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第十一章 反比例函数（全章知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】反比例函数的概念
一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数．
特别提醒：在中，自变量的取值范围是， 可以写成的形式，也可以写成的形式．
【知识点二】反比例函数解析式的确定
反比例函数解析式的确定方法是待定系数法．由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式．
【知识点三】反比例函数的图象和性质
1．反比例函数的图象
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与轴、轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交．
特别提醒：
观察反比例函数的图象可得：和的值都不能为0，并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．
①的图象是轴对称图形，对称轴为两条直线；
②的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）；
③(k≠0)在同一坐标系中的图象关于轴对称，也关于轴对称．
注：正比例函数与反比例函数，当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．
2．反比例函数的性质
（1）图象位置与反比例函数性质
当时，同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小；当时，异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大．
（2）若点()在反比例函数的图象上，则点（）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称．
（3）正比例函数与反比例函数的性质比较
正比例函数 反比例函数
解析式
图 像 直线 有两个分支组成的曲线（双曲线）
位 置 ，一、三象限；，二、四象限 ，一、三象限，二、四象限
增减性 ，随的增大而增大，随的增大而减小 ，在每个象限，随的增大而减小，在每个象限，随的增大而增大
（4）反比例函数y＝中的意义
①过双曲线(≠0) 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为．
②过双曲线(≠0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为．
【知识点四】应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点
1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题．
2．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围．
【考点目录】
【考点1】确定反比例函数解析式； 【考点2】反比例函数的图象及性质；
【考点3】反比例函数与一次函数综合； 【考点4】反比例函数与几何综合；
【考点5】反比例函数的实际应用；
【考点1】确定反比例函数解析式；
【例1】
1．如图，已知正比例函数图像经过点和点．
(1)求正比例函数的解析式及m的值；
(2)过点A作y轴的平行线，与反比例函数在第一象限内的分支交于点B（点B在点A下方），若的面积为10，求反比例函数的解析式．
【变式1】
2．在直角坐标系中，将双曲线绕着坐标原点旋转后，所得到的双曲线的解析式是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】
3．如图，正比例函数＝与反比例函数＝的图像有一个交点（，3），⊥轴于点，平移直线＝，使其经过点，得到直线，则直线对应的函数解析式是 .
【考点2】反比例函数的图象及性质；
【例2】
4．已知一个反比例函数的解析式为（为常数，）．
(1)若点在这个反比例函数的图象上，求的值；
(2)若在这个反比例函数图象的每一个分支上，的值随的增大而增大，求的取值范围；
(3)若，判断点是否在这个函数的图象上．
【变式1】
5．已知正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A(2，-4)，下列说法正确的是（ ）
A．反比例函数y2的解析式是
B．两个函数图象的另一交点坐标为(2，4)
C．当x＜-2或0＜x＜2时，y1＞y2
D．正比例函数y1与反比例函数y2都随x的增大而减小
【变式2】
6．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是 ．
【例3】
7．如图，双曲线与直线交于，两点，点和点在双曲线上，点为轴上的一点．
(1)求双曲线的表达式和，的值；
(2)请直接写出使得的的取值范围；
(3)若为等腰三角形，请直接写出此时点的坐标．
【变式1】
8．在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（）的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】
9．如图，反比例函数（k≠0）与正比例函数y＝mx（m≠0）的图像交于点A，点B．AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，，则k＝ ．
【考点4】反比例函数与几何综合；
【例4】
10．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，反比例函数的图象经过A，B两点．若点A的坐标为，求反比例函数的解析式．
【变式1】
11．如图，点是内一点，与轴平行，与轴平行，，，，若反比例函数的图像经过，两点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】
12．如图，矩形的顶点A和对称中心在反比例函数上，若矩形的面积为16，则k的值为 ．
【考点5】反比例函数的实际应用；
【例5】
13．综合与实践
心率监测不仅能够对运动者在锻炼过程中的身体状况进行有效监控与衡量，也可最大限度避免强度过大造成危险，确保体育运动的有效性与安全性，体育运动时的心率受年龄、性别、运动项目、运动时间等因素影响．某数学小组对此问题很感兴趣，选取相关因素进行项目研究．
【提出问题】跳绳运动中心率与运动时间的关系．
【收集数据】第一次该小组收集小红同学的跳绳心率，每隔10秒作一次记录并绘制图象（如图1）．
【二次收集数据】小组讨论后，发现这样收集数据不合理．于是进行第二次数据收集：随机抽取15位学生参与跳绳运动．15位学生同时开始跳绳，每隔十秒，记录他们的心率，并计算此时他们心率的平均数，然后绘制图象（如图2）．

【建立模型】由图象可知，随着跳绳时间增加，心率趋于一个定值，该小组要寻找一个函数模型分析跳绳过程中心率与时间的关系，他们依次建立一次函数模型、二次函数模型，但都与心率曲线不吻合，老师提醒他们可以借助反比例函数图象的平移来建立模型．小组借助计算机软件建立跳绳运动中心率随运动时间（单位：秒）的变化而变化的函数模型：．
【解决问题】
（1）写出第一次数据收集不合理的地方（写出一条即可）；
（2）《义务教育体育与健康课程标准（2022年版）》提出要“科学设置运动负荷”，体育课上，班级所有学生平均心率原则上在140-160，以努力解决学生在体育课上“不出汗”的问题．请你根据函数解析式，求学生需要跳绳多少秒才能达到140的心率（结果精确到个位）；
（3）研究发现，运动时心率达到175时，就是运动过度.请你根据模型解析式，通过计算，对跳绳200秒的小明同学提出建议（写出一条建议即可）．
【变式1】
14．为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，德州市某工厂自年月开始限产并进行治污改造，其月利润万元与月份之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图像的一部分，治污完成后是一次函数图像的部分，下列选项错误的是（ ）
A．月份的利润为万元
B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加万元
C．月份该厂利润达到万元
D．治污改造完成前后共有个月的利润低于万元
【变式2】
15．某品牌热水器中，原有水的温度为，开机通电，热水器启动开始加热（加热过程中水温与开机时间x分钟满足一次函数关系），当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降（水温下降过程中水温与开机时间x分钟成反比例函数关系）．当水温降至时，热水器又自动以相同的功率加热至……重复上述过程，如图，根据图像提供的信息，则
（1）当时，水温开机时间x分钟的函数表达式 ；
（2）当水温为时， ；
（3）通电分钟时，热水器中水的温度y约为 ．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．(1)正比例函数解析式为，
(2)
【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，反比例函数比例系数的几何意义，求正比例自变量的值：
（1）先利用待定系数法求出正比例函数解析式，进而求出m的值即可；
（2）延长交x轴于C，设反比例函数解析式为，先证明轴，则，再求出，则，可得，则反比例函数解析式为．
【详解】（1）解：设正比例函数解析式为，
把代入中得：，解得，
∴正比例函数解析式为，
在中，当时，，
∴；
（2）解：延长交x轴于C，设反比例函数解析式为，
∵轴，
∴轴，
∵，
∴，
∴，
∵的面积为10，
∴，
∵点B在反比例函数图象上，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为．
2．C
【分析】本题主要考查反比例函数的性质的知识点，解答本题的关键是求出双曲线点的坐标与旋转后点坐标的关系，设点是双曲线上的点，根据旋转的性质，点变为，据此求得旋转后双曲线的解析式．
【详解】解：设点是双曲线上的点，
∵双曲线绕着坐标原点旋转90°，
∴点变为
把代入原解析式，
得
故选：C．
3．
【分析】利用反比例函数把A的坐标求出，同时通过A点得到B点的坐标，然后代入正比例函数，解出正比例函数解析式，再根据平移性质设出直线l的解析式，将B点代入解出解析式即可
【详解】把（，3）代入反比例函数得到，解得m=2，得到A（2，3）
再把A（2，3）代入一次函数，得到3=2k，解得k=，
⊥轴于点，所以B点的横坐标和A的横坐标一样，即B（2，0）
因为直线l是由正比例函数平移得到，设直线l：y=x+b，代入B（2,0）
得到方程0=，解得b=-3，所以直线l的解析式为，故填
【点睛】本题考查反比例函数，正比例函数，函数平移等基本性质，熟练掌握函数平移k相等时解题关键
4．(1)1
(2)
(3)点在这个函数的图象上，点不在这个函数的图象上
【分析】此题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
（1）将点代入表达式计算即可得到答案；
（2）根据在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而减小，得到不等式并解不等式即可得到答案；
（3）根据反比例函数表达式代入横坐标，判断纵坐标是否相等即可得到答案．
【详解】（1）解： 点在这个反比例函数的图象上，
，
解得．
（2）若在这个反比例函数图象的每一个分支上，的值随的增大而增大，
则，
解得．
（3）若，则，
而，
点在这个函数的图象上，
点不在这个函数的图象上．
5．C
【分析】由题意可求正比例函数解析式和反比例函数解析式，根据正比例函数和反比例函数的性质可判断求解．
【详解】解：∵正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A（2， 4），
∴正比例函数y1＝ 2x，反比例函数y2＝ ，
∴两个函数图象的另一个交点为（ 2，4），
∴A，B选项说法错误；
∵正比例函数y1＝ 2x中，y随x的增大而减小，反比例函数y2＝ 中，在每个象限内y随x的增大而增大，
∴D选项说法错误；
∵当x＜ 2或0＜x＜2时，y1＞y2，
∴选项C说法正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练运用反比例函数与一次函数的性质解决问题是本题的关键．
6．
【分析】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是掌握当时，的图象位于第二、四象限．根据反比例函数的性质列不等式即可解得答案．
【详解】解：反比例函数的图象位于第二、四象限，
，
解得，
故答案为：
7．(1)，，
(2)使得的的取值范围是或
(3)点的坐标为或或或
【分析】（1）把点和点代入，求出a与b的值，再将A点坐标代即可求出反比例函数解析式；
（2）根据A与B横坐标，利用图象求出反比例函数值大于一次函数值时x的范围即可；
（3）设点C的坐标为，根据两点间的距离公式求得， ，，因为为等腰三角形，分三种情况∶，，讨论，进而得到C点的坐标，
【详解】（1）直线过点和，
，，
，
双曲线过点，
双曲线的表达式为；
（2）
观察图象，可得当或时，反比例函数值大于一次函数值，
即使得的x的取值范围是或；
（3） ，
设点C的坐标为，
，
，
，
为等腰三角形，
当时，
解得∶，
点C的坐标为，此时以点A、B、C为顶点不能组成三角形，
当时，
，
解得：，，
点C的坐标为或；
当时，
解得：，，
点C的坐标为或；
综上，C点的坐标为或或或
【点睛】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，利用了数形结合的思想，正确求出反比例函数解析式是解本题的关键．
8．C
【分析】本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解答此题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出k的符号，再根据一次函数的性质进行解答．
分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，，
∴，
∴一次函数的图象经过一、三、四象限，故本选项不合题意；
B、∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，，
∴，
∴一次函数的图象经过一、二、四象限，故本选项不合题意；
C、∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，，
∴，
∴一次函数的图象经过一、二、四象限，故本选项符合题意；
D、∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，，
∴，
∴一次函数的图象经过一、三、四象限，故本选项不合题意．
故选：C．
9．-2
【分析】首先由题意可得点A和点B关于原点对称，再根据三角形全等可得，最后根据k的几何意义可得答案．
【详解】解：∵点A、B是反比例函数与正比例函数的交点，
∴点A和点B关于原点对称，
∴OA＝OB，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（AAS），
∵，
∴，
∵反比例函数图像位于第二象限，
∴k＝-2．
故答案为：-2．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，熟练掌握函数的性质和解析式与面积的关系是解题的关键．
10．
【分析】本题全等三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征.用n表示B点的坐标带入解析式是解题的关键. 作轴于E，轴于F，过B点作轴于C，交于G，证明，则，由点A的坐标为得到，则，由，解得，可得到k的值，即可得到到答案．
【详解】解：作轴于E，轴于F，过B点作轴于C，交于G，如图所示：
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点A的坐标为，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
解得：或（不合题意，舍去），
∴，
∴
∴反比例函数的解析式为．
11．C
【分析】过点C作CE⊥y轴于点E，延长BD交CE于点F，可证明△COE≌△ABE（AAS），则OE=BD=；由S△BDC= BD CF=可得CF=9，由∠BDC=120°，可知∠CDF=60°，所以DF=3，所以点D的纵坐标为4；设C（m，），D（m+9，4），则k=m=4（m+9），求出m的值即可求出k的值．
【详解】解：过点C作CE⊥y轴于点E，延长BD交CE于点F，
∵四边形OABC为平行四边形，
∴ABOC，AB=OC，
∴∠COE=∠ABD，
∵BDy轴，
∴∠ADB=90°，
∴△COE≌△ABD（AAS），
∴OE=BD=，
∵S△BDC= BD CF=，
∴CF=9，
∵∠BDC=120°，
∴∠CDF=60°，
∴DF=3．
∴点D的纵坐标为4，
设C（m，），D（m+9，4），
∵反比例函数y=（x＜0）的图像经过C、D两点，
∴k=m=4（m+9），
∴m=-12，
∴k=-12．
故选：C．
【点睛】本题主要考查反比例函数与几何的综合问题，坐标与图形，全等三角形的判定与性质，设出关键点的坐标，并根据几何关系消去参数的值是本题解题关键．
12．
【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中为定值是解答此题的关键．设A点的坐标为则根据矩形的性质得出矩形中心的纵坐标为，根据中心在反比例函数，求出中心的横坐标为，进而可得出的长度，根据矩形的面积即可求得．
【详解】解：如图，延长交y轴于点E，
∵四边形是矩形，
设A点的坐标为则根据矩形的性质得出矩形中心的纵坐标为，，
∵矩形的中心都在反比例函数上，
∴，
∴矩形中心的坐标为
∴
∵，
∴．
，
∵点在上，
∴,
∴，
解得：
故答案为：．
13．（1）选取的样本只是小红一个人，只有样本不具有代表性，因此第一次数据收集不合理；（2）学生需要跳绳47秒才能达到140的心率；（3）小明的运动过度，要缩短跳绳时间
【分析】本题考查反比例函数的应用，调查样本的可靠性，理解反比例函数的意义是正确解答的前提．
（1）根据抽样调查的意义，选取样本时，样本容量要适当，样本具有代表性进行判断即可；
（2）求出当时相应的的值即可；
（3）求出当时相应的的值，比较得出答案．
【详解】解：（1）选取的样本只是小红一个人，只有样本不具有代表性，因此第一次数据收集不合理；
（2）当时，即，
解得，
答：学生需要跳绳47秒才能达到140的心率；
（3）当时，，
由于，
因此小明的运动过度，要缩短跳绳时间．
14．D
【分析】利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式，然后逐项分析即可解答．
【详解】解：A、设反比例函数的解析式为，把代入得，，
反比例函数的解析式为：，
∵当时，，
月份的利润为万元，正确，不合题意；
B、治污改造完成后，从月到月，利润从万到万，故每月利润比前一个月增加万元，正确，不合题意；
C、设一次函数解析式为：，
则，解得：，
故一次函数解析式为：，
当时，，解得：，
∴治污改造完成后的第个月，即月份该厂利润达到万元，正确，不合题意．
D、当时，，解得：，
∴只有月，月，月共个月的利润低于万元，不正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比函数的应用，正确求出函数解析是解题关键．
15．
【分析】（1）设直线解析式为，结合图像点，代入即可得到答案；
（2）设反比例函数解析式为，结合图像点代入求出k，将代入即可得到答案；
（3）根据（1）（2）解析式得到从℃加热到℃，需要的时间，从而得到相应时间段，然后利用第一段反比例函数求值即可得到答案．
【详解】解：（1）设直线解析式为，将点，代入可得，
，解得，
故答案为：；
（2）设反比例函数解析式为，将点代入可得，
，
∴，
当时，
，解得，
故答案为；
（3）当时，，解得，
∴从℃加热到℃，需要分钟，，，，将 代入，，可得．
【点睛】本题考查反比例函数图像与一次函数图像共存问题，解题的关键是求出两个解析式及周期对应的时间．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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