资源简介

　三角形高线、中线、角平分线的计算
题型分析　解三角形是高考数学的必考内容，其中在三角形中增加高线、中线、角平分线以及其他等分点条件在最近几年的高考题中出现的频率很高，这类问题一般需要综合使用正弦定理和余弦定理解决.
题型一　三角形的高线
例1 (2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sin B.
(1)求sin A；
(2)设AB＝5，求AB边上的高.
解　法一　(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，
因为A＋B＝3C，
所以3C＝π－C，所以C＝.
因为2sin(A－C)＝sin B，
所以2sin＝sin，
展开并整理得
(sin A－cos A)＝(cos A＋sin A)，
得sin A＝3cos A，
又sin2A＋cos2A＝1，且sin A>0，
所以sin A＝.
(2)由正弦定理＝，
得BC＝·sin A＝×＝3.
由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C，
得52＝AC2＋(3)2－2AC·3cos，
整理得AC2－3AC＋20＝0，
解得AC＝或AC＝2.
由(1)得，tan A＝3>，所以又A＋B＝，所以B>，即C所以AB设AB边上的高为h，
则·AB·h＝·AC·BCsin C，
即5h＝2×3×，解得h＝6，
所以AB边上的高为6.
法二　(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，
因为A＋B＝3C，
所以3C＝π－C，所以C＝.
因为2sin(A－C)＝sin B，
所以2sin(A－C)＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，
所以2sin Acos C－2cos Asin C＝sin Acos C＋cos Asin C，
所以sin Acos C＝3cos Asin C，
易得cos Acos C≠0，
所以tan A＝3tan C＝3tan＝3，
又sin A>0，tan A＝，sin2A＋cos2A＝1，
所以sin A＝.
(2)由(1)知tan A＝3>0，所以A为锐角，
又sin A＝，所以cos A＝，
所以sin B＝sin＝(cos A＋sin A)
＝×＝.
由正弦定理＝，
得AC＝＝＝2，
故AB边上的高为AC·sin A＝2×＝6.
感悟提升　高线问题的处理策略
(1)等面积法：AD·BC＝AB·AC·sin ∠BAC.
(2)AD＝AB·sin ∠ABD＝AC·sin ∠ACD.
(3)a＝c·cos B＋b·cos C.
训练1 (2024·咸阳模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acos B＋b＝c.
(1)求A；
(2)若b＝3，c＝，求△ABC中BC边上高线的长.
解　(1)因为acos B＋b＝c，
由正弦定理可得sin Acos B＋sin B＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋sin Bcos A，
所以sin B＝sin Bcos A，
又因为00，
所以cos A＝，
因为0(2)由已知及余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝9＋3－2×3××＝3，
所以a＝，
设△ABC中BC边上的高线长为h，
所以S△ABC＝bcsin A＝ah，
解得h＝.
故△ABC中BC边上的高线的长为.
题型二　三角形的中线
例2 (2024·湘潭模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足b2(sin2B－3cos2B)＝－a(a＋b)，且sin C＝sin 2B.
(1)求角B的大小；
(2)若△ABC的面积为2，求AC边上的中线长.
解　(1)因为sin C＝sin 2B，
所以sin C＝2sin B·cos B，
由正弦定理得c＝2bcos B，
由b2(sin2B－3cos2B)＝－a(a＋b)，
得b2(1－4cos2B)＝－a2－ab，
又由c＝2bcos B，
得c2＝4b2cos2B，
故b2＝－a2－ab，
a2＋b2－c2＝－ab，
由余弦定理得cos C＝＝－，
又因为C∈(0，π)，所以C＝，
由sin C＝sin 2B，sin ＝sin 2B，B∈，
得2B∈，
所以2B＝，B＝.
(2)由(1)得B＝，A＝，C＝，
S△ABC＝absin C＝2，
a2＝2，a＝2，b＝2，
所以c＝
＝＝2，
设AC的中点为D，
则AD＝AC＝，
在△ABD中，由余弦定理得
BD＝
＝＝，
所以AC边上的中线长为.
感悟提升　中线问题的处理策略：如图①，△ABC中，AD为BC的中线，已知AB，AC及A，求中线AD长.
(1)倍长中线：如图②，构造全等，再用余弦定理即可；
(2)向量法：＝(＋)，平方即可；
(3)余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即cos ∠ADB＋cos ∠ADC＝0.
补充：若将条件“AD为BC的中线”换为＝λ”，则可以考虑方法(2)或方法(3).
训练2 (2024·长沙模拟)在△ABC中，bsin B＝asin A－(b＋c)sin C.
(1)求角A的大小；
(2)若BC边上的中线AD＝2，且S△ABC＝2，求△ABC的周长.
解　(1)由已知bsin B＝asin A－(b＋c)sin C和正弦定理，得b2＝a2－bc－c2，
由余弦定理得cos A＝＝－，
在△ABC中，因为A∈(0，π)，
所以A＝.
(2)由S△ABC＝bcsin A＝bc＝2，得bc＝8，①
由(1)知b2＝a2－bc－c2，
即b2＋c2＝a2－8，②
在△ABD中，由余弦定理得
c2＝＋(2)2－2·2··cos ∠ADB，
在△ADC中，由余弦定理得
b2＝＋(2)2－2·2··cos ∠ADC，
因为cos ∠ADB＝－cos ∠ADC，
所以b2＋c2＝＋24，③
由①②③，得a＝8，b2＋c2＝56，bc＝8，
所以b＋c＝＝
＝＝6，
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝8＋6.
题型三　三角形的角平分线
例3 已知△ABC中内角A，B，C的对边分别是a，b，c，A＝60°，c＝b＋1，
sin B＝.
(1)求c的值；
(2)设AD是△ABC的角平分线，求AD的长.
解　(1)sin B＝，
由A＝60°，可得sin A＝，
c＝b＋1>b，可得B为锐角，
则cos B＝＝，
所以sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B
＝×＋×＝，
由＝可得＝，
解得c＝3.
(2)由(1)可得b＝c－1＝2，
因为AD是∠BAC的平分线，
所以∠BAD＝∠CAD＝30°，
设AD＝x，由S△ABC＝S△ACD＋S△ABD，可得
×3×2×＝×2x×＋×3x×，
化为x＝3，解得x＝，则AD＝.
感悟提升　角平分线问题的处理策略：在△ABC中，AD平分∠BAC.
(1)角平分线定理：＝；
(2)利用两个小三角形面积和等于大三角形面积处理.
训练3 (2024·晋城模拟)已知三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acos B＋bcos A＝2ccos B.
(1)求角B；
(2)若A＝，角B的角平分线交AC于点D，BD＝，求CD的长.
解　(1)因为acos B＋bcos A＝2ccos B，
由正弦定理可得
sin Acos B＋sin Bcos A＝2sin Ccos B，
所以sin(A＋B)＝2sin Ccos B，
即sin C＝2sin Ccos B，
因为00，
故cos B＝，
因为0(2)由(1)可知∠ABD＝∠CBD＝，
又A＝，所以∠ADB＝，∠CDB＝，∠BCD＝，
所以BC＝BD＝，
在△BCD中，由余弦定理可得
CD2＝BD2＋BC2－2BD·BCcos ∠CBD，
即CD2＝2＋2－2×××＝4－2
＝(－1)2，
解得CD＝－1.
【A级　基础巩固】
1.在△ABC中，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝120°，AH为△ABC的高线，则·＝(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　在△ABC中，由余弦定理得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°＝7，
即BC＝，
所以S△ABC＝AB·ACsin 120°＝BC·AH，
所以AH＝＝，
由向量数量积的几何意义得
·＝||2＝＝.
2.在△ABC中，B＝，BC边上的高为BC长度的一半，则cos A＝(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　如图，BC边上的高AD为BC边长的一半，
设BC＝a，
则AD＝BD＝，∴AB＝a，
在△ABC中，由余弦定理得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos ∠ABC＝a2.
在△ABC中，由正弦定理得＝，
可得sin A＝，
∵A∈，∴cos A＝.
3.(2024·广州质检)已知△ABC中，AB＝6，AC＝2，AD为∠BAC的角平分线，AD＝，则△ABC的面积为(　　)
A.2 B.4 C.3 D.3
答案　B
解析　设∠BAD＝∠CAD＝θ，
∵S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，
则AB·AC·sin ∠BAC＝AB·AD·sin ∠BAD＋AD·AC·sin ∠CAD，
即×6×2×sin 2θ＝×6××sin θ＋×2××sin θ，
可得sin 2θ＝2sin θ＝2sin θcos θ，
∵sin θ≠0，则cos θ＝，
∴sin θ＝＝，
则S△ABC＝S△ABD＋S△ACD＝×6××＋×2××＝4.
4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A，C，B成等差数列，角C的角平分线交AB于点D，且CD＝，a＝3b，则c的值为(　　)
A.3 B. C. D.2
答案　C
解析　如图，在△ABC中，由角A，C，B成等差数列，角C的角平分线交AB于点D，则C＝，
所以∠ACD＝∠BCD＝，
由CD＝，a＝3b，
所以＝＝，
在△ACD和△BCD中，由余弦定理得
AD2＝b2＋3－2b×cos 30°＝b2－3b＋3，
DB2＝(3b)2＋3－2×3b×cos 30°
＝9b2－9b＋3，
故9b2－9b＋3＝9(b2－3b＋3)，
解得b＝，故a＝4.
在△ABC中，由余弦定理得
c2＝a2＋b2－2abcos C，
即c2＝16＋－2×4××＝，
故c＝.
5.在△ABC中，已知AB＝4，AC＝7，BC边的中线AD＝，那么BC＝(　　)
A.4 B.5 C.7 D.9
答案　D
解析　在△ABD中，结合余弦定理得
cos ∠ADB＝，
在△ACD中，结合余弦定理得
cos ∠ADC＝，
由题意知BD＝CD，∠ADB＋∠ADC＝π，
所以cos ∠ADB＋cos ∠ADC＝0，
所以＋＝0，
即＋＝0，
解得CD＝，所以BC＝9.
6.(多选)(2024·南京调研)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(2b－c)cos A＝acos C，b＝2，若边BC的中线AD＝3，则下列结论正确的有(　　)
A.A＝ 　　 　　 B.A＝
C.·＝6 　　　 D.△ABC的面积为3
答案　ACD
解析　由(2b－c)cos A＝acos C，
得2sin Bcos A－sin Ccos A＝sin Acos C，
得2sin Bcos A＝sin Acos C＋sin Ccos A
＝sin(A＋C)＝sin(π－B)＝sin B，
因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，
因此2cos A＝1，得cos A＝，
因为A∈(0，π)，所以A＝，A正确，B不正确；
因为AD是中线，
所以由＝(＋)，
得42＝2＋2＋2·，
得36＝c2＋12＋2×2×c，
得c＝2或c＝－4(舍去)，
因此·＝2×2×＝6，C正确；
S△ABC＝bcsin A＝×2×2×＝3，D正确.
7.(2024·南通诊断)在△ABC中，已知A＝60°，BC＝2，D为BC的中点，则线段AD长度的最大值为(　　)
A.1 B. C. D.2
答案　C
解析　设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc，
即4＝b2＋c2－bc，
所以4＝b2＋c2－bc≥bc，当且仅当b＝c时，等号成立.
因为＝(＋)，
所以2＝(2＋2＋2·)
＝＝(b2＋c2＋bc)
＝(4＋bc＋bc)≤(4＋8)＝3，
所以||≤，故选C.
8.在△ABC中，a＝1，b＝，c边上的中线长为1，则△ABC的外接圆的半径长为________.
答案　1
解析　如图，在△ABC中，设D为AB边的中点，
则＝＋，＝＋，＋＝0，
所以2＝＋，
故42＝(＋)2，
而||＝1，||＝，||＝1，
所以4＝3＋1＋2·＝4＋2cos ∠ACB，
则cos ∠ACB＝0，
由于∠ACB∈(0，π)，故∠ACB＝，
所以c＝＝2，
设△ABC的外接圆的半径为R，
则＝2R，
所以R＝×＝1.
9.(2024·石家庄调研)在△ABC中，已知AC＝，∠ABC＝60°，AB答案　
解析　因为∠ABC＝60°且△ABC的面积为，
所以acsin 60°＝，即ac＝6，①
又AC＝，
所以b2＝a2＋c2－2accos 60°＝7，
即a2＋c2－ac＝7，②
联立①②结合a>c，解得a＝3，c＝2.
设BC边上的高为h，
所以ah＝×3×h＝，
所以h＝.
10.在锐角△ABC中，BC＝4，sin B＋sin C＝2sin A，则中线AD的取值范围是________.
答案　[2，)
解析　设AB＝c，AC＝b，BC＝a＝4，
对sin B＋sin C＝2sin A运用正弦定理，
得b＋c＝2a＝8，
所以c＝8－b，
因为该三角形为锐角三角形，所以根据余弦定理，
可得
则解得3由bc＝b(8－b)＝－b2＋8b＝－(b－4)2＋16，
得15由＝(＋)，
所以||＝
＝
＝＝，
结合bc的范围，
代入得||的范围为[2，).
11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2＋b2(1－4cos2B)＝－ab，且c＝2bcos B.
(1)求B；
(2)若△ABC的周长为4＋2，求BC边上中线的长.
解　(1)由a2＋b2(1－4cos2B)＝－ab，
有a2＋b2－4b2cos2B＝－ab，
又c＝2bcos B，所以c2＝4b2cos2B，
即a2＋b2－c2＝－ab，
由余弦定理，得
cos C＝＝＝－，
又C∈(0，π)，所以C＝，
由c＝2bcos B及正弦定理，得
sin C＝2sin Bcos B，
所以sin 2B＝，
由B∈，得2B∈，
所以2B＝，解得B＝.
(2)由(1)可知B＝，C＝，
所以A＝π－－＝，
所以a＝b，
由c＝2bcos B，得c＝a.
因为△ABC的周长为4＋2，
所以a＋a＋a＝4＋2，解得a＝2.
设BC的中点为D，则CD＝BC＝1，如图所示.
在△ACD中由余弦定理，得
AD＝
＝＝，
所以BC边上中线的长为.
12.(2024·福州模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bsin ＝csin B.
(1)求角C；
(2)若AB边上的高线长为2，求△ABC面积的最小值.
解　(1)由已知A＋B＋C＝π，
所以bsin ＝bsin ＝bcos ，
所以bcos ＝csin B，
由正弦定理得sin Bcos ＝sin Csin B，
因为B，C∈(0，π)，
则sin B>0，0<<，cos >0，
所以cos ＝sin C，则cos ＝2sin cos ，
所以sin ＝，
所以＝，则C＝.
(2)由S△ABC＝c·2＝absin C，
得ab＝4c，
由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab≥2ab－ab＝ab，
即c2≥4c，
因为c>0，则c≥4，当且仅当a＝b＝c＝4取等号，
此时△ABC面积的最小值为4.
【B级　能力提升】
13.(2024·武汉模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2a＋b＝2ccos B，若CD是角C的平分线，AD＝2，DB＝，则CD的长为(　　)
A.3 B.2 C.2 D.3
答案　B
解析　由余弦定理知cos B＝，
∵2a＋b＝2ccos B，
∴2a＋b＝2c·，
即a2＋b2－c2＝－ab，
由余弦定理知
cos C＝＝＝－，
∵C∈(0，π)，∴C＝.
由角平分线定理知＝＝＝2，
设BC＝x，则AC＝2x，
在△ABC中，由余弦定理知，
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos ∠ACB，
∴(3)2＝4x2＋x2－2·2x·x·，
解得x＝3(负值舍去)，
∴a＝BC＝3，b＝AC＝6，
∴cos B＝＝＝，
在△BCD中，由余弦定理知，
CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos B
＝7＋9－2××3×＝4，
∴CD＝2.
14.(2024·柳州模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(a＋b)(sin A－sin B)＝c(sin C＋sin B)，若角A的内角平分线AD的长为3，则4b＋c的最小值为(　　)
A.21 B.24 C.27 D.36
答案　C
解析　在△ABC中，
(a＋b)(sin A－sin B)＝c(sin C＋sin B)，
由正弦定理得(a＋b)(a－b)＝c(c＋b)，
即a2＝b2＋c2＋bc，
由余弦定理得cos A＝＝－，
而0因角A的内角平分线AD的长为3，
由S△BAD＋S△CAD＝S△BAC得
c·ADsin ∠BAD＋b·ADsin ∠CAD＝bcsin ∠BAD，
即3csin ＋3bsin ＝bcsin ，
因此＋＝，则
4b＋c＝3(4b＋c)＝3
≥3＝27，
当且仅当＝，即c＝2b＝9时取等号，
所以当c＝2b＝9时，4b＋c取得最小值27.
15.(多选)(2024·济南调研)在△ABC中，BC＝2，BC边上的中线AD＝2，则下列说法正确的有(　　)
A.AC2＋AB2＝10
B.C.·＝2
D.∠BAD的最大值为30°
答案　AD
解析　在△ABC中，BC＝2，BC边上的中线AD＝2，
对于A，∵∠ADB＋∠ADC＝π，
∴cos ∠ADB＋cos ∠ADC＝0，
由余弦定理知
＋＝0，
化简得b2＋c2＝10，
即AC2＋AB2＝10，故A正确；
对于C，·＝(＋)(－)＝2－2＝4－1＝3，故C错误；
对于B，在△ABC中，由余弦定理知，cos ∠BAC＝≥＝1－，当且仅当b＝c时取等号；
由C可知·＝3＝bccos A，
∴bc＝，
则cos A≥1－cos A，解得cos A≥，
故≤cos A<1，故B错误；
对于D，cos ∠BAD＝＝≥＝(当且仅当c＝时等号成立).
∵0<∠BAD<，∴∠BAD的最大值为30°，故D正确.
16.(2024·杭州模拟)已知锐角△ABC，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2acos C＝b－a.
(1)证明：C＝2A；
(2)若CD为∠ACB的角平分线，交AB于D点，且CD＝，S△ACD＝，求a的值.
(1)证明　因为2acos C＝b－a，
由正弦定理得2sin Acos C＝sin B－sin A，
又sin B＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)
＝sin Acos C＋cos Asin C，
所以2sin Acos C＝sin Acos C＋cos Asin C－sin A，
整理得sin(C－A)＝sin A，
又A，C∈，则C－A＝A，即C＝2A.
(2)解　因为CD为∠ACB的平分线，且C＝2A，
所以∠ACD＝A＝∠DCB，则AD＝CD＝，
所以S△ACD＝AD·CD·sin ∠ADC
＝AD·CD·sin(π－2A)
＝sin 2A＝，
可得sin 2A＝，
因为△ABC为锐角三角形，
所以解得所以cos 2A＝＝＝1－2sin2A
＝2cos2A－1，
所以sin A＝，cos A＝，
所以sin B＝sin Acos C＋cos Asin C
＝sin Acos 2A＋cos Asin 2A
＝×＋×＝，
在△ACD中，由余弦定理可得
b2＝AC2＝CD2＋AD2－2CD·AD·cos ∠ADC
＝3＋3－6cos(π－2A)
＝6＋6cos 2A＝8，
所以b＝2，
由正弦定理＝，得a＝＝＝.　三角形高线、中线、角平分线的计算
题型分析　解三角形是高考数学的必考内容，其中在三角形中增加高线、中线、角平分线以及其他等分点条件在最近几年的高考题中出现的频率很高，这类问题一般需要综合使用正弦定理和余弦定理解决.
题型一　三角形的高线
例1 (2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sin B.
(1)求sin A；
(2)设AB＝5，求AB边上的高.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
感悟提升　高线问题的处理策略
(1)等面积法：AD·BC＝AB·AC·sin ∠BAC.
(2)AD＝AB·sin ∠ABD＝AC·sin ∠ACD.
(3)a＝c·cos B＋b·cos C.
训练1 (2024·咸阳模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
acos B＋b＝c.
(1)求A；
(2)若b＝3，c＝，求△ABC中BC边上高线的长.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
题型二　三角形的中线
例2 (2024·湘潭模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足b2(sin2B－3cos2B)＝－a(a＋b)，且sin C＝sin 2B.
(1)求角B的大小；
(2)若△ABC的面积为2，求AC边上的中线长.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
感悟提升　中线问题的处理策略：如图①，△ABC中，AD为BC的中线，已知AB，AC及A，求中线AD长.
(1)倍长中线：如图②，构造全等，再用余弦定理即可；
(2)向量法：＝(＋)，平方即可；
(3)余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即cos ∠ADB＋cos ∠ADC＝0.
补充：若将条件“AD为BC的中线”换为＝λ”，则可以考虑方法(2)或方法(3).
训练2 (2024·长沙模拟)在△ABC中，bsin B＝asin A－(b＋c)sin C.
(1)求角A的大小；
(2)若BC边上的中线AD＝2，且S△ABC＝2，求△ABC的周长.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
题型三　三角形的角平分线
例3 已知△ABC中内角A，B，C的对边分别是a，b，c，A＝60°，c＝b＋1，sin B＝.
(1)求c的值；
(2)设AD是△ABC的角平分线，求AD的长.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
感悟提升　角平分线问题的处理策略：在△ABC中，AD平分∠BAC.
(1)角平分线定理：＝；
(2)利用两个小三角形面积和等于大三角形面积处理.
训练3 (2024·晋城模拟)已知三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acos B＋bcos A＝2ccos B.
(1)求角B；
(2)若A＝，角B的角平分线交AC于点D，BD＝，求CD的长.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(共49张PPT)
第四章　三角函数、解三角形
三角形高线、中线、角平分线的计算
解三角形是高考数学的必考内容，其中在三角形中增加高线、中线、角平分线以及其他等分点条件在最近几年的高考题中出现的频率很高，这类问题一般需要综合使用正弦定理和余弦定理解决.
题型一　三角形的高线
例1 (2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sin B.
(1)求sin A；
(2)设AB＝5，求AB边上的高.
因为2sin(A－C)＝sin B，
所以2sin(A－C)＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，
所以2sin Acos C－2cos Asin C＝sin Acos C＋cos Asin C，
所以sin Acos C＝3cos Asin C，
易得cos Acos C≠0，
感悟提升
高线问题的处理策略
(1)等面积法：AD·BC＝AB·AC·sin ∠BAC.
(2)AD＝AB·sin ∠ABD＝AC·sin ∠ACD.
(3)a＝c·cos B＋b·cos C.
题型二　三角形的中线
例2 (2024·湘潭模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足b2(sin2B－3cos2B)＝－a(a＋b)，且sin C＝sin 2B.
(1)求角B的大小；
解　因为sin C＝sin 2B，
所以sin C＝2sin B·cos B，
由正弦定理得c＝2bcos B，
由b2(sin2B－3cos2B)＝－a(a＋b)，
得b2(1－4cos2B)＝－a2－ab，
又由c＝2bcos B，得c2＝4b2cos2B，
感悟提升
中线问题的处理策略：如图①，△ABC中，AD为BC的中线，已知AB，AC及A，求中线AD长.
训练2 (2024·长沙模拟)在△ABC中，bsin B＝asin A－(b＋c)sin C.
(1)求角A的大小；
解　由已知bsin B＝asin A－(b＋c)sin C和正弦定理，得b2＝a2－bc－c2，
题型三　三角形的角平分线
(2)设AD是△ABC的角平分线，求AD的长.
解　由(1)可得b＝c－1＝2，
因为AD是∠BAC的平分线，
所以∠BAD＝∠CAD＝30°，
设AD＝x，由S△ABC＝S△ACD＋S△ABD，可得
感悟提升
训练3 (2024·晋城模拟)已知三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acos B＋bcos A＝2ccos B.
(1)求角B；
解　因为acos B＋bcos A＝2ccos B，
由正弦定理可得sin Acos B＋sin Bcos A＝2sin Ccos B，
所以sin(A＋B)＝2sin Ccos B，即sin C＝2sin Ccos B，
在△BCD中，由余弦定理可得
CD2＝BD2＋BC2－2BD·BCcos ∠CBD，
课时分层精练
KESHIFENCENGJINGLIAN
C
A
解析　如图，BC边上的高AD为BC边长的一半，
B
解析　设∠BAD＝∠CAD＝θ，∵S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，
C
D
ACD
解析　由(2b－c)cos A＝acos C，
得2sin Bcos A－sin Ccos A＝sin Acos C，
得2sin Bcos A＝sin Acos C＋sin Ccos A＝sin(A＋C)＝sin(π－B)＝sin B，
因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，
C
解析　设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc，即4＝b2＋c2－bc，
所以4＝b2＋c2－bc≥bc，当且仅当b＝c时，等号成立.
1
解析　如图，在△ABC中，设D为AB边的中点，
10.在锐角△ABC中，BC＝4，sin B＋sin C＝2sin A，则中线AD的取值范围是____________.
解析　设AB＝c，AC＝b，BC＝a＝4，
对sin B＋sin C＝2sin A运用正弦定理，得b＋c＝2a＝8，
所以c＝8－b，
因为该三角形为锐角三角形，所以根据余弦定理，
11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2＋b2(1－4cos2B)＝－ab，且c＝2bcos B.
(1)求B；
解　由a2＋b2(1－4cos2B)＝－ab，有a2＋b2－4b2cos2B＝－ab，
又c＝2bcos B，所以c2＝4b2cos2B，即a2＋b2－c2＝－ab，
B
设BC＝x，则AC＝2x，
在△ABC中，由余弦定理知，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos ∠ACB，
14.(2024·柳州模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
(a＋b)(sin A－sin B)＝c(sin C＋sin B)，若角A的内角平分线AD的长为3，则4b＋c的最小值为(　　)
A.21 B.24　　　　　　C.27　　　　　　D.36
C
解析　在△ABC中，(a＋b)(sin A－sin B)＝c(sin C＋sin B)，
由正弦定理得(a＋b)(a－b)＝c(c＋b)，
即a2＝b2＋c2＋bc，
AD
解析　在△ABC中，BC＝2，BC边上的中线AD＝2，
对于A，∵∠ADB＋∠ADC＝π，
∴cos ∠ADB＋cos ∠ADC＝0，
16.(2024·杭州模拟)已知锐角△ABC，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2acos C＝b－a.
(1)证明：C＝2A；
证明　因为2acos C＝b－a，
由正弦定理得2sin Acos C＝sin B－sin A，
又sin B＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，
所以2sin Acos C＝sin Acos C＋cos Asin C－sin A，
整理得sin(C－A)＝sin A，
解　因为CD为∠ACB的平分线，且C＝2A，
在△ACD中，由余弦定理可得b2＝AC2＝CD2＋AD2－2CD·AD·cos ∠ADC
＝3＋3－6cos(π－2A)＝6＋6cos 2A＝8，对点练　三角形高线、中线、角平分线的计算
【A级　基础巩固】
1.在△ABC中，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝120°，AH为△ABC的高线，则·＝(　　)
A. B.
C. D.
2.在△ABC中，B＝，BC边上的高为BC长度的一半，则cos A＝(　　)
A. B.
C. D.
3.(2024·广州质检)已知△ABC中，AB＝6，AC＝2，AD为∠BAC的角平分线，AD＝，则△ABC的面积为(　　)
A.2 B.4
C.3 D.3
4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A，C，B成等差数列，角C的角平分线交AB于点D，且CD＝，a＝3b，则c的值为(　　)
A.3 B.
C. D.2
5.在△ABC中，已知AB＝4，AC＝7，BC边的中线AD＝，那么BC＝(　　)
A.4 B.5
C.7 D.9
6.(多选)(2024·南京调研)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(2b－c)cos A＝acos C，b＝2，若边BC的中线AD＝3，则下列结论正确的有(　　)
A.A＝ 　　　　 B.A＝
C.·＝6 　　　　 D.△ABC的面积为3
7.(2024·南通诊断)在△ABC中，已知A＝60°，BC＝2，D为BC的中点，则线段AD长度的最大值为(　　)
A.1 B.
C. D.2
8.在△ABC中，a＝1，b＝，c边上的中线长为1，则△ABC的外接圆的半径长为________.
9.(2024·石家庄调研)在△ABC中，已知AC＝，∠ABC＝60°，AB10.在锐角△ABC中，BC＝4，sin B＋sin C＝2sin A，则中线AD的取值范围是________.
11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2＋b2(1－4cos2B)＝－ab，且c＝2bcos B.
(1)求B；
(2)若△ABC的周长为4＋2，求BC边上中线的长.
12.(2024·福州模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bsin ＝csin B.
(1)求角C；
(2)若AB边上的高线长为2，求△ABC面积的最小值.
【B级　能力提升】
13.(2024·武汉模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2a＋b＝2ccos B，若CD是角C的平分线，AD＝2，DB＝，则CD的长为(　　)
A.3 B.2
C.2 D.3
14.(2024·柳州模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(a＋b)(sin A－sin B)＝c(sin C＋sin B)，若角A的内角平分线AD的长为3，则4b＋c的最小值为(　　)
A.21 B.24
C.27 D.36
15.(多选)(2024·济南调研)在△ABC中，BC＝2，BC边上的中线AD＝2，则下列说法正确的有(　　)
A.AC2＋AB2＝10 B.C.·＝2 D.∠BAD的最大值为30°
16.(2024·杭州模拟)已知锐角△ABC，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2acos C＝b－a.
(1)证明：C＝2A；
(2)若CD为∠ACB的角平分线，交AB于D点，且CD＝，S△ACD＝，求a的值.
对点练　三角形高线、中线、角平分线的计算
1.C　[在△ABC中，由余弦定理得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°＝7，
即BC＝，
所以S△ABC＝AB·ACsin 120°＝BC·AH，
所以AH＝＝，
由向量数量积的几何意义得·＝||2＝＝.]
2.A　[如图，BC边上的高AD为BC边长的一半，
设BC＝a，
则AD＝BD＝，
∴AB＝a，在△ABC中，由余弦定理得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos ∠ABC＝a2.
在△ABC中，由正弦定理得＝，
可得sin A＝，
∵A∈，∴cos A＝.]
3.B　[设∠BAD＝∠CAD＝θ，
∵S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，
则AB·AC·sin ∠BAC＝AB·AD·sin ∠BAD＋AD·AC·sin ∠CAD，
即×6×2×sin 2θ＝×6××sin θ＋×2××sin θ，
可得sin 2θ＝2sin θ＝2sin θcos θ，
∵sin θ≠0，则cos θ＝，
∴sin θ＝＝，
则S△ABC＝S△ABD＋S△ACD＝×6××＋×2××＝4.]
4.C　[如图，在△ABC中，由角A，C，B成等差数列，角C的角平分线交AB于点D，则C＝，
所以∠ACD＝∠BCD＝，
由CD＝，a＝3b，
所以＝＝，
在△ACD和△BCD中，由余弦定理得
AD2＝b2＋3－2b×cos 30°＝b2－3b＋3，
DB2＝(3b)2＋3－2×3b×cos 30°＝9b2－9b＋3，
故9b2－9b＋3＝9(b2－3b＋3)，
解得b＝，故a＝4.
在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C，
即c2＝16＋－2×4××＝，
故c＝.]
5.D　[在△ABD中，结合余弦定理得cos ∠ADB＝，
在△ACD中，结合余弦定理得cos ∠ADC＝，
由题意知BD＝CD，∠ADB＋∠ADC＝π，
所以cos ∠ADB＋cos ∠ADC＝0，
所以＋＝0，
即＋＝0，
解得CD＝，所以BC＝9.]
6.ACD　[由(2b－c)cos A＝acos C，
得2sin Bcos A－sin Ccos A＝sin Acos C，
得2sin Bcos A＝sin Acos C＋sin Ccos A
＝sin(A＋C)＝sin(π－B)＝sin B，
因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，
因此2cos A＝1，得cos A＝，
因为A∈(0，π)，所以A＝，A正确，B不正确；
因为AD是中线，所以由＝(＋)，
得42＝2＋2＋2·，
得36＝c2＋12＋2×2×c，
得c＝2或c＝－4(舍去)，
因此·＝2×2×＝6，C正确；
S△ABC＝bcsin A＝×2×2×
＝3，D正确.]
7.C　[设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，由余弦定理得
a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc，
即4＝b2＋c2－bc，
所以4＝b2＋c2－bc≥bc，当且仅当b＝c时，等号成立.
因为＝(＋)，
所以2＝(2＋2＋2·)
＝＝(b2＋c2＋bc)
＝(4＋bc＋bc)≤(4＋8)＝3，
所以||≤，故选C.]
8.1　[如图，在△ABC中，
设D为AB边的中点，
则＝＋，＝＋，＋＝0，
所以2＝＋，
故42＝(＋)2，
而||＝1，||＝，||＝1，
所以4＝3＋1＋2·＝4＋2cos ∠ACB，
则cos ∠ACB＝0，
由于∠ACB∈(0，π)，故∠ACB＝，
所以c＝＝2，
设△ABC的外接圆的半径为R，
则＝2R，
所以R＝×＝1.]
9.　[因为∠ABC＝60°且△ABC的面积为，
所以acsin 60°＝，即ac＝6，①
又AC＝，
所以b2＝a2＋c2－2accos 60°＝7，
即a2＋c2－ac＝7，②
联立①②结合a>c，解得a＝3，c＝2.
设BC边上的高为h，
所以ah＝×3×h＝，
所以h＝.]
10.[2，)　[设AB＝c，AC＝b，BC＝a＝4，
对sin B＋sin C＝2sin A运用正弦定理，
得b＋c＝2a＝8，
所以c＝8－b，
因为该三角形为锐角三角形，所以根据余弦定理，
可得
则解得3由bc＝b(8－b)＝－b2＋8b＝－(b－4)2＋16，
得15由＝(＋)，
所以||＝
＝
＝＝，
结合bc的范围，
代入得||的范围为[2，).]
11.解　(1)由a2＋b2(1－4cos2B)＝－ab，
有a2＋b2－4b2cos2B＝－ab，
又c＝2bcos B，所以c2＝4b2cos2B，
即a2＋b2－c2＝－ab，
由余弦定理，得
cos C＝＝＝－，
又C∈(0，π)，所以C＝，
由c＝2bcos B及正弦定理，得sin C＝2sin Bcos B，
所以sin 2B＝，
由B∈，得2B∈，
所以2B＝，解得B＝.
(2)由(1)可知B＝，C＝，
所以A＝π－－＝，
所以a＝b，
由c＝2bcos B，得c＝a.
因为△ABC的周长为4＋2，
所以a＋a＋a＝4＋2，解得a＝2.
设BC的中点为D，
则CD＝BC＝1，如图所示.
在△ACD中由余弦定理，得
AD＝＝＝，
所以BC边上中线的长为.
12.解　(1)由已知A＋B＋C＝π，
所以bsin ＝bsin ＝bcos ，
所以bcos ＝csin B，
由正弦定理得sin Bcos ＝sin Csin B，
因为B，C∈(0，π)，
则sin B>0，0<<，cos >0，
所以cos ＝sin C，
则cos ＝2sin cos ，
所以sin ＝，
所以＝，则C＝.
(2)由S△ABC＝c·2＝absin C，
得ab＝4c，
由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab≥2ab－ab＝ab，
即c2≥4c，
因为c>0，则c≥4，当且仅当a＝b＝c＝4取等号，
此时△ABC面积的最小值为4.
13.B　[由余弦定理知cos B＝，
∵2a＋b＝2ccos B，
∴2a＋b＝2c·，
即a2＋b2－c2＝－ab，
由余弦定理知cos C＝＝＝－，
∵C∈(0，π)，∴C＝.
由角平分线定理知＝＝＝2，
设BC＝x，则AC＝2x，
在△ABC中，由余弦定理知，
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos ∠ACB，
∴(3)2＝4x2＋x2－2·2x·x·，
解得x＝3(负值舍去)，
∴a＝BC＝3，b＝AC＝6，
∴cos B＝＝＝，
在△BCD中，由余弦定理知，
CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos B
＝7＋9－2××3×＝4，
∴CD＝2.]
14.C　[在△ABC中，(a＋b)(sin A－sin B)＝c(sin C＋sin B)，
由正弦定理得(a＋b)(a－b)＝c(c＋b)，
即a2＝b2＋c2＋bc，
由余弦定理得cos A＝＝－，
而0因角A的内角平分线AD的长为3，
由S△BAD＋S△CAD＝S△BAC得
c·ADsin ∠BAD＋b·ADsin ∠CAD＝bcsin ∠BAD，
即3csin ＋3bsin ＝bcsin ，
因此＋＝，则
4b＋c＝3(4b＋c)＝3≥3＝27，
当且仅当＝，即c＝2b＝9时取等号，
所以当c＝2b＝9时，4b＋c取得最小值27.]
15.AD　[在△ABC中，BC＝2，BC边上的中线AD＝2，
对于A，∵∠ADB＋∠ADC＝π，
∴cos ∠ADB＋cos ∠ADC＝0，
由余弦定理知＋＝0，
化简得b2＋c2＝10，
即AC2＋AB2＝10，故A正确；
对于C，·＝(＋)(－)＝2－2＝4－1＝3，故C错误；
对于B，在△ABC中，由余弦定理知，cos ∠BAC＝≥＝1－，当且仅当b＝c时取等号；
由C可知·＝3＝bccos A，∴bc＝，
则cos A≥1－cos A，解得cos A≥，
故≤cos A<1，故B错误；
对于D，cos ∠BAD＝＝≥＝(当且仅当c＝时等号成立).
∵0<∠BAD<，∴∠BAD的最大值为30°，故D正确.]
16.(1)证明　因为2acos C＝b－a，
由正弦定理得2sin Acos C＝sin B－sin A，
又sin B＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，
所以2sin Acos C＝sin Acos C＋cos Asin C－sin A，
整理得sin(C－A)＝sin A，
又A，C∈，
则C－A＝A，即C＝2A.
(2)解　因为CD为∠ACB的平分线，且C＝2A，
所以∠ACD＝A＝∠DCB，则AD＝CD＝，
所以S△ACD＝AD·CD·sin ∠ADC＝AD·CD·sin(π－2A)＝sin 2A＝，
可得sin 2A＝，
因为△ABC为锐角三角形，
所以解得所以cos 2A＝＝＝1－2sin2A＝2cos2A－1，
所以sin A＝，cos A＝，
所以sin B＝sin Acos C＋cos Asin C
＝sin Acos 2A＋cos Asin 2A
＝×＋×＝，
在△ACD中，由余弦定理可得
b2＝AC2＝CD2＋AD2－2CD·AD·cos ∠ADC
＝3＋3－6cos(π－2A)＝6＋6cos 2A＝8，
所以b＝2，
由正弦定理＝，得a＝＝＝.

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