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第08讲 幂函数与二次函数
01：考情分析
考点要求 考题统计 考情分析
（1）幂函数的定义、图像与性质 （2）二次函数的图象与性质 2020年天津卷第3题，5分 2020年江苏卷第7题，5分 从近五年全国卷的考查情况来看，本节内容很少单独命题，幂函数要求相对较低, 常与指数函数、对数函数综合，比较幂值的大小，多以选择题、填空题出现.
学科素养：（1）通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律. （2）掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等).
02.思维导图
03.考点突破，题型探究
知识点1：幂函数
1、幂函数的定义
一般地，(为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数.
2、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数
①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数.
(3)幂函数的图象和性质
3、常见的幂函数图像及性质：
函数
图象
定义域
值域
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 在上单调递增 在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减
公共点
【诊断自测】若幂函数的图象经过点，则＝（　　）
A． B．2 C．4 D．
【答案】C
【解析】设幂函数，因为的图象经过点，所以，解得，
所以，所以.
故选：C
知识点2：二次函数
1、二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：；
（2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程.
（3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标.
2、二次函数的图像
二次函数的图像是一条抛物线，对称轴方程为，顶点坐标为.
（1）单调性与最值
①当时，如图所示，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，；
②当时，如图所示，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，
（2）与轴相交的弦长
当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，.
3、二次函数在闭区间上的最值
闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.
对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令：
（1）若，则；
（2）若，则；
（3）若，则；
（4）若，则.
【诊断自测】下列四个图象中，有一个图象是函数的导数的图象，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数，求导得，
于是函数的图象是开口向上，对称轴为的抛物线，①②不满足，
又，即函数的图象对称轴不是y轴，④不满足，因此符合条件的是③，
函数的图象过原点，且，显然，从而，
，所以.
故选：D
解题方法总结
1、幂函数在第一象限内图象的画法如下：
①当时，其图象可类似画出；
②当时，其图象可类似画出；
③当时，其图象可类似画出．
2、实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系
（1）方程有两个不等正根
（2）方程有两个不等负根
（3）方程有一正根和一负根，设两根为
3、一元二次方程的根的分布问题
一般情况下需要从以下4个方面考虑：
（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负.
设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如表所示.
根的分布 图像 限定条件
在区间内 没有实根
在区间内 有且只有一个实根
在区间内 有两个不等实根
4、有关二次函数的问题，关键是利用图像.
（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.
（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负.
题型一：幂函数的定义及其图像
【典例1-1】（2024·山东日照·二模）已知幂函数图象过点，则函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设幂函数的解析式为，由于函数过点，故，解得，该幂函数的解析式为；
故选：B
【典例1-2】已知幂函数（且互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（ ）
A．p，q均为奇数，且
B．q为偶数，p为奇数，且
C．q为奇数，p为偶数，且
D．q为奇数，p为偶数，且
【答案】D
【解析】因为函数的定义域为，且在上单调递减，
所以0，因为函数的图象关于y轴对称，所以函数为偶函数，即p为偶数，
又p、q互质，所以q为奇数，所以选项D正确，故选：D.
【方法技巧】
确定幂函数的定义域，当为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为则被开方式非负.当时，底数是非零的.
【变式1-1】已知函数为幂函数，则（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意有，可得，其定义域为R，
且，则函数为奇函数，
所以.
故选：A.
【变式1-2】（多选题）（2024·新疆喀什·一模）若函数是幂函数，则实数m的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】是幂函数，
则，解得或.
故选：BC.
【变式1-3】给出幂函数：①；②；③；④；⑤．其中满足条件的函数的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】由题，满足条件表示函数图象在第一象限上凸，结合幂函数的图象特征可知只有④满足.
故选：A
题型二：幂函数性质的综合应用
【典例2-1】已知幂函数的图象经过点，下面给出的四个结论：①；②为奇函数；③在R上单调递增；④，其中所有正确命题的序号为（ ）
A．①④ B．②③ C．②④ D．①②③
【答案】B
【解析】对于①：由幂函数的定义可知，解得，
将点代入函数得，解得，
所以，故①错误；
对于②：因为定义域为R，且，
所以为奇函数，故②正确；
对于③：由幂函数的图象可知，在R上单调递增，故③正确；
对于④：因为，且在R上单调递增，所以，故④错误，
综上可知，②③正确，①④错误.
故选：B.
【典例2-2】已知幂函数在上单调递减，函数，对任意，总存在使得，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】因为函数是幂函数，则，，
在上单调递减，则，可得，
，在上的值域为，
在上的值域为，
根据题意有，的范围为.
故答案为：.
【方法技巧】
紧扣幂函数的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意为奇数时，为奇函数，为偶数时，为偶函数.
【变式2-1】已知.若幂函数为奇函数，且在上递减，则 .
【答案】
【解析】因为幂函数在上递减，所以，
又幂函数为奇函数，可知为奇数，即.
故答案为：
【变式2-2】已知函数，则满足的x的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意得，
设，则，的定义域为R，
且，所以为奇函数，
都是增函数，所以是增函数，
的图象是由的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，所以图象的对称中心为，所以．
易知在R上单调递增，因为，
所以，所以，解得，
故答案为：．
【变式2-3】已知幂函数（其中，）为偶函数，且在上单调递减，则的值为 .
【答案】1
【解析】因为函数幂函数在上单调递减，所以，解得，
又，所以或1或2，当或2时，定义域为，
且，此时函数为奇函数，不符合题意；当时，定义域为，且，此时函数为偶函数，符合题意；综上所述，.
故答案为：1.
【变式2-4】已知函数，则关于的表达式的解集为 .
【答案】
【解析】由题意可知，的定义域为，所以，
所以函数是奇函数，由幂函数的性质知，函数在函数上单调递增，
由，得，即，
所以，即，解得，所以关于的表达式的解集为.故答案为：.
【变式2-5】满足的实数m的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】幂函数在为减函数，且函数值为正，在为减函数，且函数值为负，
等价于，或或，
解得或或，所以不等式的解集为.故选：D.
题型三：由幂函数的单调性比较大小
【典例3-1】（2024·天津红桥·二模）若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，而，
所以a，b，c的大小关系为.故选：C
【典例3-2】设，则大小关系是 .
【答案】
【解析】因为在单调增，所以，即，因为在单调减，所以，即综上，.故答案为：.
【变式3-1】（2024·河北衡水·三模）已知，，，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得或，由，得，由，得，
∴当，，同时成立时，取交集得，故选：A.
【变式3-2】已知，，，则这三个数的大小关系为 ．（用“”连接）
【答案】
【解析】由，，令且，则，
所以在上递减，则，即，所以，
由，，只需比较与的大小，
根据与，相交于两点，图象如下，
由，结合图知，故，
综上，.故答案为：
【变式3-3】已知幂函数的图象过点是函数图象上的任意不同两点，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【解析】设幂函数，因为的图象经过点，则，解得，所以.因为函数在定义域内单调递增，则当时，，
所以，且，故选项错误；又因为函数单调递增，
则当时，，且，故选项D正确，选项错误.
故选：D.
【变式3-4】（2024·高三·河北邢台·期中）已知函数是幂函数，且在上单调递减，若，且，则的值（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断
【答案】B
【解析】由得或，
时，在上是增函数，不合题意，
时，，在上是减函数，满足题意，
所以，，则，，是奇函数，因此，所以，即，故选：B.
题型四：二次函数的解析式
【典例4-1】（2024·高三·海南海口·开学考试）已知二次函数的图象经过点，在x轴上截得的线段长为2，并且对任意，都有，则＝ .
【答案】
【解析】因为对恒成立，
所以的图象关于对称.又的图象在轴上截得的线段长为2，
所以的两根为或，所以二次函数与轴的两交点坐标为和，
因此设.又点在的图象上，所以，则，故.故答案为：
【典例4-2】写出同时满足下列条件①②③的一个函数 ．
①是二次函数；②是奇函数；③在上是减函数．
【答案】
【解析】因为是二次函数，所以令，，
令，
，故满足条件②；
令在上是减函数，满足条件③，
故答案为：
【变式4-1】已知函数（）的图象关于轴对称，且与直线相切，写出满足上述条件的一个函数 ．
【答案】（答案不唯一）
【解析】已知，∵的图象关于y轴对称，∴对称轴，∴，
∴，联立，整理得，即，
∵的图象与直线相切，∴，∴，当时， .
∴满足条件的二次函数可以为．故答案为： .
【变式4-2】已知二次函数f(x)满足f（2）＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，二次函数的解析式是 ．
【答案】f(x)＝－4x2＋4x＋7.
【解析】法一　(利用“一般式”解题)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
由题意得解得∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
法二　(利用“顶点式”解题)
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).因为f（2）＝f(－1)，所以抛物线的对称轴为，所以m＝.
又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，所以y＝f(x)＝.因为f（2）＝－1，所以，解得a＝－4，所以f(x)＝＝－4x2＋4x＋7.
法三　(利用“零点式”解题)
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，即.
解得a＝－4或a＝0(舍).故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
故答案为：f(x)＝－4x2＋4x＋7.
题型五：二次函数的图象、单调性与最值
【典例5-1】已知，并且m、n是方程的两根，则实数a、b、m、n的大小关系可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设，又，分别画出这两个函数的图象，其中的图象可看成是由的图象向上平移1个单位得到，如图，
由图可知：．故选：A．
【典例5-2】（2024·高三·江苏苏州·期中）满足的实数对，构成的点共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【答案】C
【解析】由，又，则，所以在单调递增，
故值域为，即是的两根，解得，当时，点为，
当时，点为，当时，点为.故选：C
【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）若函数在上单调，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【解析】令，
则或或或解得或，
即实数m得取值范围为.故选：C．
【变式5-2】（2024·高三·山东济宁·期中）函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，令，即或，根据二次函数性质知：在上递减，在上递增又在定义域上递增，故的单调递增区间为.故选：C
【变式5-3】（2024·广东珠海·模拟预测）已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，
因为函数在区间上是增函数，则，解得.因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
【变式5-4】若函数在区间上有最大值，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【解析】令，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，作出函数的大致图象，
由于函数在区间上有最大值，
结合图象，由题意可得，解得，
所以实数a的取值范围是，故答案为：
题型六：二次函数定轴动区间和动轴定区间问题
【典例6-1】已知函数．
(1)当时，解关于x的不等式；
(2)函数在上的最大值为0，最小值是，求实数a和t的值．
【解析】（1）当时，不等式，
即为，
即，所以，
所以或，
所以原不等式的解集为．
（2），
由题意或，这时解得，
若，则，所以；
若，即，
所以，则，
综上，或．
【典例6-2】已知函数在上的最大值为4，求的值．
【解析】函数的图象为对称轴为，开口向上的抛物线，
当时，即时，此时离对称轴更远，
所以当时有最大值，最大值为，由已知，故，
当时，即时，此时离对称轴更远，所以当时有最大值，最大值为，
由已知，故，所以或.
【变式6-1】已知函数，其中是实数．
(1)在区间上的最大值记为，求的表达式；
(2)在区间上的最小值记为，求的表达式；
(3)若，求实数的值．
【解析】（1），对称轴为，
当，即时，，
当，即时，，
综上，.
（2）当，即时，函数在区间上单调递增，，
当，即时，函数在区间上单调递减，，
当，即时，，
综上，.
（3）当时，，，
由，得，解得（舍）；
当时，，，
由，得，即，
解得或（舍）；
当时，，，
由，得，即，
解得（舍）或；
当时，，，
由，得，解得（舍），
综上，或.
题型七：二次方程实根的分布及条件
【典例7-1】若关于x的一元二次方程有两个不相等的实根，且．则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【解析】令函数，依题意，的两个不等实根满足，
而函数图象开口向上，因此，则，解得，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：
【典例7-2】方程在区间内有两个不同的根，的取值范围为 ．
【答案】
【解析】令，图象恒过点，
方程0在区间内有两个不同的根，
，解得.
故答案为：
【变式7-2】关于的方程满足下列条件，求的取值范围．
(1)有两个正根；
(2)一个根大于，一个根小于；
(3)一个根在内，另一个根在内；
(4)一个根小于，一个根大于；
(5)两个根都在内．
【解析】（1）令，设的两个根为.
由题得，解得.
（2）若方程的一个根大于，一个根小于，则，解得
（3）若方程一个根在内，另一个根在内，则，解得
（4）若方程的一个根小于，一个根大于，
则，解得
（5）若方程的两个根都在内，则，解得
1．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，
则有函数在区间上单调递减，因此，解得，
所以的取值范围是.故选：D
2．（2023年天津高考数学真题）设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由在R上递增，则，
由在上递增，则.所以.故选：D
3．（2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（陕西卷））函数的图象是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数图象上的特殊点（1，1），故排除A，D；由特殊点（8，2），，可排除C．故选B．
1．(链接人A必修一P91T1)已知幂函数f(x)的图象过点，则f(4)的值是(　　)
A．64 B．4 C． D．
答案：D
解析：设f(x)＝xα，则＝2α，即α＝－1.所以f(x)＝，所以f(4)＝.故选D.
2．(链接人A必修一P58T6)已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
答案：C
解析：由题意知解得a>.
3．(链接人A必修一P100T4)若函数f(x)＝3x2－kx－8在[5,20]上单调，则实数k的取值范围为________．
答案：(－∞，30]∪[120，＋∞)
解析：由题意知，≤5或≥20，解得k≤30或k≥120.
4．(链接人A必修一P91T2)已知a＝0.40.3，b＝0.30.3，c＝0.30.4，则a，b，c的大小关系是________．(用”<“连接)
答案：c解析：由指数函数，幂函数的单调性可知0.30.4<0.30.3,0.40.3>0.30.3，即c5.（苏教版必修1）设 为实数,若函数 在区间 上单调递减,则 的取值范围为________
解： 由 得 .
6. （北师大必修1）探究函数 的单调性,并证明你的结论.
解： 结论: 当 时,函数 在 上单调递增,在 上单调递减; 当 时,函数 在 上单 调递减,在 上单调递增,当 0 时,函数 为常数函数.
证明: (1) 当 时,函数 为 常数函数;
(2) 当 时,
任取 ,且 ,则 .
因为 ,所以 .
(1)若 ,当 时, . ,即 .
当 时, . ,即 .
所以当 时,函数 在 上单调递增,在 上单调递减.
(2)若 ,当 时, .
,即 .当 时, .
,即 . 所以当 时,函数 在 上单调递减,在 上单调递增.
7. （北师大必修1）根据函数图象直观判断函数 的单调性.
解： 当 和 时,函数单 调递减; 当 和 时, 函数单调递增.
8.（北师大必修1） 已知函数 对任意实数 都有 ,并且对任意 ,总有 , 比较下列各组值的大小:
(1) 和 ; (2) 和 ;
(3) 和 ; (4) 和 .
解：(1) ; (2) ; ; (4) .
9．（人教版必修1）画出函数的图象，并判断函数的奇偶性，讨论函数的单调性.
【解析】
的图象如图所示，
设的定义域为R.，为偶函数.
当时，为增函数，证明如下：
设任意的，且，则.
，且即.
在上为增函数.
当时，为减函数，证明如下：
设任意的，且，则.
，且，即.
在上是减函数.
10．（人教版必修1）在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率v，（单位：）与管道半径r（单位：cm）的四次方成正比.
（1）写出气体流量速率v，关于管道半径r的函数解析式；
（2）若气体在半径为3cm的管道中，流量速率为，求该气体通过半径为r的管道时，其流量速率v的表达式；
（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量速率（精确到）.
【解析】（1）设比例系数为，气体的流量速率关于管道半径的函数解析式为.
（2）将与代入中，有.解得，
所以，气体通过半径为r的管道时，其流量速率v的表达式为.
（3）当时，.所以，当气体81通过的管道半径为5cm时，该气体的流量速率约为.
11．（人教版必修1）试用描点法画出函数的图象，求函数的定义域、值域；讨论函数的单调性、奇偶性，并证明.
【解析】.
列表：
x … -3 -2 -1 1 2 3 …
… 1 1 …
描点，连线.图象如图所示.
定义域：，值域：.在上是增函数，在上是减函数.
证明如下：设任意的，且.则.
.
，即，在上是增函数.
设任意的，且，则.
，，即.
在上是减函数.是偶函数.
12．（人教版必修1）证明：
（1）若，则.
（2）若，则.
【解析】（1）.
（2）
.
因为，
即，
则.
所以.
易错点：解二次型函数问题时忽视对二次项系数的讨论
易错分析：在二次函数中，当时为二次函数，其图象为抛物线；当时为一次函数，其图象为直线．在解決此类问题时，应注意项的系数是否为0，若不能确定，应该分类讨论．
【易错题1】对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
当，即时，，恒成立；
时，，解得，
故选
【易错题2】已知对任意恒成立，则__________．
【答案】
【解析】
令，解得，故，即，所以，所以对任意恒成立，所以即解得，
同理对任意恒成立可得a的取值范围，综上得，
答题模板：含参二次函数在区间上的最值问题
1、模板解决思路
解决含参二次函数在区间上的最值问题常用的方法是数形结合与分类讨论.
2、模板解决步骤
第一步：通过观察二次函数的特征，分析二次函数参数的位置；
第二步：通过讨论含参二次函数的单调性和已知区间之间的关系进行分类讨论；
第三步：根据含参二次函数的图像与性质可判断函数在区间上的单调性，并根据二次函数的单调性求出其最值；
第四步：得出结论．
【典例1】已知二次函数同时满足以下条件：①，②，③．
(1)求函数的解析式；
(2)若，，求的最小值．
【解析】（1）由得，对称轴为，
设，
∴，得，
∴．
（2），，对称轴，
ⅰ当即时，在单调递增，
，
ⅱ即时，在单调递减，在单调递增，
∴，
ⅲ当即时，在单调递减，
，
综上：
【典例2】已知二次函数，满足条件和.
（1）求函数的解析式；
（2）若，求函数在A上的最小值.
【解析】解:（1）∵， ∴
∴
∴
∴， ∴，解得：，，
∴
（2）的对称轴是，
当，
当即时，
当即时，
∴
【典例3】已知函数．当时，求函数最大值的表达式；
【解析】，
①当即时，，
②当即时，，
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1637 年, 法国数学家笛卡儿 (R. Descartes, 1596-1650)在《几何 学》中第一次提到“未知和未定的量”, 涉及了变量, 同时也引入函数 的思想. 1692 年, 德国数学家莱布尼茨 (G. Leibniz, 1646-1716) 最早 使用“函数”这个词, 他用“函数”表示随着曲线的变化而改变的几何 量, 如切线和点的纵坐标等.
1718 年, 瑞士数学家约翰 伯努利 (J. Bernoulli, 1667-1748) 给 出函数新的解释: “由变量 和常量用任何方式构成的量都可以叫作 的函数. "
1755 年, 瑞士数学家欧拉 (L. Euler, 1707-1783) 给出了函数的 如下定义: “如果某些变量, 以这样一种方式依赖于另一些变量, 即当 后面这些变量变化时, 前面这些变量也随之而改变, 那么将前面的变 量称为后面变量的函数. ”在函数概念形成的早期阶段, 由于接触到 的函数都是解析式形式, 于是多数人认为函数一定能用解析式表示, 他们很难理解不能用解析式表示的函数.
随着微积分等数学领域研究的深入, 人们对函数的本质理解也 不断加深. 1837 年, 德国数学家狄利克雷 (P. G. Dirichlet, 1805一 1859) 认为: “如果对于 的每一个值, 总有一个完全确定的值与之 对应,那么 是 的函数. ”此外,他还给出了 “狄利克雷函数”:
自此,人们对函数的本质有了深刻的理解. “变量 是 的函数” 意味着: 只要有一个法则存在, 使得这个函数定义域中的每一个值 ,有一个确定的 值和它对应,而不管这个法则是公式、图象、表格 还是其他形式.
19 世纪 70 年代后, 集合概念的出现使函数概念又得到进一步的 发展. 人们用集合和对应的语言来定义函数概念, 可以更深入地理解 函数本质.
1859 年, 我国清朝数学家李善兰 (1811-1882) 将 function 一词 译成“函数”, 并给出定义: “凡此变数中函彼变数, 则此为彼之函数. ” 这里的 “函”, 是包含的意思. 在国外的数学书上, 习惯将函数 (即对应 关系) 记为 ,而在国内的数学书上,通常将函数写为 .
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第08讲 幂函数与二次函数
01：考情分析
考点要求 考题统计 考情分析
（1）幂函数的定义、图像与性质 （2）二次函数的图象与性质 2020年天津卷第3题，5分 2020年江苏卷第7题，5分 从近五年全国卷的考查情况来看，本节内容很少单独命题，幂函数要求相对较低, 常与指数函数、对数函数综合，比较幂值的大小，多以选择题、填空题出现.
学科素养：（1）通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律. （2）掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等).
02.思维导图
03.考点突破，题型探究
知识点1：幂函数
1、幂函数的定义
一般地，(为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数.
2、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数
①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数.
(3)幂函数的图象和性质
3、常见的幂函数图像及性质：
函数
图象
定义域
值域
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 在上单调递增 在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减
公共点
【诊断自测】若幂函数的图象经过点，则＝（　　）
A． B．2 C．4 D．
知识点2：二次函数
1、二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：；
（2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程.
（3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标.
2、二次函数的图像
二次函数的图像是一条抛物线，对称轴方程为，顶点坐标为.
（1）单调性与最值
①当时，如图所示，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，；
②当时，如图所示，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，
（2）与轴相交的弦长
当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，.
3、二次函数在闭区间上的最值
闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.
对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令：
（1）若，则；
（2）若，则；
（3）若，则；
（4）若，则.
【诊断自测】下列四个图象中，有一个图象是函数的导数的图象，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2、实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系
（1）方程有两个不等正根
（2）方程有两个不等负根
（3）方程有一正根和一负根，设两根为
3、一元二次方程的根的分布问题
一般情况下需要从以下4个方面考虑：
（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负.
设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如表所示.
根的分布 图像 限定条件
在区间内 没有实根
在区间内 有且只有一个实根
在区间内 有两个不等实根
4、有关二次函数的问题，关键是利用图像.
（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.
（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负.
题型一：幂函数的定义及其图像
【典例1-1】（2024·山东日照·二模）已知幂函数图象过点，则函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】已知幂函数（且互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（ ）
A．p，q均为奇数，且B．q为偶数，p为奇数，且
C．q为奇数，p为偶数，且D．q为奇数，p为偶数，且
【变式1-1】已知函数为幂函数，则（ ）
A．0 B． C． D．
【变式1-2】（多选题）（2024·新疆喀什·一模）若函数是幂函数，则实数m的值可能是
A． B． C． D．
【变式1-3】给出幂函数：①；②；③；④；⑤．其中满足条件的函数的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型二：幂函数性质的综合应用
【典例2-1】已知幂函数的图象经过点，下面给出的四个结论：①；②为奇函数；③在R上单调递增；④，其中所有正确命题的序号为（ ）
A．①④ B．②③ C．②④ D．①②③
【典例2-2】已知幂函数在上单调递减，函数，对任意，总存在使得，则的取值范围为 .
【变式2-1】已知.若幂函数为奇函数，且在上递减，则 .
【变式2-2】已知函数，则满足的x的取值范围是 ．
【变式2-3】已知幂函数（其中，）为偶函数，且在上单调递减，则的值为 .
【变式2-4】已知函数，则关于的表达式的解集为 .
【变式2-5】满足的实数m的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
题型三：由幂函数的单调性比较大小
【典例3-1】（2024·天津红桥·二模）若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【典例3-2】设，则大小关系是 .
【变式3-1】（2024·河北衡水·三模）已知，，，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】已知，，，则这三个数的大小关系为 ．（用“”连接）
【变式3-3】已知幂函数的图象过点是函数图象上的任意不同两点，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C． D．
【变式3-4】（2024·高三·河北邢台·期中）已知函数是幂函数，且在上单调递减，若，且，则的值（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断
题型四：二次函数的解析式
【典例4-1】（2024·高三·海南海口·开学考试）已知二次函数的图象经过点，在x轴上截得的线段长为2，并且对任意，都有，则＝ .
【典例4-2】写出同时满足下列条件①②③的一个函数 ．
①是二次函数；②是奇函数；③在上是减函数．
【变式4-1】已知函数（）的图象关于轴对称，且与直线相切，写出满足上述条件的一个函数 ．
【变式4-2】已知二次函数f(x)满足f（2）＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，二次函数的解析式是 ．
题型五：二次函数的图象、单调性与最值
【典例5-1】已知，并且m、n是方程的两根，则实数a、b、m、n的大小关系可能是（ ）
A． B．
C． D．
【典例5-2】（2024·高三·江苏苏州·期中）满足的实数对，构成的点共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）若函数在上单调，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C． D．
【变式5-2】（2024·高三·山东济宁·期中）函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2024·广东珠海·模拟预测）已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 .
【变式5-4】若函数在区间上有最大值，则实数a的取值范围是 .
题型六：二次函数定轴动区间和动轴定区间问题
【典例6-1】已知函数．
(1)当时，解关于x的不等式；
(2)函数在上的最大值为0，最小值是，求实数a和t的值．
【典例6-2】已知函数在上的最大值为4，求的值．
【变式6-1】已知函数，其中是实数．
(1)在区间上的最大值记为，求的表达式；
(2)在区间上的最小值记为，求的表达式；
(3)若，求实数的值．
题型七：二次方程实根的分布及条件
【典例7-1】若关于x的一元二次方程有两个不相等的实根，且．则实数a的取值范围为 ．
【典例7-2】方程在区间内有两个不同的根，的取值范围为 ．
【变式7-2】关于的方程满足下列条件，求的取值范围．
(1)有两个正根；(2)一个根大于，一个根小于；
(3)一个根在内，另一个根在内；
(4)一个根小于，一个根大于；(5)两个根都在内．
1．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是
A． B． C． D．
2．（2023年天津高考数学真题）设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．（2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（陕西卷））函数的图象是
A． B． C． D．
1．(链接人A必修一P91T1)已知幂函数f(x)的图象过点，则f(4)的值是(　　)
A．64 B．4 C． D．
2．(链接人A必修一P58T6)已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
3．(链接人A必修一P100T4)若函数f(x)＝3x2－kx－8在[5,20]上单调，则实数k的取值范围为________．
4．(链接人A必修一P91T2)已知a＝0.40.3，b＝0.30.3，c＝0.30.4，则a，b，c的大小关系是________．(用”<“连接)
5.（苏教版必修1）设 为实数,若函数 在区间 上单调递减,则 的取值范围为________
6. （北师大必修1）探究函数 的单调性,并证明你的结论.
7. （北师大必修1）根据函数图象直观判断函数 的单调性.
8.（北师大必修1） 已知函数 对任意实数 都有 ,并且对任意 ,总有 , 比较下列各组值的大小:
(1) 和 ; (2) 和 ;(3) 和 ; (4) 和 .
9．（人教版必修1）画出函数的图象，并判断函数的奇偶性，讨论函数的单调性.
10．（人教版必修1）在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率v，（单位：）与管道半径r（单位：cm）的四次方成正比.
（1）写出气体流量速率v，关于管道半径r的函数解析式；
（2）若气体在半径为3cm的管道中，流量速率为，求该气体通过半径为r的管道时，其流量速率v的表达式；
（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量速率（精确到）.
11．（人教版必修1）试用描点法画出函数的图象，求函数的定义域、值域；讨论函数的单调性、奇偶性，并证明.
12．（人教版必修1）证明：
（1）若，则.
（2）若，则.
易错点：解二次型函数问题时忽视对二次项系数的讨论
易错分析：在二次函数中，当时为二次函数，其图象为抛物线；当时为一次函数，其图象为直线．在解決此类问题时，应注意项的系数是否为0，若不能确定，应该分类讨论．
【易错题1】对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a取值范围（ ）
A． B． C． D．
答题模板：含参二次函数在区间上的最值问题
【典例1】已知二次函数同时满足以下条件：①，②，③．
(1)求函数的解析式；
(2)若，，求的最小值．
【典例2】已知函数．当时，求函数最大值的表达式；
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1637 年, 法国数学家笛卡儿 (R. Descartes, 1596-1650)在《几何 学》中第一次提到“未知和未定的量”, 涉及了变量, 同时也引入函数 的思想. 1692 年, 德国数学家莱布尼茨 (G. Leibniz, 1646-1716) 最早 使用“函数”这个词, 他用“函数”表示随着曲线的变化而改变的几何 量, 如切线和点的纵坐标等.
1718 年, 瑞士数学家约翰 伯努利 (J. Bernoulli, 1667-1748) 给 出函数新的解释: “由变量 和常量用任何方式构成的量都可以叫作 的函数. "
1755 年, 瑞士数学家欧拉 (L. Euler, 1707-1783) 给出了函数的 如下定义: “如果某些变量, 以这样一种方式依赖于另一些变量, 即当 后面这些变量变化时, 前面这些变量也随之而改变, 那么将前面的变 量称为后面变量的函数. ”在函数概念形成的早期阶段, 由于接触到 的函数都是解析式形式, 于是多数人认为函数一定能用解析式表示, 他们很难理解不能用解析式表示的函数.
随着微积分等数学领域研究的深入, 人们对函数的本质理解也 不断加深. 1837 年, 德国数学家狄利克雷 (P. G. Dirichlet, 1805一 1859) 认为: “如果对于 的每一个值, 总有一个完全确定的值与之 对应,那么 是 的函数. ”此外,他还给出了 “狄利克雷函数”:
自此,人们对函数的本质有了深刻的理解. “变量 是 的函数” 意味着: 只要有一个法则存在, 使得这个函数定义域中的每一个值 ,有一个确定的 值和它对应,而不管这个法则是公式、图象、表格 还是其他形式.
19 世纪 70 年代后, 集合概念的出现使函数概念又得到进一步的 发展. 人们用集合和对应的语言来定义函数概念, 可以更深入地理解 函数本质.
1859 年, 我国清朝数学家李善兰 (1811-1882) 将 function 一词 译成“函数”, 并给出定义: “凡此变数中函彼变数, 则此为彼之函数. ” 这里的 “函”, 是包含的意思. 在国外的数学书上, 习惯将函数 (即对应 关系) 记为 ,而在国内的数学书上,通常将函数写为 .
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