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2024年高考前一周学生复习材料整理
高中数学材料使用说明
亲爱的同学们, 为了夺取高考的胜利,高考前复习的重要辅助工具, 特给同学们以下几点建议, 帮助同 学们系统、深入理解和掌握数学概念、公式、定理和解题技巧回归教材。此份材料分为四个环节: 课标要求、思维导图、易错点提醒、典型考点。
一. 课标要求
课程标准是高考命题的基础。同学们高考前通过阅读本部分内容, 可以更清楚地了解高考每个模块的命题方向和考试重点, 明确高考对 每部分内容考查要求, 确保自己的复习方向正确、内容全面, 不留漏 点和盲点。
二. 思维导图
本部分思维导图内容将复杂的知识点进行了梳理和归纳, 使知识 系统化、条理化。高中数学知识点琐碎繁多, 逻辑性强, 思维导图能 够帮助大家将这些知识点按照逻辑关系进行组织, 形成清晰的知识框 架。快速定位到需要复习的知识点, 避免在复习时遗漏重要内容。同 时, 由于思维导图的直观性和简洁性, 大家可以在较短的时间内掌握 大量的信息, 提高复习效率。
三. 易错点提醒
易错点是我们对某个知识点理解不够深入或存在误解的地方。通 过复习易错点, 我们可以更深入地理解这些知识点, 确保真正掌握, 避免重复犯错。本部分内容能帮助我们能提前识别并熟悉易错点, 在 考试时遇到相关问题时, 我们就能更快地找到解题思路和答案, 从而 提高答题速度。
四. 典型考点
本部分内容是材料的核心部分, 是历年高考中考查的热点、 高中必须掌握的重点和难点知识, 它反映了高考命题的规律和趋势, 是我们备考的重要参考。通过有针对性地复习这些考点, 我们可以更 加明确复习方向, 避免盲目性, 从而大大提高备考效率。而且这些考 点不仅涵盖了学科知识, 还涉及到逻辑思维、问题解决能力等方面。 通过复习这些考点, 我们可以培养自己的综合素质, 以确保在高考中 取得优异的成绩。同学们要合理安排好静悟材料的使用时间, 结合自身的具体情况 制定好复习计划, 有的放矢的进行材料的充分使用。追风赶月莫停留, 平芜尽处是春山。希望同学们合理安排时间, 做好计划, 结合自身情况, 科学进行复习反思、融会贯通, 以达到最佳效果。加油, 未来的你一定会感谢现在努力的自己!祝同学们笔尖流淌自信的墨水, 书写属于你的精彩人生!
目录
材料一: 集合、常用逻辑用语、复数 . 1
材料二: 平面向量 .10
材料三: 不等式 19
材料四: 计数原理与二项式定理 . 32
材料五: 三角函数与解三角形 . 42
材料六: 数列 55
材料七: 立体几何 .70
材料八: 概率与统计 .89
材料九: 解析几何 .100
材料十: 函数与导数 .123
材料十一: 单选题解答策略 141
材料十二: 多选题解答策略 .153
材料十三: 填空题的答题技巧 163
材料十四：新定义题解答策略 . 174
静悟材料一: 集合、常用逻辑用语、复数
主编单位: 城阳第二中学
【课标要求】
1. 集合的概念与表示
(1) 通过实例, 了解集合的含义, 理解元素与集合的属于关系. (2) 针对具体问题, 能在自然语言和图形语言的基础上, 用符号语言刻画集合. (3) 在具体情境中, 了解全集与空集的含义.
2.集合的基本关系
理解集合之间包含与相等的含义, 能识别给定集合的子集.
3. 集合的基本运算
(1) 理解两个集合的并集与交集的含义, 能求两个集合的并集与交集. (2) 理解在给定集合中一个子集的补集的含义, 能求给定子集的补集. (3) 能使用 Venn 图表达集合的基本关系与基本运算, 体会图形对理解抽象概念的作用.
4. 必要条件、充分条件、充要条件
(1) 通过对典型数学命题的梳理, 理解必要条件的意义, 理解性质定理与必要条件的关系. (2) 通过对典型数学命题的梳理, 理解充分条件的意义, 理解判定定理与充分条件的关系. (3) 通过对典型数学命题的梳理, 理解充要条件的意义, 理解数学定义与充要条件的关系.
5. 全称量词与存在量词
通过已知的数学实例, 理解全称量词与存在量词的意义。
6. 全称量词命题与存在量词命题的否定
(1) 能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.
(2) 能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.
7. 复数的概念
(1) 通过方程的解, 认识复数。(2) 理解复数的代数表示及其几何意义, 理解两个复数相等的含义.
8. 复数的运算
掌握复数代数表示式的四则运算, 了解复数加、减运算的几何意义.
【思维导图】
【易错点提醒】
1. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
【错解】忽略 的定义域限制,漏掉 ,错选 A 项.
【正解】由 ,得 ,故 ,
由 得 ,得 ,故 ,所以 ,故选 C.
2. 若集合 ,则
A. B. C. D.
【错解】集合 未看到整数的要求,错选 C 项.
【正解】由题意,得 ,
因为 ,即 ,解得 或
则 ,所以 ,故选 D.
3. 设集合 ,则
A. B. C. D.
【错解】看错交、并符号, 误选 C 项.
【正解】由 ,可知, ,故选 D.
4. 设集合 . 若 ,则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
【错解】端点的取舍易出现错误, 导致错选 C 项.
【正解】因为 且 ,
所以 ,即实数 的取值范围是 ,故选: D.5. 已知集合 ,则
C. D.
【错解】集合 中误将 当成元素,错选 C 项.
【正解】集合 或 ,
,所以 ,故选: D.
6. 命题 “ ” 的否定是 ( )
A. B. C. D.
【错解】误将前后都否定,错选 D. .
【正解】命题 “ ” 的否定是 “ ”. 故选: C.
7. 复数 (i 为虚数单位),则 在复平面内对应的点在 ( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【错解】误将 看成 ,错选 A 项.
【正解】由 得: ,
,所以复数 在复平面内对应的点为 ,位于第四象限,故选: D.
8. 欧拉公式 把自然对数的底数 ,虚数单位 三角函数 和 联系
在一起,被誉为 “数学的天桥”. 若复数 满足 ,则
A. B. C. D.
【错解】读不懂新概念或看不懂新情境, 导致无从下手.
【正解】由欧拉公式得 ,因此 化为 ,
则 ,即 ,
所以 ,故选:
【典型考点】
1.集合间的基本关系
(1)【&2023 新高考 II 卷】设集合 ,若 ,则
A. 2 B. 1 C. D. -1
【答案】
解: 若 ,此时 ,不满足题意;
若 ,此时 ,满足题意.
若 ,此时 ,不满足题意.
若 ,此时 ,不满足题意.
(2)【&2021 全国乙卷】已知集合 ,则
A. B. C. D.
【答案】
解: 因为当 时,集合 中任意元素
所以 ,于是 .
2.集合的基本运算
(1) 【&2023 新高考 I 卷】已知集合 ,则
A. B. C. D.
【答案】
解: ,所以 .(2) 【&2022 新高考 I 卷】若集合 ,则
A. B. C. D.
【答案】
解: 因为 ,故 .
3.常用逻辑用语
甲: 为等差数列,设数列 的首项 ,公差为 . 即 ,乙: 为等差数列. 则 ( )
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】
解: 方法 1:
为等差数列,设其首项为 ,公差为 ,则 故 为等差数列,则甲是乙的充分条件,，
反之, 为等差数列,即 为常数,设为
即 ,故 故
两式相减有: ,对 也成立,故 为 等差数列,
则甲是乙的必要条件,
故甲是乙的充要条件,故选 .
方法 2:
因为甲: 为等差数列,设数列 的首项 ,公差为 . 即 ,
则 ,故 为等差数列,即甲是乙的充分条件.
反之,乙: 为等差数列. 即 .
即 .
当 时, .
上两式相减得: ,
所以 . 当 时,上式成立.
又 为常数. 所以 为等差数列.
则甲是乙的必要条件, 故甲是乙的充要条件.
(2)【2023 全国甲卷】“ ” 是 “ ” 的
A. 充分条件但不是必要条件 B. 必要条件但不是充分条件
C. 充要条件 D. 既不是充分条件也不是必要条件
【答案】
解: 当 时,例如 ,但 ,
即 推不出 ;
当 时, ,
综上可知, 是 成立的必要不充分条件.
(3)【2023 天津】“ ” 是 “ ” 的 ( 2 )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】
解: ,即 ,解得 或 ,
,即 ,解得 ,
故 “ ” 不能推出 “ ”,充分性不成立,
“ ” 能推出 “ ” ,必要性成立,
故 “ ” 是 “ ” 的必要不充分条件.
4. 复数的概念及几何意义
(1)【2023 新高考 II 卷】在复平面内, 对应的点位于 ( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】
解: ,对应点的坐标为 ,位于第一象限.
(2)【2023 全国甲卷】若复数 ,则实数
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
【答案】
解: 由题知 ,
,则 .
(3) 【2022 全国乙卷】已知 ,且 ,其中 为实数,则 )
A. B.
C. D.
【答案】
解: 由题设, ,代入有 ,
故 .
5. 复数的四则运算
(1)【2023 新高考【卷】已知 ,则
A. B. C. 0 D. 1
【答案】
解: ,所以 .
(2)【2023 全国乙卷】设 ,则
A. B. C. D.
【答案】
解: 因为 ,所以 .
(3)【2022 新高考II卷】
A. B. C. D.
【答案】
【分析】本题考查复数的四则运算, 为基础题.
【解答】
解: .
材料二: 平面向量
【课标要求】
1.内容要求:
(1) 了解平面向量的线性运算性质及其几何意义
(2) 理解平面向量数量积的概念及其物理意义, 会计算平面向量的数量积, 会用数量积判断两 个平面向量的垂直关系
(3) 能用坐标表示平面向量的数量积, 会表示两个平面向量的夹角
(4) 通过几何直观, 了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义
(5) 会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题, 体会向量在解决 数学和实际问题中的作用
2. 学业要求:
(1) 能够从多种角度理解向量概念和运算法则, 掌握向量基本定理
(2) 能够运用向量运算解决简单的几何和物理问题, 知道数学运算与逻辑 推理的关系
【思维导图】
【易错点提醒】
1. 向量夹角定义不明致误
例 1 已知等边 的边长为 1,则
错解 为等边三角形, ,向量 间的夹角均为 . .
错因分析 数量积的定义 ,这里 是 与 的夹角,本题中 与 夹角不 是 . 两向量的夹角应为平面上同一起点表示向量的两条有向线段间的夹角,如图 与 的夹角应是 .
正解 如图 与 的夹角应是 的补角 ,
即 . 又 ,
所以 .
同理得 .
故 .
2. 忽视向量共线致误
例 2 已知 与 的夹角为 . 若 为锐角,则 的取值范围是
错解: . 因 为锐角,有 ,
,得 的取值范围是 .
错因分析: 当向量 同向时, 满足 ,但不是锐角.
正解 为锐角, .
又 且 ,
,解得
的取值范围是 且 .
3. 错误使用向量 的等价条件
例&3. 已知 ,则实数
错解: ,若 ,则
.
错因分析: 错误的运用向量平行的等价条件,对于
,而本题错误的运用 ,此时容易忽略 0 这个解.
正解: ,则 ,若 ,则
,所以 或 .
4.混淆向量点乘运算和实数乘法运算
例&4. 已知 ,且向量 与向量 的夹角为 ,则
错解:
错因分析: 混淆了 和实数 相乘的运算法则.
正解: ,
【典型考点】
1. 向量线性运算
例 1. 如图所示,在 中, 是 上的一点,若 ,则实数 的值为
解析: 设 ,则 .
与 共线, .
方法总结: 向量线性运算的基本原则和求解策略
(1) 基本原则: 向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算. 向量的线性运算的结 果仍是一个向量. 因此, 对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向 两个方面.
(2) 求解策略:
(1)向量是一个有 “形” 的几何量, 因此在进行向量线性运算时, 一定要结合图形, 这是 研究平面向量的重要方法与技巧.
(2)字符表示下线性运算的常用技巧:
首尾相接用加法的三角形法则,如 共起点两个向量作差用减法的几何意 义,如 .
2. 平面向量数量积的运算
例 2 (1) 已知点 ,则向量 在 方向上的投影为
A. B. C. D.
(2) 如图,在梯形 中, . 若 3,则
(1) A (2)
解析: (1) ,向量 在 上的投影为 .
(2) 因为 ,所以 .
方法总结: 向量数量积的求解策略
(1) 利用数量积的定义、运算律求解., 在数量积运算律中, 有两个形似实数的完全平方 公式在解题中的应用较为广泛,即 ,上述 两公式以及 这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接 应用.(2) 借助零向量.
即借助 “围成一个封闭图形且首尾相接的向量的和为零向量”, 再合理地进行向量的 移项以及平方等变形, 求解数量积.
(3) 借助平行向量与垂直向量., 即借助向量的拆分, 将待求的数量积转化为有垂直向量 关系或平行向量关系的向量数量积,借助 ,则 等解决问题.
(4) 建立坐标系, 利用坐标运算求解数量积.
3.平面向量的坐标运算
例 3 (1) (2018 - 北京高考) 设向量 ,若 ,则
(2) 设 .
(1)若 ,求 的值;
(2)若 ,且 ,求 的值.
思路分析: (1) 用坐标表示出 ,再利用垂直关系列出方程求解. (2) 将向量坐标表示后 列方程或方程组求解.
解析: (1) -1
由 得: ,即 .
(2) (1)因为 ,所以 .
又 ,所以 ,即 ,
所以 . 所以 .
(2)因为 .
因为 ,
所以 ,
即 解得 或 ,
所以 或 .
方法总结: 向量的坐标运算:
若 ,
则: (1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) ;(5) ,或 ;
(6) ;
(7)
(8)若 为 与 的夹角,则
4.平面向量的平行与垂直问题
例 4 (1) 已知向量 ,若 ,则
A. -4 B. C. D.
(2) 设 为平面内的四点,且 .
(1)若 ,求 点的坐标.
(2)设向量 ,若 与 平行,求实数 的值.
解析: (1) 因为 ,且 ,
所以 ,
解得 .
(2) [解] (1,1)设 . 因为 ,所以 , 化为 ,
所以 解得 所以 .
(2)因为 ,
所以 .
因为 与 平行,所以 ,解得 . 方法总结:
1. 证明共线问题常用的方法
(1) 向量 共线 存在唯一实数 ,使 .
(2) 向量 共线 .
(3) 向量 与 共线 .
(4) 向量 与 共线 存在不全为零的实数 ,使 .
2. 证明平面向量垂直问题的常用方法
,其中 .
5.平面向量的模、夹角问题
例 5 已知向量 ,且 与 的夹角为 .
(1) 求证 ;
(2) 若 ,求 的值;
(3) 若 ,求 的值;
(4) 若 与 的夹角为 ,求 的值.
思路分析: 利用两向量垂直则数量积为零, 关于向量模的问题, 先对其平方, 以及合理使用 夹角公式.
[解析]: (1) 证明: 因为 与 的夹角为 ,
所以 ,所以 .
(2) 由 得 ,即 .
因为 ,所以 ,
所以 ,即 . 所以 或 .
(3) 由 知 ,即 ,即 .
因为 ,所以 ,
所以 . 所以 .
(4) 由前面解答知 .
而 ,
所以 .
.
因为 ,由 得 ,
化简得 ,所以 或 .
经检验知 不成立,故 .
方法总结:
1. 解决向量模的问题常用的策略
(1) 应用公式: (其中 ).
(2) 应用三角形或平行四边形法则.(3) 应用向量不等式 .
(4) 研究模的平方 .
2. 求向量的夹角
设非零向量 ,两向量夹角 的余弦
6.平面向量在平面几何和物理中的应用
例 6 (1) 用两条成 角的等长的绳子悬挂一个物体,如图所示,已知物体的重力大小为 ,则每根绳子的拉力大小是
(2) 如图所示,在正方形 中, 为对角线 上任一点, ,垂足分 别为 ,连接 ,求证: .
解析: (1) 因绳子等长,所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都相等,且等于 , 故每根绳子的拉力大小都是 .
(2) 证明: 法一: (基向量法) 设正方形 的边长为 ,则
,即 .
法二: (坐标法) 设正方形边长为 1,建立如图所示的平面直角坐标系,设 ,则 , ,所以 ,
由 ,所以 ,即 .
方法总结: 平面向量两个方面的应用
(1) 平面几何应用
向量 几何问题
共线向量 点共线问题、直线与直线平行
数乘向量 求线段长度之比
数量积 线段的长度、直线与直线的夹角
(2) 物理应用: 速度、位移、力、功.
材料三: 不等式
【课标要求】
1. 相等关系与不等关系
相等关系与不等关系是数学中最基本的数量关系, 是构建方程、不等式的基础. 内容包括: 等式与不等式的性质、基本不等式.
(1) 等式与不等式的性质: 梳理等式的性质, 理解不等式的概念, 掌握不等式的性质.
(2) 基本不等式: 掌握基本不等式 . 结合具体实例,能用基本不等 式解决简单的最大值或最小值问题.
2. 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式
用函数理解方程和不等式是数学的基本思想方法. 内容包括: 从函数观点看一元二次方程、从 函数观点看一元二次不等式.
(1) 从函数观点看一元二次方程: 会结合一元二次函数的图象, 判断一元二次方程实根的存 在性及实根的个数, 了解函数的零点与方程与方程根的关系.
(2) 从函数观点看一元二次不等式: 经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程, 了解 一元二次不等式的现实意义. 能借助一元二次函数求解一元二次不等式, 并能用集合表示一 元二次不等式的解集. 借助一元二次函数的图象, 了解一元二次不等式与相应函数、方程的 联系.
学业要求: 能够从函数观点认识方程和不等式, 感悟数学知识之间的关联, 认识函数的重要 性. 掌握等式与不等式的性质.
【思维导图】
叫做几何平均数 (等比中项) : 叫做算术平均数 (等差中项) 内容 成立条件 腾 当且仅当a=b时，等号成立 (当且仅当 时，等号成立) 基本不等式 积定和最小若 ( 是定值),则 (当且仅当 时等号成立) 求最值若 ，则 (当且仅当 时等号成立) 和定积最大 应用合理拆凑 子主题 证明不等式 多次应用 子主题
【易错点提醒】
1. 误用不等式性质
已知 为实数,则 是 的 ()
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【错解】
【错因分析】误用 的不等式性质,没有弄清谁是条件,谁是结论.
【正解】
【纠错笔记】 是 的充分条件 的充分条件是 .
2. 忽略限制条件
若 ,则 的取值范围是
【错解】因为 ,两边取倒数得 ,所以 .
【错因分析】忽略 的情况
【正解】当 时 ,当 时 两边取倒数得 ,所以
,所以 的取值范围是
【纠错笔记】若 ,则 时才能得到 .
3. 同向相乘出错
若 ,求 的取值范围.
【错解】
【错因分析】利用不等式同向相乘, 忽略不等式两边为正.的前提条件
【正解】当 时得 ,当 时 ,当 时 ,所以 ,综上可得 的取值范围是 .
【纠错笔记】若 ,则 充分条件包含充要条件与充分不必要条件.
4. 利用同向相加求范围出错
设 ,若 ,则 的取值范围是
【错解】由已知得 (1), (2),(1) + (2)得 ,又由(1)可得 ,(3)
(2) + (3)得 ,又 ,
的取值范围是 .
【错因分析】范围扩大.
【正解】由 得
又 ,故 .
【纠错笔记】在求式子的范围时, 如果多次使用不等式的可加性, 式子中的等号不能同时取到, 会导致范围扩大.
5. 解分式不等式忽略分母不为零
解不等式 .
【错解】 或 .
【错因分析】忽略 .
【正解】
且 或 ,
所以 的解集为
【纠错笔记】
6. 连续使用基本不等式忽略等号能否同时成立
已知 且 ,则 的最小值是
【错解】
,
的最小值为 .【错因分析】 取等号的条件是 ，
即 取等号的条件是 与 矛盾.
【正解】 ,当且仅当 时取等号 当 时, .
【纠错笔记】多次使用基本不等式要验证等号成立的条件.
7. 使用基本不等式求和的最值忽略各项为正
函数 的值域为
【错解】
所以 的值域为 .
【错因分析】忽略 时
【正解】
当 时 ,当 时 ,所以 的值域为 . 【纠错笔记】利用基本不等式求最值时要注意条件: 一正二定三相等.
8. 解含有参数的不等式分类不当致误
解关于 的不等式 .
【错解】原不等式化为 .
当 时,不等式的解集为
当 时,不等式的解集为 .
【错因分析】解本题容易出现的错误是: (1)认定这个不等式就是一元二次不等式, 忽视了对 时的讨论; (2)在不等式两端约掉系数 时,若 ,忘记改变不等号的方向; (3)忽视 了对根的大小的讨论, 特别是等根的讨论; (4)分类讨论后, 最后对结论不进行整合.
【正解】当 时,不等式的解集为 .当 时,不等式化为
当 时,原不等式等价于 ,不等式的解集为 ;
当 时, ,不等式的解集为 ;
当 时, ,不等式的解集为 ;
当 时,不等式的解集为 .
综上所述,当 时,不等式的解集为 ;
当 时,不等式的解集为 ;
当 时,不等式的解集为 ;
当 时,不等式的解集为 ; 当 时,不等式的解集为 .
【纠错笔记】解形如 的不等式,应对系数 分 进行讨论, 还要讨论各根的大小, 最后根据不同情况分别写出不等式的解集.
【典型考点】
1. 比较大小
(2022 年全国甲,第 12 题) 已知 ,则
A. B. C. D.
思路分析: (1) 求 ,借助指对互化,解方程求得 ,并明确取值范围
(2) 比较 与 的大小,观察 与 的结构特点,借助换底公式将两
者的结构统一, 借助基本不等式进行放缩
思路探求
(3) 比较 与 的大小,同上面的思路
(4) 构造函数, 研究其单调性详细答案: A
方法一: 由 可得 ,
而 ,
所以 ,即 ,所以 .
又 ,
所以 ,即 ,所以 .
综上, ,故选 A.
方法二: 由 可得 ,由于 ,构造函 数 ,则 ,所 以 在 内单调递增,即 ,所以 .
又 ,所以 ,故选 A.
方法总结: 比较大小的常用方法有单调性法、中间量法、作差作商法、构造函数法、图象法. 本题的关键是指对互化后, 利用放缩法比较大小, 或构造函数后用其单调性比较大小. 本题 在解决过程中借助指对互化、基本不等式等知识进行条件分析, 应用指对运算技能完成数式 的化简, 应用演绎推理的技能完成基本不等式的放缩, 运算放缩法、构造函数法将问题进行 有效转化.
2. 不等式性质
(多选) (2020 年新高考 I 卷,第 11 题) 已知 且 ,则 ( )
A. B. C. D.
思路分析:
思路探求
2. 减少变量的个数, 转化为二次函数进行范围的求解详细答案: ABD
对于 ,
当且仅当 时,等号成立,故 A 正确;
对于 ,所以 ,故 正确;
对于 ,当且仅当 时,
等号成立, 故 C 不正确;
对于 ,因为 ,所以 ,当且仅当
时,等号成立,故 D 正确; 故选: ABD
方法总结: 本题主要考查不等式的性质, 综合了基本不等式、指数函数及对数函数的单调性, 根据 ,结合基本不等式及二次函数知识进行求解.
3. 基本不等式
(多选) (2022 年新高考 II 卷,12 题) 对任意 ,则 ( )
A. B. C. D.
思路分析: 1. 等式放缩: ,求范围可以借 助不等式, 利用基本不等式对已知等式放缩
思路探求 2. 三角换元: ,借助平方关系进 行三角换元 详细答案:
方法一: 因为 ,由
可得 ,令 解得 ,当且仅当 时, ,当且仅当 时, ,所以 错误, 正确.
由 可变形为 ,解得 ,当且仅当 时,等号成立,所以 成立.
由 ,解得 ,当且仅当
或 时,取等号,故 D 错误. 故选 BC.
方法二: 因为 变形可得 ,
可设 ,
因此 ,
当且仅当 时, ,当且仅当 时, ,所以 B 正确,A 错误. 所以 正确, 错误. 故选 . 方法总结: 基本不等式求最值常用方法有直接法、换元法、 “ 1 ” 的代换、配凑法、分离常数 法等. 本题在解决过程中利用基本不等式和三角恒等变换等知识进行条件分析, 运用放缩法 等将等式问题转化为不等式问题,运用三角换元法将目标表示成关于 的三角函数,应用推 理的技能将目标进行分析和求解.
4. 不等式中的恒成立问题
(2020 年浙江高考,第 9 题) 已知 且 ,若 在 上恒成立, 则 ( )
A. B. C. D. 直线 的距离的最小值为 4 .
方法二: 当直线 平移到与曲线 相切的位置时,切点 到直线 的 距离即为点 到直线 的距离的最小值,此时,直线 与曲线 在 点 处的切线平行.
设点 ,又 ,所以当 时, ,又直线 与 曲线 在点 处的切线平行,所以 ,解得 ,所以 ,因此切点 ,则切点 到直线 的距离
,故点 到直线 的距离的最小值是 4 .
方法总结: 在最值问题的求解中, 基本不等式是常用方法之一. 在使用基本不等式时, 要注 意 “一正、二定、三相等” 的使用条件.
【易错点梳理】
易错点 1 、混淆二项式系数与项的系数致错
1. 的展开式中 的系数为 ( )
A. B. C. D. 80
【错解】A,由题可得
令 ,则 ,所以 的展开式中 的系数为 ,故选 A.
【错因】错把二项式系数当成项的系数.
【正解】 ,由题可得
令 ,则 ,所以 ,故选 C.
易错点 2 、忽略二项展开式的通项是第 项不是第 项致错
2、二项式 的展开式的第二项是 ( )
A. B. C. D.
【错解】展开式的通项为 ,令 可得展开式的第二项为 故选 A. 【错因】误认为第二项是 而错误.
【正解】展开式的通项为 ,令 ,可得展开式的第二项为 . 故选 D.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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