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第四讲　空间直线、平面垂直的判定与性质
知 识 梳 理
知识点一　直线与平面垂直
1．直线与平面垂直
(1)定义：若直线l与平面α内的 任意　一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．
(2)判定与性质
判定定理 性质定理
文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直(线线垂直 线面垂直) 垂直于同一平面的两直线平行
图形语言
符号语言 l⊥α a∥b　
过一点垂直于已知平面的直线 有且只有一条　.
过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段， 垂线段的长度　叫做这个点到该平面的距离．
一条直线与一个平面平行时，这条直线上 任意一点到这个平面的距离　，叫做这条直线到这个平面的距离．
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．
2．直线与平面所成的角
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的 锐角　，叫做这条斜线和这个平面所成的角．
若直线与平面平行或直线在平面内，直线与平面所成角为 0　，若直线与平面垂直，直线与平面所成角为 　.
(2)线面角θ的范围：θ∈.
知识点二　平面与平面垂直
1．二面角的有关概念
(1)二面角：从一条直线出发的 两个半平面　所组成的图形叫做二面角．
(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作与棱 垂直　的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．
(3)二面角θ的范围：θ∈[0，π]．
2．平面与平面垂直
(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是 直二面角　，就说这两个平面互相垂直．
(2)判定与性质
判定定理 性质定理
文字语言 如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直．(线面垂直 面面垂直) 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直. (面面垂直 线面垂直)
图形语言
符号语言 α⊥β　 a⊥β　
归 纳 拓 展
1．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
2．若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．
3．垂直于同一条直线的两个平面平行．
4．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．
双 基 自 测
题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.( × )
(2)垂直于同一个平面的两平面平行．( × )
(3)若直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.( √ )
(4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.( × )
(5)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．( √ )
(6)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.( × )
题组二　走进教材
2．(必修2P164T15)(2022·广州中学教学研究会调研)如图1，正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，如图2，沿SE、SF、EF将正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合，重合后的点记为G，则在四面体S－EGF中( A )
A．SG⊥平面EFG B．SD⊥平面EFG
C．GF⊥平面SEF D．GD⊥平面SEF
[解析]　由题意知SG⊥GF，SG⊥GE，GF∩GE＝G.∴SG⊥平面GEF，故选A.
3．(必修2P152例4)(2022·河南许昌质检)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N分别为AB，BC的中点，则直线MN与平面DCA1所成角的大小为( A )
A. B．
C． D．
[解析]　连接AC、AD1，设AD1∩A1D＝H，连HC，易知AH⊥平面A1DC，MN∥AC，
∴∠HCA即为MN与平面DCA1所成的角，
且sin∠HCA＝＝.
∴MN与平面DCA1所成角为.故选A.
题组三　走向高考
4．(2022·全国乙卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则( A )
A．平面B1EF⊥平面BDD1
B．平面B1EF⊥平面A1BD
C．平面B1EF∥平面A1AC
D．平面B1EF∥平面A1C1D
[解析]　正方体中DD1⊥EF，
又AC⊥BD，EF∥AC，
∴BD⊥EF，
∴EF⊥平面BDD1，EF 平面B1EF，
从而平面B1EF⊥平面BDD1，
∴A正确；
若平面B1EF⊥平面A1BD，
则BD⊥平面B1EF，∴BD⊥B1E，又BB1⊥BD，
∴BD⊥平面BB1E，又AD⊥平面BB1E，
∴AD∥BD这与AD、BD相交矛盾，∴B错误；
取A1B1的中点H，则AH∥B1E，
由于AH与平面A1AC相交，故平面B1EF∥平面A1AC不成立，C错误；
取AD的中点M，很明显四边形A1B1FM为平行四边形，则A1M∥B1F，
由于A1M与平面A1C1D相交，故平面B1EF∥平面A1C1D不成立，D错误．故选A.
5. (2023·新课标全国Ⅱ卷)如图，三棱锥A－BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC的中点．
(1)证明：BC⊥DA；
(2)点F满足＝，求二面角D－AB－F的正弦值．
[解析]　(1)证明：连接AE，DE，因为E为BC的中点，DB＝DC，所以DE⊥BC①，
因为DA＝DB＝DC，∠ADB＝∠ADC＝60°，
所以△ACD与△ABD均为等边三角形，
∴AC＝AB，从而AE⊥BC②，由①②，AE∩DE＝E，AE，DE 平面ADE，
所以BC⊥平面ADE，而AD 平面ADE，
所以BC⊥DA.
(2)不妨设DA＝DB＝DC＝2，∵BD⊥CD，∴BC＝2，DE＝AE＝.
∴AE2＋DE2＝4＝AD2，∴AE⊥DE，又∵AE⊥BC，DE∩BC＝E，DE，BC 平面BCD，∴AE⊥平面BCD.
以点E为原点，ED，EB，EA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
设D(，0,0)，A(0,0，)，B(0，，0)，E(0,0,0)，
设平面DAB与平面ABF的一个法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)，
二面角D－AB－F平面角为θ，而＝(0，，－)，
因为＝＝(－，0，)，所以F(－，0，)，即有＝(－，0,0)，
∴取x1＝1，所以n1＝(1,1,1)；
取y2＝1，所以n2＝(0,1,1)，
所以|cos θ|＝＝＝，
从而sin θ＝＝.
所以二面角D－AB－F的正弦值为.第三讲　空间直线、平面平行的判定与性质
知 识 梳 理
知识点一　直线与平面平行的判定与性质
判定定理 性质定理
文字语言 如果平面外的一条直线与 此平面内的　一条直线平行，那么该直线与此平面平行 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与 交线　平行
图形语言
符号语言 b∥α a∥b　
作用 证明或判断线、面平行 证明或判断线、线平行
知识点二　面面平行的判定与性质
判定定理 性质定理
文字语言 如果一个平面内的 两条相交　直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 两个平面平行，如果一个平面与这两个平面相交，那么两条交线 平行　
图形语言
符号语言 α∥β a∥b　
作用 证明或判断面、面平行 证明或判断线、线平行
归 纳 拓 展
1．若α∥β，a α，则a∥β.　
2．垂直于同一条直线的两个平面平行，即“若a⊥α，a⊥β，则α∥β”．　
3．垂直于同一个平面的两条直线平行，即“若a⊥α，b⊥α，则a∥b”．　
4．平行于同一个平面的两个平面平行，即“若α∥β，β∥γ，则α∥γ”．　
双 基 自 测
题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．( × )
(2)平行于同一条直线的两个平面平行．( × )
(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( × )
(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( √ )
(5)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.( × )
(6)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.( × )
题组二　走进教材
2．(必修2P142T2)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是( D )
A．α内有无数条直线都与β平行
B．存在一条直线a，a α，a∥β
C．存在两条平行直线a，b，a α，b β，a∥β，b∥α
D．存在两条异面直线a，b，a α，b β，a∥β，b∥α
[解析]　对于选项A，若α存在无数条直线与β平行，则α∥β或α与β相交，若α∥β，则α内有无数条直线都与β平行，所以选项A是α∥β的一个必要条件；同理，选项B，C的也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移到—个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D的是α∥β的一个充分条件．故选D.
题组三　走向高考
3．(2023·全国Ⅰ卷(节选))如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4.点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3.
证明：B2C2∥A2D2.
[证明]　证法一：分别取D1D2、AA1的中点M、N，连接MC2，NB2，
由题意知D1M綉C1C2，
∴MC2綉C1D1綉A1B1，
同理B2N綉A1B1，
∴MC2綉NB2，
即MNB2C2为平行四边形，
∴C2B2∥MN，
又MD2綉A2N，
∴D2A2NM为平行四边形，
∴D2A2∥MN，
∴B2C2∥D2A2.
证法二：以C为坐标原点，CD，CB，CC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，
则C(0,0,0)，C2(0,0,3)，B2(0,2,2)，D2(2,0,2)，A2(2,2,1)，
∴＝(0，－2,1)，＝(0，－2,1)，
∴∥，
又B2C2，A2D2不在同一条直线上，
∴B2C2∥A2D2.
4.(2021·天津卷(节选))如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．
求证：D1F∥平面A1EC1.
[证明]　证法一：连接B1D1交A1C1于M，
连BD、EF、ME，
∵E、F分别为BC、CD的中点，
∴EF綉BD綉B1D1綉MD1，
∴四边形EFD1M为平行四边形，
∴D1F∥ME，
又ME 平面A1EC1，D1F 平面A1EC1，
∴D1F∥平面A1EC1.
证法二：取AD的中点H，
连接D1H，HE，HF，AC，
∴E为BC的中点，
∴EH綉CD綉C1D1，
∴四边形C1D1HE为平行四边形，
∴D1H∥C1E，又D1H 平面A1EC1，C1E 平面A1EC1，
∴D1H∥平面A1EC1，
又F为CD的中点，∴HF∥AC∥A1C1
又HF 平面A1EC1，A1C1 平面A1EC1，
∴HF∥平面A1EC1，又D1H∩HF＝H，
∴平面HFD1∥平面A1EC1，
∴D1F∥平面A1EC1.
证法三：以A为原点，AB，AD，AA1分别为x轴，y轴，z轴，建立如图空间直角坐标系，则
A(0,0,0)，A1(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，C1(2,2,2)，D1(0,2,2)，
因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，
所以E(2,1,0)，F(1,2,0)，
所以＝(1,0，－2)，
＝(2,2,0)，
＝(2,1，－2)，
设平面A1EC1的一个法向量为m＝(x，y，z)，
则
令x＝2，则m＝(2，－2,1)，
因为·m＝2－2＝0，所以⊥m，
因为D1F 平面A1EC1，所以D1F∥平面A1EC1.第二讲　空间点、直线、平面之间的位置关系
知 识 梳 理
知识点一　平面的基本性质
基本事实1. 不共线　的三点确定一个平面．
基本事实2.如果一条直线上的 两个点　在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
基本事实3.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且 只有一条过该点　的公共直线．
推论1.经过一条直线和 这条直线外一点　，有且只有一个平面．
推论2.经过两条 相交　直线，有且只有一个平面．
推论3.经过两条 平行　直线，有且只有一个平面．
注：1.基本事实1、基本事实2和三个推论是判断点、线共面的依据；
2．基本事实3是判断两个平面相交及三点共线及三线共点的依据。
知识点二　空间点、直线、平面之间的位置关系
直线与直线 直线与平面 平面与平面
平行关系 图形语言
符号语言 a∥b a∥α α∥β
特征 共面，无公共点 无公共点 无公共点
相交关系 图形语言
符号语言 a∩b＝A a∩α＝A α∩β＝l
特征 共面，有唯一公共点 有唯一公共点 有无数个共线公共点
独有关系 图形语言
符号语言 a，b是异面直线 a α
知识点三　异面直线所成角、基本事实4及等角定理
1．异面直线
(1)定义：异面直线——不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．
两直线既不平行也不相交的直线是异面直线．
(2)异面直线的画法
画异面直线时，为了体现它们不共面的特点，常借助一个或两个平面来衬托．
(3)异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的 锐角或直角　叫做异面直线a与b所成的角．
②范围：.
2．基本事实4.(平行公理)
平行于同一条直线的两条直线 平行　.
3．等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 相等或互补　.
归 纳 拓 展
异面直线的判定定理
过平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过该点的直线是异面直线．
用符号可表示为：
若l α，A α，B∈α，B l，则直线AB与l是异面直线(如图)．
双 基 自 测
题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.( √ )
(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．( × )
(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．( × )
(4)经过两条相交直线，有且只有一个平面．( √ )
(5)两两相交的三条直线共面．( × )
(6)若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a α，b β，则a，b是异面直线．( × )
题组二　走进教材
2．(必修2P147例1)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为( C )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
[解析]　连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C，∴△B1D1C为等边三角形，∴∠D1B1C＝60°.故选C.
3．(必修2P134例1)如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA上的点．
(1)若＝且＝，则E、F、G、H是否共面？ 共面　.
(2)若E、F、G、H分别为棱AB、BC、CD、DA的中点，①当AC，BD满足条件 AC＝BD　时，四边形EFGH为菱形；②当AC，BD满足条件 AC＝BD且AC⊥BD　时，四边形EFGH为正方形．
题组三　走向高考
4．(2019·新课标Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则( B )
A.BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线
C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
[解析]　连接BD、BE，则BD过点N，∵点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，
M是线段ED的中点，
∴BM 平面BDE，EN 平面BDE，
∵BM是△BDE中DE边上的中线，EN是△BDE中BD边上的中线，
∴直线BM，EN是相交直线，
设DE ＝a，则BD＝a，
∵平面ECD⊥平面ABCD，
∴BE＝＝a，
∴BM＝a，EN＝＝a，
∴BM≠EN，故选B.
5．(2021·全国高考)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为( D )
A. B．
C． D．
[解析]　解法一：如图，连接BC1，PC1，因为AD1∥BC1，
所以∠PBC1或其补角为直线PB与AD1所成的角，
因为BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥PC1，又PC1⊥B1D1，BB1∩B1D1＝B1，
所以PC1⊥平面PBB1，所以PC1⊥PB，
设正方体棱长为2，则BC1＝2，PC1＝D1B1＝，
sin∠PBC1＝＝，所以∠PBC1＝.故选D.
解法二：如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则＝(－2,0,2)，＝(－1，－1,2)，记PB与AD1所成角θ，则
cos θ＝＝＝.
∴θ＝，故选D.第一讲　空间几何体的结构及其表面积和体积
知 识 梳 理
知识点一　多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
结构特征 ①有两个面互相 平行且全等，其余各面都是 平行四边形　.②每相邻两个四边形的公共边都互相 平行　 有一个面是 多边形　，其余各面都是有一个公共顶点的 三角形　的多面体 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥， 截面　和 底面　之间的部分
侧棱 平行且相等　 相交于 一点　但不一定相等 延长线交于 一点　
侧面形状 平行四边形　 三角形　 梯形　
知识点二　旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于 一点　 延长线交于 一点　
轴截面 全等的 矩形　 全等的 等腰三角形　 全等的 等腰梯形　 圆　
侧面展开图 矩形　 扇形　 扇环　
知识点三　圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图
侧面积公式 S圆柱侧＝ 2πrl　 S圆锥侧＝ πrl　 S圆台侧＝ π(r1＋r2)l　
知识点四　柱体、锥体、台体和球体的表面积和体积
　　　名称几何体　　　 表面积 体积
柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝ S底h　
锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝ S底·h　
台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h
球 S＝ 4πR2　 V＝πR3
知识点五　直观图
直观图 斜二测画法：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴、y′轴的夹角为 45°或135°　，z′轴与x′轴和y′轴所在平面 垂直　.(2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍_平行于坐标轴__，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度 不变　，平行于y轴的线段在直观图中长度为 原来的一半　.
归 纳 拓 展
1．一个平面图形在斜二测画法下的直观图与原图形相比，有“三变、三不变”．
三变：坐标轴的夹角改变，与y轴平行线段的长度改变(减半)，图形改变．
三不变：平行性不变，与x轴平行的线段长度不变，相对位置不变．
2．柱体、锥体、台体体积间的关系：
台体的体积常化为两锥体体积之差求解．
3．多面体的外接球与内切球常用的结论：
(1)设正方体的棱长为a，则它的内切球半径r＝，外接球半径R＝a.
(2)设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则它的外接球半径R＝.
(3)设正四面体的棱长为a，则它的高为h＝a，内切球半径r＝h＝a，外接球半径R＝h＝a.
双 基 自 测
题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．( × )
(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( × )
(3)用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台．( × )
(4)有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台．( × )
(5)已知球O的半径为R，其内接正方体的棱长为a，则R＝a.( √ )
(6)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.( × )
题组二　走进教材
2．(必修2P119T1)已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( B )
A．1 cm B．2 cm
C．3 cm D． cm
[解析]　由条件得：
∴3r2＝12，∴r＝2.
3．(多选题)(必修2P116T3改编)“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到的半正多面体的表面积为12＋4，则关于该半正多面体的下列说法中正确的是( ACD )
A．AB＝
B．该半正多面体的外接球的表面积为6π
C．AB与平面BCD所成的角为
D．与AB所成的角是的棱共有16条
[解析]　设正方体的棱长为2a，则6×(a)2＋8××(a)2＝12＋4，∴a＝1，∴AB＝a＝，A正确；
显然该半正多面体外接球的球心为对应正方体的中心，∴外接球半径R＝，∴S球＝8π，B错误；
显然AB与平面BCD所成角为∠HBA＝，C正确；
与AB成角是的有BC、AC、EN、FD、FM、EM、AN、BD、CT、CP、DP、DR、MS、MR、NT、SN共16条，D正确．故选ACD.
题组三　走向高考
4．(2023·全国新高考Ⅰ卷)在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，则该棱台的体积为 　.
[解析]　解法一：如图，过A1作A1M⊥AC，垂足为M，易知A1M为四棱台ABCD－A1B1C1D1的高，
因为AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，则A1O1＝A1C1＝×A1B1＝，AO＝AC＝×AB＝，故AM＝(AC－A1C1)＝，则A1M＝＝＝，所以所求体积为V＝×(4＋1＋)×＝.
解法二：同解法一棱台高h＝，∴VA1－ABD＝S△ABD×＝，又＝，＝.∴VD－A1BB1＝VA1－ABD＝，VD－A1B1D1＝VA1－ABD＝，∴VA1B1D1－ABD＝VA1－ABD＋VD－A1BB1＋VD－A1B1D1＝，∴VA1B1C1D1－ABCD＝2VA1B1D1－ABD＝.
5．(2022·全国新高考Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( A )
A．100π B．128π
C．144π D．192π
[解析]　设正三棱台上下底面所在圆面的半径r1，r2，所以2r1＝，2r2＝，即r1＝3，r2＝4，设球心到上下底面的距离分别为d1，d2，球的半径为R，所以d1＝，d2＝，故|d1－d2|＝1或d1＋d2＝1，即|－|＝1或＋＝1，解得R2＝25符合题意，所以球的表面积为S＝4πR2＝100π.故选A.第六讲　空间的角与距离
知 识 梳 理
知识点一　两条异面直线所成角的求法
设两条异面直线a，b的方向向量分别为a，b，其夹角为θ，则cos φ＝|cos θ|＝ 　(其中φ为异面直线a，b所成的角)．
知识点二　直线和平面所成角的求法
如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝ 　.
知识点三　求二面角的大小
1．如图①，AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝ 〈，〉　.
2．如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．
知识点四　利用空间向量求距离
1．点到直线的距离
设过点P的直线l的单位方向向量为n，A为直线l外一点，点A到直线l的距离d＝.
若能求出点在直线上的射影坐标，可以直接利用两点间距离公式求距离．
2．点到平面的距离
如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为d＝.
3.线面距、面面距均可转化为点面距进行求解．
注意体积法在求点到平面距离时的应用．
归 纳 拓 展
1．直线的方向向量的确定：l是空间一直线，A，B是l上任意两点，则及与平行的非零向量均为直线l的方向向量．
2．平面的法向量的确定：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为
3．若二面角A－BC－D的大小为α，平面ABC内的直线l与平面BCD所成角为β，则α≥β，当l⊥BC时，取等号．
4．注意线面角、二面角与点到平面间距离的联系．
双 基 自 测
题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．( × )
(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．( × )
(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．( × )
(4)若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行．( × )
题组二　走进教材
2．(选择性必修1P20例2)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM所成的角是 　.
[解析]　以A为原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
设正方体的棱长为1，则A(0,0,0)，M，
O，N，
·＝·＝0，
∴ON与AM垂直．即直线ON、AM所成角是.
3．(选择性必修1P44T13)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E为CD的中点，则点D1到平面AEC1的距离为 　，AD1与平面AEC1所成角的余弦值为 　.
[解析]　如图建立空间直角坐标系，则由题意知＝(－2,1,0)，＝(0,1,2)，设平面AEC1的法向量为n＝(x，y，z)，则，令y＝2得x＝1，z＝－1，
∴n＝(1,2，－1)，又＝(－2,0,2)
∴点D1到平面AEC1的距离d＝＝＝，
AD1与平面AEC1所成角的正弦值为sin θ＝＝，
∴cos θ＝.
另解：可用VD1－AEC1＝VA－D1EC1求得d＝.
进而可知sin θ＝＝＝.
题组三　走向高考
4．(2022·全国乙卷)如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点．
(1)证明：平面BED⊥平面ACD；
(2)设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值．
[解析]　(1)证明：因为AD＝CD，E为AC的中点，
所以AC⊥DE；
在△ABD和△CBD中，
因为AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，DB＝DB，
所以△ABD≌△CBD，所以AB＝CB，
又因为E为AC的中点，所以AC⊥BE；
又因为DE，BE 平面BED，DE∩BE＝E，
所以AC⊥平面BED，
因为AC 平面ACD，
所以平面BED⊥平面ACD.
(2)连接EF，由(1)知，AC⊥平面BED，因为EF 平面BED，
所以AC⊥EF，所以S△AFC＝AC·EF，
当EF⊥BD时，EF最小，
即△AFC的面积最小．
因为△ABD≌△CBD，所以CB＝AB＝2，
又因为∠ACB＝60°，所以△ABC是等边三角形，
因为E为AC的中点，
所以AE＝EC＝1，BE＝，
因为AD⊥CD，所以DE＝AC＝1，
在△DEB中，DE2＋BE2＝BD2，
所以BE⊥DE.
以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E－xyz，
则A(1,0,0)，B(0，，0)，D(0,0,1)，
所以＝(－1,0,1)，＝(－1，，0)，
设平面ABD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则取y＝，
则n＝(3，，3)，
又因为C(－1,0,0)，F，
所以＝，
所以cos?n，?＝＝＝，
设CF与平面ABD所成的角为θ，
所以sin θ＝|cos?n，?|＝，
所以CF与平面ABD所成的角的正弦值为.第五讲　空间向量及其运算
知 识 梳 理
知识点一　空间向量的有关概念
1．空间向量的有关概念
(1)空间向量：在空间中，具有 大小　和 方向　的量叫做空间向量，其大小叫做向量的 长度　或 模　.
(2)零向量：长度为 0　的向量，记作0；
零向量与任意向量共线，0∥a；
单位向量：模为 1　的向量；
相反向量：与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a；
相等向量：方向 相同　且模 相等　的向量．
(3)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线 平行　或 重合　，则这些向量叫做 共线向量　或 平行向量　.
(4)共面向量：平行于同一 平面　的向量叫做共面向量．
2．空间向量中的有关定理
(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b 存在唯一确定的λ∈R，使a＝λb.
(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面 存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.其中{a，b，c}叫做空间的一个基底．
3．空间向量的数量积及运算律
(1)已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作 〈a，b〉　，其范围是 0≤〈a，b〉≤π　，若〈a，b〉＝，则称a与b 互相垂直　，记作a⊥b.
向量a，b的数量积a·b＝ |a||b|cos〈a，b〉　.
(2)空间向量数量积的运算律
结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
交换律：a·b＝b·a；
分配律：a·(b＋c)＝ a·b＋a·c　.
知识点二　空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．则
向量表示 坐标表示
数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3　
共线 a＝λb(b≠0) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3　
垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0　
模 |a| 　
夹角 〈a，b〉(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝ 　
空间两点P1(x1，y1，z1)、P2(x2，y2，z2)之间的距离为|P1P2|＝.
知识点三　两个重要的向量
1．直线的方向向量
直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有 无数　个．
2．平面的法向量
直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有 无数　个，它们是共线向量．
知识点四　空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2 n1＝λn2
l1⊥l2 n1⊥n2 n1·n2＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m m·n＝0
l⊥α n∥m n＝λm
平面α、β的法向量分别为n、m α∥β n∥m n＝λm
α⊥β n⊥m n·m＝0
归 纳 拓 展
1．向量三点共线定理
在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点．
2．向量四点共面定理
在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点．
3．|a|2＝a·a；|a·b|≤|a|·|b|.
4．a·b>0 a、b的夹角为锐角或0角．即“a·b>0”是“a、b的夹角为锐角”的必要不充分条件．
5．向量法证明空间的线面平行或垂直
①a，b为平面α的基向量，若＝λa＋μb(λ，μ∈R)，AB α，则AB∥α.
②若n为平面α的法向量，·n＝0.AB α，则AB∥α.
③a，b为平面α的基向量，若则AB⊥α.
双 基 自 测
题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)空间中任意两个非零向量a，b共面．( √ )
(2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．( × )
(3)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.( × )
(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．( × )
(5)平面的单位法向量是唯一确定的．( × )
(6)若两平面的法向量垂直，则两平面垂直．( √ )
题组二　走进教材
2．(选择性必修1P10T5)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M为A1C1的中点，若＝a，＝b，＝c，则下列向量与相等的是( D )
A．－a－b＋c B．a＋b－c
C．－a＋b＋c D．a＋b＋c
[解析]　∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，M为A1C1的中点，
∴＝＋＋
＝a＋c＋
＝a＋c＋(－)
＝a＋c＋(b－a)
＝a＋b＋c.故选D.
3．(选择性必修1P14T2)(2023·河南驻马店模拟)在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( A )
A. B．
C． D．
[解析]　解法一：记＝a，＝b，＝c，
由题意知a、b、c两两夹角均为，设AB＝1，则＝a＋c，＝－a＋b＋c，
∴||＝＝，
||＝＝，
∴cos〈，〉＝＝.
解法二：将三棱柱补成平行六面体(如图)，连AD1，B1D1，则AD1∥BC1，
∴∠B1AD1或其补角即为AB1与BC1所成的角，设AB＝1，则AB1＝，
AD1＝BC1＝，B1D1＝，
∴cos∠B1AD1＝＝＝.
题组三　走向高考
4．(多选题)(2021·全国新高考Ⅱ)如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点，则满足MN⊥OP的是( BC )
[解析]　不妨设正方体棱长为2，
对于A，
＝(－2,2,0)，＝(－1,1,1)，
∴·＝4≠0，
∴MN不垂直OP.
对于B，
＝(－2,0,2)，＝(1，－1,1)，
∴·＝0，∴MN⊥OP.
对于C，
＝(－2,0，－2)，＝(－1，－1,1)，
∴·＝0，
∴MN⊥OP.
对于D，
＝(0，－2,2)，＝(1,0,2)，
∴·＝4≠0，
∴MN不垂直OP.故选BC.
5．(多选题)(2021·全国新课标Ⅰ卷)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝1，点P满足＝λ＋μ，其中λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，则( BD )
A．当λ＝1时，△AB1P的周长为定值
B．当μ＝1时，三棱锥P－A1BC的体积为定值
C．当λ＝时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BP
D．当μ＝时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P
[解析]　易知，点P在矩形BCC1B1内部(含边界)．对于A，当λ＝1时，＝＋μ＝＋μ，即此时P∈线段CC1，△AB1P周长不是定值，故A错误；对于B，当μ＝1时，＝λ＋＝＋λ，故此时P点轨迹为线段B1C1，而B1C1∥BC，B1C1∥平面A1BC，则有P到平面A1BC的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确；对于C，当λ＝时，＝＋μ，取BC，B1C1中点分别为Q，H，则＝＋μ，所以P点轨迹为线段QH，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，A1，P(0,0，μ)，B，则＝，＝，·＝μ(μ－1)＝0，所以μ＝0或μ＝1.故H，Q均满足，故C错误；对于D，当μ＝时，＝λ＋，取BB1，CC1中点为M，N.＝＋λ，所以P点轨迹为线段MN.设P，因为A，所以＝，＝，所以＋y0－＝0 y0＝－，此时P与N重合，故D正确．故选BD.

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