资源简介

第十一章 反比例函数几何问题（折叠问题）
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数（）的图象分别交于A，B两点，以为斜边向外作等腰直角三角形，然后将沿直线折叠，点C的对应点刚好落在x轴上，若点的坐标为，点B的纵坐标为2，则该反比例函数表达式中k的值为（ ）

A． B． C．3 D．
2．如图，矩形的边分别在x轴、y轴上，，点B在第一象限，点D在边上，点E在边上，且，将沿折叠得，，反比例函数的图像恰好经过点，D，则（ ）
A． B．6 C． D．
3．如图，正方形OABC的边长为4，点D是OA边的中点，连接CD，将△OCD沿着CD折叠得到△ECD，CE与OB交于点F．若反比例函数y＝的图象经过点F，则m的值为（　　）

A． B． C． D．
4．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在轴和轴上，，，点是边上一动点，过点的反比例函数与边交于点．若将沿折叠，点的对应点恰好落在对角线上． 则反比例函数的解析式是（ ）

A． B． C． D．
5．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第二象限作正方形ABCD，将过点D的双曲线沿y轴对折，得到双曲线，则的值是（ ）
A．-4 B．4 C．-8 D．8
6．如图，菱形顶点A在函数的图象上，函数的图象关于直线对称，且经过点B，D两点，若，则k的值为（　　）

A．18 B． C． D．
7．如图，矩形的边，，动点在边上（不与、重合），过点的反比例函数的图象与边交于点，直线分别与轴和轴相交于点和．给出下列命题：若，则的面积为；若，则点关于直线的对称点在轴上；满足题设的的取值范围是；若，则；其中正确的命题个数是（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
8．如图，反比例函数图象的表达式为（），图象与图象关于直线对称，直线与交于，两点，当为中点时，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，点B是反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A，C，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OB的中点M，与AB，BC分别相交于点D，E，连接DE并延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接BF，BG，则△BDF的面积为（ ）
A． B． C．2 D．3
10．如图，、是菱形的两条对角线，反比例函数的图像经过点A、C且关于直线对称，若，，则k的值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．
二、填空题
11．在平面直角坐标系中，将反比例函数 的图像沿着x轴折叠，得到的图像的函数表达式是 ．
12．如图，矩形的顶点，点，在坐标轴上，是边上一点，将沿折叠，点刚好与边上点重合，过点的反比例函数的图象与边交于点，则线段的长为 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在轴和y轴上，，，点Q是边上一个动点，过点Q的反比例函数与边交于点P．若将沿折叠，点B的对应点E恰好落在对角线上，则此时反比例函数的解析式是 ．
14．如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴，y轴上，OC＝7，点B在第一象限，点D在边AB上，点E在边BC上，且∠BDE＝30°，将△BDE沿DE折叠得到△B′DE，若AD＝1，反比例函数y＝（k≠0）的图象恰好经过点B′，D，则k的值为 ．
15．如图，把面积为1的正方形纸片放在平面直角坐标系中，点B、C在x轴上，A、D和B、C关于y轴对称将C点折叠到y轴上的处，折痕为，现有一反比例函数的图象经过P点，则该反比例函数的解析式为 ．

16．如图，点A在第一象限，作轴，垂足为点B，反比例函数的图象经过AB的中点C，过点A作轴，交该函数图象于点是AC的中点，连结OE，将沿直线OE对折到，使恰好经过点D，若，则k的值是 ．
17．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，且点的横坐标为1，该反比例函数的图象关于直线对称后的图象经过直线上的点，则线段的长度为 ．

18．如图，在平面直角坐标系中，点A、点B关于原点O对称，以线段AB为斜边作等腰直角三角形ABC，点C在第四象限，反比例函数的图象经过点C，若点B的坐标为(－1，－3)，则k的值为 ．
三、解答题
19．如图，四边形是平行四边形，点在轴的负半轴上，，，且，反比例函数的图象经过点，

(1)求的值；
(2)把沿经过、两点的直线折叠到第一象限，点的对应点为，请判断点是否在反比例函数的图象上，并说明理由．
20．如图，反比例函数（x＞0）过点A（3，4），直线AC与x轴交于点C（6，0），过点C作x轴的垂线交反比例函数图象于点B．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)将△ABC沿BC所在直线折叠，得到△A'BC，A'C交反比例函数于点P，连接BP，求直线A’C的解析式和△BCP的面积；
(3)在坐标平面内有点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出符合条件的所有D点的坐标．
21．如图，在长方形OABC中，OA=8，OC=4，沿对角线OB折叠后，点A与点D重合，OD与BC交于点E．
（1）求点E的坐标及过点E的反比例函数的解析式；
（2）求点D的坐标．
22．如图，点A在反比例函数图象上一点，B在反比例函数图象上，是等腰直角三角形，，AB交y轴于C，，将沿y轴折叠得.
（1）试判断点D是否在的图象上，并说明理由；
（2）连接BD，求四边形BCOD的面积.
（3）将直线OB向上平移，分别交于E，交于F.问：是否存在某一位置使？若存在，求E、F两点的坐标，若不存在，说明理由.
23．将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，，分别在x轴，y轴的正半轴上，点B坐标为．

(Ⅰ)如图①，将矩形纸片折叠，使点B落在y轴上的点D处，折痕为线段，求点D坐标；
(Ⅱ)如图②，点E，F分别在，边上．将矩形纸片沿线段折叠，使得点B与点重合，若反比例函数经过点C的对应点G，求k的值；
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，若点P是坐标系内任意一点，点Q在y轴上，使以点D，F，P，Q为顶点的四边形是菱形，请直接写出满足条件的点P的坐标．
24．平面直角坐标系中，横坐标为a的点A在反比例函数的图象上，点与点A关于点O对称，一次函数的图象经过点．
(1)设，点在函数、的图象上，分别求函数、的表达式．
(2)如图①，设函数、的图象相交于点B，点B的横坐标为，的面积为16，求k的值；
(3)设，如图②，过点A作轴，与函数的图象相交于点D，以为一边向右侧作正方形，试说明函数的图象与线段的交点P一定在函数的图象上．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】利用全等求出点的横坐标，利用、两点都在反比例函数上，可知点，，利用建立关于的一次方程即可求出．
【详解】解：如图，作轴，垂足为，作轴，垂足为，

，
，
，
，，，
，
，，
点、点在反比例函数图象上，点的坐标为，点的纵坐标为2．
，，，
，
，
解得．
故选：．
【点睛】本题考查反比例函数背景下的折叠问题，运用全等和函数关系式建立关于的方程是本题的关键．
2．C
【分析】作于F，设，在中，利用30度角的直角三角形的性质得到，再根据折叠的性质得，，在中，，接着计算出，，所以，代入反比例函数中即可求出的值．
【详解】解：作于F，如图，
设，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴，，
∵将沿折叠得，
∴，，
在中，，
∴，，
∴，
∵反比例函数的图像恰好经过点，
∴，
解得，
故选：C．
【点睛】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数的图象上的点的横纵坐标乘积为定值，即，也考查了矩形的性质和折叠的性质．
3．B
【分析】先根据折叠的性质得到，，设，利用两点间的距离公式得到，，解关于、的方程组得到点的坐标为，，再利用待定系数法求出直线的解析式为，易得直线的解析式为，解方程组得，，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征求的值．
【详解】解：正方形的边长为4，点是边的中点，
，，，，
沿着折叠得到，
，，
设，
，
，
，，
点的坐标为，，
设直线的解析式为，
把，，分别代入得，
解得，
直线的解析式为，
易得直线的解析式为，
解方程组得，
，，
点，在反比例函数的图象上，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．也考查了正方形的性质和折叠的性质．
4．C
【分析】设,求得DC=,AE=，得到DB=6-,BE=4-,根据三角函数的定义得到tan∠BAC= tan∠BED，根据平行线的判定定理得到DE∥AC,连接BF，根据折叠的性质得到BH=FH，根据平行线分线段成比例得到AE=BE=2，于是得到结论.
【详解】
∵四边形OABC是矩形，OA=6,OC=4,
∴BC=OA=6,AB=OC=4,
∴,
设,
∴DC=,AE=,
∴DB=6-,BE=4-,
∴tan∠BED==,
∵tan∠BAC=,
∴tan∠BAC= tan∠BED，
∴∠BED=∠BAC,
∴DE∥AC,
连接BF,
∵将△DBE沿DE折叠，点B的对应点F正好落在对角线AC上,
∴BH=FH，
∴AE=BE=2,
∴,
∴k=12.
∴反比例函数的解析式.
故选C.
【点睛】本题主要考查反比例函数的图像性质，结合了矩形的性质和翻转折叠的知识点.
5．B
【分析】过点D作x轴的垂线交于点E，根据直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，求出点和点坐标，根据正方形的性质证明，从而得到点坐标，再根据过点D的双曲线沿y轴对折，得到双曲线，即可求出．
【详解】解：过点D作x轴的垂线交于点E，如图所示：
∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴令，可得；令，可得，
∴，，
∴,，
∵四边形ABCD是正方形，
∴,，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴,，
∴，
∵将过点D的双曲线沿y轴对折，得到双曲线
∴关于y轴的对称点在双曲线上，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、关于y轴对称的点坐标特征、反比例函数图象的性质等知识点，解题的关键是利用正方形的性质构造全等三角形．
6．D
【分析】如下图．根据函数的图象关于直线对称，可知直线，即可求出，接着推论出，进而证明是含角的直角三角形，即可求出，代入反比例函数直接求出即可．
【详解】连接，过B作于，过作于，

∵函数的图象关于直线对称，
∴，
设，
将代入，
∴，解得或，
∵，
∴，
∴，，
∵菱形中，，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
将代入，
可得，解得．
故答案为：D．
【点睛】此题考查反比例函数的几何综合，解题关键是先根据对称性求出点坐标，然后根据菱形的性质推论出是含角的直角三角形，即可分别求出三边的长，得到点坐标，最后将点的坐标代入解析式直接求解．
7．C
【分析】若则计算故命题正确；如答图所示，若，可证明直线是线段的垂直平分线，故命题正确；因为点不经过点，所以，即可得出的范围；求出直线的解析式，得到点、的坐标，然后求出线段、的长度； 利用算式，求出，故命题正确．
【详解】∵，
∴，，
∴，，
∴，
，故正确；
∵，
∴，，
∴，，
如答图，过点作轴于点，
则，，
在线段上取一点，使得，连接，
在中，由勾股定理得：，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
又∵，
∴点与点关于直线对称，故正确；
由题意，点与点不重合，
∴，
∴， 故错误；
设， 则，，
设直线的解析式为，则有，
，解得，
∴，
令，得，
∴，
令，得，
∴，
如上答图， 过点作轴于点，则，，
在中，，，
由勾股定理得：，
在中，，，
由勾股定理得：，
∴，解得，
∴, 故命题正确；
综上所述，正确的命题是：，共个，
故选：．
【点睛】本题主要考查了函数的图象与性质、反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数k的几何意义、待定系数法、矩形及勾股定理等多个知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
8．A
【分析】由对称性可得函数l2的解析式为：，令，组成一元二次方程，设点A的横坐标为m，点B的横坐标为n，由根与系数的关系可得出m＋n＝2，mn＝，再结合点A是OB的中点，可得出m和n的值，由此可得出结论．
【详解】解：由对称性可得函数l2的解析式为：，
令，整理得，k2x2 2k2x＋k1＝0，
设点A的横坐标为m，点B的横坐标为n，
则m和n是k2x2 2k2x＋k1＝0的两根，
由根与系数的关系可得出m＋n＝2①，mn＝，
∵点A是OB的中点，
∴2m＝n②，
由①②可知，m＝，n＝，
∴mn＝，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数交点问题，函数的对称性，一元二次方程根与系数的关系等知识，求出函数l2的解析式是解题关键．
9．D
【分析】由，即可求解．
【详解】解：设点B(x,y)，则xy=8，
∵M为OB的中点，
∴点M(x,y)，
∴k===2，
连接OD，如图所示
∵BA⊥y轴，
∴BAOF，
∴=×8-×2=3，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
10．C
【分析】根据反比例函数的图像经过点A、C且关于直线对称,可知在反比例函数图像的对称轴上，故直线的解析式为：，再由勾股定理求出点即可求解．
【详解】如图，
过点直线上一点作轴垂足为，轴垂足为
对角线、相交于点
反比例函数的图像经过点A、C且关于直线对称，
直线的解析式为：
，
四边形是正方形
四边形是菱形
,
是等腰直角三角形
设则，
在上
又
解得
．
故选C．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数解析式，勾股定理，正方形的性质，菱形的性质，理解反比例函数的图像经过点A、C且关于直线对称的含义是解题的关键．
11．．
【分析】根据关于x轴对称点的规律，可得反比例函数的解析式．
【详解】∵反比例函数 的图像沿着x轴折叠，
∴，即．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，以及关于x、y轴对称点的坐标的特点．如（a，b）关于x轴对称点的坐标（a，-b），关于y轴对称点的坐标（-a，b）．
12．
【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用，根据翻折的性质结合勾股定理求出的长，进而求出的长，设点的坐标是，勾股定理求出的值，进而求出反比例函数的解析式，进而求出点的坐标，进一步计算即可．
【详解】解：沿折叠，点刚好与边上点重合，
，，
，，
，
，
设点的坐标是，
则，，
，
，
解得，
点的坐标是，
设反比例函数，
，
反比例函数解析式为，
点纵坐标为8，
，
解得，即，
，
故答案为：．
13．
【分析】由题意得：直线AC的函数解析式为：y=x+4，设点E坐标是：（x，x+4），作EM⊥BC，EN⊥AB，则ME=4-(x+4)= x，NE=6-x，易证： PME~ QNE，进而得到：，求出点E坐标是：（，），在Rt PME中，PM2+ME2=PE2，列出方程，即可求出k得值，进而得到答案.
【详解】∵在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在x轴和y轴上，，，
∴点A坐标是：（6，0），点C坐标是：（0，4），
设直线AC的函数解析式为：y=kx+b，把（6，0），（0，4），代入得：
解得：，
∴直线AC的函数解析式为：y=x+4，
∵点E恰好落在对角线上，
设点E坐标是：（x，x+4），作EM⊥BC，EN⊥AB，则ME=4-(x+4)= x，NE=6-x，∠PEM=∠QEN，∠PME=∠QNE=90°，
∴ PME~ QNE，
∴，
∵点Q是边上一个动点，过点Q的反比例函数与边交于点P，
∴Q（6，），P（，4），
∵沿折叠得到
∴PB=PE=6-，BQ=EQ=4-，
∴，即：，解得：x=，
∴点E坐标是：（，）
∵在Rt PME中，PM2+ME2=PE2，
∴ ，解得：k=，
∴反比例函数的解析式为： ，
故答案是： .
【点睛】本题主要考查反比例函数和相似三角形的综合，添加辅助线构造相似三角形，是解题的关键.
14．4
【分析】作BF⊥BC于F，如图，设D（k，1），在Rt△DBE中，利用含30度的直角三角形三边的关系得到，再根据折叠的性质得EB′=BE=，∠B′ED=∠BED=60°，则∠B′EF=60°，接着计算出，所以B′的坐标为，然后把点B′坐标代入中可求出k的值．
【详解】解：作BF⊥BC于F，如图，设D（k，1）
∵OC＝AB＝7，AD＝1，
∴BD＝6，
在Rt△DBE中，∵∠BDE＝30°，
∴∠BED＝60°，，
∵△BDE沿DE折叠得到△B′DE．
∴EB′＝BE＝2，∠B′ED＝∠BED＝60°，
在Rt△B′EF中，∠B′EF＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴，
∴B′的坐标为（k﹣3，4），
∵点B′反比例函数的图象，
，
．
故答案为．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．也考查了矩形的性质和折叠的性质．
15．
【分析】先设再根据的几何意义求出值即可．
【详解】解：依题意知，，
的纵坐标为，，
为等边三角形，
所以，
，
，，
设该反比例函数的解析式为，
则，
．
故答案为：．
【点睛】主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数系数的几何意义．反比例函数系数的几何意义为：反比例函数图象上的点的横纵坐标之积是定值，同时也是该点到两坐标轴的垂线段与两坐标轴围成的矩形面积．本题综合性强，考查知识面广，能较全面考查学生综合应用知识的能力．
16．12
【分析】过D作于F，判定≌△EAG，即可得到AD==BE，依据E是AC的中点，C是AB的中点，即可得到，，设，则，根据反比例函数的图象经过点C点D，可得，求得a的值，进而得到．
【详解】解：如图，过D作于F，
轴，轴，
四边形ABFD是矩形，
由折叠可得，，
又，，
≌，
，，
，
又是AC的中点，C是AB的中点，
，，
，，
设，则，
反比例函数的图象经过点C点D，
，
解得，
，
，
故答案为12．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，全等三角形的判定与性质的运用，正确掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
17．或##或
【分析】根据题意求得反比例函数解析式为，得到和，根据反比例函数的对称轴的平移规律得到反比例函数上的点的平移规律，即可根据勾股定理求得两点间距离，
【详解】解：∵一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，且点的横坐标为1，
故将代入一次函数得，故点，
将代入反比例函数，得，故反比例函数的解析式为；
令，整理得，解得，，
将代入一次函数得，故点；
故点与点关于直线对称，
∵反比例函数关于直线对称，
则直线关于直线对称后的图像为直线；
令反比例函数的图像关于直线对称后的图象为，的图象关于直线对称
故的图象可以看做是由反比例函数进行平移得到，
原点关于直线的对称点，如图：

故直线可以看做直线每一个点先向右平移1个单位，向下平移1个单位得到（或向右下45度防线平移个单位），
则的图象可以看做是由反比例函数图象上每一个点先向右平移1个单位，向下平移1个单位得到（或向右下45度防线平移个单位），
则点平移之后的坐标为，
点平移之后的坐标为，
即反比例函数的图像关于直线对称后的图象经过直线上的点的坐标为或，
线段的长度为，或；
故答案为：或．
【点睛】本题考查了求反比例函数解析式，反比例函数与一次函数的交点坐标，一次函数的平移，反比例函数的性质等，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
18．-3
【分析】利用等腰直角三角形，构造全等三角形，如图，，然后得到对应边相等，而直角边的长度可以用点的横纵坐标来表示，，，然后根据对应边相等，建立方程组，即可求解．
【详解】解：过点C作x轴的垂线，与过点A作y轴的垂线交于点D，与过点B作y轴的垂线交于点E，如图，
是等腰直角三角形ABC，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
设，
，点A、点B关于原点O对称，
，
，
，
解得．
故答案为：-3．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、点的坐标特征以及用点的坐标来表示长度．
19．(1)
(2)在反比例函数的图象上，理由见解析
【分析】（1）由平行四边形的性质得出，，利用勾股定理求得，进而求得，得到，，进而即可求得；
（2）求得的坐标为，代入反比例函数的解析式即可判断．
【详解】（1）四边形是平行四边形
，，
，，
，，
，
，
，
反比例函数的图象经过点，
；
（2）在反比例函数的图象上，
理由：，，
，
四边形是平行四边形，
，
由折叠得：，，
，
，
当时，，
点是在反比例函数的图象上．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，一次函数图象与几何变换，勾股定理的应用，待定系数法求反比例函数的解析式，求得点、的坐标是解题的关键．
20．(1)y=
(2)y=x－8，△BCP面积为3－3
(3)D（3，6）或（3，2）或（9，﹣2）
【分析】（1）将点代入表达式求得即可求得解析式．
（2）由翻折图形的性质可得，设表达式为，代入C（6，0）和
即可求得答案．
（3）分类讨论，①当，且，②当，且，
③当，且利用数形结合即可求得D点的坐标．
【详解】（1）解：将代入，
得，①当，且，
解得，
∴．
（2）由翻折可得点和点关于直线对称，
∴
设表达式为，代入C（6，0）和得，
解得，
表达式为，
联立方程组，解得，
∴，
过点C作x轴的垂线交反比例函数图象于点B，
点的横坐标与点的横坐标相等，
得当时，，
，
．
（3）①如图，，且得，
A（3，4），
，，
点，
②如图，，且，
A（3，4），
，，
点，
③如图，，且，
，C（6，0），，
，即，得，
，即，得，
点，
符合条件的所有D点的坐标为（3，6）或（3，2）或（9，﹣2）．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象及性质、一次函数的图象及性质、平行四边形的性质及翻折图形的性质，利用数形结合及分类讨论的思想是解题的关键．
21．（1）点E（3，4），过点E的反比例函数的解析式；（2）点D坐标（，）
【分析】（1）由矩形的性质可得两对边分别相等，利用翻折的性质可得OD＝OA＝BC=8，∠AOB＝∠BOD，等量代换和等角对等边的性质可得OE＝BE，设CE＝x，则BE＝OE＝8－x，利用勾股定理可得x的值，继而求得点E坐标，继而设反比例函数解析式，代入即可求解；
（2）过点D作DF⊥BC，可得△COE∽△FDE，利用三角形等积法求得，利用勾股定理求出，继而即可求解．
【详解】（1）∵长方形OABC中，OA=8，OC=4，∠AOB＝∠CBO
∴BC＝OA＝8，AB＝OC＝4，
由折叠的性质可得：OD＝OA＝BC=8，∠AOB＝∠BOD
∴∠CBO＝∠BOD
∴OE＝BE
设CE＝x，则BE＝OE＝8－x，
在Rt△COE中，由勾股定理可得：即
解得：
∴点E（3，4）
设过点E的反比例函数的解析式
将点E（3，4）代入上式可得：
∴
故过点E的反比例函数的解析式
（2）由（1）知，CE＝3，OE＝BE＝8－CE＝5，DE＝8－OE＝3，
过点D作DF⊥BC，
由翻折的性质可得∠BAO＝∠BDE＝90°
∴
解得：，
∵在Rt△DEF中，，
∴，
∴，
∴点D坐标（，）
【点睛】本题考查矩形的性质、翻折的性质、勾股定理、反比例函数解析式、等积法，解题的关键是学会做辅助线，求出关键线段的长．
22．（1）在，理由见解析；（2）；（3）存在，E点坐标为：，F的坐标为：.
【分析】（1）分别过点A、B作AP⊥x轴，BG⊥y轴，垂足分别为P、G，根据30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理分别求出A、B的坐标，再将A、B坐标分别代入其解析式中，再利用A、D关于y轴对称求出D点坐标，去判断是否满足解析式即可；
（2）过点B作BH⊥OD，垂足为H，利用A、B坐标求出AB所在直线的解析式，即可求出C点坐标，利用30°所对的直角边是斜边的一半可求出BH的长，然后求△OBC和△OBD的面积从而求出四边形BCOD的面积；
（3）利用E、F所在的图像分别设出其坐标，再分别过E、F作x轴，y轴的平行线交于点M利用△EFM是直角三角形并证明其中一个角是30°，再用E、F坐标表示出EM和FM的长度利用即可求出E、F的坐标.
【详解】解：（1）分别过点A、B作AP⊥x轴，BG⊥y轴，垂足分别为P、G
∵是等腰直角三角形，，
∴∠AOP=∠BOG=30°
∴AP=AO=1，BG=OB=1
根据勾股定理：
∵点A在第二象限，点B在第一象限
∴点A坐标为，点B的坐标为：
∵点A在反比例函数图象上，B在反比例函数图象上，
将A、B坐标分别代入其对应解析式得：
解得：
∴点A在反比例函数图象上，B在反比例函数图象上
∵A、D关于y轴对称
∴点D的坐标为
将代入反比例函数，解得：
故点D在的图象上.
（2）过点B作BH⊥OD，垂足为H
设直线AB的解析式为：y=kx＋b
将A、B坐标代入得：
解得：
∴直线AB的解析式为：
将x=0代入得：
∴C点坐标为：
即OC=
∵沿y轴折叠得，
∴∠DOC=∠AOC=60°，OD=OA=2
∴∠BOH=∠DOC－∠GOB=30°
∴BH=BO=1
∴S△BOC=OC·BG=，S△BOD=OD·BH=
∴S四边形BCOD= S△BOC＋S△BOD=
（3）存在，
∵E、F分别在反比例函数和图像上，I为x轴正半轴上一点，
设E点坐标为，点F的坐标为
分别过E、F作x轴，y轴的平行线交于点M
∴EM=，FM=
∵EF∥OB，EM∥x轴，EM∥y轴，∠BOI=90°－∠BOC=60°
∴∠FEM=∠BOI=60°
∴∠EFM=30°
∴EM=EF=1，
∴
解得：，
将，分别代入其对应解析式中，
，
∴E点坐标为：，F的坐标为：
【点睛】此题考查的是（1）用待定系数法求反比例函数解析式和30°所对的直角边是斜边的一半及勾股定理；（2）利用坐标求面积；（3）利用坐标表示线段长度；此题难度较大，找到等量关系列方程及利用坐标表示出各个线段的长度是解决此题的关键.
23．(Ⅰ)点D的坐标为；(Ⅱ)；(Ⅲ)点P的坐标为或或或
【分析】(Ⅰ)由矩形和折叠的性质，结合勾股定理即可求出．
(Ⅱ)过点G作轴于点H．由折叠可知，．设，则．在中，利用勾股定理即可求出x的值．即得出．再利用三角形面积公式即可求出．最后利用勾股定理可求出的长，即得出的长，即求出点G的坐标，从而得出k的值．
(Ⅲ)由题意可求出的长，再分类讨论①当线段为边，且点P在y轴右侧时；②当线段为边，且点P在y轴左侧时；③当为对角线时，结合菱形的性质，利用数形结合的思想即可求出．
【详解】(Ⅰ)∵四边形是矩形，
∴，，．
∵点B坐标为，
∴．
由折叠可知，．
∴在，．
∴点D的坐标为．
(Ⅱ)如图，过点G作轴于点H．
∵点，
∴．
∵四边形是矩形，
∴．
由折叠知，四边形与四边形全等，
∴，．
设，则．

在中，，即．
解得：．
∴．
∵，
∴．
∴．
在中，．
∴．
∴点G的坐标为．
又∵反比例函数经过点C的对应点G，
∴将点G的坐标代入得：，
解得：，即k的值为；
(Ⅲ)如图，作于点M，
设，则，
在中，，即，
解得：．
∴．

①如图，当线段为边，且点P在y轴右侧时．
由题意结合菱形的性质可知，且轴，
∵，
∴此时P点与A点或B点重合．
即P点坐标为或，如图和点．

②如图，当线段为边，且点P在y轴左侧时．
∵，
∴P点与B点关于y轴对称，
∴P点坐标为．

③如图，当为对角线时，可知此时线段与线段互相垂直平分．
∵，，
∴．
根据题意可设经过点的直线解析式为，
将代入得：，解得：．
即经过点的直线解析式为．
当时，．
故P点坐标为．

综上，满足条件的点P的坐标为或或 或．
【点睛】本题为四边形综合题．考查折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，菱形的性质，线段垂直平分线的性质、一次函数的图像与性质、求反比例函数解析式等知识，综合性强，为困难题．作出辅助线，并学会利用数形结合的思想和分类讨论的思想解题是关键．
24．(1)，
(2)
(3)见解析
【分析】本题综合考查反比例函数、一次函数图象及其性质，解答过程中，涉及到了面积转化方法、待定系数法和数形结合思想．
（1）由已知代入点坐标即可；
（2）面积问题可以转化为面积，用a、k表示面积问题可解；
（3）设出点A、坐标，依次表示、及点P坐标．
【详解】（1）由已知，点在的图象上，
∴，
∴，
∵，
∴点A的坐标为，
∴点的坐标为，
把，代入，
， 解得，
∴；
（2）分别过点A、B作轴于点C，轴于点D，连，
∵O为中点，
∴，
∵点A、B在双曲线上，
∴，
∴，
由已知点A、B坐标表示为，，
∴，
解得；
（3）由已知，则， 把代入到， ，
∴，
∴解析式为，
当时，点D纵坐标为，
∴，
∵，
∴点F和点P横坐标为，
∴点P纵坐标为.
∵，
∴点P在的图象上．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑