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　　　　　实验九　用单摆测量重力加速度的大小
1.(2024·四川成都高三月考)在“用单摆测量重力加速度”实验中，某同学进行如下步骤：
　
甲　　　　　　　　　　乙
图1
(1)用游标为10分度(测量值可准确到0.1 mm)的卡尺测量小球的直径。某次测量的示数如图1甲所示，读出小球直径d的值为________mm。
(2)把摆球从平衡位置拉开一个小角度由静止释放，使单摆在竖直平面内摆动，用秒表测出单摆做n次全振动所用的时间t，秒表读数如图乙所示，读数为________s。
(3)如果测得的g值偏大，可能的原因是________。
A.先将单摆放在水平桌面上测出摆长l，后把单摆悬挂起来
B.摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了
C.摆球不在同一竖直平面内运动，成为圆锥摆运动
D.测周期时，当摆球通过最低点时启动秒表并数“1”，数到摆球第40次通过平衡位置时按下秒表，读出时间t，得周期T＝
2.(2024·山东临沂模拟)某同学在学习完单摆的相关知识后，想要在家利用手边的物品测量本地的重力加速度。用不规则的钥匙扣代替小球做成简易单摆装置，手机上的计时功能代替秒表，实验过程如下：
图2
(1)用家中软尺测得悬挂点O到钥匙扣连接处M的长度为L。
(2)拉开较小角度后将钥匙扣由静止释放，并在钥匙扣第1次通过最低点按下计时“开始”按钮，第N次通过最低点停止计时，记录手机上的时间为t，则单摆的周期T为____________。
(3)若该同学改变细线长度后只做两次实验，得到两组长度和周期的数据：L1、T1；L2、T2，利用数据测得重力加速度为____________。
(4)若该同学多次改变细线长度得到多组数据，描点作出T2－L图像，得到的图像可能是________。
(5)钥匙扣的形状不规则，对上述实验测得的重力加速度________(填“有”或者“无”)影响。
3.(1)在“探究单摆周期与摆长的关系”的实验中，两位同学用游标卡尺测量小球的直径的操作如图3甲、乙所示。测量方法正确的是________(选填“甲”或“乙”)。
(2)实验时，若摆球在垂直纸面的平面内摆动，为了将人工记录振动次数改为自动记录振动次数，在摆球运动的最低点的左、右两侧分别放置一激光光源与光敏电阻，如图丙所示。光敏电阻与某一自动记录仪相连，该仪器显示的光敏电阻阻值R随时间t的变化图像如图丁所示，则该单摆的振动周期为________。若保持悬点到摆球顶点的绳长不变，改用直径是原摆球直径2倍的另一摆球进行实验，则该单摆的周期将________(选填“变大”“不变”或“变小”)，图丁中的Δt将________(选填“变大”“不变”或“变小”)。
图3
4.(2024·安徽池州高三质检)实验小组的同学们在读到惠更斯用单摆测出巴黎的重力加速度后，设计用图示的装置(如图4甲)测量当地的重力加速度。
图4
(1)若测得：单摆的摆线长度为L，摆球直径为D，单摆的周期为T，则重力加速度g＝________(用L、T、D表示)。
(2)某次实验中，力传感器记录了绳子上的拉力大小F随时间t的变化如图乙所示，则单摆运动的周期为T＝________s。
(3)在完成图乙的实验数据测量后，用天平测得小球质量m＝98.8 g，则当地的重力加速度g＝________ m/s2(保留3位有效数字)。
5.(2023·湖南卷，11)某同学探究弹簧振子振动周期与质量的关系，实验装置如图5所示，轻质弹簧上端悬挂在铁架台上，下端挂有钩码，钩码下表面吸附一个小磁铁，其正下方放置智能手机，手机中的磁传感器可以采集磁感应强度实时变化的数据并输出图像，实验步骤如下：
图5
(1)测出钩码和小磁铁的总质量m；
(2)在弹簧下端挂上该钩码和小磁铁，使弹簧振子在竖直方向做简谐运动，打开手机的磁传感器软件，此时磁传感器记录的磁感应强度变化周期等于弹簧振子振动周期；
(3)某次采集到的磁感应强度B的大小随时间t变化的图像如图6所示，从图中可以算出弹簧振子振动周期T＝________(用“t0”表示)；
图6
(4)改变钩码质量，重复上述步骤；
(5)实验测得数据如下表所示，分析数据可知，弹簧振子振动周期的平方与质量的关系是________(填“线性的”或“非线性的”)；
m/kg 10T/s T/s T2/s2
0.015 2.43 0.243 0.059
0.025 3.14 0.314 0.099
0.035 3.72 0.372 0.138
0.045 4.22 0.422 0.178
0.055 4.66 0.466 0.217
(6)设弹簧的劲度系数为k，根据实验结果并结合物理量的单位关系，弹簧振子振动周期的表达式可能是________(填正确答案标号)；
A.2π B.2π
C.2π D.2πk
(7)除偶然误差外，写出一条本实验中可能产生误差的原因：______________________________________________________________________
______________________________________________________________________。
实验九　用单摆测量重力加速度的大小
1.(1)15.2　(2)100.0　(3)CD
解析　(1)游标卡尺的主尺读数为15 mm，游标读数为2×0.1 mm＝0.2 mm，则小球的直径为d＝15 mm＋0.2 mm＝15.2 mm。
(2)秒表的读数等于大盘读数加上小盘读数，则读数为
90 s＋10.0 s＝100.0 s。
(3)根据单摆的周期公式T＝2π，变形可得g＝，先将单摆放在水平桌面上测出摆长l，后把单摆悬挂起来，测得的摆长偏小，则最终测得重力加速度偏小，故A错误；摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了，则测量的摆长偏小，则最终测得的重力加速度偏小，故B错误；摆球不在同一竖直平面内运动，成为圆锥摆运动，实际摆长lcos θ变短，而测量摆长偏大，所测重力加速度偏大，故C正确；测周期时，当摆球通过最低点时启动秒表并数“1”，数到摆球第40次通过平衡位置时按下秒表，读出时间t，实际周期T＝＝，则测量周期偏小，重力加速度偏大，故D正确。
2.(2)　(3)g＝　(4)B　(5)无
解析　(2)钥匙扣第1次通过最低点按下计时“开始”按钮，第N次通过最低点停止计时，记录手机上的时间为t，则单摆的周期为T＝。
(3)设摆线末端与钥匙扣重心间的距离为r，根据单摆周期公式
T＝2π
可得T1＝2π，T2＝2π，联立可得重力加速度为g＝。
(4)根据T＝2π，可得T2＝L＋，故T2与L为一次函数关系，且与纵轴正半轴有截距，故B正确。
(5)由(3)(4)数据处理分析可知，钥匙扣的形状不规则虽导致重心位置无法测量，但对重力加速度的测量无影响。
3.(1)乙　(2)2t0　变大　变大
解析　(1)游标卡尺应该用两外测量爪对齐的地方测量，正确的是题图乙。
(2)一个周期内小球应该两次经过最低点，使光敏电阻的阻值发生变化，故周期为T＝t1＋2t0－t1＝2t0；摆球的直径变大后，摆长变长，根据T＝2π可知，周期变大；每次经过最低点时小球的挡光的时间变长，即Δt变大。
4.(1)　(2)2　(3)9.79
解析　(1)周期公式为T＝2π，整理有g＝，由题意可知l＝L＋，解得g＝。
(2)摆球运动到最低点时，由重力和绳子的拉力的合力提供向心力，所以摆球运动到最低点时，绳子拉力最大，而一个周期内摆球有两次经过最低点，则此单摆的周期为T＝2 s。
(3)小球速度为零，沿绳子方向合力为零，在最高点有F1＝mgcos θ，小球在最低点有F2－mg＝m
设绳子与竖直方向的最大夹角为θ，有mgl(1－cos θ)＝mv2，整理有F2＝mg(3－2cos θ)
联立F1和F2解得
g＝＝ m/s2＝9.79 m/s2。
5.(3)　(5)线性的　(6)A　(7)见解析
解析　(3)0～t0内恰有10个完整周期的振动图像，故t0＝10T，解得T＝。
(5)分析图表数据可以看出，在误差允许的范围内，T2∝m，即弹簧振子振动周期的平方与质量的关系是线性的。
(6)质量的单位是kg，劲度系数的单位是N/m，故的单位为＝＝s，A正确；同理分析可知，B、C、D项的量纲都不对。
(7)弹簧不是轻弹簧；手机内部有磁体，与钩码下的小磁铁会产生相互作用；空气阻力的影响等(写出一条即可)。(共50张PPT)
实验九　用单摆测量重力加速度的大小
第七章　机械振动和机械波
目 录
CONTENTS
夯实必备知识
01
研透核心考点
02
提升素养能力
03
夯实必备知识
1
研透核心考点
2
考点二　创新拓展实验
考点一　教材原型实验
例1 (2023·新课标卷，23)一学生小组做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。
(1)用实验室提供的螺旋测微器测量摆球直径，首先，调节螺旋测微器，拧动微调旋钮使测微螺杆和测砧相触时，发现固定刻度的横线与可动刻度上的零刻度线未对齐，如图1(a)所示，该示数为________mm，螺旋测微器在夹有摆球时示数如图(b)所示，该示数为________mm，则摆球的直径为________mm。
考点一　教材原型实验
图1
解析　题图(a)中，螺旋测微器固定刻度读数为0，可动刻度部分读数为0.6×0.01 mm＝0.006 mm，所以示数为0.006 mm；题图(b)中，螺旋测微器固定刻度读数为20.0 mm，可动刻度部分读数为3.5×0.01 mm＝0.035 mm，所以示数为20.035 mm，摆球的直径d＝20.035 mm－0.006 mm＝20.029 mm。
答案　0.006　20.035　20.029
(2)单摆实验的装置示意图如图(c)所示，其中角度盘需要固定在杆上的确定点O处，摆线在角度盘上所指的示数为摆角的大小。若将角度盘固定在O点上方，则摆线在角度盘上所指的示数为5°时，实际摆角______________5°(填“大于”或“小于”)。
解析　角度盘固定在O点时，摆线在角度盘上所指角度为摆角大小，若将角度盘固定在O点上方，即角度盘到悬点的距离变短，同样的角度，摆线在刻度盘上扫过的弧长变短，故摆线在角度盘上所指的示数为5°时，实际摆角大于5°。
答案　大于　
(3)某次实验所用单摆的摆线长度为81.50 cm，则摆长为________cm。实验中观测到从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点的时间间隔为54.60 s，则此单摆周期为________s，该小组测得的重力加速度大小为________m/s2。(结果均保留3位有效数字，π2取9.870)
答案　82.5　1.82　9.83
1.(2024·广东珠海高三期末)小明学习“用单摆测量重力加速度”实验后，利用图2甲装置做了该实验。
图2
(1)测量摆长时，先用毫米刻度尺测得摆球悬挂后的摆线长(从悬点到摆球的最上端)为L，再用游标卡尺测得摆球的直径，读数如乙图所示，则d＝__________cm，若再测得单摆周期为T，则当地的重力加速度g＝__________(用L、d、T表示)。
(2)在安装装置时，摆线上端有三种系挂方式，下列方式哪种是正确的________(填对应序号)。
(3)在测量周期时，若从摆球运动到最低点开始计时且记数为1，到第n次经过最低点所用的时间为t，则单摆周期为T＝________(用n、t表示)。
(4)假如把该装置搬到月球上进行实验，改变单摆的摆长l，多次测量单摆在不同摆长下所对应的周期T，并描绘出T2－l图像如图3所示，则可得知月球重力加速度大小为________ m/s2。
图3
例2 (2023·重庆卷，11)某实验小组用单摆测量重力加速度。所用实验器材有摆球、长度可调的轻质摆线、刻度尺、50分度的游标卡尺、摄像装置等。
考点二　创新拓展实验
图4
(1)用游标卡尺测量摆球直径d。当量爪并拢时，游标尺和主尺的零刻度线对齐。放置摆球后游标卡尺示数如图4甲所示，则摆球的直径d为________mm。
解析　用游标卡尺测量摆球直径d＝19 mm＋10×0.02 mm＝19.20 mm。
答案　19.20　
(2)用摆线和摆球组成单摆，如图乙所示。当摆线长度l＝990.1 mm时，记录并分析单摆的振动视频，得到单摆的振动周期T＝2.00 s，由此算得重力加速度g为________m/s2(保留3位有效数字)。
答案　9.86　
(3)改变摆线长度l，记录并分析单摆的振动视频，得到相应的振动周期。他们发现，分别用l和l＋作为摆长，这两种计算方法得到的重力加速度数值的差异大小Δg随摆线长度l的变化曲线如图5所示。由图可知，该实验中，随着摆线长度l的增加，Δg的变化特点是_____________
__________________________________，
原因是___________________________
___________________________________。
图5
2.(2024·辽宁大连高三质检)现代智能手机自带了许多传感器，利用智能手机Phyphox软件能够采集传感器记录的数据。某同学在家根据Phyphox界面提示的原始传感器，给出了2种测量重力加速度的方案：
方案1.使用“含(g)的加速度”模块，令手机静置在桌面上20 s，直接读出重力加速度(图一)；
方案2.使用“摆”功能，该同学找到一把量程为30 cm的刻度尺，长度为100 cm左右的细线和一把铁锁，制成一个单摆，于小角度释放。输入摆长后，利用手机读取周期，手机将计算出重力加速度(图二)。
回答下列相关问题：
(1)根据方案2，可知手机计算重力加速度
g的表达式为________(用g、π、T、L表示)。
(2)与方案1测得的重力加速度g相比，方案2测得的重力加速度g结果有一定的误差，产生误差的主要原因为________。
A.铁锁的重心不方便确定，所以摆长不准
B.测量摆长的刻度尺量程太小，测摆长时多次移动产生了一定的误差
C.铁锁质量过大，导致g测量误差较大
(3)方案2重力加速度g计算结果误差较大，该同学想到一个修正方案：实验时，可以在细线上的A点做一个标记，使得悬点O到A点间的细线长度小于刻度尺量程；保持该标记以下的细线长度不变，通过改变OA间细线长度以改变摆长，当OA间细线长度分别为L1、L2时，测得相应单摆的周期为T1、T2，由此可测得重力加速度g的数值，此方案计算g的表达式为________(其中L2>L1)。
(2)方案2测得的重力加速度g结果有一定的误差，产生误差的主要原因有铁锁的重心不方便确定，所以摆长不准；方案2是用长度为100厘米左右的细线和一把铁锁，制成一个单摆，而该同学找到一把量程为30 cm的刻度尺，所以测量摆长的刻度尺量程太小，会导致测摆长时多次移动产生了一定的误差，故A、B正确，C、D错误。
提升素养能力
3
1.(2024·四川成都高三月考)在“用单摆测量重力加速度”实验中，某同学进行如下步骤：
甲　　　　　　　　　　乙
图1
(1)用游标为10分度(测量值可准确到0.1 mm)的卡尺测量小球的直径。某次测量的示数如图1甲所示，读出小球直径d的值为________mm。
(2)把摆球从平衡位置拉开一个小角度由静止释放，使单摆在竖直平面内摆动，用秒表测出单摆做n次全振动所用的时间t，秒表读数如图乙所示，读数为________s。
(3)如果测得的g值偏大，可能的原因是________。
A.先将单摆放在水平桌面上测出摆长l，后把单摆悬挂起来
B.摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了
C.摆球不在同一竖直平面内运动，成为圆锥摆运动
答案　(1)15.2　(2)100.0　(3)CD
解析　(1)游标卡尺的主尺读数为15 mm，游标读数为2×0.1 mm＝0.2 mm，则小球的直径为d＝15 mm＋0.2 mm＝15.2 mm。
(2)秒表的读数等于大盘读数加上小盘读数，则读数为90 s＋10.0 s＝100.0 s。
2.(2024·山东临沂模拟)某同学在学习完单摆的相关知识后，想要在家利用手边的物品测量本地的重力加速度。用不规则的钥匙扣代替小球做成简易单摆装置，手机上的计时功能代替秒表，实验过程如下：
图2
(1)用家中软尺测得悬挂点O到钥匙扣连接处M的长度为L。
(2)拉开较小角度后将钥匙扣由静止释放，并在钥匙扣第1次通过最低点按下计时“开始”按钮，第N次通过最低点停止计时，记录手机上的时间为t，则单摆的周期T为____________。
(3)若该同学改变细线长度后只做两次实验，得到两组长度和周期的数据：L1、T1；L2、T2，利用数据测得重力加速度为____________。
(4)若该同学多次改变细线长度得到多组数据，描点作出T2－L图像，得到的图像可能是________。
(5)钥匙扣的形状不规则，对上述实验测得的重力加速度________(填“有”或者“无”)影响。
(5)由(3)(4)数据处理分析可知，钥匙扣的形状不规则虽导致重心位置无法测量，但对重力加速度的测量无影响。
3.(1)在“探究单摆周期与摆长的关系”的实验中，两位同学用游标卡尺测量小球的直径的操作如图3甲、乙所示。测量方法正确的是________(选填“甲”或“乙”)。
(2)实验时，若摆球在垂直纸面的平面内摆动，为了将人工记录振动次数改为自动记录振动次数，在摆球运动的最低点的左、右两侧分别放置一激光光源与光敏电阻，如图丙所示。光敏电阻与某一自动记录仪相连，该仪器显示的光敏电阻阻值R随时间t的变化图像如图丁所示，则该单摆的振动周期为________。若保持悬点到摆球顶点的绳长不变，改用直径是原摆球直径2倍的另一摆球进行实验，则该单摆的周期将________(选填“变大”“不变”或“变小”)，图丁中的Δt将________(选填“变大”“不变”或“变小”)。
图3
答案　(1)乙　(2)2t0　变大　变大
解析　(1)游标卡尺应该用两外测量爪对齐的地方测量，正确的是题图乙。
4.(2024·安徽池州高三质检)实验小组的同学们在读到惠更斯用单摆测出巴黎的重力加速度后，设计用图示的装置(如图4甲)测量当地的重力加速度。
图4
(1)若测得：单摆的摆线长度为L，摆球直径为D，单摆的周期为T，则重力加速度g＝________(用L、T、D表示)。
(2)某次实验中，力传感器记录了绳子上的拉力大小F随时间t的变化如图乙所示，则单摆运动的周期为T＝________s。
(3)在完成图乙的实验数据测量后，用天平测得小球质量m＝98.8 g，则当地的重力加速度g＝________ m/s2(保留3位有效数字)。
(2)摆球运动到最低点时，由重力和绳子的拉力的合力提供向心力，所以摆球运动到最低点时，绳子拉力最大，而一个周期内摆球有两次经过最低点，则此单摆的周期为T＝2 s。
5.(2023·湖南卷，11)某同学探究弹簧振子振动周期与质量的关系，实验装置如图5所示，轻质弹簧上端悬挂在铁架台上，下端挂有钩码，钩码下表面吸附一个小磁铁，其正下方放置智能手机，手机中的磁传感器可以采集磁感应强度实时变化的数据并输出图像，实验步骤如下：
图5
(1)测出钩码和小磁铁的总质量m；
(2)在弹簧下端挂上该钩码和小磁铁，使弹簧振子在竖直方向做简谐运动，打开手机的磁传感器软件，此时磁传感器记录的磁感应强度变化周期等于弹簧振子振动周期；
(3)某次采集到的磁感应强度B的大小随时间t变化的图像如图6所示，从图中可以算出弹簧振子振动周期T＝________(用“t0”表示)；
图6
(4)改变钩码质量，重复上述步骤；
(5)实验测得数据如下表所示，分析数据可知，弹簧振子振动周期的平方与质量的关系是________(填“线性的”或“非线性的”)；
m/kg 10T/s T/s T2/s2
0.015 2.43 0.243 0.059
0.025 3.14 0.314 0.099
0.035 3.72 0.372 0.138
0.045 4.22 0.422 0.178
0.055 4.66 0.466 0.217
(7)除偶然误差外，写出一条本实验中可能产生误差的原因：______________________________________________________________________
_____________________________________________________________________。
(5)分析图表数据可以看出，在误差允许的范围内，T2∝m，即弹簧振子振动周期的平方与质量的关系是线性的。
(7)弹簧不是轻弹簧；手机内部有磁体，与钩码下的小磁铁会产生相互作用；空气阻力的影响等(写出一条即可)。
本节内容结束
THANKS实验九　用单摆测量重力加速度的大小
原理装置图 实验步骤 注意事项
测摆长l和周期T，由 T＝2π得g＝ 1.做单摆 将细线穿过带中心孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的另一端用铁夹固定在铁架台上，让摆球自然下垂。 2.测摆长 用米尺量出摆线长l′(精确到毫米)，用游标卡尺测出小球直径D，则单摆的摆长l＝l′＋。 3.测周期 将单摆从平衡位置拉开一个角度(小于5°)，然后释放小球，记下单摆摆动30次～50次的总时间，算出一次全振动的时间，即为单摆的振动周期。 4.改变摆长，重做几次实验。 1.摆线要选1 m左右，柔软不易伸长的丝线，不要过长或过短。 2.悬线长要待悬挂好球后再测，计算摆长时要将悬线长加上摆球半径。 3.单摆要在竖直平面内摆动，不要形成圆锥摆。 4.要从平衡位置开始计时，并数准全振动的次数
数据处理 1.公式法：g＝，算出重力加速度g的值，再求出g的平均值。 2.图像法：根据测出的一系列摆长l对应的周期T，作l－T2的图像，由单摆周期公式得l＝T2，图像应是一条通过原点的直线，如图所示，求出图线的斜率k，即可利用g＝4π2k求重力加速度。
考点一　教材原型实验
例1 (2023·新课标卷，23)一学生小组做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。
(1)用实验室提供的螺旋测微器测量摆球直径，首先，调节螺旋测微器，拧动微调旋钮使测微螺杆和测砧相触时，发现固定刻度的横线与可动刻度上的零刻度线未对齐，如图1(a)所示，该示数为________mm，螺旋测微器在夹有摆球时示数如图(b)所示，该示数为________mm，则摆球的直径为________mm。
图1
(2)单摆实验的装置示意图如图(c)所示，其中角度盘需要固定在杆上的确定点O处，摆线在角度盘上所指的示数为摆角的大小。若将角度盘固定在O点上方，则摆线在角度盘上所指的示数为5°时，实际摆角______________5°(填“大于”或“小于”)。
(3)某次实验所用单摆的摆线长度为81.50 cm，则摆长为________cm。实验中观测到从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点的时间间隔为54.60 s，则此单摆周期为________s，该小组测得的重力加速度大小为________m/s2。(结果均保留3位有效数字，π2取9.870)
答案　(1)0.006　20.035　20.029 (2)大于　(3)82.5　1.82　9.83
解析　(1)题图(a)中，螺旋测微器固定刻度读数为0，可动刻度部分读数为0.6×0.01 mm＝0.006 mm，所以示数为0.006 mm；题图(b)中，螺旋测微器固定刻度读数为20.0 mm，可动刻度部分读数为3.5×0.01 mm＝0.035 mm，所以示数为20.035 mm，摆球的直径d＝20.035 mm－0.006 mm＝20.029 mm。
(2)角度盘固定在O点时，摆线在角度盘上所指角度为摆角大小，若将角度盘固定在O点上方，即角度盘到悬点的距离变短，同样的角度，摆线在刻度盘上扫过的弧长变短，故摆线在角度盘上所指的示数为5°时，实际摆角大于5°。
(3)单摆的摆长L等于摆线长l与摆球半径之和，即L＝l＋＝82.5 cm；从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点，单摆完成30次全振动，故单摆的周期T＝ s＝1.82 s；由单摆的周期公式T＝2π可得g＝，代入相关数据解得g＝9.83 m/s2。
1.(2024·广东珠海高三期末)小明学习“用单摆测量重力加速度”实验后，利用图2甲装置做了该实验。
(1)测量摆长时，先用毫米刻度尺测得摆球悬挂后的摆线长(从悬点到摆球的最上端)为L，再用游标卡尺测得摆球的直径，读数如乙图所示，则d＝__________cm，若再测得单摆周期为T，则当地的重力加速度g＝__________(用L、d、T表示)。
图2
(2)在安装装置时，摆线上端有三种系挂方式，下列方式哪种是正确的________(填对应序号)。
(3)在测量周期时，若从摆球运动到最低点开始计时且记数为1，到第n次经过最低点所用的时间为t，则单摆周期为T＝________(用n、t表示)。
(4)假如把该装置搬到月球上进行实验，改变单摆的摆长l，多次测量单摆在不同摆长下所对应的周期T，并描绘出T2－l图像如图3所示，则可得知月球重力加速度大小为________ m/s2。
图3
答案　(1)2.150　　(2)C　(3)　(4)1.6
解析　(1)游标卡尺的读数为主尺的读数与游标尺读数之和，所以d＝21 mm＋10×0.05 mm＝2.150 cm，根据周期公式T＝2π，可得g＝＝。
(2)为防止摆球摇摆及实验过程摆长变化，应该用夹子固定摆线悬点，故C正确。
(3)从摆球运动到最低点开始计时且记数为1，到第n次经过最低点所用的时间为t，单摆全振动的次数为N＝，则单摆的周期为T＝＝。
(4)根据单摆周期公式T＝2π，由图像可知
T2＝2π2 s2，l＝0.8 m，可得g月＝1.6 m/s2。
考点二　创新拓展实验
例2 (2023·重庆卷，11)某实验小组用单摆测量重力加速度。所用实验器材有摆球、长度可调的轻质摆线、刻度尺、50分度的游标卡尺、摄像装置等。
图4
(1)用游标卡尺测量摆球直径d。当量爪并拢时，游标尺和主尺的零刻度线对齐。放置摆球后游标卡尺示数如图4甲所示，则摆球的直径d为________mm。
(2)用摆线和摆球组成单摆，如图乙所示。当摆线长度l＝990.1 mm时，记录并分析单摆的振动视频，得到单摆的振动周期T＝2.00 s，由此算得重力加速度g为________m/s2(保留3位有效数字)。
(3)改变摆线长度l，记录并分析单摆的振动视频，得到相应的振动周期。他们发现，分别用l和l＋作为摆长，这两种计算方法得到的重力加速度数值的差异大小Δg随摆线长度l的变化曲线如图5所示。由图可知，该实验中，随着摆线长度l的增加，Δg的变化特点是______________________________________________________________________
______________________________________________________________________，
原因是________________________________________________________________
______________________________________________________________________。
图5
答案　(1)19.20　(2)9.86　(3)随着摆线长度l的增加，Δg逐渐减小　随着摆线长度l的增加，则l＋越接近于l，此时计算得到的g的差值越小
解析　(1)用游标卡尺测量摆球直径d＝19 mm＋10×0.02 mm＝19.20 mm。
(2)单摆的摆长为L＝990.1 mm＋×19.20 mm＝999.7 mm，根据T＝2π，可得g＝，代入数据得g＝ m/s2＝9.86 m/s2。
(3)由图可知，随着摆线长度l的增加，Δg逐渐减小，原因是随着摆线长度l的增加，则l＋逐渐趋近于l，两种计算方法计算得到的g的差值越小。
2.(2024·辽宁大连高三质检)现代智能手机自带了许多传感器，利用智能手机Phyphox软件能够采集传感器记录的数据。某同学在家根据Phyphox界面提示的原始传感器，给出了2种测量重力加速度的方案：
方案1.使用“含(g)的加速度”模块，令手机静置在桌面上20 s，直接读出重力加速度(图一)；
方案2.使用“摆”功能，该同学找到一把量程为30 cm的刻度尺，长度为100 cm左右的细线和一把铁锁，制成一个单摆，于小角度释放。输入摆长后，利用手机读取周期，手机将计算出重力加速度(图二)。
回答下列相关问题：
(1)根据方案2，可知手机计算重力加速度g的表达式为________(用g、π、T、L表示)。
(2)与方案1测得的重力加速度g相比，方案2测得的重力加速度g结果有一定的误差，产生误差的主要原因为________。
A.铁锁的重心不方便确定，所以摆长不准
B.测量摆长的刻度尺量程太小，测摆长时多次移动产生了一定的误差
C.铁锁质量过大，导致g测量误差较大
(3)方案2重力加速度g计算结果误差较大，该同学想到一个修正方案：实验时，可以在细线上的A点做一个标记，使得悬点O到A点间的细线长度小于刻度尺量程；保持该标记以下的细线长度不变，通过改变OA间细线长度以改变摆长，当OA间细线长度分别为L1、L2时，测得相应单摆的周期为T1、T2，由此可测得重力加速度g的数值，此方案计算g的表达式为________(其中L2>L1)。
A.g＝ B.g＝
C.g＝ D.g＝
答案　(1)g＝　(2)AB　(3)A
解析　(1)根据单摆周期公式T＝2π，得重力加速度g的表达式为g＝。
(2)方案2测得的重力加速度g结果有一定的误差，产生误差的主要原因有铁锁的重心不方便确定，所以摆长不准；方案2是用长度为100厘米左右的细线和一把铁锁，制成一个单摆，而该同学找到一把量程为30 cm的刻度尺，所以测量摆长的刻度尺量程太小，会导致测摆长时多次移动产生了一定的误差，故A、B正确，C、D错误。
(3)当OA间细线长度分别为L1、L2时，测得相应单摆的周期为T1、T2，设A点到铁锁重心的距离为l，根据公式T＝2π，可得T1＝2π，T2＝2π，可解得g＝，故A正确。
1.(2024·四川成都高三月考)在“用单摆测量重力加速度”实验中，某同学进行如下步骤：
　
甲　　　　　　　　　　乙
图1
(1)用游标为10分度(测量值可准确到0.1 mm)的卡尺测量小球的直径。某次测量的示数如图1甲所示，读出小球直径d的值为________mm。
(2)把摆球从平衡位置拉开一个小角度由静止释放，使单摆在竖直平面内摆动，用秒表测出单摆做n次全振动所用的时间t，秒表读数如图乙所示，读数为________s。
(3)如果测得的g值偏大，可能的原因是________。
A.先将单摆放在水平桌面上测出摆长l，后把单摆悬挂起来
B.摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了
C.摆球不在同一竖直平面内运动，成为圆锥摆运动
D.测周期时，当摆球通过最低点时启动秒表并数“1”，数到摆球第40次通过平衡位置时按下秒表，读出时间t，得周期T＝
答案　(1)15.2　(2)100.0　(3)CD
解析　(1)游标卡尺的主尺读数为15 mm，游标读数为2×0.1 mm＝0.2 mm，则小球的直径为d＝15 mm＋0.2 mm＝15.2 mm。
(2)秒表的读数等于大盘读数加上小盘读数，则读数为90 s＋10.0 s＝100.0 s。
(3)根据单摆的周期公式T＝2π，变形可得g＝，先将单摆放在水平桌面上测出摆长l，后把单摆悬挂起来，测得的摆长偏小，则最终测得重力加速度偏小，故A错误；摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了，则测量的摆长偏小，则最终测得的重力加速度偏小，故B错误；摆球不在同一竖直平面内运动，成为圆锥摆运动，实际摆长lcos θ变短，而测量摆长偏大，所测重力加速度偏大，故C正确；测周期时，当摆球通过最低点时启动秒表并数“1”，数到摆球第40次通过平衡位置时按下秒表，读出时间t，实际周期T＝＝，则测量周期偏小，重力加速度偏大，故D正确。
2.(2024·山东临沂模拟)某同学在学习完单摆的相关知识后，想要在家利用手边的物品测量本地的重力加速度。用不规则的钥匙扣代替小球做成简易单摆装置，手机上的计时功能代替秒表，实验过程如下：
图2
(1)用家中软尺测得悬挂点O到钥匙扣连接处M的长度为L。
(2)拉开较小角度后将钥匙扣由静止释放，并在钥匙扣第1次通过最低点按下计时“开始”按钮，第N次通过最低点停止计时，记录手机上的时间为t，则单摆的周期T为____________。
(3)若该同学改变细线长度后只做两次实验，得到两组长度和周期的数据：L1、T1；L2、T2，利用数据测得重力加速度为____________。
(4)若该同学多次改变细线长度得到多组数据，描点作出T2－L图像，得到的图像可能是________。
(5)钥匙扣的形状不规则，对上述实验测得的重力加速度________(填“有”或者“无”)影响。
答案　(2)　(3)g＝　(4)B　(5)无
解析　(2)钥匙扣第1次通过最低点按下计时“开始”按钮，第N次通过最低点停止计时，记录手机上的时间为t，则单摆的周期为T＝。
(3)设摆线末端与钥匙扣重心间的距离为r，根据单摆周期公式T＝2π
可得T1＝2π，T2＝2π，联立可得重力加速度为g＝。
(4)根据T＝2π，可得T2＝L＋，故T2与L为一次函数关系，且与纵轴正半轴有截距，故B正确。
(5)由(3)(4)数据处理分析可知，钥匙扣的形状不规则虽导致重心位置无法测量，但对重力加速度的测量无影响。
3.(1)在“探究单摆周期与摆长的关系”的实验中，两位同学用游标卡尺测量小球的直径的操作如图3甲、乙所示。测量方法正确的是________(选填“甲”或“乙”)。
(2)实验时，若摆球在垂直纸面的平面内摆动，为了将人工记录振动次数改为自动记录振动次数，在摆球运动的最低点的左、右两侧分别放置一激光光源与光敏电阻，如图丙所示。光敏电阻与某一自动记录仪相连，该仪器显示的光敏电阻阻值R随时间t的变化图像如图丁所示，则该单摆的振动周期为________。若保持悬点到摆球顶点的绳长不变，改用直径是原摆球直径2倍的另一摆球进行实验，则该单摆的周期将________(选填“变大”“不变”或“变小”)，图丁中的Δt将________(选填“变大”“不变”或“变小”)。
图3
答案　(1)乙　(2)2t0　变大　变大
解析　(1)游标卡尺应该用两外测量爪对齐的地方测量，正确的是题图乙。
(2)一个周期内小球应该两次经过最低点，使光敏电阻的阻值发生变化，故周期为T＝t1＋2t0－t1＝2t0；摆球的直径变大后，摆长变长，根据T＝2π可知，周期变大；每次经过最低点时小球的挡光的时间变长，即Δt变大。
4.(2024·安徽池州高三质检)实验小组的同学们在读到惠更斯用单摆测出巴黎的重力加速度后，设计用图示的装置(如图4甲)测量当地的重力加速度。
图4
(1)若测得：单摆的摆线长度为L，摆球直径为D，单摆的周期为T，则重力加速度g＝________(用L、T、D表示)。
(2)某次实验中，力传感器记录了绳子上的拉力大小F随时间t的变化如图乙所示，则单摆运动的周期为T＝________s。
(3)在完成图乙的实验数据测量后，用天平测得小球质量m＝98.8 g，则当地的重力加速度g＝________ m/s2(保留3位有效数字)。
答案　(1)　(2)2　(3)9.79
解析　(1)周期公式为T＝2π，整理有g＝，由题意可知l＝L＋，解得g＝。
(2)摆球运动到最低点时，由重力和绳子的拉力的合力提供向心力，所以摆球运动到最低点时，绳子拉力最大，而一个周期内摆球有两次经过最低点，则此单摆的周期为T＝2 s。
(3)小球速度为零，沿绳子方向合力为零，在最高点有F1＝mgcos θ，小球在最低点有F2－mg＝m
设绳子与竖直方向的最大夹角为θ，有mgl(1－cos θ)＝mv2，整理有F2＝mg(3－2cos θ)
联立F1和F2解得g＝＝ m/s2＝9.79 m/s2。
5.(2023·湖南卷，11)某同学探究弹簧振子振动周期与质量的关系，实验装置如图5所示，轻质弹簧上端悬挂在铁架台上，下端挂有钩码，钩码下表面吸附一个小磁铁，其正下方放置智能手机，手机中的磁传感器可以采集磁感应强度实时变化的数据并输出图像，实验步骤如下：
图5
(1)测出钩码和小磁铁的总质量m；
(2)在弹簧下端挂上该钩码和小磁铁，使弹簧振子在竖直方向做简谐运动，打开手机的磁传感器软件，此时磁传感器记录的磁感应强度变化周期等于弹簧振子振动周期；
(3)某次采集到的磁感应强度B的大小随时间t变化的图像如图6所示，从图中可以算出弹簧振子振动周期T＝________(用“t0”表示)；
图6
(4)改变钩码质量，重复上述步骤；
(5)实验测得数据如下表所示，分析数据可知，弹簧振子振动周期的平方与质量的关系是________(填“线性的”或“非线性的”)；
m/kg 10T/s T/s T2/s2
0.015 2.43 0.243 0.059
0.025 3.14 0.314 0.099
0.035 3.72 0.372 0.138
0.045 4.22 0.422 0.178
0.055 4.66 0.466 0.217
(6)设弹簧的劲度系数为k，根据实验结果并结合物理量的单位关系，弹簧振子振动周期的表达式可能是________(填正确答案标号)；
A.2π B.2π
C.2π D.2πk
(7)除偶然误差外，写出一条本实验中可能产生误差的原因：______________________________________________________________________
_____________________________________________________________________。
答案　(3)　(5)线性的　(6)A　(7)见解析
解析　(3)0～t0内恰有10个完整周期的振动图像，故t0＝10T，解得T＝。
(5)分析图表数据可以看出，在误差允许的范围内，T2∝m，即弹簧振子振动周期的平方与质量的关系是线性的。
(6)质量的单位是kg，劲度系数的单位是N/m，故的单位为＝＝s，A正确；同理分析可知，B、C、D项的量纲都不对。
(7)弹簧不是轻弹簧；手机内部有磁体，与钩码下的小磁铁会产生相互作用；空气阻力的影响等(写出一条即可)。实验九　用单摆测量重力加速度的大小
原理装置图 实验步骤 注意事项
测摆长l和周期T，由 T＝2π得g＝ 1.做单摆 将细线穿过带中心孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的另一端用铁夹固定在铁架台上，让摆球自然下垂。 2.测摆长 用米尺量出摆线长l′(精确到毫米)，用游标卡尺测出小球直径D，则单摆的摆长l＝l′＋。 3.测周期 将单摆从平衡位置拉开一个角度(小于5°)，然后释放小球，记下单摆摆动30次～50次的总时间，算出一次全振动的时间，即为单摆的振动周期。 4.改变摆长，重做几次实验。 1.摆线要选1 m左右，柔软不易伸长的丝线，不要过长或过短。 2.悬线长要待悬挂好球后再测，计算摆长时要将悬线长加上摆球半径。 3.单摆要在竖直平面内摆动，不要形成圆锥摆。 4.要从平衡位置开始计时，并数准全振动的次数
数据处理 1.公式法：g＝，算出重力加速度g的值，再求出g的平均值。 2.图像法：根据测出的一系列摆长l对应的周期T，作l－T2的图像，由单摆周期公式得l＝T2，图像应是一条通过原点的直线，如图所示，求出图线的斜率k，即可利用g＝4π2k求重力加速度。
考点一　教材原型实验
例1 (2023·新课标卷，23)一学生小组做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。
(1)用实验室提供的螺旋测微器测量摆球直径，首先，调节螺旋测微器，拧动微调旋钮使测微螺杆和测砧相触时，发现固定刻度的横线与可动刻度上的零刻度线未对齐，如图1(a)所示，该示数为________mm，螺旋测微器在夹有摆球时示数如图(b)所示，该示数为________mm，则摆球的直径为________mm。
图1
(2)单摆实验的装置示意图如图(c)所示，其中角度盘需要固定在杆上的确定点O处，摆线在角度盘上所指的示数为摆角的大小。若将角度盘固定在O点上方，则摆线在角度盘上所指的示数为5°时，实际摆角________5°(填“大于”或“小于”)。
(3)某次实验所用单摆的摆线长度为81.50 cm，则摆长为________cm。实验中观测到从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点的时间间隔为54.60 s，则此单摆周期为________s，该小组测得的重力加速度大小为________m/s2。(结果均保留3位有效数字，π2取9.870)
1.(2024·广东珠海高三期末)小明学习“用单摆测量重力加速度”实验后，利用图2甲装置做了该实验。
(1)测量摆长时，先用毫米刻度尺测得摆球悬挂后的摆线长(从悬点到摆球的最上端)为L，再用游标卡尺测得摆球的直径，读数如乙图所示，则d＝________cm，若再测得单摆周期为T，则当地的重力加速度g＝________(用L、d、T表示)。
图2
(2)在安装装置时，摆线上端有三种系挂方式，下列方式哪种是正确的________(填对应序号)。
(3)在测量周期时，若从摆球运动到最低点开始计时且记数为1，到第n次经过最低点所用的时间为t，则单摆周期为T＝________(用n、t表示)。
图3
(4)假如把该装置搬到月球上进行实验，改变单摆的摆长l，多次测量单摆在不同摆长下所对应的周期T，并描绘出T2－l图像如图3所示，则可得知月球重力加速度大小为________ m/s2。
考点二　创新拓展实验
例2 (2023·重庆卷，11)某实验小组用单摆测量重力加速度。所用实验器材有摆球、长度可调的轻质摆线、刻度尺、50分度的游标卡尺、摄像装置等。
图4
(1)用游标卡尺测量摆球直径d。当量爪并拢时，游标尺和主尺的零刻度线对齐。放置摆球后游标卡尺示数如图4甲所示，则摆球的直径d为________mm。
(2)用摆线和摆球组成单摆，如图乙所示。当摆线长度l＝990.1 mm时，记录并分析单摆的振动视频，得到单摆的振动周期T＝2.00 s，由此算得重力加速度g为________m/s2(保留3位有效数字)。
(3)改变摆线长度l，记录并分析单摆的振动视频，得到相应的振动周期。他们发现，分别用l和l＋作为摆长，这两种计算方法得到的重力加速度数值的差异大小Δg随摆线长度l的变化曲线如图5所示。由图可知，该实验中，随着摆线长度l的增加，Δg的变化特点是____________________________________________
_____________________________________________________________________，
原因是_______________________________________________________________
_____________________________________________________________________。
图5
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.(2024·辽宁大连高三质检)现代智能手机自带了许多传感器，利用智能手机Phyphox软件能够采集传感器记录的数据。某同学在家根据Phyphox界面提示的原始传感器，给出了2种测量重力加速度的方案：
方案1.使用“含(g)的加速度”模块，令手机静置在桌面上20 s，直接读出重力加速度(图一)；
方案2.使用“摆”功能，该同学找到一把量程为30 cm的刻度尺，长度为100 cm左右的细线和一把铁锁，制成一个单摆，于小角度释放。输入摆长后，利用手机读取周期，手机将计算出重力加速度(图二)。
回答下列相关问题：
(1)根据方案2，可知手机计算重力加速度g的表达式为________(用g、π、T、L表示)。
(2)与方案1测得的重力加速度g相比，方案2测得的重力加速度g结果有一定的误差，产生误差的主要原因为________。
A.铁锁的重心不方便确定，所以摆长不准
B.测量摆长的刻度尺量程太小，测摆长时多次移动产生了一定的误差
C.铁锁质量过大，导致g测量误差较大
(3)方案2重力加速度g计算结果误差较大，该同学想到一个修正方案：实验时，可以在细线上的A点做一个标记，使得悬点O到A点间的细线长度小于刻度尺量程；保持该标记以下的细线长度不变，通过改变OA间细线长度以改变摆长，当OA间细线长度分别为L1、L2时，测得相应单摆的周期为T1、T2，由此可测得重力加速度g的数值，此方案计算g的表达式为______________(其中L2>L1)。
A.g＝ B.g＝
C.g＝ D.g＝
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

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