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2021年普通高等学校招生全国统一考试
上海 数学试卷
（考试时间120分钟，满分150分）
2021．6
一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）
1.已知， ．
2.已知，则________．
3.若，则圆心坐标为________．
4.如图，正方形的边长为3，求________．
5.已知，则________．
6.若代数式的展开式中，的系数为，则________．
7.已知，，则的最大值为___________．
8.已知等比数列，的各项和为，则数列的各项和为________．
9.在圆柱中，底面圆半径为，高为，上底面圆的直径为,是底面圆弧上的一个动点，绕着底面圆周转，则的面积的范围________．
10.已知花博会有四个不同场馆，甲、乙两人每人选个去参观，问两人他们恰有一个馆相同的概率为________．
11.已知抛物线： ，焦点为，若在抛物线上且在第一象限，，求直线的斜率为________．
12.已知，对任意的，或中有且仅有一个成立，且，则的最小值为________．
二、选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分）
13.下列函数中，既是奇函数且在定义域内是减函数的是（ ）
14.已知参数方程，则下列曲线方程符合该方程的是（ ）
15.已知，对于任意的，都存在，使得成立，则下列选项可行的是（ ）
16.已知两两不同的满足，且
，若，则下列不等式中恒成立的是（ ）
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）【解答下列各题必须写出必要的步骤】
17.如图，在长方体中，
（1）若是上一点，求三棱锥的体积；
（2）求直线与平面的夹角大小.（结果用反三角函数值表示）
18.在中，内角所对边分别为，已知，
（1）若，求的面积；
（2）若，求的周长.
19.“十四五”期间，上海市将全力推进“五个新城建设”，更好服务长三角一体化发展国家战略.已知某建设投资企业年第一季度（一年共4个季度）的营业额为亿元，预计以后每个季度的营业额比前一个季度增加亿元，已知该企业年第一季度的毛利润为亿元，预计以后每个季度的毛利润比前一季度增长.
（1）求该企业自年起的前个季度的总营业额；
（2）请问该企业自年起哪一年哪一季度利润首次超过该季度营业额的？
20.已知椭圆，是其左右交点，直线过点交于两点，且在线段上，且都在轴上方
（1）若为椭圆的上顶点，且，求的值；
（2）若，且原点到直线的距离为，求直线的方程；
（3）对任意点，是否存在唯一直线，使得成立？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由.
21.已知函数的定义域为，若对任意的，满足时总有成立，则称函数是关联.
（1）判断函数是否在关联？是关联嘛？若是，请证明；若不是，请说明吗理由；
（2）若函数是关关联，当在时，，求解不等式组：；
（3）证明：是关联的，且是在关联的，当且仅当“在是关联”
2021年普通高等学校招生全国统一考试
上海 数学试卷
（考试时间120分钟，满分150分）
2021．6
一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）
1.已知， ．
【答案】
由题易得，
2.已知，则________．
【答案】
由已知得，
3.若，则圆心坐标为________．
【答案】
圆的方程为：
所以圆心坐标为
4.如图，正方形的边长为3，求________．
【答案】
由已知得，
5.已知，则________．
【答案】
令，解得
所以
6.若代数式的展开式中，的系数为，则________．
【答案】
通项公式为：
因为的系数为，所以令，即
所有，解得
7.已知，，则的最大值为___________．
【答案】
画出可行域易得最优解为
所以的最大值为
8.已知等比数列，的各项和为，则数列的各项和为________．
【答案】
因为的各项和为，
所以，解得，所以
即数列的各项和为
9.在圆柱中，底面圆半径为，高为，上底面圆的直径为,是底面圆弧上的一个动点，绕着底面圆周转，则的面积的范围________．
【答案】
当点在点影时，面积最小；
当点在底面圆弧的中点时，面积最大，
由于变化的连续性及任意性，因此面积的取值范围为
10.已知花博会有四个不同场馆，甲、乙两人每人选个去参观，问两人他们恰有一个馆相同的概率为________．
【答案】
【法一：直接法】甲、乙各选个去参观：种，
其中两人恰有一个馆相同：种，
所以
【法二：间接法】总共情况为：种；都不相同的情况为：种；
两个馆相同的情况为种；
所以
11.已知抛物线： ，焦点为，若在抛物线上且在第一象限，，求直线的斜率为________．
【答案】
【法一】由已知得，，
由弦长公式得：
因为在抛物线上且在第一象限
即，
【法二】如图，根据抛物线定义：在中，
所以
12.已知，对任意的，或中有且仅有一个成立，且，则的最小值为________．
【答案】
【法一】①
此时最小值为
②，
此时最小值为
则的最小值为
【法二】因为有且仅有一个成立，
所以数列中的项两两一组互相关联
①，
，
当时，最小
②
，
当时，最小，则的最小值为
二、选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分）
13.下列函数中，既是奇函数且在定义域内是减函数的是（ ）
【答案】
由题易知，只有既是奇函数又是偶函数，故选
14.已知参数方程，则下列曲线方程符合该方程的是（ ）
【答案】
令，
易得函数恒过定点，结合选项易得
15.已知，对于任意的，都存在，使得成立，则下列选项可行的是（ ）
【答案】
【法一】因为，所以，
即
令，则，即
即的区间长度为，故选
【法二】将选项代入，按计算器易得
16.已知两两不同的满足，且
，若，则下列不等式中恒成立的是（ ）
【法一】设，，类似定义
，，则已知条件可以按以下方式写出：
，，，
剩下的选项找反例即可，故选.
【法二】设，，类似定义，，则已知条件可以按以下方式写出：，
，。
令，对分三种不同情况依次讨论
，排除；
，排除；
，排除；故选
【法三：群友清序老师提供】不妨设，
所以化为，
设，又因为，所以.
由图可知，
易知恒成立，
【法四：群友欧阳老师提供】设，，
类似定义，，，，
那么条件就可以写为，我们有不等式
由于，开方得到
所以恒成立，恒错误，选
选项是选项是，
实际上我们取
就，同时排除了.事实上选项中的大于或小于或等于都是会发生的.
【法五：特殊值法】取即可
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）【解答下列各题必须写出必要的步骤】
17.如图，在长方体中，
（1）若是上一点，求三棱锥的体积；
（2）求直线与平面的夹角大小.（结果用反三角函数值表示）
（1）因为点是上一点，且平面平面，
所以长方体的高，即为三棱柱的高，
又由于底面是直角三角形，所以底面面积为，
所以
（2）以为建立空间直角坐标系易得，
所以
设平面的法向量，则
令，则，设与平面所成角为,
则
所以与平面的夹角大小.
18.在中，内角所对边分别为，已知，
（1）若，求的面积；
（2）若，求的周长.
（1）由已知得，
（2）
所以
因为，所以
19.“十四五”期间，上海市将全力推进“五个新城建设”，更好服务长三角一体化发展国家战略.已知某建设投资企业年第一季度（一年共4个季度）的营业额为亿元，预计以后每个季度的营业额比前一个季度增加亿元，已知该企业年第一季度的毛利润为亿元，预计以后每个季度的毛利润比前一季度增长.
（1）求该企业自年起的前个季度的总营业额；
（2）请问该企业自年起哪一年哪一季度利润首次超过该季度营业额的？
（1）设为第季度的营业额，为利润，
由题意得，的首项为亿元，公差为亿元
所以2021到2025年，20季度营业收入总额为：（亿元）
（2）由已知得，
由已知的， 的首项为亿元，公比为
即
所以，利用计算器991可得，
所以2027年第二季度该公司的利润首次超过该季度营业收入的
20.已知椭圆，是其左右交点，直线过点交于两点，且在线段上，且都在轴上方
（1）若为椭圆的上顶点，且，求的值；
（2）若，且原点到直线的距离为，求直线的方程；
（3）对任意点，是否存在唯一直线，使得成立？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由.
（1）因为是上顶点，则，则，故
（2）
，得
设，则，解得
（3）设，直线
若，则，
联立直线与椭圆得
即
所以
代入，
所以，
，即证
即对于任意，使得的直线有且仅有一条
21.已知函数的定义域为，若对任意的，满足时总有成立，则称函数是关联.
（1）判断函数是否在关联？是关联嘛？若是，请证明；若不是，请说明吗理由；
（2）若函数是关关联，当在时，，求解不等式组：；
（3）证明：是关联的，且是在关联的，当且仅当“在是关联”
【法一】（1）是，不是
（2）是以3为周期的函数，
然后就是要在里面，可以看出只有两个周期中可以找到解。
答案是
（3）充分性：
，且递增，所以对于
成立。
必要性：，，
可以得到
故对，我们对用关联的条件得到
于是.对于正整数，
则有.也成立。
【法二】（1）①设，且为，
且满足，
故是关联的.
②设，，故
不是关联的.
（2）因为是关联的，所以当任意的时，，
又时，，
函数图像如下图：
易知，，∴原不等式的解为即为.
（3）证明：是关联，可知对任意的有，
是关联，可知对任意的有，为不减函数；
可以设，
当时，，
当时，，
因为当确定时，是关于的不减函数，
所以，
有是关联.
②当是关联，有，
∴，
当，时，
假设，有.
，
又∵，矛盾.
故只有，易得.
利用，得是关联，
依次可得，，
即当，有，
当在时，，.

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