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第七章 万有引力与宇宙航行——高一物理人教版（2019）必修第二册期末复习知识大盘点
第一部分：学习目标整合
重点 ①开普勒三定律
②万有引力定律及其应用
③第一宇宙速度
难点 ①天体运行时各物理量与运动半径的关系
②对三个宇宙速度的理解
③人造卫星的变轨
④双星问题
第二部分：经典习题变式
1.某科学卫星在赤道平面内自西向东绕地球做匀速圆周运动，对该卫星监测发现，该卫星离我国北斗三号系统中的某颗地球同步卫星的最远距离是最近距离的3倍。已知地球同步卫星绕地球运动一周的时间是24 h。则下列判断正确的是( )
A.发射该科学卫星的速度大于发射地球同步卫星的速度
B.科学卫星在轨运行周期为8 h
C.科学卫星在轨运行线速度是地球同步卫星在轨运行线速度的倍
D.科学卫星和地球同步卫星与地心连线在相同时间内扫过的面积相等
2.地球的公转轨道接近圆，天文学中计量天体之间距离时常将地球和太阳的平均距离记为一天文单位，以1AU表示，彗星的运动轨道是一个非常扁的椭圆。天文学家哈雷曾经跟踪过一颗彗星，并预言这颗彗星将每隔一定时间就会再次出现。1948年观察到它离地球最远，1986年离地球最近，则彗星近日点和远日点之间的距离最接近于( )
A.10AU B.20AU C.40AU D.80AU
3.如图，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，下列说法正确的是( )
A.甲、乙的向心加速度大小相等
B.甲乙的运行周期相同
C.甲乙的轨道半径的三次方与运行周期的平方之比相等
D.甲的线速度比乙的小
4.火星绕太阳运转可看成是匀速圆周运动，设火星运动轨道的半径为r，火星绕太阳一周的时间为T，万有引力常量为G，则下列说法正确的是( )
A.火星的质量 B.火星的向心加速度
C.太阳的平均密度 D.太阳的质量
5.中国在西昌卫星发射中心成功发射“亚太九号”通信卫星，该卫星运行轨道示意图如图所示，卫星先沿椭圆轨道1运行，近地点为Q，远地点为P。当卫星经过P点时点火加速，使卫星由椭圆轨道1转移到地球同步轨道2上运行，下列说法正确的是( )
A.卫星在轨道1和轨道2上运动时的机械能相等
B.卫星在轨道1上运行经过P点的速度大于经过Q点的速度
C.卫星在轨道2上时处于超重状态
D.卫星在轨道1上运行经过P点的加速度等于在轨道2上运行经过P点的加速度
6.甲、乙、丙是三个完全相同的时钟，甲放在地球上，乙、丙分别放在两个高速运动的火箭上，分别以速度和朝同一方向远离地球飞行，且.在地面上的观察者看来( )
A.甲时钟走得最慢 B.乙时钟走得最慢
C.丙时钟走得最慢 D.甲、乙、丙时钟快慢一样
7.500米口径的中国天眼（FAST）是世界上已建成的最大的射电望远镜，可监测脉冲星，探测引力波的存在.而引力波是实验验证爱因斯坦相对论的最后一块“拼图”.关于牛顿力学、相对论和量子力学，下列说法正确的是( )
A.牛顿力学适用于研究宏观物体的低速运动
B.由于相对论的提出，牛顿力学已经失去了它的应用价值
C.高速运动的μ子寿命变长这一现象，既能用相对论时空观解释，又能用经典理论解释
D.不论是宏观物体，还是微观粒子，牛顿力学和量子力学都是适用的
答案以及解析
1.答案：C
解析：A.卫星运行轨道越高，需要的发射速度越大，错误。
B.设科学卫星的轨道半径为，地球同步卫星的轨道半径为，根据题意有，解得，根据开普勒第三定律有，又，则，错误。
C.由得到，又，因此科学卫星在轨运行线速度是地球同步卫星在轨运行线速倍，正确。
D.卫星与地心连线单位时间内扫过的面积，由于两卫星轨道半径不同，因此与地心连线在相同时间内扫过的面积不等，错误。
2.答案：C
解析：1948年观察到它离地球最远，1986年离地球最近，所以它的周期为
根据开普勒第三定律
解得
故选C。
3.答案：D
解析：A、根据牛顿第二定律可得加速度大小为，所以甲的向心加速度大小小于乙，故A错误;
B、根据，可知，则甲运行的周期大于乙运行的周期，故B错误;
C、根据开普勒第三定律可知，开普勒第三定律适用于绕同一天体运动的卫星，不同的中心天体K值不同，所以甲、乙的轨道半径的三次方与运行周期的平方之比不相等，故C错误;
D、根据可知，甲的线速度比乙的小，故D正确。
故选:D。
4.答案：B
解析：ACD.由题知火星绕太阳做匀速圆周运动则有
解得
其中，
联立解得，故ACD错误；
B.火星绕太阳做匀速圆周运动，则火星的向心加速度故B正确。故选B。
5.答案：D
解析：A.卫星在轨道1上运行经过P点需点火加速进入轨道2，所以卫星在轨道2上的机械能大于轨道1上运动时的机械能，A错误；
B.P点是远地点，Q点是近地点，根据开普勒第二定律可知卫星在轨道1上运行经过P点的速度小于经过Q点的速度，B错误；
C.卫星在轨道2上时处于失重状态，C错误；
D.根据牛顿第二定律和万有引力定律得
所以卫星在轨道2上经过P点的加速度等于在轨道1上经过P点的加速度，D正确。
故选D。
6.答案：C
解析：甲时钟放在地面上，在地面上的人看来，甲时钟没有变化；乙、丙两时钟放在两个火箭上，根据爱因斯坦相对论可知，乙、丙时钟变慢，由于，丙时钟比乙时钟走得更慢，所以甲时钟走得最快，丙时钟走得最慢，C正确.
7.答案：A
解析：牛顿力学适用于研究宏观物体的低速运动，A正确；在微观高速领域，要用量子力学和相对论来解释，但是并不会因为相对论和量子力学的出现，就否定了牛顿力学，牛顿力学作为某些条件下的特殊情形，被包括在新的科学成就之中，不会过时，也不会失去价值，B错误；高速运动的μ子寿命变长这一现象，属于微观高速运动，只能用相对论时空观解释，不能用经典理论解释，C错误；宏观低速物体，牛顿力学适用，微观粒子，量子力学适用，D错误.
第三部分：重难知识易混易错
重难点：
一、开普勒第三定律
（1）表达式，其中a是椭圆轨道的半长轴，T为公转周期，k是与太阳质量有关而与行星无关的常量。
（2）行星的椭圆轨道都很接近圆。在近似的计算中，可以认为行星以太阳为圆心做匀速圆周运动。若用r代表轨道半径，T代表周期，开普勒第三定律可以写成。
（3）知道了行星到太阳的距离，就可以由开普勒第三定律计算或比较行星绕太阳运行的周期；反之，知道了行星的周期，也可以计算或比较其到太阳的距离。
二、万有引力定律的性质理解
三、天体质量和密度的计算
人造卫星问题的分析思路
卫星的动力学规律
由万有引力提供向心力
易错题：
一、不会分析卫星轨道变化的问题
例1小行星绕恒星运动，恒星均匀地向四周辐射能量，质量缓慢减小，可认为小行星在绕恒星运动一周的过程中近似做圆周运动。则经过足够长的时间后，小行星运动的( )
A.半径变大 B.速率变大 C.角速度变大 D.加速度变大
答案：A
解析：恒星均匀地向四周辐射能量，质量缓慢减小，二者之间万有引力减小，小行星要做离心运动，小行星运动的半径增大，万有引力做负功，小行星到达新的圆周轨道后速率减小，角速度减小，由于小行星距离恒星的距离增大，而恒星的质量减小，根据可知加速度减小，A项正确，B、C、D三项错误。
二、混淆赤道上的物体与近地卫星
例2已知地球赤道上的物体随地球自转的线速度大小为、向心加速度大小为，近地卫星线速度大小为、向心加速度大小为，地球同步卫星线速度大小为、向心加速度大小为。设近地卫星距地面高度不计，同步卫星距地面高度约为地球半径的6倍。则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：本题易错之处是不能正确建立近地卫星、同步卫星与赤道上随地球自转的物体间的关系进行列式计算。近地卫星和同步卫星都是绕地球做匀速圆周运动的，根据万有引力提供向心力得，解得，两卫星的轨道半径之比为1:7，所以，故AB错误；同步卫星与随地球自转的物体具有相同的角速度，地球的半径与同步卫星的轨道半径之比为1:7，根据得，，故C正确，D错误。
三、不能准确把握同步卫星特点而出错
例3气象卫星是用来拍摄云层照片,观测气象资料和测量气象数据的。我国先后自行成功研制和发射了“风云一号”和“风云二号”两颗气象卫星。“风云一号”卫星轨道与赤道平面垂直,通过两极,每12小时巡视地球一周,称为“极地圆轨道”。“风云二号”气象卫星轨道平面在赤道平面内称为“地球同步轨道”,则“风云一号”卫星比“风云二号”卫星( )
A.运行角速度小 B.运行线速度小
C.覆盖范围广 D.向心加速度小
答案：C
解析：因为它们的周期不相等,一号的周期小,根据,故它的角速度大,选项A错误;在半径相同的情况下,一号的线速度v=ωR , 故它的线速度大,选项B不正确;一号卫星的覆盖范围比二号要大,故选项C正确;因为一号的角速度大,故它的向心加速度也大,选项D错误,所以该题选C。
四、迁移能力欠缺导致错误
例4大多行星不适宜人类居住,绕恒星“GlieSe581”运行的行星“581c”却很值得我们期待。恒星“Gliese581”的质量是太阳质量的0.31倍,行星“581c”的质量是地球的6倍,直径是地球的1.5倍,公转周期为13个地球日。若该行星与地球均可视为质量分布均匀的球体,绕其中心天体做匀速圆周运动,忽略它们的自转,则( )
A.该行星的第一宇宙速度是地球的第一宇宙速度的4倍
B.如果人到了该行星,其重力是地球上的倍
C.该行星与“GlieSe581”间的距离是日地距离的倍
D.该行星绕“Gliese581”公转的线速度比地球绕太阳公转的线速度小
答案：B
解析：卫星绕行星表曲做匀速圆周运动时,,第一宇宙速度,故该行星的第一宇宙速度是地球的第一宇宙速度的2倍,A错误;在行星表面总有,根据该行星和地球的质量比、直径比,得,B正确;环绕天体绕中心天体做匀速圆周运动时,有,设该行星与“Gliese581”间的距离为,地球和太阳之间的距离为,该行星绕“Gliese581”的周期为,地球的公转周期为,“Gliese581”的质量为,太阳的质量为,那么,C错误;由,得,代入数据得,D错误。
五、不会从题目中挖掘隐含条件
例5均匀分布在地球赤道平面上空的三颗同步通信卫星能够实现除地球南北极等少数地区外的“全球通信”.已知地球半径为,地球表面的向心加速度为,同步卫星所在轨道处的向心加速度为,地球自转周期为,下面列出的是关于三颗卫星中任意两颗卫星间距离的表达式,其中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
答案：BC
解析：地球表面附近重力等于万有引力,有:,得,同步轨道上有代入的值得:同步轨道的半径,另外由开普勒第三定律也可求出同步轨道的半径,地球表面附近有:,,由开普勒第三定律有:,代入数据得:,三颗卫星在同步轨道上应均匀分布,由几何关系得,可见 B、C两项正确.
例6用m表示地球的通信卫星(同步卫星)的质量,h表示离地面的高度,用R表示地球的半径,g表示地球表面的重力加速度,ω表示地球自转的角速度,则通信卫星所受地球对它的万有引力的大小为( )
A. B. C. D.
答案：BCD
解析：地球同步卫星的角速度与地球自转的角速度ω相同,轨道半径为r=R+h,则根据向心力公式得地球对卫星的引力大小为。
该卫星所受地球的万有引力为,
在地球表面有,得到,联立得。由,解得,
所以可得,由于地球的质量M未知,故B、C、D正确,A错误。
第四部分：核心素养对接高考
单元核心素养
①物理观念:能了解万有引力定律的内涵，会计算人造卫星的环绕速度，知道第二宇宙速度和第三宇宙速度;能用万有引力定律解释一些天体运动问题。具有与万有引力定律相关的运动与相互作用的观念。
②科学思维:能将一些熟悉天体的运动抽象成匀速圆周运动模型;能分析一些简单的天体运动问题，通过推理获得结论;能用与万有引力定律相关的证据解释一些天体运动现象;同时知道牛顿力学的局限性，初步了解相对论时空观。
③科学探究:能了解卡文迪什实验的重要性，并能提出问题;能体会卡文迪什扭秤实验方案设计的巧妙之处，能感受到科学定律的预测作用;能认识到测定物理常量在科学研究中的重要性;能撰写与万有引力定律相关的调研报告，与同学交流。
④科学态度与责任:能认识发现万有引力定律的过程及重要意义，认识科学定律对人类探索未知世界的作用;知道科学包含大胆的想象和创新;有探索太空、了解太空的兴趣，能为牛顿力学对航天技术发展的重大贡献而振奋。
对接高考
1.“羲和号”是我国首颗太阳探测科学技术试验卫星。如图所示，该卫星围绕地球的运动视为匀速圆周运动，轨道平面与赤道平面接近垂直。卫星每天在相同时刻，沿相同方向经过地球表面A点正上方，恰好绕地球运行n圈。己知地球半径为地轴R，自转周期为T，地球表面重力加速度为g，则“羲和号”卫星轨道距地面高度为( )
A. B. C. D.
2.“祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季。假设火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍。火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动。下列关于火星、地球公转的说法正确的是( )
A.火星公转的线速度比地球的大 B.火星公转的角速度比地球的大
C.火星公转的半径比地球的小 D.火星公转的加速度比地球的小
3.如图，火星与地球近似在同一平面内。绕太阳沿同一方向做匀速圆周运动，火星的轨道半径大约是地球的1.5倍。地球上的观测者在大多数的时间内观测到火星相对于恒星背景由西向东运动，称为顺行；有时观测到火星由东向西运动，称为逆行。当火星、地球、太阳三者在同一直线上，且太阳和火星位于地球两侧时，称为火星冲日。忽略地球自转，只考虑太阳对行星的引力，下列说法正确的是( )
A.火星的公转周期大约是地球的倍
B.在冲日处，地球上的观测者观测到火星的运动为顺行
C.在冲日处，地球上的观测者观测到火星的运动为逆行
D.在冲日处，火星相对于地球的速度最小
4.“祝融号”火星车登陆火星之前，“天问一号”探测器沿椭圆形的停泊轨道绕火星飞行，其周期为2个火星日，假设某飞船沿圆轨道绕火星飞行，其周期也为2个火星日，已知一个火星日的时长约为一个地球日，火星质量约为地球质量的，则该飞船的轨道半径与地球同步卫星的轨道半径的比值约为( )
A. B. C. D.
5.2021年5月，天问一号探测器软着陆火星取得成功，迈出了我国星际探测征程的重要一步。火星与地球公转轨道近似为圆，两轨道平面近似重合，且火星与地球公转方向相同。火星与地球每隔约26个月相距最近，地球公转周期为12个月。由以上条件可以近似得出( )
A.地球与火星的动能之比
B.地球与火星的自转周期之比
C.地球表面与火星表面重力加速度大小之比
D.地球与火星绕太阳运动的向心加速度大小之比
6.我国航天人发扬“两弹一星”精神砥砺前行，从“东方红一号”到“北斗”不断创造奇迹。“北斗”第49颗卫星的发射迈出组网的关键一步。该卫星绕地球做圆周运动，运动周期与地球自转周期相同，轨道平面与地球赤道平面成一定夹角。该卫星( )
A.运动速度大于第一宇宙速度
B.运动速度小于第一宇宙速度
C.轨道半径大于“静止”在赤道上空的同步卫星
D.轨道半径小于“静止”在赤道上空的同步卫星
答案以及解析
1.答案：C
解析：本题考查万有引力定律及其应用。卫星每天在相同时刻，沿相同方向经过地球表面A点正上方，恰好绕地球运行n圈，说明卫星的运行周期为，则卫星的运行速度，卫星运行时由万有引力提供向心力，即，卫星在地球表面时，根据黄金代换式，得，联立解得,C项正确。
2.答案：D
解析：本题考查万有引力定律的应用。火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，太阳对两颗行星的引力提供向心力。根据题意可知，火星的公转周期大于地球的公转周期，根据可知，火星公转的半径比地球的大，C项错误；又，所以火星公转的角速度比地球的小，B项错误；根据万有引力提供向心力可知，，则，，火星公转的半径比地球的大，所以火星公转的线速度比地球的小，火星公转的加速度比地球的小，A项错误，D项正确。
3.答案：CD
解析：本题考查开普勒第三定律及万有引力定律。火星的轨道半径是地球的1.5倍，根据可知，，故火星的公转周期大约是地球公转周期的倍，A项错误；在冲日处，根据可得，，因此地球的公转速度大于火星的公转速度，因此在冲日处，地球上的观测者观测到火星相对于地球由东向西运动，为逆行，B项错误，C项正确；在冲日处，火星和地球的公转速度方向相同，相对速度为，此时火星相对于地球的速度最小，D项正确。
4.答案：D
解析：绕中心天体做圆周运动，根据万有引力提供向心力，可得，则轨道半径，由于一个火星日的时长约为一个地球日，火星质量约为地球质量的0.1倍，则飞船的轨道半径与地球同步卫星的轨道半径的比值，故选项D正确。
5.答案：D
解析：A.设地球和火星的公转周期分别为，轨道半径分别为，由开普勒第三定律可得可求得地球与火星的轨道半径之比，由太阳的引力提供向心力，则有得即地球与火星的线速度之比可以求得，但由于地球与火星的质量关系未知，因此不能求得地球与火星的动能之比，A错误；
B.则有地球和火星的角速度分别为，由题意知火星和地球每隔约26个月相距最近一次，又火星的轨道半径大于地球的轨道半径则由以上可解得月，则地球与火星绕太阳的公转周期之比但不能求出两星球自转周期之比，B错误；
C.由物体在地球和火星表面的重力等于各自对物体的引力，则有得由于地球和火星的质量关系以及半径关系均未知，则两星球表面重力加速度的关系不可求，C错误；
D.地球与火星绕太阳运动的向心加速度由太阳对地球和火星的引力产生，所以向心加速度大小则有得由于两星球的轨道半径之比已知，则地球与火星绕太阳运动的向心加速度之比可以求得，D正确。
故选D。
6.答案：B
解析：AB.第一宇宙速度是指绕地球表面做圆周运动的速度，是环绕地球做圆周运动的所有卫星的最大环绕速度，该卫星的运转半径远大于地球的半径，可知运行线速度小于第一宇宙速度，选项A错误B正确；
CD.根据，可知，因为该卫星的运动周期与地球自转周期相同，等于“静止”在赤道上空的同步卫星的周期，可知该卫星的轨道半径等于“静止”在赤道上空的同步卫星的轨道半径，选项CD错误。
故选B。

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