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第四章 探索三角形全等的条件（SSS和SAS）
（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】三角形的稳定性
1．三角形的稳定性
（1）只要三角形的三边长确定，这个三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．
（2）四边形具有不稳定性．
2．三角形稳定性的应用
稳定性是三角形特有的性质，在生产和生活中具有广泛的应用，有很多需要保持稳定的物体都被制成三角形的形状，如起重机、钢架桥等．
特别提醒：
四边形具有不稳定性，为保证其稳定，常在图形中构造三角形．四边形的不稳定性在生活中也有广泛的应用，如活动挂架、伸缩门等．
【知识点二】三角形全等的条件——边边边
1．边边边 三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”．
2．书写格式 如图
在△ABC和△中，
所以△ABC≌△（SSS）
特别提醒：
在列举两个三角形全等的条件时，应把三个条件按顺序排列（一般是把同一个三角形的三个条件放在等号的同一侧），并用大括号将其括起来．
【知识点三】三角形全等的条件——角角边
1．角边角 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”
2．书写格式 如图，在△ABC和△中，∠A=∠，∠B=∠，CB=
所以△ABC≌△（AAS）
3．“ASA”与“AAS”的区别与联系
“S”的意义 书写格式 联系
ASA “S”是两角的夹边 把夹边相等写在两角相等的中间 “AAS”可由“ASA”结合三角形的内角和推到得出
AAS “S”是其中一角的对边 把两角相等写在一起，边相等放在最后
特别提醒：
1．判定两个三角形全等的三个条件中，“边”是必不可少的．
2．将“角角边”和“角边角”合起来可得，如果两个三角形的两个角和一条边对应相等，那么这两个三角形全等．
3．找等角的几个方式：公共角，对顶角，角平分线，垂直，同角或等角的余（或补）角，等角加（或减）等角，平行线得同位角或内错角，全等三角形的对应角．
【考点目录】
【考点1】三角形的稳定性； 【考点2】用“边边边”证明三角形全等；
【考点3】全等的性质和“边边边”综合； 【考点4】用“边角边”证明三角形全等；
【考点5】全等的性质和“边角边”综合； 【考点6】“边边边”和“边角边”综合．
【考点1】三角形的稳定性；
【例1】
1．如图（1）扭动三角形木架， 它的形状会改变吗？
如图（2）扭动四边形木架， 它的形状会改变吗？
如图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状会改变吗？为什么？
归纳：①三角形木架的形状______，说明三角形具有______；
②四边形木架的形状______说明四边形没有______．
【变式1】
2．下列图形中，不具有稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】
3．如图，五根木条钉成一个五边形框架，要使框架稳固且不活动，至少还需要添 根木条．
【考点2】用“边边边”证明三角形全等；
【例2】
4．如图已知，，
(1)添加下列条件：①；②；
③；④．
其中能证明与全等的有______（直接填序号）；
(2)在（1）中选择一个进行证明．
【变式1】
5．一个三角形的三边长为，，，另一个三角形的三边长为，，，如果由“”可以判定两个三角形全等，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【变式2】
6．如图，AB，CD相交于点O，，请你补充一个条件，使得，你补充的条件是 ．
【考点3】全等的性质和“边边边”综合；
【例3】
7．已知：如图，与交于点，，、是上两点，且，，，
求证∶
(1)；
(2)．
【变式1】
8．如图，在中，，D为的中点，则下列结论中：①；②；③平分；④，其中正确的个数为（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】
9．如图，在中，，，，则 ．
【考点4】用“边角边”证明三角形全等；
【例4】
10．如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连．
(1)求证：；
(2)若，连接，平分，平分，求的度数．
【变式1】
11．如图，点P是平分线上的一点，，，，则的长不可能是（ ）

A．6 B．5 C．4 D．3
【变式2】
12．如图，，，将绕D逆时针旋转90°至，连接AE，若，则的面积是 ．
【考点5】全等的性质和“边角边”综合；
【例5】
13．如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连接．
(1)求证：；
(2)若，连接，平分，平分，求的度数．
【变式1】
14．如图所示，为的角平分线，且，则的大小是（　　）．
A． B． C． D．
【变式2】
15．如图，是外一点，是上一点，，，，，则的度数为 ．
【考点6】“边边边”和“边角边”综合；
【例6】
16．已知：如图，在和中，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④．

(1)请选择其中的三个条件，使得（写出一种情况即可）；
(2)在（1）的条件下，求证：．
【变式1】
17．如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为 边上一动点，当的值最小时，的度数是（ ）
A．118° B．125° C．136° D．124°
【变式2】
18．如图，，，，点在线段上．若，，则 ．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．图（1）扭动三角形木架， 它的形状不会改变，因为三角形具有稳定性；
图（2）扭动四边形木架， 它的形状会改变，四边形不稳定；
图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状不会改变，四边形变成两个三角形，三角形具有稳定性；
归纳：①是三角形， 稳定性；②四边形， 稳定性 ．
【分析】①根据三角形的稳定性进行解答即可；
②根据四边形的不稳定性进行解答即可．
【详解】图（1）扭动三角形木架， 它的形状不会改变，因为三角形具有稳定性；
图（2）扭动四边形木架， 它的形状会改变，四边形不稳定；
图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状不会改变，四边形变成两个三角形，三角形具有稳定性；
归纳：
①由三角形具有稳定性知， 三角形木架的形状不会改变， 这说明三角形具有稳定性 ．
故答案为： 是三角形， 稳定性；
②四边形木架的形状是四边形， 四边形具有不稳定性 ．
故答案为： 四边形， 稳定性 ．
【点睛】本题考查的是三角形的稳定性，三角形的稳定性和四边形的不稳定性在实际生活中的应用问题，比较简单．
2．B
【分析】本题考查三角形的稳定性，熟记三角形的稳定性是解本题的关键．根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性即可判断．
【详解】A、具有稳定性，故此选项不合题意；
B、不具有稳定性，故此选项符合题意；
C、具有稳定性，故此选项不合题意；
D、具有稳定性，故此选项不符合题意；
故选：B．
3．2
【分析】本题考查了三角形的稳定性的应用．根据三角形的稳定性，只要使六边形框架变成三角形的组合体即可．
【详解】解：从图中可以看出，要使框架稳固且不活动，至少还需要添2根木条．
故答案为：2．
4．(1)②③
(2)见解析
【分析】本题考查了添加条件使三角形全等及证明；
（1）根据全等三角形的判定定理即可解答；
（2）根据（1）所选取的条件，证明三角形全等即可．
【详解】（1）解：已知，，要使与全等可以添加的条件为或，能得到这些条件的有②③，
故答案为：②③；
（2）证明：选③，
∵，
∴，
即，
在与中，
，
∴．
5．C
【分析】根据全等三角形的判定方法SSS，即可解答．
【详解】解：由“”可以判定两个三角形全等，
，，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
6．（答案不唯一）
【分析】在与中，已经有条件： 所以补充可以利用证明两个三角形全等.
【详解】解：在与中，
所以补充：
故答案为：
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，掌握“利用边边边公理证明两个三角形全等”是解本题的关键.
7．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质；
（1）先证明，然后根据证明，根据全等三角形的性质，即可得证；
（2）根据全等三角形的性质得出，根据邻补角相等得出，进而即可得证．
【详解】（1）证明：如图，
，

在和中
，，
（2）由（1）得：
．
8．D
【分析】由D为中点可得，利用即可证明，根据全等三角形的性质逐一判断即可.
【详解】解：∵D为的中点，
∴，
又∵为公共边
∴，故①正确，
∴，
∵，
∴，即，故②③④正确.
综上所述：正确的结论有①②③④共4个，
故选D.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，主要考查学生的推理能力．其中灵活运用所给的已知条件，从而对各个选项进行逐一验证进而确定答案是解题的关键.
9．##110度
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、邻补角等知识，证明是解题关键．利用“”证明，由全等三角形的性质可得，进而解得的度数即可．
【详解】解：在和中，
，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
10．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
（1）证出，根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定得出即可；
（2）根据（1）求出，根据三角形内角和定理求出即可．
【详解】（1）证明：证明：∵E为中点，
∴，
∵在和中
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
11．A
【分析】在上取，然后证明，根据全等三角形对应边相等得到，再根据三角形的任意两边之差小于第三边即可求解.
【详解】在上截取连接,

，
，
∵点是平分线上的一点，
，
在和中,
，
，
，
，
解得
故选A.
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系； 通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键.
12．3
【分析】由旋转可得，可求得，可求得的面积．
【详解】解：如图，过D作于点H，过E作交的延长线于F，则四边形是矩形，，
∴，
∴
∴，
∴，且，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查旋转的性质，掌握旋转图形是全等图形是解题的关键．
13．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形内角和定理等知识点；
（1）求出，根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定得出即可；
（2）根据（1）求出，根据三角形内角和定理求出即可．
【详解】（1）为中点，
，
在和中，
，
，
，
∴；
（2）平分，
，
，
，
，，
，
．
14．A
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识点，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
先根据邻补角的定义可得，再根据三角形内角和定理可得，再由角平分线的定义可得、；然后证明可得，最后根据三角形内角和定理即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴
∵为的角平分线，
∴，即
在和，
,
∴，
∴，
∴．
故选A．
15．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，连接，证明，可得，再证明，即可得到，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：．
16．(1)①②③或①③④（写出一种情况即可）
(2)见解析
【分析】（1）根据两三角形全等的判定条件，选择合适的条件即可；
（2）根据（1）中所选的条件，进行证明即可．
【详解】（1）解：根据题意，可以选择的条件为：①②③；
或者选择的条件为：①③④；
（2）证明：当选择的条件为①②③时，
，
，
即，
在和中，
，
；
当选择的条件为①③④时，
，
，
即，
在和中，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键．
17．D
【分析】先在上截取，连接，证明，得出，说明，找出当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，根据三角形外角的性质可得答案．
【详解】解：在上截取，连接，如图：
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，如图：
∵，，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理与三角形的外角的性质，解题的关键是找出使最小时点P的位置．
18．##55度
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．由，可得，结合题意可证明，得到，最后根据三角形的外角性质即可求解．
【详解】解：，
，
，
又，，
，
，
，
故答案为：．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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