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11.3 用反比例函数解决问题（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】利用反比例函数解决实际问题
1.基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决问题．
2.一般步骤如下：
（1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示；
（2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数；
（3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围；
（4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题．
【知识点二】反比例函数在其他学科中的应用
1.当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数；
2.当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数；
3.在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数；
4.电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数．
【考点目录】
【考点1】反比例函数在生产生活中的应用；
【考点2】反比例函数在几何中的应用；
【考点3】反比例函数在物理学科的应用；
【考点4】反比例函数的其他应用；
【考点5】反比例函数与一次函数综合应用；
【考点1】反比例函数在生产生活中的应用；
【例1】
1．制作一种工艺品时，需先将材料加热到，再进行后续操作．设整个过程所用时间为x（分钟），材料的温度为y（），材料加热过程中，温度y是时间x的一次函数，工艺品制作过程中，y是x的反比例函数，材料加热与工艺品制作过程中，y与x的函数图象如图所示．
(1)求工艺品制作过程中y与x的函数关系式；
(2)若此工艺品在制作过程中温度不能低于，那么只加热一次后，最多几分钟后就得停止工艺品的制作？
【变式1】
2．某校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒．在对某宿舍进行消毒的过程中，先经过的集中药物喷洒，再封闭宿舍，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量y（）与药物在空气中的持续时间x（）之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所示．下面四个选项中错误的是（ ）
A．经过集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到
B．室内空气中的含药量不低于的持续时间达到了
C．当室内空气中的含药量不低于且持续时间不低于24分钟，才能有效杀灭某种传染病毒．此次消毒完全有效
D．当室内空气中的含药量低于时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到开始，需经过后，学生才能进入室内
【变式2】
3．某校对数室采用药薰法进行灭蚊，根据药品使用说明，药物燃烧时，室内每立方米空气中含药量与药物点燃后的时间成正比例，药物燃尽后，与成反比例，已知药物点燃后燃尽，此时室内每立方米空气中含药量为．根据灭蚊药品使用说明，当每立方米空气中含药量不低于且持续时间不低于时，才能有效杀灭室内的蚊虫，那么此次灭蚊的有效时间为 分钟．
【考点2】反比例函数在几何中的应用；
【例2】
4．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点．
(1)求与的值．
(2)是轴正半轴上一点，若，求的面积．
【变式1】
5．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点C在y轴上，A在x轴上，把矩形沿对角线所在的直线翻折，点A恰好落在反比例函数的图象上点D处，与y轴交于点E，点D恰好是的中点．已知A的坐标为，则反比例函数的表达式为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】
6．已知点在函数的图象上，正方形的边在轴上，点是对角线的中点，函数的图象又经过两点，则点的横坐标为 ．
【考点3】反比例函数在物理学科的应用；
【例3】
7．校园超市以5元/件购进某物品，为制定该物品合理的销售价格，对该物品进行试销调查发现每天调整不同的销售价，其销售总金额为定值（销售金额＝售价×销售量），其中某天该物品的售价为10元/件时，销售量为30件．
(1)设售价为x元/件时，销售量为y件，请写出y与x的函数关系式；
(2)若超市考虑学生的消费实际，计划将该物品每天的销售利润定为50元，则该物品的售价应定为多少元/件？
【变式1】
8．如图1所示是烟雾报警器的简化原理图，其中电源电压保持不变，为定值电阻，为光敏电阻，的阻值随光照强度的变化而变化（如图2）．射向光敏电阻的激光（恒定）被烟雾遮挡时会引起光照强度的变化，进而引起电压表示数变化，当指针停到某区域时，就会触动报警装置．下列说法错误的是（ ）
小贴士 电路总功率， 其中是电路电源电压
A．该图象不是反比例函数图象 B．随增大而减小
C．当烟雾浓度增大时，示数变小 D．当光照强度增大时，电路中消耗的总功率增大
【变式2】
9．在物理学中，用电功率表示电流做功的快慢．已知串联电路中，电阻消耗的电功率与电阻的比值成正比；并联电路中，电阻消耗的电功率与电阻的比值成反比．如图1；把阻值不等的两个电阻和串联在符合条件的电路中，与的电功率的比是3：5．当把它们并联在符合条件的电路中．的电功率是60W．则的电功率是 W．

【考点4】反比例函数的其他应用
【例4】
10．某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示．
(1)求这个函数的解析式；
(2)当气体体积为时，气压是多少？
(3)当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到）
【变式1】
11．随着科技的进步，我国的生物医药行业发展迅速，最近某药品研究所开发一种抗菌新药，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系如图所示（当时，y与x成反比例）．根据图中信息可知，血液中药物浓度不低于6微克/毫升的持续时间为（ ）

A．4小时 B．小时 C．小时 D．小时
【变式2】
12．如图是4个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作（为的整数），函数的图象为曲线．若曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各2个点，则的坐标是 ，的取值范围是 ．

【考点5】反比例函数与一次函数综合应用；
【例5】
13．某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培蔬菜．某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（）与时间x（h）之间的函数关系如图所示，其中段是恒温阶段，段是某反比例函数图象的一部分，请根据图中信息解答下列问题：
(1)求段反比例函数图象的关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)恒温阶段保持的时间有多少小时？
(3)大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？
【变式1】
14．教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与开机后用时成反比例关系．直至水温降至，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为时，接通电源后，水温和时间的关系如图，为了在上午第一节下课时能喝到不超过的水，则接通电源的时间可以是当天上午的（ ）

A． B． C． D．
【变式2】
15．若一个数a小于它的倒数，结合和的图像，可知a的取值范围为 ．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)（），（）
(2)14分钟
【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键．
（1）根据待定系数法分别求出两个函数解析式即可；
（2）将代入反比例函数解析式，求出，即可．
【详解】（1）解：设一次函数的解析式为，
点，在一次函数图象上，
，
，
一次函数解析式为：，
设反比例函数解析式为：，
点在反比例函数图象上，
，
反比例函数解析式为：．
（2）当时，，
（分钟）
答：加热一次后最多14分钟后就得停止工艺品的制作．
2．C
【分析】本题主要考查反比例函数的性质，一次函数的应用，理解图像的意思是解题的关键．根据图中信息一一判断即可．
【详解】解：A、由图可知：经过集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到，选项A正确，不符合题意；
B、当时，设函数关系式为，将代入得，解得，故此时函数关系式为，
当时，，故室内空气中的含药量不低于的持续时间达到了，选项B正确，不符合题意；
C、当时，设函数关系式为，将代入得，解得，故此时函数关系式为，
当时，或，解得或，
由于，选项C错误，符合题意；
D、当时，函数关系式为，时，，
当时，函数关系式为，时，，，
当室内空气中的含药量低于时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到开始，需经过后，学生才能进入室内，选项D正确，不符合题意；
故选C．
3．12
【分析】本题考查正比例函数与反比例函数的实际应用，先用待定系数法求出药物燃烧时，以及药物燃尽后与的关系式，再求出每立方米空气中含药量达到的时间，以及每立方米空气中含药量降到的时间，即可求解．
【详解】解：设药物燃烧时与的关系式为，
将代入，得，解得，
药物燃烧时与的关系式为，
令，得，
即4分钟后每立方米空气中含药量达到；
设药物燃尽后与的关系式为，
将代入，得，解得，
令，得，
即16分钟后每立方米空气中含药量降到；
，
此次灭蚊的有效时间为，
故答案为：12．
4．(1)，
(2)
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合．熟练掌握待定系数法求反比例函数和一次函数解析式，割补法求三角形面积，是解题的关键．
（1）把点C的坐标代入一次函数的解析式求出k，再求出点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数的解析式中，可得结论；
（2）求得，根据，求解即可．
【详解】（1）把代入，
得，，
解得，，
∴，
把代入，
得，，
∴，
把代入，
得，，
解得，，
故，．
（2）如图，过点A作轴，垂足为，则．
∵中，时，，
∴，
．
∵，，，
∴，
∴，
∴
．
故的面积为1．
5．B
【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，矩形与折叠，过点作，根据折叠得到，中点得到，勾股定理求出，进而得到点坐标，待定系数法求出函数解析式即可．
【详解】解：∵矩形， A的坐标为，
∴，点的横坐标为4，
∵折叠，
∴，
∵在轴上，为的中点，
∴点的横坐标为，
过点作，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
故选B．
6．
【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，以及灵活运用正方形及反比例函数的性质解决实际问题，把已知点的坐标代入函数解析式即可求出k的值，把k的值代入得到函数的解析式，然后根据正方形的性质设出A和E的坐标，因为函数图象过这两点，把设出的点坐标代入到函数解析式中算出的值，得到E的横坐标，即可解题．
【详解】解：点在函数的图象上，
，解得，
函数解析式为，
设，
正方形的边在轴上，点是对角线的中点，
，
函数过点，
，即，解得或（不合题意，舍去），
，
点的横坐标为；
故答案为：．
7．(1)
(2)6元/件
【分析】本题考查了反比例函数的应用，
（1）根据售价为x元/件时，销售量为y件，设，把代入计算即可；
（2）根据函数值，代入计算x的值即可．
【详解】（1）根据售价为x元/件时，销售量为y件，设，把代入得，
，
故y与x的函数关系式为．
（2）∵函数关系式为．销售利润为50元，校园超市以5元/件购进某物品，
∴，解得：
故该物品的售价应定为6元/件．
8．C
【分析】本题考查了物理与数学跨学科综合，根据反比例函数永远不会与坐标轴相交，可以判断A正确；根据函数图象，可看出随增大而减小，根据，为定值电阻，得到分母变小，分式真的值变大，判定当光照强度增大时，电路中消耗的总功率增大，当烟雾浓度增大时，光照强度E减弱，使得变大；示数变大，据此判断即可．
【详解】根据反比例函数永远不会与坐标轴相交，可以判断A正确，不符合题意；
根据函数图象，可看出随增大而减小，判断B正确，不符合题意；
∵，为定值电阻，
∴分母变小，分式的值变大，判定当光照强度增大时，电路中消耗的总功率增大，
故当光照强度增大时，电路中消耗的总功率增大，故D正确，不符合题意；
当烟雾浓度增大时，光照强度E减弱，使得变大；示数变大，
故C错误，符合题意；
故选C．
9．36
【分析】本题考查了成比例线段，解题的关键是理解“正比”与“反比”的含义．
根据两个电阻在串联时与其电功率成正比、在并联时与其电功率成反比求解即可．
【详解】根据题意知，两个电阻串联时，电阻与电功率成正比，则两电阻之比等于其消耗功率之比．
∴
设与并联时，各自的电功率为与，则，根据并联时电阻与电功率成反比，
∴，
∴，
即的电功率为．
故答案为：．
10．(1)
(2)
(3)气体的体积应不少于．
【分析】本题考查反比例函数的应用；应熟练掌握符合反比例函数解析式的数值的意义．
（1）设出反比例函数解析式，把坐标代入可得函数解析式；
（2）把代入（1）得到的函数解析式，可得；
（3）把代入得到即可．
【详解】（1）解：设，
由题意知，
所以，
故；
（2）解：当时，；
（3）解：当时，．
所以为了安全起见，气体的体积应不少于．
11．C
【分析】先求出正比例函数解析式，反比例函数解析式，令，确定两个函数自变量的值，其差就是持续的时间．
【详解】设正比例函数解析式为，反比例函数解析式为，
把分别代入解析式，得，
解得，
故函数的解析式为，
当时，，
解得，
故持续时间为（小时），
故选C．
【点睛】本题考查了正比例函数解析式，反比例函数解析式的确定，应用，熟练掌握解析式的确定和应用是解题的关键．
12．
【分析】分别求出函数过点时的值，可得结果．
【详解】解：∵每个台阶的高和宽分别是1和2，
∴，
∴当函数过点时，，
当函数过点时，，
∴若曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各2个点时，的取值范围是：．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，根据题意求出各点的坐标是本题解题关键．
13．(1)
(2)恒温阶段保持的时间有10小时
(3)这种蔬菜一天内最适合生长的时间有19.6小时
【分析】本题是反比例函数和一次函数的综合，考查了反比例函数和一次函数的性质和应用，解答此题时要先利用待定系数法确定函数的解析式，再观察图象特点，结合反比例函数和一次函数的性质作答．
（1）应用待定系数法求函数解析式；
（2）由（1）知，观察图象可得；
（3）先求出段的解析式，代入临界值，分别求出段和段温度为的时间，再相减即可即可．
【详解】（1）解：设对应函数解析式为，
把代入中得：
，
，
当时，，
解得，即；
；
（2）解：由（1）知，
，
恒温阶段保持的时间有：（小时），
答：恒温阶段保持的时间有10小时；
（3）解：设的解析式为：，
把、代入中得：，
解得：，
的解析式为：，
当时，，
解得，
，
，
（小时），
答：这种蔬菜一天内最适合生长的时间有19.6小时．
14．C
【分析】先利用待定系数法求出开机加热时一次函数关系式，进而求出当时的值，再求出关机降温时反比例函数关系式，进而求出当时的值，观察可知饮水机的一个循环周期为分钟，每一个循环内，在及时间段内，水温不超过，最后逐项判断即可．
【详解】解：∵开机加热时间每分钟上升，
∴从到需要分钟．
设一次函数关系式为，
将点，代入，得
，解得，
∴一次函数关系式为，
令，则，
解得：，
设反比例函数关系式为，
将点代入关系式，得，
解得，
∴反比例函数关系式为，
将代入，得，
∴．
令，解得，

∴饮水机的一个循环周期为分钟，每一个循环内，在及时间段内，水温不超过．
∵至之间有85分钟，，不在及时间段内，A选项不符合题意；
∵至之间有75分钟，，不在及时间段内，B选项不符合题意；
∵至之间有60分钟，，在及时间段内，C选项符合题意；
∵至之间有45分钟，，不在及时间段内，D选项不符合题意；．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求一次函数关系式，求反比例函数关系式，求自变量的值，从图像中获取信息是解题的关键．
15．或
【分析】求得函数和的图象的交点的横坐标，结合函数的图象即可求得a的取值范围．
【详解】解：令，解得，
∴函数和的图象的交点的横坐标为和1，

由图象可知当或时，
一次函数的图象在反比例函数的下方，
∴根据图象可知a的取值范围是或
故答案为∶ 或．
【点睛】本题考查了反比例函数图象与正比例函数的图象，数形结合是解题的关键．
答案第1页，共2页
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