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带电粒子在立体空间的运动
考点一　带电粒子的螺旋线运动和旋进运动
空间中匀强磁场的分布是三维的，带电粒子在磁场中的运动情况可以是三维的。现在主要讨论两种情况：
(1)空间中只存在匀强磁场，当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不垂直时，带电粒子在磁场中就做螺旋线运动。这种运动可分解为平行于磁场方向的匀速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。
(2)空间中的匀强磁场和匀强电场(或重力场)平行时，带电粒子在一定的条件下就可以做旋进运动，这种运动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。
例1 某实验装置的基本原理如图1所示，平行正对放置半径均为R、间距为d的圆形金属板，M、N的圆心分别为O1、O2，位于O1处的粒子源能向两板间各个方向发射质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，不计粒子重力及相互间作用，忽略边缘效应。
图1
(1)仅在两板间加电压U，两板间产生方向沿O1O2方向的匀强电场。求粒子源发射出的粒子速度大小v0满足什么条件时能全部击中N板？
(2)仅在两板间加方向沿O1O2方向的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B，求粒子源发射出的方向与O1O2连线成θ(0<θ<90°)角的粒子速度大小v满足什么条件时能全部击中N板？
(3)若两板间同时存在方向都沿O1O2方向的匀强电场和匀强磁场，磁感应强度大小为B，粒子源发射出速度大小均为v，方向垂直于O1O2连线的粒子，全部落在半径为的圆周上(答案　(1)v0≤　(2)v≤　(3)
解析　(1)速度方向与电场强度方向垂直的粒子击中N板，则全部粒子击中N板。当速度方向与电场强度方向垂直的粒子击中N板边缘时，有R＝v0t，d＝at2
其中a＝＝
解得v0＝
所以，速度大小应满足v0≤。
(2)粒子源发射出的方向与O1O2连线成θ(0<θ<90°)角的粒子，做螺旋线运动，垂直磁感应强度方向的分速度大小为vy＝vsin θ
根据洛伦兹力提供向心力qvyB＝
若粒子全部击中N板，则r≤
解得v≤。
(3)设粒子在两板间运动时间为t，在磁场中周期为T，则应该满足t＝T(n＝0，1，2，3，…)
根据d＝at2
其中a＝
由qvB＝m、T＝得粒子做圆周运动的周期T＝
联立解得E＝。
如图2所示，质子以初速度v进入磁感应强度为B且足够大的匀强磁场中，速度方向与磁场方向的夹角为θ。已知质子的质量为m、电荷量为e。质子重力不计，则下列说法正确的是(　　)
图2
A.质子运动的轨迹为螺旋线，螺旋线的中轴线方向垂直于纸面向里
B.质子在垂直于磁场平面做圆周运动的半径为
C.质子做螺旋线运动的周期为
D.一个周期内，质子沿着螺旋线轴线方向运动的距离(即螺距)为
答案　D
解析　将质子的初速度分解为垂直于磁场方向的速度v1＝vsin θ，沿磁场方向的速度v2＝vcos θ，质子沿垂直磁场方向做匀速圆周运动，沿磁场方向做匀速直线运动，则质子运动的轨迹为螺旋线，螺旋线的中轴线方向平行磁场方向，选项A错误；质子做螺旋线运动的半径为r＝＝，选项B错误；质子做螺旋线运动的周期为T＝＝，选项C错误；一个周期内，质子沿着螺旋线轴线方向运动的距离(即螺距)为x＝v2T＝，选项D正确。
考点二　带电粒子在立体空间中的偏转
例2 某离子加速偏转实验装置部分的示意图如图3所示，z轴正方向垂直于xOy平面向外。α粒子在加速器内经电压U加速后，在S(0，L，0)点沿x轴正方向进入Ⅰ区域，该区域沿x轴方向的宽度为L，区域内存在沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小E＝。α粒子经偏转后进入Ⅱ区域，该区域沿x轴方向的宽度为3L，内部某圆形区域存在沿z轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝。α粒子经过Ⅱ区域的磁场后速度方向偏转90°，再进入Ⅲ区域，该区域存在沿x轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为2B，α粒子离开Ⅲ区域时速度方向平行于xOz平面，且与z轴负方向成45°角。已知α粒子的电荷量为2e、质量为m，不计粒子重力。求：
图3
(1)α粒子在Ⅰ区域内沿y轴方向的侧移量y1；
(2)Ⅱ区域内圆形磁场区域的最小面积Smin；
(3)Ⅲ区域沿x轴方向的可能宽度d。
答案　(1)　(2)πL2　(3)πL(n＝0，1，2，…)
解析　(1)α粒子经过加速器过程，根据动能定理可得2eU＝mv
解得v0＝
α粒子在Ⅰ区域内做类平抛运动，则有L＝v0t，y1＝at2，a＝
联立解得y1＝＝。
(2)α粒子离开Ⅰ区域时速度大小为v，与x轴正方向的夹角为θ，则有v＝，tan θ＝，vy＝at
联立解得vy＝v0，v＝v0＝，θ＝45°
α粒子进入Ⅱ区域中圆形区域的匀强磁场中，由洛伦兹力提供向心力得2evB＝m
解得r＝＝L
α粒子经过Ⅱ区域的磁场后速度方向偏转90°，如图所示
当α粒子轨迹对应弦长等于圆形磁场直径时，圆形磁场的面积最小，则有
R＝r＝L
Ⅱ区域内圆形磁场区域的最小面积为Smin＝πR2＝πL2。
(3)α粒子进入Ⅲ区域时速度方向与y轴负方向成45°角，将α粒子进入Ⅲ区域时的速度分解到＋x轴方向和－y方向，则有
vx＝v0＝
vy′＝v0＝
由于磁场方向沿x轴正方向，则α粒子沿x轴正方向以v0做匀速直线运动，同时α粒子在yOz平面内做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力可得2evy′·2B＝m
解得r2＝L
根据题意有α粒子离开Ⅲ区域时速度方向平行于xOz平面，且与z轴负方向成45°角，由于vx＝v0＝vy′
则α粒子在yOz平面内做匀速圆周运动离开时速度方向刚好沿z轴负方向，α粒子在Ⅲ区域中的运动时间为t＝(n＋)T＝(n＋)·
＝(n＝0，1，2，…)
则Ⅲ场区沿x轴方向的宽度为
d＝vxt＝v0t＝πL(n＝0，1，2，…)。
1.(2022·重庆卷，5)2021年中国全超导托卡马克核聚变实验装置创造了新的纪录。为粗略了解等离子体在托卡马克环形真空室内的运动状况，某同学将一小段真空室内的电场和磁场理想化为方向均水平向右的匀强电场和匀强磁场(如图1)，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。若某电荷量为q的正离子在此电场和磁场中运动，其速度平行于磁场方向的分量大小为v1，垂直于磁场方向的分量大小为v2，不计离子重力，则(　　)
图1
A.静电力的瞬时功率为qE
B.该离子受到的洛伦兹力大小为qv1B
C.v2与v1的比值不断变大
D.该离子的加速度大小不变
答案　D
解析　根据功率的计算公式可知P＝Fvcos θ，则静电力的瞬时功率为P＝qEv1，A错误；由于v1与磁感应强度B平行，则根据洛伦兹力的计算公式知F洛＝qv2B，B错误；根据运动的合成与分解可知，离子在垂直于磁场方向做匀速圆周运动，沿磁场方向做加速运动，则v1增大，v2不变，v2与v1的比值不断变小，C错误；离子受到的安培力不变，静电力不变，则该离子的加速度大小不变，D正确。
2.(2024·湖北武汉模拟)如图2所示，在空间直角坐标系中，yOz平面左侧存在沿z轴正方向的匀强磁场，右侧存在沿y轴正方向的匀强磁场，左、右两侧磁场的磁感应强度大小相等；yOz平面右侧还有沿y轴负方向的匀强电场。现从空间中坐标为的M点发射一质量为m，电荷量为＋q的粒子，粒子的初速度大小为v0、方向沿xOy平面，与x轴正方向的夹角为60°；经一段时间后粒子恰好垂直于y轴进入yOz平面右侧，轨迹上离yOz平面最远的点恰好落在xOz平面上，不计粒子的重力。求：
图2
(1)在yOz平面左侧匀强磁场的磁感应强度B；
(2)在yOz平面右侧匀强电场的电场强度E；
(3)粒子第2次经过yOz平面时的位置坐标。
答案　(1)　(2)　(3)(0，－3d，4d)
解析　(1)粒子在yOz平面做圆周运动的半径r1＝＝2d
根据qv0B＝m
可得左侧匀强磁场的磁感应强度B＝。
(2)粒子第一次经过y轴后在y轴负方向上做匀加速运动，同时在洛伦兹力作用下做圆周运动，因轨迹上离yOz平面最远的点恰好落在xOz平面上，可知粒子到达xOz平面上时恰好做个圆周运动，则所用时间t＝＝
竖直方向r1＝·t2
解得E＝。
(3)粒子第2次经过yOz平面时做半个圆周运动，则所用时间为t′＝2t＝
沿y轴负方向做匀加速运动，因在xOz平面上方和下方用时相等，可知位置坐标y＝－3d
沿z轴坐标z＝2r2＝2r1＝4d
即粒子第2次经过yOz平面时的位置坐标为(0，－3d，4d)。
3.(2024·山东潍坊高三联考)某离子束实验装置的基本原理如图3甲所示，在半径为R的圆柱形底面建立空间直角坐标系，坐标原点与圆柱底面圆心重合。圆柱形区域内存在沿z轴负方向、电场强度为E的匀强电场，圆柱形区域正上方存在沿x轴负方向、磁感应强度为B0的匀强磁场。如图乙所示，从离子源不断飘出电荷量为q、质量为m的正离子，经电场加速后从圆柱形边界正上方沿y轴负方向进入磁场，恰好在圆柱顶面圆心处与y轴正方向成θ角斜向下射出磁场，进入圆柱形区域内的电场中，最后落在圆柱底面上坐标为(0，R，0)的D点(图中未画出)，不计离子重力。
图3
(1)求加速装置的电压U；
(2)求圆柱形区域的高度h；
(3)在离子进入圆柱形区域时，在圆柱形区域内加一个磁感应强度大小为B0、方向沿z轴周期性变化的磁场，以z轴正方向为正方向，离子进入圆柱形区域的时刻为计时起点，磁场的变化如图丙所示。已知磁场方向变化的周期为，tan θ＝2，求该离子打在圆柱形底面的位置坐标。
答案　(1)　(2)Rtan θ＋　(3)
解析　(1)设离子进入磁场的速度为v，根据动能定理，有qU＝mv2
离子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有qvB0＝m
根据几何关系，有sin θ＝
解得v＝，U＝。
(2)离子在圆柱形区域内的电场中沿y轴正方向做匀速直线运动，沿z轴负方向做匀加速直线运动，则
沿y轴正方向有R＝vyt＝vtcos θ
沿z轴负方向有h＝vzt＋at2
其中a＝，vz＝vsin θ
解得h＝Rtan θ＋。
(3)在圆柱形区域内加磁场后，离子沿z轴负方向做与第(2)问相同的匀加速直线运动，由(2)可知离子在圆柱形区域内运动的时间t＝tan θ＝
由磁场方向变化的周期为可知，离子在圆柱形区域内运动时，磁场方向一直沿z轴负方向
在垂直电场方向，即离子的运动在圆柱底面的投影运动为匀速圆周运动，该匀速圆周运动的线速度大小vy＝vcos θ，设该匀速圆周运动的轨迹半径为r′，周期为T，则qvyB0＝m，T＝
解得r′＝＝，T＝
设离子做圆周运动转过的圆心角为α，如图所示，则t＝T
解得α＝2 rad
设该离子打在圆柱形底面的位置坐标为(x，y，0)，根据几何关系可知
x＝－r′－r′cos (π－α)＝－(1－cos 2)
y＝r′sin (π－α)＝sin 2
则坐标为。考点一　带电粒子的螺旋线运动和旋进运动
空间中匀强磁场的分布是三维的，带电粒子在磁场中的运动情况可以是三维的。现在主要讨论两种情况：
(1)空间中只存在匀强磁场，当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不垂直时，带电粒子在磁场中就做螺旋线运动。这种运动可分解为平行于磁场方向的匀速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。
(2)空间中的匀强磁场和匀强电场(或重力场)平行时，带电粒子在一定的条件下就可以做旋进运动，这种运动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。
例1 某实验装置的基本原理如图1所示，平行正对放置半径均为R、间距为d的圆形金属板，M、N的圆心分别为O1、O2，位于O1处的粒子源能向两板间各个方向发射质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，不计粒子重力及相互间作用，忽略边缘效应。
图1
(1)仅在两板间加电压U，两板间产生方向沿O1O2方向的匀强电场。求粒子源发射出的粒子速度大小v0满足什么条件时能全部击中N板？
(2)仅在两板间加方向沿O1O2方向的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B，求粒子源发射出的方向与O1O2连线成θ(0<θ<90°)角的粒子速度大小v满足什么条件时能全部击中N板？
(3)若两板间同时存在方向都沿O1O2方向的匀强电场和匀强磁场，磁感应强度大小为B，粒子源发射出速度大小均为v，方向垂直于O1O2连线的粒子，全部落在半径为的圆周上(　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
如图2所示，质子以初速度v进入磁感应强度为B且足够大的匀强磁场中，速度方向与磁场方向的夹角为θ。已知质子的质量为m、电荷量为e。质子重力不计，则下列说法正确的是(　　)
图2
A.质子运动的轨迹为螺旋线，螺旋线的中轴线方向垂直于纸面向里
B.质子在垂直于磁场平面做圆周运动的半径为
C.质子做螺旋线运动的周期为
D.一个周期内，质子沿着螺旋线轴线方向运动的距离(即螺距)为
考点二　带电粒子在立体空间中的偏转
例2 某离子加速偏转实验装置部分的示意图如图3所示，z轴正方向垂直于xOy平面向外。α粒子在加速器内经电压U加速后，在S(0，L，0)点沿x轴正方向进入Ⅰ区域，该区域沿x轴方向的宽度为L，区域内存在沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小E＝。α粒子经偏转后进入Ⅱ区域，该区域沿x轴方向的宽度为3L，内部某圆形区域存在沿z轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝。α粒子经过Ⅱ区域的磁场后速度方向偏转90°，再进入Ⅲ区域，该区域存在沿x轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为2B，α粒子离开Ⅲ区域时速度方向平行于xOz平面，且与z轴负方向成45°角。已知α粒子的电荷量为2e、质量为m，不计粒子重力。求：
图3
(1)α粒子在Ⅰ区域内沿y轴方向的侧移量y1；
(2)Ⅱ区域内圆形磁场区域的最小面积Smin；
(3)Ⅲ区域沿x轴方向的可能宽度d。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(共27张PPT)
增分微点9 带电粒子在立体空间的运动
第十章　磁　场
考点一　带电粒子的螺旋线运动和旋进运动
空间中匀强磁场的分布是三维的，带电粒子在磁场中的运动情况可以是三维的。现在主要讨论两种情况：
(1)空间中只存在匀强磁场，当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不垂直时，带电粒子在磁场中就做螺旋线运动。这种运动可分解为平行于磁场方向的匀速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。
(2)空间中的匀强磁场和匀强电场(或重力场)平行时，带电粒子在一定的条件下就可以做旋进运动，这种运动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。
图1
例1 某实验装置的基本原理如图1所示，平行正对放置半径均为R、间距为d的圆形金属板，M、N的圆心分别为O1、O2，位于O1处的粒子源能向两板间各个方向发射质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，不计粒子重力及相互间作用，忽略边缘效应。
(1)仅在两板间加电压U，两板间产生方向沿O1O2方向的匀强电场。求粒子源发射出的粒子速度大小v0满足什么条件时能全部击中N板？
(2)仅在两板间加方向沿O1O2方向的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B，求粒子源发射出的方向与O1O2连线成θ(0<θ<90°)角的粒子速度大小v满足什么条件时能全部击中N板？
解析　粒子源发射出的方向与O1O2连线成θ(0<θ<90°)角的粒子，做螺旋线运动，垂直磁感应强度方向的分速度大小为vy＝vsin θ
D
如图2所示，质子以初速度v进入磁感应强度为B且足够大的匀强磁场中，速度方向与磁场方向的夹角为θ。已知质子的质量为m、电荷量为e。质子重力不计，则下列说法正确的是(　　)
图2
考点二　带电粒子在立体空间中的偏转
(1)α粒子在Ⅰ区域内沿y轴方向的侧移量y1；
图3
(2)Ⅱ区域内圆形磁场区域的最小面积Smin；
图3
α粒子经过Ⅱ区域的磁场后速度方向偏转90°，如图所示
(3)Ⅲ区域沿x轴方向的可能宽度d。
图3
解析　α粒子进入Ⅲ区域时速度方向与y轴负方向成45°角，将α粒子进入Ⅲ区域时的速度分解到＋x轴方向和－y方向，则有
根据题意有α粒子离开Ⅲ区域时速度方向平行于xOz平面，且与z轴负方向成45°角，由于vx＝v0＝vy′
教师备选用题
D
1.(2022·重庆卷，5)2021年中国全超导托卡马克核聚变实验装置创造了新的纪录。为粗略了解等离子体在托卡马克环形真空室内的运动状况，某同学将一小段真空室内的电场和磁场理想化为方向均水平向右的匀强电场和匀强磁场(如图1)，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。若某电荷量为q的正离子在此电场和磁场中运动，其速度平行于磁场方向的分量大小为v1，垂直于磁场方向的分量大小为v2，不计离子重力，则(　　)
图1
解析　根据功率的计算公式可知P＝Fvcos θ，则静电力的瞬时功率为P＝qEv1，A错误；由于v1与磁感应强度B平行，则根据洛伦兹力的计算公式知F洛＝qv2B，B错误；根据运动的合成与分解可知，离子在垂直于磁场方向做匀速圆周运动，沿磁场方向做加速运动，则v1增大，v2不变，v2与v1的比值不断变小，C错误；离子受到的安培力不变，静电力不变，则该离子的加速度大小不变，D正确。
图2
(1)在yOz平面左侧匀强磁场的磁感应强度B；
(2)在yOz平面右侧匀强电场的电场强度E；
(3)粒子第2次经过yOz平面时的位置坐标。
沿y轴负方向做匀加速运动，因在xOz平面上方和下方用时相等，可知位置坐标y＝－3d
沿z轴坐标z＝2r2＝2r1＝4d
即粒子第2次经过yOz平面时的位置坐标为(0，－3d，4d)。
3.(2024·山东潍坊高三联考)某离子束实验装置的基本原理如图3甲所示，在半径为R的圆柱形底面建立空间直角坐标系，坐标原点与圆柱底面圆心重合。圆柱形区域内存在沿z轴负方向、电场强度为E的匀强电场，圆柱形区域正上方存在沿x轴负方向、磁感应强度为B0的匀强磁场。如图乙所示，从离子源不断飘出电荷量为q、质量为m的正离子，经电场加速后从圆柱形边界正上方
图3
(1)求加速装置的电压U；
(2)求圆柱形区域的高度h；
沿y轴负方向进入磁场，恰好在圆柱顶面圆心处与y轴正方向成θ角斜向下射出磁场，进入圆柱形区域内的电场中，最后落在圆柱底面上坐标为(0，R，0)的D点(图中未画出)，不计离子重力。
(2)离子在圆柱形区域内的电场中沿y轴正方向做匀速直线运动，沿z轴负方向做匀加速直线运动，则
解得α＝2 rad
设该离子打在圆柱形底面的位置坐标为(x，y，0)，根据几何关系可知
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