资源简介

第三讲　圆的方程　直线与圆的位置关系
知 识 梳 理
知识点一　圆的定义及方程
定义 平面内到 定点　的距离等于 定长　的点的集合(轨迹)叫做圆
标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心C： (a，b)　
半径： r　
一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心：
半径：r＝ 　
知识点二　点与圆的位置关系
1．圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)，
(1)(x0－a)2＋(y0－b)2 ＝　r2 点在圆上；
(2)(x0－a)2＋(y0－b)2 >　r2 点在圆外；
(3)(x0－a)2＋(y0－b)2 <　r2 点在圆内．
2．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，点M(x0，y0)．
(1)x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0 点在圆上；
(2)x＋y＋Dx0＋Ey0＋F >　0 点在圆外；
(3)x＋y＋Dx0＋Ey0＋F <　0 点在圆内．
知识点三　直线与圆的位置关系
设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，
圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
d＝为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.
方法位置关系 几何法 代数法
相交 d_<__r Δ_>__0
相切 d_＝__r Δ_＝__0
相离 d_>__r Δ_<__0
归 纳 拓 展
1．圆心在过切点且垂直于切线的直线上．
2．圆心在任一弦的垂直平分线上．
3．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径的两端点的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
4．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件：
5．(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在的直线方程为x0x＋y0y＝r2.
(3)过圆外一点P(x0，y0)引圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0)的切线，则点P到切点的切线长为d＝(d＝)．
双 基 自 测
题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( √ )
(2)圆心为(1，－1)且过原点的圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2.( × )
(3)若A(2,0)，B(0，－4)，则以AB为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝5.( √ )
(4)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆．( × )
(5)已知方程x2＋y2－2mx＋4y＋5＝0表示圆，则m的取值范围是(1，＋∞)．( × )
题组二　走进教材
2．(选择性必修1P88T4)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1，1)和B(1,3)，则圆C的方程为 (x－2)2＋y2＝10　.
[解析]　设圆心坐标为C(a,0)，
∵点A(－1,1)和B(1,3)在圆C上，
∴|CA|＝|CB|，
即＝，解得a＝2，
∴圆心为C(2,0)，
半径|CA|＝＝，
∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.
3．(选择性必修1P98T2(1))以点(2，－1)为圆心且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为( C )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3
B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3
C．(x－2)2＋(y＋1)2＝9
D．(x＋2)2＋(y－1)2＝9
[解析]　因为圆心(2，－1)到直线3x－4y＋5＝0的距离d＝＝3，所以圆的半径为3，即圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9.故选C.
题组三　走向高考
4．(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的方程为_(x－1)2＋(y＋1)2＝5__.
[解析]　解法一：∵点M在直线2x＋y－1＝0上，
∴设点M为(a,1－2a)，又因为点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴＝＝R，
a2－6a＋9＋4a2－4a＋1＝5a2，解得a＝1，
∴M(1，－1)，R＝，
∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
解法二：记A(3,0)，B(0,1)，则kAB＝－.
从而可知AB中垂线的方程为3x－y－4＝0，
由可求得M(1，－1)，
又r2＝|MA|2＝5.
∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
5．(2020·高考全国Ⅱ卷)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为( B )
A. B．
C. D．
[解析]　设圆心为P(x0，y0)，半径为r，∵圆与x轴，y轴都相切，∴|x0|＝|y0|＝r，又圆经过点(2,1)，∴x0＝y0＝r且(2－x0)2＋(1－y0)2＝r2，∴(r－2)2＋(r－1)2＝r2，解得r＝1或r＝5.①r＝1时，圆心P(1,1)，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离d＝＝；②r＝5时，圆心P(5,5)，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离d＝＝.故选B.第四讲　圆与圆的位置关系　圆的综合应用
知 识 梳 理
知识点　圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0)．
方法位置关系 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况 公切线条数
外离 d>r1＋r2　 无解　 4
外切 d＝r1＋r2　 一组实数解 3
相交 |r1－r2|内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解　 1
内含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解　 0
归 纳 拓 展
1．当两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，相交(切)时，两圆方程相减可得公共弦(内公切线)所在的直线方程．(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0；
两圆相交时，两圆连心线垂直平分公共弦；两圆相切时，两圆连心线必过切点．
2．(1)直线与圆相交时，弦心距d，半径r，弦长的一半l满足关系式r2＝d2＋2.
(2)过圆内一点的最长的弦是直径，最短的是垂直这点与圆心连线的弦．
3．两个圆系方程
(1)过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
(2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．
双 基 自 测
题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( × )
(2)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．( × )
(3)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.( √ )
(4)圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有2条．( √ )
题组二　走进教材
2．(选择性必修1P98T3)直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|＝ 　.
[解析]　圆的方程可化为(x－1)2＋(y－2)2＝()2，
又圆心(1,2)到直线l的距离为，
∴|AB|＝2＝.
3．(选择性必修1P98T8)(2024·河北保定部分信息月考)圆心在直线x－y－4＝0上，且过两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程为 (x－3)2＋(y＋1)2＝16　.
[解析]　由题意设圆的方程为x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0，整理得x2＋y2－x－y－6＝0，圆心坐标为，所以－－4＝0，解得λ＝－，所以圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0，即(x－3)2＋(y＋1)2＝16.
题组三　走向高考
4．(2023·高考新课标Ⅱ卷)已知直线l：x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC的面积为”的m的一个值 2　.
[解析]　设点C到直线AB的距离为d，由弦长公式得|AB|＝2，所以S△ABC＝×d×2＝，解得d＝或d＝，由d＝＝，所以＝或＝，解得m＝±2或m＝±.
5．(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程 y＝－x＋或y＝x－或x＝－1(写出其中一个即可)　.
[解析]　解法一：圆x2＋y2＝1的圆心为O(0,0)，半径为1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心为O1(3,4)，半径为4，两圆圆心距为＝5，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，当切线为l时，因为kOO1＝，所以kl＝－，设方程为y＝－x＋t(t>0)，
由原点O到l的距离d＝＝1，解得t＝，
所以l的方程为y＝－x＋；
当切线为m时，设直线方程为kx＋y＋p＝0，
其中p>0，k<0，
由题意解得
所以m的方程为y＝x－；
当切线为n时，易知切线n的方程为x＝－1.
解法二：切线l的求法同解法1；当切线为m时，设两切点分别为A、B，作OC⊥O1B于C，则tan∠O1OC＝，
∴km＝＝，
设直线m的方程为7x－24y＋c＝0，则＝1，
解得c＝－25或25(舍去)．∴切线m的方程为
7x－24y－25＝0；又∠O1OC与∠O1Ox互余，根据图形对称性可知切线n的倾斜角为，显然切线n的方程为x＝－1.第七讲　抛物线
知 识 梳 理
知识点一　抛物线的定义
平面内 与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等　的点的轨迹叫抛物线．点 F　叫抛物线的 焦点　，直线 l　叫抛物线的 准线　.
注：l经过F时，与定点F和定直线l距离相等的点的轨迹为过F与l垂直的一条直线．
知识点二　抛物线的标准方程与几何性质
标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点 O(0,0)
对称轴 y＝0 x＝0
焦点 F F F F
离心率 e＝ 1　
准线方程 x＝－　 x＝　 y＝－　 y＝　
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
焦半径(其中P(x0，y0)) |PF|＝ x0＋　 |PF|＝ －x0＋　 |PF|＝ y0＋　 |PF|＝ －y0＋　
归 纳 拓 展
抛物线焦点弦的处理规律
如图，直线AB过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，CA⊥l于C，BD⊥l于D，BM⊥AC于M，交OF于N(l为抛物线的准线)．
则△HBD∽△HFQ∽△HAC∽△BFN∽△BAM等，且
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝.
(2)|AF|＝，|BF|＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)；x1＋x2≥2＝p，即当x1＝x2时，弦长最短为2p.
(3)＋＝.
(4)焦点弦端点与顶点构成的三角形面积：S△AOB＝＝|AB||d|＝|OF|·|y1－y2|.
(5)以AB为直径的圆与准线相切．
(6)焦点F对A，B在准线上射影的张角为90°.
(7)A、O、D三点共线；B、O、C三点共线．
(8)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过点P(2p,0)作直线与抛物线交于A，B两点，则OA⊥OB；过原点O作两条互相垂直的直线分别交抛物线于A，B两点(即OA⊥OB)，则直线AB必过定点(2p,0)．
双 基 自 测
题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × )
(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.( × )
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × )
(4)AB为抛物线y2＝2px(p>0)的过焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.( √ )
(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a>0)的通径长为2a.( √ )
题组二　走进教材
2．(选择性必修1P135例4)过抛物线y2＝4x的焦点且倾斜角为的直线l交抛物线于A、B，则|AB|＝( B )
A．9 B．8
C．7 D．6
[解析]　由题意知l：y＝x－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2－6x＋1＝0，∴x1＋x2＝6，
∴|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.故选B.
3．(多选题)(选择性必修1P136T1)过点M(5，－4)的抛物线的标准方程为( BC )
A．x2＝－y B．x2＝－y
C．y2＝x D．y2＝x
[解析]　若抛物线的对称轴为y轴，设其标准方程为x2＝－2py(p>0)，则25＝8p，∴p＝，抛物线方程为x2＝－y，
若抛物线的对称轴为x轴，设其标准方程为y2＝2px(p>0)，则16＝10p，∴p＝，抛物线方程为y2＝x，故选BC.
题组三　走向高考
4．(2023·高考北京卷)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在C上．若M到直线x＝－3的距离为5，则|MF|＝( D )
A．7 B．6
C．5 D．4
[解析]　因为抛物线C：y2＝8x的焦点F(2,0)，准线方程为x＝－2，点M在C上，所以M到准线x＝－2的距离为|MF|，又M到直线x＝－3的距离为5，所以|MF|＋1＝5，故|MF|＝4.故选D.
5．(多选题)(2022·全国高考真题)已知O为坐标原点，点A(1,1)在抛物线C：x2＝2py(p>0)上，过点B(0，－1)的直线交C于P，Q两点，则( BCD )
A．C的准线为y＝－1 B．直线AB与C相切
C．|OP|·|OQ|>|OA|2 D．|BP|·|BQ|>|BA|2
[解析]　将点A的坐标代入抛物线方程得1＝2p，所以抛物线方程为x2＝y，故准线方程为y＝－，A错误；kAB＝＝2，所以直线AB的方程为y＝2x－1，联立，可得x2－2x＋1＝0，Δ＝4－4＝0，故B正确；
设过B的直线为l，若直线l与y轴重合，则直线l与抛物线C只有一个交点，
所以直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx－1，
P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立得x2－kx＋1＝0，
所以所以k>2或k<－2，y1y2＝(x1x2)2＝1，
又|OP|＝＝，
|OQ|＝＝，
所以|OP|·|OQ|＝＝＝|k|>2＝|OA|2，故C正确；
因为|BP|＝|x1|，|BQ|＝|x2|，
所以|BP|·|BQ|＝(1＋k2)|x1x2|＝1＋k2>5，而|BA|2＝5，
故D正确．故选BCD.第一讲　直线的倾斜角、斜率与直线的方程
知 识 梳 理
知识点一　直线的倾斜角
1．定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，把x轴 正向　与直线l 向上　方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0°　.
2．倾斜角的取值范围为 [0°，180°)　.
知识点二　直线的斜率
1．定义：一条直线的倾斜角α的 正切值　叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝ tan α　，倾斜角是90°的直线斜率不存在．
2．过两点的直线的斜率公式
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝ 　.
3．直线的方向向量与斜率的关系
定义 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线，其方向向量为＝(x2－x1，y2－y1)＝(x2－x1)·，因此，当直线的斜率k存在时，直线的一个方向向量为 (1，k)　
关系 当直线的一个方向向量的坐标为(x，y)(x≠0)时，直线的斜率k＝ 　
知识点三　直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 y－y0＝k(x－x0)　 不含直线x＝x0
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
两点式 ＝ 不含垂直于坐标轴的直线
截距式 ＋＝1 不含垂直于x轴、平行于x轴和 过原点的　直线
一般式 Ax＋By＋C＝0其中要求 A2＋B2≠0　 适用于平面直角坐标系内的所有直线
归 纳 拓 展
1．直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：
α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180°
k 0 k>0且α越大，k就越大 不存在 k<0且α越大，k就越大
口诀：斜率变化分两段，直角便是分界线；
小正大负皆递增，分类讨论记心中．
2．特殊直线的方程
(1)过点P1(x1，y1)垂直于x轴的直线方程为x＝x1；
(2)过点P1(x1，y1)垂直于y轴的直线方程为y＝y1；
(3)过原点的直线的方程为x＝my.
3．谨记以下几点
(1)“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．求与截距有关的直线方程时应注意过原点的特殊情况是否满足题意．
(2)当直线与x轴不垂直时，可设直线的方程为y＝kx＋b；当不确定直线的斜率是否存在时，可设直线的方程为x＝my＋b.
(3)A，B，C三点共线 kAB＝kAC(或kAB＝kBC，或kAC＝kBC)．
(4)直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个方向向量a＝(－B，A)．
双 基 自 测
题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( × )
(2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( × )
(3)斜率相等的两直线的倾斜角一定相等．( √ )
(4)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示．( × )
(5)不经过原点的直线都可以用＋＝1表示．( × )
(6)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．( √ )
题组二　走进教材
2．(选择性必修1P58T7)经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为，则y＝( B )
A．－1 B．－3
C．0 D．2
[解析]　由＝＝y＋2，
得y＋2＝tan＝－1，∴y＝－3.
3．(选择性必修1P67T7)过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 3x－2y＝0或x＋y－5＝0　.
[解析]　当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；
当截距不为0时，设直线方程为＋＝1，
则＋＝1，解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0.
题组三　走向高考
4．(2022·北京高考真题)若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝( A )
A. B．－
C．1 D．－1
[解析]　由题意知圆心坐标为(a,0)，又直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，所以圆心在直线上，即2a＋0－1＝0，解得a＝.故选A.
5. (2021·山东高考真题)如右图，直线l的方程是( D )
A.x－y－＝0
B.x－2y－＝0
C.x－3y－1＝0
D．x－y－1＝0
[解析]　由图可得直线的倾斜角为30°，所以斜率k＝tan 30°＝，又直线l与x轴的交点为(1,0)，所以直线的点斜式方程可得l：y－0＝(x－1)，即x－y－1＝0.故选D.第六讲　双曲线
知 识 梳 理
知识点一　双曲线的定义
平面内与两个定点F1、F2的 距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)　的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的 焦点　，两焦点间的距离叫做双曲线的 焦距　.
注：设集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数，且a＞0，c＞0；
(1)当a＜c时，P点的轨迹是 双曲线　；
(2)当a＝c时，P点的轨迹是 两条射线　；
(3)当a＞c时，集合P是 空集　.
知识点二　双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0)
图形
性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a
对称性 对称轴：坐标轴　　　对称中心：原点
顶点 顶点坐标：A1 (－a,0)　，A2 (a,0)　 顶点坐标：A1 (0，－a)　，A2 (0，a)　
渐近线 y＝ ±x　 y＝ ±x　
离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的 实轴　，它的长|A1A2|＝ 2a　；线段B1B2叫做双曲线的 虚轴　，它的长|B1B2|＝ 2b　； a　叫做双曲线的 实半轴长　，b叫做双曲线的 虚半轴长　
a、b、c的关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
归 纳 拓 展
双曲线中的几个常用结论
(1)焦点到渐近线的距离为b.
(2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．
双曲线为等轴双曲线 双曲线的离心率e＝ 双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．
(3)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为(通径)．
过双曲线的焦点与双曲线一支相交所得弦长的最小值为；与两支相交所得弦长的最小值为2a.
(4)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上，则AB与另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为4a＋2|AB|.
(5)双曲线的离心率公式可表示为e＝.
(6)双曲线的形状与e的关系：|k|＝＝＝，e越大，即渐近线斜率的绝对值就越大，双曲线开口就越开阔．
(7)若M、N为双曲线－＝1(a>0，b>0)实轴端点，P为双曲线上不与M、N重合的点，则kPM·kPN＝.
(8)－＝1(a>0，b>0)与－＝1(a>0，b>0)互为共轭双曲线，其离心率倒数的平方和为1.
双 基 自 测
题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( × )
(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．( × )
(3)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.( √ )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.( √ )
(5)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与－＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则＋＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线)．( √ )
题组二　走进教材
2．(选择性必修1P127T8)与椭圆＋＝1有公共焦点，且离心率e＝的双曲线的渐近线方程为 3x±4y＝0　.
[解析]　由题意知c＝＝5，又e＝＝，∴a＝4，从而b＝＝3.∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，即3x±4y＝0.
3．(多选题)(选择性必修1P146T11)已知常数a>0，点A(－a,0)，B(a,0)，动点M(不与A，B重合)满足：直线AM与直线BM的斜率之积为m(m≠0)，动点M的轨迹与点A，B共同构成曲线C，则关于曲线C的下列说法正确的是( BCD )
A．当m<0时，曲线C表示椭圆
B．当m<－1时，曲线C表示焦点在y轴上的椭圆
C．当m>0时，曲线C表示双曲线，其渐近线方程为y＝±x
D．当m>－1且m≠0时，曲线C的离心率是
[解析]　设M(x，y)，则·＝m，所以y2＝m(x2－a2)，即曲线C的方程为－＝1，当m<0且m≠－1时，曲线C表示椭圆，A错误；当m<－1时，－ma2>a2，曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，B正确；当m>0时，曲线C表示双曲线，其渐近线方程为y＝±x，C正确；当m>0时，曲线C表示双曲线，其离心率为＝，当－1题组三　走向高考
4．(2021·全国新高考Ⅱ)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为 y＝±x　.
[解析]　因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，
所以e＝＝＝2，所以＝3，
所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
故答案为y＝±x.
5．(2023·新课标全国Ⅰ卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，⊥，＝－，则C的离心率为 　.
[解析]　解法一：依题意，设|AF2|＝2m，则|BF2|＝3m＝|BF1|，|AF1|＝2a＋2m，
在Rt△ABF1中，9m2＋(2a＋2m)2＝25m2，则(a＋3m)(a－m)＝0，
故a＝m或a＝－3m(舍去)，
所以|AF1|＝4a，|AF2|＝2a，|BF2|＝|BF1|＝3a，则|AB|＝5a，
故cos∠F1AF2＝＝＝，
所以在△AF1F2中，cos∠F1AF2＝＝，整理得5c2＝9a2，故e＝＝.
解法二：依题意，得F1(－c,0)，F2(c,0)，
令A(x0，y0)，B(0，t)，因为＝－，
所以(x0－c，y0)＝－(－c，t)，则x0＝c，y0＝－t，
又⊥，所以·＝(c，t)＝c2－t2＝0，
则t2＝4c2，又点A在C上，则－＝1，
整理得－＝1，则－＝1，
所以25c2b2－16c2a2＝9a2b2，
即25c2(c2－a2)－16a2c2＝9a2(c2－a2)，
整理得25c4－50a2c2＋9a4＝0，则(5c2－9a2)(5c2－a2)＝0，解得5c2＝9a2或5c2＝a2，
又e>1，所以e＝或e＝(舍去)，故e＝.第二讲　两条直线的位置关系
知 识 梳 理
知识点一　两条直线的位置关系
平面内两条直线的位置关系包括 平行、相交、重合　三种情况．
1．两条直线平行
对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1∥l2 k1＝k2，且b1≠b2.
对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
l1∥l2 A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．
2．两条直线垂直
对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2 k1·k2＝－1.
对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0　.
知识点二　两条直线的交点
对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0当A1B2－A2B1≠0时，l1与l2相交．
直线l1和l2的交点坐标即为两直线方程组成的方程组的解．
相交 方程组有 唯一解　；
平行 方程组 无解　；
重合 方程组有 无数个解　.
知识点三　三种距离公式
1．平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝.
特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.
2．点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
特别的，点P(x0，y0)到直线l1：x＝a的距离为|x0－a|；到直线l2：y＝b的距离为|y0－b|.
3．两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝.
归 纳 拓 展
1．与对称问题相关的常用结论
(1)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)；
(2)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)．
特别的：点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
2．谨防四个易错点
(1)两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况．
(2)两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况．
(3)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．
(4)用公式法求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．
双 基 自 测
题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两直线的斜率相等，则两直线平行，反之，亦然．( × )
(2)若直线l：mx＋ny＋3＝0平分圆C：x2－2x＋y2－1＝0，则2m－3n＝6.( × )
(3)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.( √ )
(4)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.( × )
(5)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－，且线段AB的中点在直线l上．( √ )
题组二　走进教材
2．(选择性必修1P67T8(1))过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( A )
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
3．(选择性必修1P77T3)已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于( C )
A. B．2－
C．－1 D．＋1
[解析]　由题意得＝1.
解得a＝－1＋或a＝－1－.
∵a>0，∴a＝－1＋.
题组三　走向高考
4．(2021·全国甲卷)点(3,0)到双曲线－＝1的一条渐近线的距离为( A )
A. B．
C． D．
[解析]　由题意知，双曲线的渐近线方程为：－＝0，即3x±4y＝0，结合对称性，不妨考虑点(3,0)到直线3x＋4y＝0的距离：d＝＝.故选A.
5．坐标原点关于直线x－y－6＝0的对称点的坐标为 (6，－6)　.
[解析]　解法一：设坐标原点关于直线x－y－6＝0的对称点的坐标为(a，b)，则解得a＝6，b＝－6，∴坐标原点关于直线x－y－6＝0的对称点的坐标为(6，－6)．
解法二：过原点与直线x－y－6＝0垂直的直线方程为x＋y＝0，由得垂足坐标为(3，－3)，故所求对称点的坐标为(6，－6).第五讲　椭圆
知 识 梳 理
知识点一　椭圆的定义
平面内与两个定点F1、F2的 距离的和等于常数(大于|F1F2|)　的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的 焦点　，两焦点间的距离叫做椭圆的 焦距　.
注：若集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a、c为常数，则有如下结论：
(1)若a＞c，则集合P为 椭圆　；
(2)若a＝c，则集合P为 线段F1F2　；
(3)若a＜c，则集合P为 空集　.
知识点二　椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0)
图形
性质 范围 －a≤x≤a－b≤y≤b －b≤x≤b－a≤y≤a
对称性 对称轴：坐标轴　　　　对称中心：原点
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)
轴 长轴A1A2的长为 2a　；短轴B1B2的长为 2b　
焦距 |F1F2|＝ 2c　
离心率 e＝ 　∈(0,1)
a、b、c的关系 c2＝a2－b2　
归 纳 拓 展
1．a＋c与a－c分别为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值；a与b分别为椭圆上的点到原点距离的最大值和最小值．
2．过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦|AB|＝，称为通径．
3．若过焦点F1的弦为AB，则△ABF2的周长为4a.
4．e＝.离心率e越大，椭圆越扁；离心率e越小，椭圆越圆．
5．椭圆的焦点在x轴上 标准方程中x2项的分母较大，椭圆的焦点在y轴上 标准方程中y2项的分母较大．
6．AB为椭圆＋＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则
(1)弦长|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|；
(2)直线AB的斜率kAB＝－.
7．若M、N为椭圆＋＝1(a>b>0)长轴端点，P是椭圆上不与M、N重合的点，则kPM·kPN＝－.
双 基 自 测
题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( × )
(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．( × )
(3)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．( √ )
(4)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相同．( √ )
题组二　走进教材
2．(选择性必修1P115T6)如图所示，A是圆O内一定点，B是圆周上一个动点，AB的中垂线CD与OB交于点E，则点E的轨迹是( B )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
[解析]　由题意知，|EA|＋|EO|＝|EB|＋|EO|＝r(r为圆的半径)且r>|OA|，故E的轨迹为以O，A为焦点的椭圆，故选B.
3．(多选题)(选择性必修1P115T4)长轴长是短轴长的3倍；且经过点P(3,0)的椭圆的标准方程为( AD )
A.＋y2＝1 B．＋＝1
C．x2＋＝1 D．＋＝1
[解析]　若P为长轴的端点，则a＝3，b＝1，
椭圆的标准方程为＋y2＝1；
若P为短轴的端点，则b＝3，a＝9，
椭圆的标准方程为＋＝1.
题组三　走向高考
4．(2022·全国甲卷)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为( A )
A. B．
C． D．
[解析]　A(－a,0)，设P(x1，y1)，则Q(－x1，y1)，
则kAP＝，kAQ＝，
故kAP·kAQ＝·＝＝，
又＋＝1，则y＝，
所以＝，即＝，
所以椭圆C的离心率e＝＝＝.故选A.
5．(2023·高考新课标Ⅱ卷)已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，则m＝( C )
A. B．
C．－ D．－
[解析]　将直线y＝x＋m与椭圆联立消去y可得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，因为直线与椭圆相交于A，B点，则Δ＝36m2－4×4(3m2－3)>0，解得－2

展开更多......

收起↑