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洛阳市 2024 年中招模拟考试 （一）
数 学 试 卷
注意事项：
1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共6页，满分120分，考试时间100分钟．
2．试题卷上不要答题，请用0.5 毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效．
3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 的绝对值是（ ）
A. 3 B. C. D.
2. 天地正清明，最美四月天．2024年清明假期，河南省文化和旅游市场热度延续、高潮迭起．三天假期，河南省接待国内游客1906.9万人次，旅游总收入112.5亿元．与2023年同期相比，接待人次增长9.9%，旅游总收入增长20.6%．数据“112.5亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 我国古代数学家刘徽利用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵、横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，已知，于点F，平分，若， 则度数是（ ）
A B. C. D.
6. 关于x的方程有两个不相等的实数根，m的值可以是（ ）
A. B. 1 C. D. 2
7. 如图， 四边形内接于，连接． 若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
8. 某校计划组织研学活动，现有四个地点可供选择：龙门石窟、洛邑古城、龙门海洋馆、洛阳博物馆．为了解学生想法，校方进行问卷调查（每人选一个地点），并绘制成如图所示统计图．已知选择洛邑古城的有 360人，那么选择龙门石窟的有（ ）
A. 120人 B. 240人 C. 360人 D. 480人
9. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点O为坐标原点，，C是斜边的中点，且交x轴于点D．将沿x轴向右平移得到，当的中点E恰好落在y轴上时，点的坐标为（ ）
A. B. C. D. (7， 0)
10. 如图1， 点E在正方形的边上， 且 点P沿从点 B运动到点D，设B，P两点间的距离为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，若图象的最低点M的纵坐标为 则最高点N的纵坐标a的值为（ ）
A. 6 B. C. D.
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 若一次函数 （b是常数）的图象经过第二、三、四象限，则b的值可以是_____ （写出 一个即可）．
12. 不等式组的解集为__________．
13. 人类的性别由一对染色体决定，称为性染色体．女性的性染色体是一对同型的染色体、用表示，男性的性染色体是一对异型的染色体，用表示，每个人的成对染色体只有一个能遗传给后代，且可能性相等．则一对夫妇的第一个孩子是女孩的概率是_______．
14. 如图，在中，，，以点A为圆心，边的长为半径作交边于点 E，以边 为直径作半圆交边于点 D，则图中阴影部分的面积为_______．
15. 在中，将边绕点A旋转，点C的对应点是点D，连接．当是等腰直角三角形时，的长为_________．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. （1）计算：；
（2）化简：
17. 某公司有A，B，C三种型号电动汽车出租，每辆车每天费用分别为310元，370元，580元．洛洛打算从该公司租一辆汽车外出旅游一天，往返行程为，为了选择合适的型号，通过网络调查，获得三种型号汽车充满电后的里程数据如图所示．
型号 平均里程（） 中位数（） 众数（）
A 199 195
C 227 225 225
（1）洛洛已经对A，C型号汽车数据统计如表，请继续求出B型号汽车行驶里程平均数、中位数和众数；
（2）为了尽可能避免行程中充电耽误时间，又能经济实惠地用车，请你从相关统计量和符合行程要求的百分比等进行分析，给出合理的租车建议．
18. 如图，四边形的顶点B，C在x轴上，顶点D在y轴上，，顶点A的坐标为，顶点B的横坐标．双曲线经过点A．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线(要求：不写作法，保留作图痕迹)；
（3）上问中所作的角平分线与x轴交于点E，若点C的坐标为，求证：四边形是菱形．
19. 随着端午节的临近，A，B两家超市开展促销活动，各自推出不同的购物优惠方案，如下表：
A超市 B超市
优惠方案 所有商品按七五折出售 购物金额每满100元返40元
（1）当购物金额为90元时，选择超市 （填“A”或“B”）更省钱；当购物金额为120元时，选择超市 （填“A”或“B”）更省钱；
（2）当购物金额为元时，请分别写出它们的实付金额y（元）与购物金额x（元）之间的函数表达式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱？
（3）对于A超市的优惠方案，随着购物金额的增大，顾客享受的优惠率不变，均为（注：优惠率=购物金额-实付金额）．若在B超市购物，购物金额越大，享受的优惠率一定越大吗？请举例说明．
20. 风是一种可再生能源．利用风能进行发电既可以提供持续的电力供应，又可以减少温室气体排放，抑制全球气候变暖，还可以增加能源供应的多样性，降低对传统能源的依赖．某市若干台风机矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶， ， 两两所成的角为 ，当其中一片风叶与塔干 叠合时，在与塔底 O 水平距离为 米的 E 处，测得塔顶部 A 的仰角． ，风叶 的视角 ，求风叶 的长度（结果精确到．参考数据：）
21. “急行跳远”是田径运动项目之一．运动员起跳后的腾空路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到落入沙坑的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系
某运动员进行了两次训练．
（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离 0 2 3 4
竖直高度 0
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系；
（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系记该运动员第一次训练落入沙坑点的水平距离为，第二次训练落入沙坑点的水平距离为，请比较，的大小．
22. 如图1，⊙O与直线l相离，过圆心O作直线l的垂线，垂足为P，且交于两点（M在之间）．我们把点N称为关于直线l的“远望点”，把的值称为关于直线l的“远望数”．
（1）如图2，在平面直角坐标系中，点E的坐标为，过点E画垂直于x轴的直线a，则半径为1的关于直线a的“远望点”的坐标是________，关于直线a的“远望数”为________；
（2）如图3，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C坐标为，以点C为圆心、长为半径作．若与直线相离，点O是关于直线的“远望点”，且关于直线的“远望数”是求直线的函数表达式．
23. 综合与实践课上，老师让同学们用“木工尺”探究三等分任意角 的方法．如图1为“木工尺”示意图，它是由两条宽度相同且互相垂直的直尺组成的，其中．下面是同学们的探究过程，请仔细阅读，并完成相应的任务，
【操作实践】
如图2，小明画的平行线，使得与的距离等于尺宽，在上取点E，使等于尺宽，调整“木工尺”的位置，使得经过点O，点D落在上，点E落在上， 则 三等分
小明过点 D 作，垂足为点 F，
由题意得：，
∴（ ）．
∵ ，
∴垂直平分，
∴，
∴平分（ ），
∴．
∴．
∴三等分．
任务：（1）请在括号内填写推理的依据．
【类比迁移】
爱动脑筋小华受到上述方法的启发，想到了通过折叠矩形纸片三等分一个已知角的方法，他的前两个操作步骤如下 （如图 3）：
步骤 1：在矩形纸片 上折出任意角，将矩形对折， 折痕记为， 再将矩形对折， 折痕记为， 展开矩形；
步骤 2：将矩形 沿着 折叠， 使得点 B 的对应点落在 上， 点 M 的对应点 落在上．
任务：（2）连接， 试证明是的一条三等分线．
【拓展应用】（3）在上述小华折叠的条件下，若 ，且 三点共线，请直接写出的长．
洛阳市 2024 年中招模拟考试 （一）
数 学 试 卷
注意事项：
1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共6页，满分120分，考试时间100分钟．
2．试题卷上不要答题，请用0.5 毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效．
3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 的绝对值是（ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了绝对值的定义，根据绝对值的定义，数轴上的数离开原点之间的距离叫做这个数的绝对值，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，即可得出结果．
【详解】解：，
的绝对值是3，
故选：A．
2. 天地正清明，最美四月天．2024年清明假期，河南省文化和旅游市场热度延续、高潮迭起．三天假期，河南省接待国内游客1906.9万人次，旅游总收入112.5亿元．与2023年同期相比，接待人次增长9.9%，旅游总收入增长20.6%．数据“112.5亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】他们主要考查科学记数法的表示，其形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．熟记科学记数法的形式是解题的关键．
【详解】解：数据亿用科学记数法可表示为：，
故选：D．
3. 我国古代数学家刘徽利用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵、横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了物体的三视图，根据从左边看到的平面图形即可求解，掌握物体三视图的画法是解题的关键．
【详解】解：由几何体可得，从左边看到的平面图形为，
故选：．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了合并同类项完全平方公式、积的幂、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
按照整式的运算法则对各项进行求解判断即可．
【详解】解：A.，运算错误，不符合题意；
B.， 运算错误，不符合题意；
C.运算正确，符合题意；
D.运算错误，不符合题意．
故选：C．
5. 如图，已知，于点F，平分，若， 则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质、垂线的定义、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，解题的关键是综合运用这些定义和性质定理．
根据垂直的定义先求得，再由平行线的性质求得，接着由平分求得，最后利用的内角和求得．
【详解】设与相交于点G，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
故选：D．
6. 关于x的方程有两个不相等的实数根，m的值可以是（ ）
A. B. 1 C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式与方程解的情况之间的关系是解本题的关键．
根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出的范围即可．
【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根，
，
解得：．
故的值可以为，
故选：A．
7. 如图， 四边形内接于，连接． 若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、圆心角与圆周角的关系，解题的关键熟知相关性质．
根据圆内接四边形对角互补可求得，然后再根据同弧上的圆心角等于圆周角的2倍即可得到结论．
【详解】∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵与所对的弧都是，
∴．
故选：D．
8. 某校计划组织研学活动，现有四个地点可供选择：龙门石窟、洛邑古城、龙门海洋馆、洛阳博物馆．为了解学生想法，校方进行问卷调查（每人选一个地点），并绘制成如图所示统计图．已知选择洛邑古城的有 360人，那么选择龙门石窟的有（ ）
A. 120人 B. 240人 C. 360人 D. 480人
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查扇形统计图，先根据选择洛邑古城的人数及所占比例求出学生总数，再乘以选择龙门石窟的人数所占比例即可．
【详解】解：学生总数为：（人），
选择龙门石窟的人数为：（人），
故选：B．
9. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点O为坐标原点，，C是斜边的中点，且交x轴于点D．将沿x轴向右平移得到，当的中点E恰好落在y轴上时，点的坐标为（ ）
A. B. C. D. (7， 0)
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了平移的性质，解直角三角形，坐标与图形，勾股定理，先求出，则由勾股定理得到，解直角三角形得到，根据线段中点的定义得到，则解直角三角形可得；由平移的性质可得，，则，求出，解得到，则，即．
详解】解：∵，
∴，
∴，
∴；
∵C是斜边的中点，
∴，
∵，
∴在中，，
由平移的性质可得，，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故选：A．
10. 如图1， 点E在正方形的边上， 且 点P沿从点 B运动到点D，设B，P两点间的距离为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，若图象的最低点M的纵坐标为 则最高点N的纵坐标a的值为（ ）
A. 6 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定、三角形三边之间的关系、勾股定理等，解题的关键是准确分析图1与图2的对应变化关系．
根据正方形对角线的轴对称性得到，则得到y的最小值是AE，对应到图2中的最低点M的纵坐标，结合之间的关系及勾股定理可求得的长，再观察到当点P运动到D点时，y达到最大值a，勾股定理求得长，则可求得a的值．
【详解】连接，
∵四边形是正方形，是其对角线，
∴，
又，
∴，
∴，
，
连接交于点，
（三角形两边之和大于第三边）．
当点P运动到时，
，
解得，
．
连接，则．
在图1中，当P运动到D点时，对应图2中最高点N，此时y取最大值a，，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 若一次函数 （b是常数）的图象经过第二、三、四象限，则b的值可以是_____ （写出 一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，根据一次函数的图象经过第二、三、四象限，可以得出，随便写出一个小于0的b值即可．
【详解】解：∵一次函数 （b是常数）的图象经过第二、三、四象限，
∴．
故答案为：（答案不唯一）．
12. 不等式组的解集为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键．
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【详解】解：，
由①得，，
由②得，，
故不等式组的解集为．
故答案为：．
13. 人类的性别由一对染色体决定，称为性染色体．女性的性染色体是一对同型的染色体、用表示，男性的性染色体是一对异型的染色体，用表示，每个人的成对染色体只有一个能遗传给后代，且可能性相等．则一对夫妇的第一个孩子是女孩的概率是_______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了概率公式，属于概率基础知识，比较简单．
利用概率公式求解即可．
【详解】解：一对夫妇的第一个孩子有女孩和男孩两种情况，
所以一对夫妇的第一个孩子是女孩的概率是，
故答案为：．
14. 如图，在中，，，以点A为圆心，边的长为半径作交边于点 E，以边 为直径作半圆交边于点 D，则图中阴影部分的面积为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形与扇形的面积计算，解题的关键是分清半圆、三角形、扇形三者之间的面积关系．
先用直角三角形面积减去扇形的面积得出空白区域的面积，然后再用半圆的面积减去空白区域的面积，即可得到阴影部分的面积．
【详解】∵，
∴，
∴
，
∴
．
故答案为：．
15. 在中，将边绕点A旋转，点C的对应点是点D，连接．当是等腰直角三角形时，的长为_________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质及勾股定理，能根据题意画出示意图及熟知图形旋转的性质是解题的关键．
根据题意，画出是等腰直角三角形时的示意图，再结合勾股定理即可解决问题．
【详解】解：当，且点在上方时，如图所示，
过点作的垂线，垂足为，
∵，且，
∴四边形是正方形，
∴，
∴．
在中，．
当，且点在下方时，如图所示，
过点作的垂线，垂足为，
∵，且，
∴四边形是正方形，
∴，
∴．
在中，
综上所述：的长为或．
故答案为：或．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. （1）计算：；
（2）化简：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】此题主要考查了实数运算，注意运算顺序，以及分式的混合运算，解答此题的关键是要明确：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的运算．
（1）首先计算零指数幂、负整数指数幂、开平方和开立方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可；
（2）首先计算小括号里面的减法，然后计算小括号外面的乘法即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
17. 某公司有A，B，C三种型号电动汽车出租，每辆车每天费用分别为310元，370元，580元．洛洛打算从该公司租一辆汽车外出旅游一天，往返行程为，为了选择合适的型号，通过网络调查，获得三种型号汽车充满电后的里程数据如图所示．
型号 平均里程（） 中位数（） 众数（）
A 199 195
C 227 225 225
（1）洛洛已经对A，C型号汽车数据统计如表，请继续求出B型号汽车行驶里程的平均数、中位数和众数；
（2）为了尽可能避免行程中充电耽误时间，又能经济实惠地用车，请你从相关统计量和符合行程要求的百分比等进行分析，给出合理的租车建议．
【答案】（1）平均数是；中位数为；众数为
（2）选择型号汽车
【解析】
【分析】本题考查的是折线统计图，平均数、众数和中位数的定义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫堂握相关定义是解题的关键做众数．
（1）根据平均数、中位数、众数的定义即可求解；
（2）根据平均数、中位数、众数的意义，结合往返行程为，三种型号电动汽车出租的每辆车每天的费用即可作出判断．
【小问1详解】
解：型号汽车行驶里程的平均数是：，
把这20个数据按从小到大的顺序排列，第10，11个数据均为，所以中位数为；
出现了六次，次数最多，所以众数为；
【小问2详解】
选择型号汽车，理由如下：
型号汽车的平均里程、中位数和众数均低于，且只有的车辆能达到行程要求，故不建议选择；
型号汽车的平均里程、中位数和众数都超过，其中型号汽车有符合行程要求，很大程度上可以避免行程中充电耽误时间，且型号汽车比型号汽车更经济实惠，故建议选择型号汽车．
18. 如图，四边形的顶点B，C在x轴上，顶点D在y轴上，，顶点A的坐标为，顶点B的横坐标．双曲线经过点A．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线(要求：不写作法，保留作图痕迹)；
（3）上问中所作的角平分线与x轴交于点E，若点C的坐标为，求证：四边形是菱形．
【答案】（1）反比例函数的解析式为
（2）见详解 （3）见详解
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数综合题，关键是掌握菱形的判定条件．
（1）将点代入双曲线，解得的值，可得反比例函数的解析式；
（2）以为圆心，任意长为半径画弧，交、于点、，连接，分别以、为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，即的平分线；
（3）因为，可得，已知，可得5，已知，因为，可得的长，因为是的角平分线，所以，即，可得，因为，可得，可得，因为，所以四边形是平行四边形，因为，可证平行四边形是菱形．
【小问1详解】
解：将点代入双曲线，
得，，
解得：，
∴反比例函数的解析式为；
【小问2详解】
【小问3详解】
，，
，
，
，
，
，
，
，
是的平分线，
，
，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
∴平行四边形是菱形．
19. 随着端午节的临近，A，B两家超市开展促销活动，各自推出不同的购物优惠方案，如下表：
A超市 B超市
优惠方案 所有商品按七五折出售 购物金额每满100元返40元
（1）当购物金额为90元时，选择超市 （填“A”或“B”）更省钱；当购物金额为120元时，选择超市 （填“A”或“B”）更省钱；
（2）当购物金额为元时，请分别写出它们的实付金额y（元）与购物金额x（元）之间的函数表达式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱？
（3）对于A超市的优惠方案，随着购物金额的增大，顾客享受的优惠率不变，均为（注：优惠率=购物金额-实付金额）．若在B超市购物，购物金额越大，享受的优惠率一定越大吗？请举例说明．
【答案】（1）
（2）当或时，在超市购物更省钱；当或时，在超市购物和超市购物实付金额一样多，任选一家即可；当时，在超市购物更省钱
（3）在超市购物、购物金额越大，享受的优惠率不一定越大
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意、列出函数关系式是解题的关键．
（1）根据“在超市购物实付金额”和“在超市购物实付金额”计算并比较大小即可得出结论；
（2）根据“在超市购物实付金额购物金额”写出关于的函数表达式，根据题意分别写出当和时关于的函数表达式，并通过比较与的大小确定的取值范围即可；
（3）分别计算在超市购物金额为100元、160元时对应的优惠率进行说明即可．
【小问1详解】
解：当购物金额为90元时，在超市购物实付金额(元)，在超市购物实付金额90元，
∵，
∴当购物金额为90元时，选择超市更省钱；当购物金额为120元时，在超市购物实付金额(元)，在超市购物实付金额(元)，
，
∴当购物金额为120元时，选择超市更省钱．
故答案为：．
【小问2详解】
当时，在超市购物实付金额；
当时，在超市购物实付金额；
当时，在超市购物实付金额；
∴在超市购物实付金额，
当时，；
当时：；
当时：
若，解得；
若，解得；
若，解得．
综上，当或时，在超市购物更省钱；当或时，在超市购物和超市购物实付金额一样多，任选一家即可；当时，在超市购物更省钱．
小问3详解】
在超市购物、购物金额越大，享受的优惠率不一定越大．
举例说明如下：
当在超市购物金额为100元时，返40元，
实付金额为(元)，优惠率为；
当在超市购物金额为160元时，返40元，
实付金额为(元)，优惠率为，
∴在超市购物、购物金额越大，享受的优惠率不一定越大．
20. 风是一种可再生能源．利用风能进行发电既可以提供持续的电力供应，又可以减少温室气体排放，抑制全球气候变暖，还可以增加能源供应的多样性，降低对传统能源的依赖．某市若干台风机矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶， ， 两两所成的角为 ，当其中一片风叶与塔干 叠合时，在与塔底 O 水平距离为 米的 E 处，测得塔顶部 A 的仰角． ，风叶 的视角 ，求风叶 的长度（结果精确到．参考数据：）
【答案】风叶的长度约为
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，涉及方向角、三角形内角和等知识点，正确理解题意和作出辅助线是关键．
自点B作，垂足为点F，过点A作，垂足为点G．可得矩形，解直角三角形，可求得的长，即可知的长，然后可证是等腰三角形，则得的长，再解直角三角形可得的长，于是可求得，可求得，于是可得，得到答案．
【详解】如图，自点B作，垂足为点F，过点A作，垂足为点G．
∵，
∴四边形是矩形，
∴．
由已知，
∴，
在中，．
∵，
∴，
又，则，
∴，则．
在中，，，
∴，
∴，
在中，，
∴，则，
∴．
答：风叶的长度约为．
21. “急行跳远”是田径运动项目之一．运动员起跳后的腾空路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到落入沙坑的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系
某运动员进行了两次训练．
（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离 0 2 3 4
竖直高度 0
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系；
（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系记该运动员第一次训练落入沙坑点的水平距离为，第二次训练落入沙坑点的水平距离为，请比较，的大小．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用．用到的知识点为：抛物线上有两点，则抛物线的对称轴为：直线．
（1）根据题意得抛物线的顶点坐标为，那么该运动员竖直高度的最大值为，把顶点坐标连同代入所给的函数解析式，求得的值后即可求得相应的函数解析式；
（2）落入沙坑，则竖直高度为0，分别代入（1）中得到的函数解析式和（2）中所给的函数解析式，求得后取正值即为和的长度，比较的大小即可．
【小问1详解】
解：由题意得，抛物线的顶点坐标为：．
∴该运动员竖直高度的最大值为米．
设函数关系式为：．
∵经过点，
∴，
解得：．
∴函数解析式为：．
【小问2详解】
取．
第一次训练时，．
解得：(不合题意，舍去)，．
∴．
第二次训练时，．
解得：(不合题意，舍去)，．
，
，
．
22. 如图1，⊙O与直线l相离，过圆心O作直线l的垂线，垂足为P，且交于两点（M在之间）．我们把点N称为关于直线l的“远望点”，把的值称为关于直线l的“远望数”．
（1）如图2，在平面直角坐标系中，点E的坐标为，过点E画垂直于x轴的直线a，则半径为1的关于直线a的“远望点”的坐标是________，关于直线a的“远望数”为________；
（2）如图3，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C坐标为，以点C为圆心、长为半径作．若与直线相离，点O是关于直线的“远望点”，且关于直线的“远望数”是求直线的函数表达式．
【答案】（1）
（2）直线的函数表达式为
【解析】
【分析】本题考查了数学新定义，涉及求一次函数解析式、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，准确理解数学新定义是解题的关键．
（1）根据“远望点”与“远望数”的定义即可得到答案；
（2）先用待定系数法求得直线的解析式，再求得的长，由“远望点”及“远望数”定义可求得的长，易证则得到关于n的比例式，求得n的值，于是得到点B的的坐标；同理可求得m的值，于是得到点A的坐标．最后根据点A、点B的坐标可求得直线的表达式．
【小问1详解】
根据“远望点”定义，可得半径为1的关于直线a的“远望点”的坐标是，
∴关于直线a的“远望数”为，
故答案为：
【小问2详解】
设直线的解析式为
连接并延长，交于H，交直线于点G，过C作轴于点D，设
∵点C坐标为，
∵O是关于直线的“远望点”，且关于直线的“远望数”是，
即
∵点C坐标为，轴于点D，
∴
即
同理得
即，
∴，解得，
∴直线的函数表达式为
23. 综合与实践课上，老师让同学们用“木工尺”探究三等分任意角 的方法．如图1为“木工尺”示意图，它是由两条宽度相同且互相垂直的直尺组成的，其中．下面是同学们的探究过程，请仔细阅读，并完成相应的任务，
【操作实践】
如图2，小明画的平行线，使得与的距离等于尺宽，在上取点E，使等于尺宽，调整“木工尺”的位置，使得经过点O，点D落在上，点E落在上， 则 三等分
小明过点 D 作，垂足为点 F，
由题意得：，
∴（ ）．
∵ ，
∴垂直平分，
∴，
∴平分（ ），
∴．
∴．
∴三等分．
任务：（1）请在括号内填写推理的依据．
【类比迁移】
爱动脑筋的小华受到上述方法的启发，想到了通过折叠矩形纸片三等分一个已知角的方法，他的前两个操作步骤如下 （如图 3）：
步骤 1：在矩形纸片 上折出任意角，将矩形对折， 折痕记为， 再将矩形对折， 折痕记为， 展开矩形；
步骤 2：将矩形 沿着 折叠， 使得点 B 的对应点落在 上， 点 M 的对应点 落在上．
任务：（2）连接， 试证明是的一条三等分线．
【拓展应用】（3）在上述小华折叠的条件下，若 ，且 三点共线，请直接写出的长．
【答案】【1】到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上；垂直平分线的性质
【2】见解析
【3】
【解析】
【分析】（1）根据到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上，判定即可；根据垂直平分线的性质解答即可．
（2）连接，过点B作于点J，过点作于点K，根据折叠的性质，角的平分线的判定定理，等腰三角形的三线合一性质等证明即可．
（3）过点作于点T，利用已证结论，结合特殊角的三角函数计算即可．
【详解】（1）根据到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上；根据垂直平分线的性质．
故答案为：到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上；垂直平分线的性质
（2）连接，过点B作于点J，过点作于点K，
根据折叠的性质，得，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴平分，
∴，
∴，
故是的一条三等分线．
（3）过点作于点T，
根据(2)证明，得到，
∵，且 三点共线，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴， ，
∴．
【点评】本题考查了角的平分线的判定定理，折叠的性质，等腰三角形的性质，特殊角的三角函数，熟练掌握角的平分线的判定定理，三角函数是解题的关键．

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