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第六讲　二项分布与超几何分布
知 识 梳 理
知识点一　二项分布
1．n重伯努利试验
只包含 两个　可能结果的试验叫做伯努利试验．将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．
特征：①同一个伯努利试验重复做n次；②各次试验的结果 相互独立　.
2．二项分布：在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)．
若X～B(n，p)，则E(X)＝ np　，D(X)＝ np(1－p)　.
知识点二　超几何分布
1．超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N、M≤N，n、M、N∈N＋，称随机变量X服从超几何分布．可记为h(N，M，n)．
X 0 1 … m
P …
E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)，其中p＝.
2．二项分布与超几何分布的比较
摸球方式 X的分布列 E(X) D(X)
放回摸球 二项分布B(n，p) np np(1－p)
不放回摸球 超几何分布H(N，M，n) np np(1－p)
归 纳 拓 展
1．二项分布的适用范围及本质
(1)适用范围：
①各次试验中的事件是相互独立的；
②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；
③随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数．
(2)本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的．
2．超几何分布的适用范围及本质
(1)适用范围：
①考察对象分两类；
②已知各类对象的个数；
③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数Y的概率分布．
(2)本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的．
双 基 自 测
题组一　走出误区
1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．( √ )
(2)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布．( √ )
(3)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a＋b)n二项展开式的通项公式，其中a＝p，b＝1－p.( × )
(4)小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰好第3次测试获得通过的概率是P＝C·1·3－1＝.( × )
题组二　走进教材
2．(选择性必修3P76T1改编)将一枚质地均匀的硬币重复抛掷4次，X表示“正面向上”出现的次数，则P(X＝2)＝ 　，E(X)＝ 2　.
[解析]　P(X＝2)＝C4＝，X～B，∴E(X)＝2.
3．(选择性必修3P79T6改编)某小组有5名男生、3名女生，从中任选3名同学参加活动，若X表示选出女生的人数，则P(X≥2)( C )
A. B．
C． D．
[解析]　P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝.故选C.
题组三　走向高考
4．(2018·课标Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4)A．0.7 B．0.6
C．0.4 D．0.3
[解析]　由题知X～B(10，p)，则D(X)＝10×p×(1－p)＝2.4，解得p＝0.4或0.6.又∵P(X＝4)0.5，
∴p＝0.6，故选B.
5．(2021·天津高考)甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，每次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为 　；3次活动中，甲至少获胜2次的概率为 　.
[解析]　由题可得一次活动中，甲获胜的概率为×＝；则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为C×2×＋3＝.第三讲　随机事件的概率　古典概型
知 识 梳 理
知识点一　随机事件的有关概念
1．随机试验——对随机现象的实现和对它的观察．常用E表示．
样本点——随机试验的每个可能的 基本结果　.常用w表示．
样本空间——全体样本点的集合，常用Ω表示．
2．随机事件——样本空间Ω的子集，简称事件，常用A，B，…表示．
基本事件—— 只包含一个样本点　的事件．
在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时称为事件A发生，Ω 总会　发生，称Ω为必然事件， 在每次试验中都 不会　发生，称 为不可能事件．
知识点二　事件的关系与运算
定义 符号表示
包含关系 若事件A 发生　，则事件B 一定发生　，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) B A　 (或A B)　
相等关系 若B A，且 A B　，则称事件A与事件B相等 A＝B　
并事件(和事件) 若某事件发生 当且仅当事件A与事件B至少有一个发生　，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B　 (或A＋B)　
交事件(积事件) 若某事件发生 当且仅当事件A与事件B同时发生　，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B　 (或AB)　
互斥事件 若A∩B为 不可能　事件，则称事件A与事件B互斥 A∩B＝ 　
对立事件 若A∩B为 不可能　事件，A∪B为 必然事件　，则称事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝ ，　 且A∪B＝Ω　
　　知识点三　古典概型
1．概率——对随机事件发生可能性大小的度量(数值)．
2．具有以下两个特征的试验称为古典试验，其数学模型称为古典概型．
(1)有限性：样本空间的样本点 只有有限个　.
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性 相等　.
设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则事件A的概率P(A)＝.
3．概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
(2)P(Ω)＝ 1　，P( )＝ 0　.
(3)如果事件A与事件B互斥，那么P(A＋B)＝ P(A)＋P(B)　.P(AB)＝ 0　.
(4)如果事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝ 1－P(B)　.
(5)如果A B，那么P(A) ≤　P(B)．
(6)P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)．
知识点四　频率与概率
在任何确定次数的随机试验中，随机事件A发生的频率具有随机性．随着试验次数n的增大，事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．称频率的这个性质为频率的稳定性，因此，可用频率fn(A)估计概率P(A)．
归 纳 拓 展
1．频率随着试验次数的改变而改变，概率是一个常数．
2．对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．
3．求试验的基本事件数及事件A包含的基本事件数常用两个计数原理及排列、组合知识，另外还有列举法、列表法、树状图法等．
4．当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
双 基 自 测
题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场．( × )
(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．( × )
(3)从市场上出售的标准为500±5 g的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型．( × )
(4)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为.( √ )
(5)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是0.2.( √ )
题组二　走进教材
2．(必修2P235例8)同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为 　.
[解析]　掷两个骰子一次，向上的点数共6×6＝36(种)可能的结果，其中点数相同的结果共有6种，所以点数不相同的概率P＝1－＝.
题组三　走向高考
3．(2022·全国高考甲卷)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为( C )
A. B．
C． D．
[解析]　从6张卡片中无放回抽取2张，共有C＝15种情况，其中数字之积为4的倍数的有(1,4)，(2,4)，(2,6)，(3,4)，(4,5)，(4,6)6种情况，故概率为＝.故选C.
4．(2021·全国高考)将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为( C )
A．0.3 B．0.5
C．0.6 D．0.8
[解析]　所求概率P＝＝0.6.故选C.
5．(2022·新高考Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为( D )
A. B．
C． D．
[解析]　所求概率P＝＝.故选D.第七讲　正态分布
知 识 梳 理
知识点一　正态曲线及其性质
1．正态曲线：函数f(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数．我们称函数f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作 X～N(μ，σ2)　.
2．正态曲线的性质：(1)曲线位于x轴 上方　，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线 x＝μ　对称；(3)曲线在 x＝μ　处达到峰值；(4)曲线与x轴之间的面积为 1　；(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿着x轴平移；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越 集中　；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越 分散　.
知识点二　正态分布
1．正态分布的定义及表示．
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝e－，x∈R，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．
特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布，即X～N(0,1)．
2．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值(3σ原则)：
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈ 0.682 7　；
②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈ 0.954 5　；
③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈ 0.997 3　.
σ原则：主要用于判定产品质量是否合格，机器运行是否正常等，也就是说3σ之外的概率是小概率事件，如果发生了说明产品不合格、机器运行不正常等．
归 纳 拓 展
对于正态分布N(μ，σ2)，由x＝μ是正态曲线的对称轴知
(1)P(X≥μ)＝P(X≤μ)＝0.5；
(2)对任意的a有P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)；
(3)P(X(4)P(a注：在X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)时，要充分利用正态曲线的关于直线x＝μ对称和曲线与x轴之间的面积为1.
双 基 自 测
题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定．( √ )
(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．( √ )
(3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差．( √ )
(4)若X～N(0,1)，则P题组二　走进教材
2．(选择性必修3P87T2)某市高二年级男生的身高X(单位：cm)近似服从正态分布N(170,52)，则P(165[解析]　P(165题组三　走向高考
3．(2022·新高考Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(22.5)＝ 0.14　.
[解析]　因为X～N(2，σ2)，所以P(X<2)＝P(X>2)＝0.5，因此P(X>2.5)＝P(X>2)－P(24．(2015·湖北)设X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是( C )
A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)
D．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)
[解析]　由正态分布密度曲线的性质可知，X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)的密度曲线分别关于直线x＝μ1，x＝μ2对称，因此结合题中所给图象可得，μ1<μ2，所以P(Y≥μ2)P(X≤σ1)，B错误；对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)，P(X≥t)≤P(Y≥t)，C正确，D错误．
5．(2021·全国新高考Ⅱ)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，下列结论中不正确的是( D )
A．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大
B．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等
[解析]　对于A，σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ＝10附近越集中，所以测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大，故A正确；
对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；
对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确；
对于D，因为该物理量一次测量结果落在(9.9,10.0)的概率与落在(10.2,10.3)的概率不同，所以一次测量结果落在(9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不同，故D错误．故选D.第五讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差
知 识 梳 理
知识点一　离散型随机变量
对随机试验样本空间Ω中的每个样本点w，都有唯一的实数X(w)与之对应，称为 随机变量　，通常用大写英文字母X，Y，…表示随机变量．所有取值可以一一列出的随机变量，称为 离散型　随机变量．
知识点二　离散型随机变量的分布列及性质
1．一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，称X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi为X的分布列，可用表格表示为：
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
2.离散型随机变量的分布列的性质
(1)pi≥0(i＝1,2，…，n)；
(2)pi＝ p1＋p2＋…＋pn　＝1.
3．两点分布或0－1分布：若随机变量X服从两点分布，其分布列为
X 0 1
P 1－p p
其中p＝P(X＝1)称为成功概率．
若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
知识点三　离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n.
1．均值：称E(X)＝ x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝xipi　为随机变量X的均值或数学期望．
2．方差：称D(X)＝ (xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，其算术平方根为随机变量X的 标准差　.
3．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝ aE(X)＋b　.
(2)D(aX＋b)＝ a2D(X)　.
(3)D(X)＝E(X2)－(E(X))2.
归 纳 拓 展
1．若X是随机变量，则Y＝aX＋b(a，b是常数)也是随机变量．
2．随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的．
3．随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定．
4．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．
双 基 自 测
题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．( √ )
(2)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.( × )
(3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( √ )
(4)由下列给出的随机变量X的分布列服从两点分布．( × )
X 2 5
P 0.3 0.7
题组二　走进教材
2．(选择性必修3P90T4改编)设随机变量X的概率分布列为
X 1 2 3 4
P m
则P(|X－3|＝1)＝ 　.
[解析]　由＋m＋＋＝1，解得m＝，
P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝＋＝.
3．(选择性必修3P69例6)A、B两种股票，每股收益分布列如表
股票A收益分布列
收益X/元 －1 0 2
概率 a 0.3 0.6
股票B收益分布列
收益Y/元 0 1 2
概率 0.3 0.4 b
则投资 A　股票期望大，投资 A　股票风险高．
[解析]　由分布列的性质易知a＝0.1，b＝0.3，
从而E(X)＝1.1，E(Y)＝1，D(X)＝1.29，D(Y)＝0.6，
∴E(X)>E(Y)，投资A股票期望大，
D(X)>D(Y)投资A股票风险高．
题组三　走向高考
4．(2022·浙江)现有7张卡片，分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P(ξ＝2)＝ 　，E(ξ)＝ 　.
[解析]　从写有数字1,2,2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有C种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最小值为2的取法有C＋CC种，所以P(ξ＝2)＝＝，由已知可得ξ的取值有1,2,3,4，
P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.
5．(2020·课标Ⅲ)在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且i＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是( B )
A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4
B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1
C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3
D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2
[解析]　根据均值E(X)＝ipi，方差D(X)＝xi－E(X)]2·pi，标准差最大即方差最大，由各选项对应的方差如下表
选项 均值E(X) 方差D(X)
A 2.5 0.65
B 2.5 1.85
C 2.5 1.05
D 2.5 1.45
由此可知选项B对应样本的标准差最大，故选B.第一讲　两个计数原理、排列、组合
知 识 梳 理
知识点一　两个计数原理
1．分类加法计数原理
完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事共有N＝ m1＋m2＋…＋mn　种不同的方法．
2．分步乘法计数原理
完成一件事需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，……，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ m1×m2×…×mn　种不同的方法．
知识点二　排列与排列数
1．排列的定义：从n个 不同　元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的 顺序　排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
2．排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 所有不同排列　的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 A　表示．
3．排列数公式：A＝ n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m，n∈N*，且m≤n)　.
4．全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，A＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1＝ n！　.排列数公式写成阶乘的形式为A＝，这里规定0！＝ 1　.
知识点三　组合与组合数
1．组合的定义：一般地，从n个 不同　元素中取出m(m≤n)个元素 作为一组　，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2．组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 所有不同组合　的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 C　表示．
3．组合数的计算公式：C＝＝＝，这里规定C＝ 1　.
4．组合数的性质：①C＝ C　；②C＝ C　＋ C　.
注：应用公式化简、求值、解方程、解不等式时，注意A、C中的隐含条件m≤n，且m，n∈N*.
归 纳 拓 展
1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别
分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互联系、相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．
2．对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑
(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．
(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．
(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数．
双 基 自 测
题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．( √ )
(2)若组合式C＝C，则x＝m成立．( × )
(3)4名同学分别报名参加学校的3个社团，每人限报一个，则不同的报法种数为43.( × )
(4)正十二边形共有54条对角线．( √ )
(5)用0,1,2,3,4这5个数字可以组成30个三位偶数．( × )
(6)kC＝nC.( √ )
题组二　走进教材
2．(选择性必修3P38T3(2)改编)某班一天上午有4节课，下午有2节课，安排语文、数学、政治、英语、体育、艺术每科一节，要求数学排在上午，体育不排上午第一节和下午第二节，则不同的安排种数是 312　.
[解析]　上午第一节排数学有4A＝96种排法；
上午第一节不排数学有3×3A＝216种排法，
∴不同的排法共有96＋216＝312种排法．
3．(选择性必修3P27T17改编)在如图所示的五个区域中涂色，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为( C )
A．24 B．48
C．72 D．96
[解析]　
区域 A B E C D
涂法 4 3 2 (与A同色)1 2
与A不同色1 1
∴不同的涂色方法共有4×3×2×1×(2＋1)＝72(种)，故选C.
题组三　走向高考
4．(2022·新高考Ⅱ卷)有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有( B )
A．12种 B．24种
C．36种 D．48种
[解析]　先将丙和丁捆在一起有A种排列方式，然后将其与乙、戊排列，有A种排列方式，最后将甲插入中间两空，有C种排列方式，所以不同的排列方式共有AAC＝24种，故选B.
5．(2023·高考全国甲卷)有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为( B )
A．120 B．60
C．40 D．30
[解析]　不妨记五名志愿者为a，b，c，d，e，假设a连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有A＝12种方法，同理：b，c，d，e连续参加了两天社区服务，也各有12种方法，所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有5×12＝60种．故选B.第二讲　二项式定理
知 识 梳 理
知识点一　二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N＋)．
这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数C(k＝0,1,2，…，n)叫做 二项式系数　，式中的 Can－kbk　叫做二项展开式的 通项　，用Tk＋1表示，即通项为展开式的第 k＋1　项：Tk＋1＝ Can－kbk　.
知识点二　二项展开式形式上的特点
1．项数为 n＋1　.
2．各项的次数和都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为 n　.
3．字母a按 降幂　排列，从第一项开始，次数由n逐项减小1直到零；字母b按 升幂　排列，从第一项起，次数由零逐项增加1直到n.
知识点三　二项式系数的性质
归 纳 拓 展
1．二项式定理中，通项公式Tk＋1＝Can－kbk是展开式的第k＋1项，不是第k项．
2．二项式系数与项的系数的区别
二项式系数是指C，C，…，C，它只与各项的项数有关，而与a、b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a、b的值有关．
双 基 自 测
题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)Can－kbk是二项展开式的第k项．( × )
(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( × )
(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．( √ )
(4)(a－b)n的展开式第k＋1项的系数为Can－kbk.( × )
(5)(x－1)n的展开式二项式系数和为－2n.( × )
(6)在(1－x)9的展开式中系数最大的项是第5项和第6项．( × )
题组二　走进教材
2．(选择性必修3P38T5(2))18的展开式的常数项为 18 564　.
[解析]　18的展开式的通项为Tr＋1＝C(9x)18－r·r＝
.
由题意得18－＝0，r＝12，
∴常数项为T13＝C＝C＝18 564.
3．(选择性必修3P38T5(1))(1－2x)5(1＋3x)4的展开式中按x的升幂排列的第3项为 －26x2　.
[解析]　(1－2x)5、(1＋3x)4的展开式的通项分别为Tr＋1＝C(－2x)r，Tk＋1＝C(3x)k，
又(1－2x)5(1＋3x)4的展开式中按x升幂排列的第3项即展开式中x2项，
C(－2x)0·C(3x)2＋C(－2x)·C(3x)＋C(－2x)2·C(3x)0＝－26x2.
题组三　走向高考
4．(2023·新高考天津卷)在6的展开式中，x2项的系数为 60　.
[解析]　展开式的通项公式Tk＋1＝C(2x3)6－k·k＝(－1)k×26－k×C×x18－4k，令18－4k＝2可得，k＝4，则x2项的系数为(－1)4×26－4×C＝4×15＝60.
5．(2022·新高考Ⅰ卷)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为 －28　(用数字作答)．
[解析]　因为(x＋y)8＝(x＋y)8－(x＋y)8，所以(x＋y)8的展开式中含x2y6的项为Cx2y6－Cx3y5＝－28x2y6，故(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为－28.第四讲　事件的独立性、条件概率与全概率公式
知 识 梳 理
知识点一　事件的相互独立性
设A、B为两个事件，如果P(AB)＝ P(A)P(B)　，则称事件A与事件B相互独立．
若事件A、B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)；事件A与，与B，与都相互独立．
注：“相互独立”与“事件互斥”的区别．两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响．两事件相互独立不一定互斥．
知识点二　条件概率
1．定义：设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．
2．求法：P(B|A)＝＝.
3．乘法公式：由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)．
4．性质：
(1)0≤P(B|A)≤1；
(2)若B与C互斥，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
知识点三　全概率公式
一般地，设A1，A2，A3，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪A3∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2,3，…，n，则对任意的事件B Ω，有P(B)＝(Ai)P(B|Ai)，我们称此公式为全概率公式．
*贝叶斯公式：
设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意事件B Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝＝，i＝1,2，…，n.
归 纳 拓 展
1．事件的表示
(1)A、B中至少有一个发生的事件为A∪B.
(2)A、B都发生的事件为AB.
(3)A、B都不发生的事件为.
(4)A、B恰有一个发生的事件为(A)∪(B)．
(5)A、B至多有一个发生的事件为(B)∪(A)∪()．
2．一般结论
(1)若事件A，B，C两两相互独立，则P(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C)；
(2)P(|A)＝1－P(B|A)；
(3)若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)·P(B|A)；
(4)若A、B相互独立，则①A、B至少有一个发生的概率P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(A)·P(B)．
P(A＋B)＝1－P()P()．
②A、B恰有一个发生的概率P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－2P(A)·P(B)．
双 基 自 测
题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．( √ )
(2)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率；P(BA)表示事件A，B同时发生的概率，一定有P(AB)＝P(A)·P(B)．( × )
(3)袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是0.5.( √ )
(4)抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件A＝“第一枚骰子奇数面朝上”，事件B＝“两枚骰子向上点数之和为7”．则A与B独立．( √ )
题组二　走进教材
2．(多选题)(选择性必修3P48T3)一个袋子中装有除颜色外完全相同的5个球，其中有3个红球，2个白球，每次从中随机摸出1个球，则下列结论中正确的是( BCD )
A．若不放回的摸球2次，则第一次摸到红球的概率为
B．若不放回的摸球2次，则在第一次摸到红球的条件下第二次摸到红球的概率为
C．若有放回的摸球3次，则仅有前2次摸到红球的概率为
D．若有放回的摸球3次，则恰有2次摸到红球的概率为
[解析]　第一次摸到红球的概率为，故A错误；不放回的摸球2次，则在第一次摸到红球的条件下第二次摸到红球的概率P＝＝，故B正确；有放回的摸球3次，则仅有前2次摸到红球的概率××＝，故C正确；有放回的摸球3次，则恰有2次摸到红球的概率C2×＝，故D正确．故选BCD.
3．(必修2P250T4改编)(2022·云南曲靖一中质检)甲、乙、丙三人独立破译一份密码，分别译出的概率为，，，则密码能被译出的概率为( C )
A. B．
C． D．
[解析]　P＝1－××＝.
题组三　走向高考
4．(2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( B )
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
[解析]　P(甲)＝，P(乙)＝，P(丙)＝，P(丁)＝＝， P(甲丙)＝0≠P(甲)P(丙)，P(甲丁)＝＝P(甲)P(丁)，P(乙丙)＝≠P(乙)P(丙)，P(丙丁)＝0≠P(丁)P(丙)，故选B.
5．(2023·高考全国甲卷)有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为( A )
A．0.8 B．0.4
C．0.2 D．0.1
[解析]　报名两个俱乐部的人数为50＋60－70＝40，记“某人报足球俱乐部”为事件A，记“某人报乒乓球俱乐部”为事件B，则P(A)＝＝，P(AB)＝＝，所以P(B|A)＝＝＝0.8.故选A.

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