mg·－mg·sin θ＝mgl，B正确；因为物块的机械能减小，则物块的重力势能减小量大于物块的动能增加量，二者差值等于拉力做功的大小，由于拉力做功大于软绳克服摩擦力做功，所以物块重力势能的减少量大于软绳克服摩擦力所做的功，C错误；细线的拉力对软绳做正功，对物块做负功，则物块的机械能减小，软绳的机械能增加，软绳重力势能的减少量一定小于其动能的增加量，故软绳重力势能的减少量小于其动能的增加量与克服摩擦力所做功的和，D错误。
3.(多选)如图3所示，一条质量均匀分布、长为l的铁链AB放在光滑水平桌面上，其中B端刚好与桌面右端对齐。由于轻微的扰动，铁链B端开始竖直向下滑落，则从B端离开桌面到A端离开桌面的过程中，下列说法正确的为(图示圆弧可使离开桌面的铁链都竖直向下运动且无能量损失，重力加速度大小为g)(　　)
图3
A.B端向下运动的加速度大小与下降的距离成正比
B.B端向下做匀加速直线运动
C.铁链的速度大小与B端下降的距离成正比
D.A端离开桌面时，铁链的速度大小为
答案　AC
解析　设铁链单位长度的质量为m，某时刻B端下滑的长度为x，则mgx＝mal，即a＝g，A正确；因随铁链的B端不断下降，加速度不断变大，则B端向下不是做匀加速直线运动，B错误；由机械能守恒定律得mxg＝mlv2，解得v＝x，铁链的速度大小与B端下落的距离成正比，C正确；由C的结论可知，A端离开桌面时，铁链的速度大小为v＝·l＝，D错误。
4.(2024·辽宁大连高三期中)如图4所示，总长为l、质量为m的均匀软绳对称地挂在轻小滑轮上，用细线将质量也为m的物块与软绳一端连接。现将物块由静止释放，直到软绳刚好全部离开滑轮。不计一切摩擦，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
图4
A.刚释放物块时，细线的拉力大小等于mg
B.在软绳从静止到刚离开滑轮的过程中，软绳的机械能守恒
C.在软绳从静止到刚离开滑轮的过程中，物块的机械能减少了mgl
D.在软绳从静止到刚离开滑轮的过程中，软绳的机械能增加了mgl
答案　C
解析　刚释放的时候，物块是有向下的加速度的，根据牛顿第二定律有mg－T＝ma，可知细线拉力小于mg，故A错误；在软绳从静止到刚离开滑轮的过程中，拉力对软绳做了功，软绳机械能不守恒，故B错误；设软绳刚离开滑轮的时候，物块和软绳的速度为v，根据机械能守恒定律有mg·＋·＝×2m·v2，计算可得v＝，则物块机械能的减少量为E减＝mg·－mv2＝mgl，故C正确；系统的机械能是守恒的，由于物块的机械能减少了mgl，所以软绳的机械能增加了mgl，故D错误。
5.(2024·河北衡水高三期末)如图5所示，粗细均匀的U形管内装有同种液体，在管口右端用盖板A密闭，两管内液面的高度差为h，U形管中液柱的总长为5h。现拿去盖板A，液体开始流动，不计液体内部及液体与管壁间的阻力，则当两管液面高度相同时，右侧液面下降的速度是(重力加速度为g)(　　)
图5
A. B.
C. D.
答案　B
解析　设U形管的横截面积为S，液体的密度为ρ，拿去盖板，液体开始运动，根据机械能守恒定律得ρS·g·＝ρ·5hSv2，解得v＝，故B正确。在应用能量方法处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再视为质点来处理，若只有重力做功，物体整体机械能守恒。在确定物体重力势能的变化量时，要根据情况，将物体分段处理，确定好各部分的重心及重心高度的变化量。根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。
模型　绳索、链条类物体的机械能守恒
一般情况下常分段计算各部分的重力势能，并用各部分重力势能之和作为系统总的重力势能，参考平面以系统初、末状态重力势能便于表示为宜。
例1 （多选）（2024·四川成都七中校考）如图1所示，有一条柔软的质量为m、长为L的均匀链条，开始时链条的长在水平桌面上，而长垂于桌外，用外力使链条静止。不计一切摩擦，重力加速度为g，桌子足够高，桌角右上方有一光滑的约束挡板以保证链条不会飞起。下列说法中正确的是（　　）
图1
A.若自由释放链条，则链条刚离开桌面时的速度v＝
B.若自由释放链条，则链条刚离开桌面时的速度v＝
C.若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做功
D.若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做功
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
模型　“液柱”类物体的机械能守恒
例2 （多选）内径面积为S的U形圆筒竖直放在水平面上，筒内装水，底部阀门K关闭时两侧水面高度分别为h1和h2，如图2所示。已知水的密度为ρ，重力加速度为g，不计水与筒壁的摩擦阻力。现把连接两筒的阀门K打开，到两筒水面高度相等的过程中（　　）
图2
A.水柱的重力做正功
B.大气压力对水柱做负功
C.水柱的机械能守恒
D.水柱动能的改变量是ρgS（h1－h2）2
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
模型　多个小球类的机械能守恒
例3 （多选）如图3所示，在竖直平面内半径为R的四分之一圆弧轨道AB、水平轨道BC与斜面CD平滑连接在一起，斜面足够长。在圆弧轨道上静止着N个半径为r（r R）的光滑小球（小球无明显形变），小球恰好将圆弧轨道铺满，从最高点A到最低点B依次标记为1、2、3、…、N。现将圆弧轨道末端B处的阻挡物拿走，N个小球由静止开始沿轨道运动，不计摩擦与空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）
图3
A.N个小球在运动过程中始终不会散开
B.第1个小球从A到B过程中机械能守恒
C.第1个小球到达B点前第N个小球做匀加速运动
D.第1个小球到达最低点的速度v<
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（1）物体虽然不能看作质点，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。
（2）在确定物体重力势能的变化量时，要根据情况，将物体分段处理，确定好各部分的重心及重心高度的变化量。
（3）分析非质点类物体的动能时，要看物体各部分是否都在运动，运动的速度大小是否相同，若相同，则物体的动能才可表示为mv2。
（4）在解决多个小球类问题时，应抓住小球之间是否始终相互挤压。　　(共21张PPT)
增分微点6 非质点类物体的机械能守恒
第五章　机械能守恒定律
学习目标
在应用能量方法处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再视为质点来处理，若只有重力做功，物体整体机械能守恒。在确定物体重力势能的变化量时，要根据情况，将物体分段处理，确定好各部分的重心及重心高度的变化量。根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。
一般情况下常分段计算各部分的重力势能，并用各部分重力势能之和作为系统总的重力势能，参考平面以系统初、末状态重力势能便于表示为宜。
模型　　绳索、链条类物体的机械能守恒
图1
BD
例2 (多选)内径面积为S的U形圆筒竖直放在水平面上，筒内装水，底部阀门K关闭时两侧水面高度分别为h1和h2，如图2所示。已知水的密度为ρ，重力加速度为g，不计水与筒壁的摩擦阻力。现把连接两筒的阀门K打开，到两筒水面高度相等的过程中(　 　)
模型　　“液柱”类物体的机械能守恒
图2
ACD
AD
例3 (多选)如图3所示，在竖直平面内半径为R的四分之一圆弧轨道AB、水平轨道BC与斜面CD平滑连接在一起，斜面足够长。在圆弧轨道上静止着N个半径为r(r R)的光滑小球(小球无明显形变)，小球恰好将圆弧轨道铺满，从最高点A到最低点B依次标记为1、2、3、…、N。现将圆弧轨道末端B处的阻挡物拿走，N个小球由静止开始沿轨道运动，不计摩擦与空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
模型　　多个小球类的机械能守恒
图3
A.N个小球在运动过程中始终不会散开
B.第1个小球从A到B过程中机械能守恒
C.第1个小球到达B点前第N个小球做匀加速运动
解析　在下滑的过程中，水平面上的小球要做匀速运动，而曲面上的小球要做加速运动，则后面的小球对前面的小球有向前挤压的作用，所以小球之间始终相互挤压，冲上斜面后后面的小球把前面的小球往上压，所以小球之间始终相互挤压，故N个小球在运动过程中始终不会散开，故A正确；第一个小球
教师备选用题
A
1.如图1所示，有一条长L＝1 m的均匀金属链条，有一半在光滑的足够高的斜面上，斜面顶端是一个很小的圆弧，斜面倾角为30°，另一半竖直下垂在空中，当链条从静止开始释放后链条滑动，则链条刚好全部滑出斜面时的速度为(g取10 m/s2)(　　)
图1
B
2.(2024·江苏南京市十一校调研)如图2所示，倾角θ＝30°的粗糙斜面固定在地面上，长为l、质量为m、粗细均匀、质量分布均匀的软绳置于斜面上，其上端与斜面顶端平齐，重力加速度为g。用细线将物块与软绳连接，物块由静止释放后向下运动，直到软绳刚好全部离开斜面(此时物块未到达地面)，在此过程中(　　)
图2
A.物块的机械能逐渐增加
C.物块减少的重力势能等于软绳克服摩擦力所做的功
D.软绳减少的重力势能大于其增加的动能与克服摩擦力所做的功之和
力势能减小量大于物块的动能增加量，二者差值等于拉力做功的大小，由于拉力做功大于软绳克服摩擦力做功，所以物块重力势能的减少量大于软绳克服摩擦力所做的功，C错误；细线的拉力对软绳做正功，对物块做负功，则物块的机械能减小，软绳的机械能增加，软绳重力势能的减少量一定小于其动能的增加量，故软绳重力势能的减少量小于其动能的增加量与克服摩擦力所做功的和，D错误。
AC
3.(多选)如图3所示，一条质量均匀分布、长为l的铁链AB放在光滑水平桌面上，其中B端刚好与桌面右端对齐。由于轻微的扰动，铁链B端开始竖直向下滑落，则从B端离开桌面到A端离开桌面的过程中，下列说法正确的为(图示圆弧可使离开桌面的铁链都竖直向下运动且无能量损失，重力加速度大小为g)(　　)
图3
A.B端向下运动的加速度大小与下降的距离成正比
B.B端向下做匀加速直线运动
C.铁链的速度大小与B端下降的距离成正比
C
4.(2024·辽宁大连高三期中)如图4所示，总长为l、质量为m的均匀软绳对称地挂在轻小滑轮上，用细线将质量也为m的物块与软绳一端连接。现将物块由静止释放，直到软绳刚好全部离开滑轮。不计一切摩擦，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
图4
A.刚释放物块时，细线的拉力大小等于mg
B.在软绳从静止到刚离开滑轮的过程中，软绳的机械能守恒
B
5.(2024·河北衡水高三期末)如图5所示，粗细均匀的U形管内装有同种液体，在管口右端用盖板A密闭，两管内液面的高度差为h，U形管中液柱的总长为5h。现拿去盖板A，液体开始流动，不计液体内部及液体与管壁间的阻力，则当两管液面高度相同时，右侧液面下降的速度是(重力加速度为g)(　　)
图5
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