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专题18 不等式恒(能)成立问题（新高考专用）
【真题自测】 2
【考点突破】 13
【考点1】分离参数法求参数范围 13
【考点2】分类讨论法求参数范围 19
【考点3】双变量的恒(能)成立问题 24
【分层检测】 33
【基础篇】 33
【能力篇】 40
【培优篇】 45
一、解答题
1．（2023·全国·高考真题）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若，求的取值范围．
2．（2023·全国·高考真题）已知函数
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
3．（2023·全国·高考真题）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
4．（2023·全国·高考真题）（1）证明：当时，；
（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．
5．（2022·全国·高考真题）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，，求a的取值范围；
(3)设，证明：．
6．（2021·天津·高考真题）已知，函数．
（I）求曲线在点处的切线方程：
（II）证明存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．
参考答案：
1．(1)在上单调递减
(2)
【分析】（1）代入后，再对求导，同时利用三角函数的平方关系化简，再利用换元法判断得其分子与分母的正负情况，从而得解；
（2）法一：构造函数，从而得到，注意到，从而得到，进而得到，再分类讨论与两种情况即可得解；
法二：先化简并判断得恒成立，再分类讨论，与三种情况，利用零点存在定理与隐零点的知识判断得时不满足题意，从而得解.
【详解】（1）因为，所以，
则
，
令，由于，所以，
所以，
因为，，，
所以在上恒成立，
所以在上单调递减.
（2）法一：
构建，
则，
若，且，
则，解得，
当时，因为，
又，所以，，则，
所以，满足题意；
当时，由于，显然，
所以，满足题意；
综上所述：若，等价于，
所以的取值范围为.
法二：
因为，
因为，所以，，
故在上恒成立，
所以当时，，满足题意；
当时，由于，显然，
所以，满足题意；
当时，因为，
令，则，
注意到，
若，，则在上单调递增，
注意到，所以，即，不满足题意；
若，，则，
所以在上最靠近处必存在零点，使得，
此时在上有，所以在上单调递增，
则在上有，即，不满足题意；
综上：.
【点睛】关键点睛：本题方法二第2小问讨论这种情况的关键是，注意到，从而分类讨论在上的正负情况，得到总存在靠近处的一个区间，使得，从而推得存在，由此得解.
2．(1)答案见解析.
(2)
【分析】（1）求导,然后令,讨论导数的符号即可;
（2）构造,计算的最大值,然后与0比较大小,得出的分界点,再对讨论即可.
【详解】（1）
令,则
则
当
当,即.
当,即.
所以在上单调递增,在上单调递减
（2）设
设
所以.
若,
即在上单调递减,所以.
所以当,符合题意.
若
当,所以.
.
所以,使得,即,使得.
当,即当单调递增.
所以当,不合题意.
综上,的取值范围为.
【点睛】关键点点睛:本题采取了换元,注意复合函数的单调性在定义域内是减函数,若,当,对应当.
3．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；
（2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可.
方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证.
【详解】（1）因为，定义域为，所以，
当时，由于，则，故恒成立，
所以在上单调递减；
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）方法一：
由（1）得，，
要证，即证，即证恒成立，
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕.
方法二：
令，则，
由于在上单调递增，所以在上单调递增，
又，
所以当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，则，当且仅当时，等号成立，
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以要证，即证，即证，
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕.
4．（1）证明见详解（2）
【分析】（1）分别构建，，求导，利用导数判断原函数的单调性，进而可得结果；
（2）根据题意结合偶函数的性质可知只需要研究在上的单调性，求导，分类讨论和，结合（1）中的结论放缩，根据极大值的定义分析求解.
【详解】（1）构建，则对恒成立，
则在上单调递增，可得，
所以；
构建，
则，
构建，则对恒成立，
则在上单调递增，可得，
即对恒成立，
则在上单调递增，可得，
所以；
综上所述：.
（2）令，解得，即函数的定义域为，
若，则，
因为在定义域内单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
则在上单调递减，在上单调递增，
故是的极小值点，不合题意，所以.
当时，令
因为，
且，
所以函数在定义域内为偶函数，
由题意可得：，
（i）当时，取，，则，
由（1）可得，
且，
所以，
即当时，，则在上单调递增，
结合偶函数的对称性可知：在上单调递减，
所以是的极小值点，不合题意；
（ⅱ）当时，取，则，
由（1）可得，
构建，
则，
且，则对恒成立，
可知在上单调递增，且，
所以在内存在唯一的零点，
当时，则，且，
则，
即当时，，则在上单调递减，
结合偶函数的对称性可知：在上单调递增，
所以是的极大值点，符合题意；
综上所述：，即，解得或，
故a的取值范围为.
【点睛】关键点睛：
1.当时，利用，换元放缩；
2.当时，利用，换元放缩.
5．(1)的减区间为，增区间为.
(2)
(3)见解析
【分析】（1）求出，讨论其符号后可得的单调性.
（2）设，求出，先讨论时题设中的不等式不成立，再就结合放缩法讨论符号，最后就结合放缩法讨论的范围后可得参数的取值范围.
（3）由（2）可得对任意的恒成立，从而可得对任意的恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.
【详解】（1）当时，，则，
当时，，当时，，
故的减区间为，增区间为.
（2）设，则，
又，设，
则，
若，则，
因为为连续不间断函数，
故存在，使得，总有，
故在为增函数，故，
故在为增函数，故，与题设矛盾.
若，则，
下证：对任意，总有成立，
证明：设，故，
故在上为减函数，故即成立.
由上述不等式有，
故总成立，即在上为减函数，
所以.
当时，有，
所以在上为减函数，所以.
综上，.
（3）取，则，总有成立，
令，则，
故即对任意的恒成立.
所以对任意的，有，
整理得到：，
故
，
故不等式成立.
【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.
6．（I）；（II）证明见解析；（III）
【分析】（I）求出在处的导数，即切线斜率，求出，即可求出切线方程；
（II）令，可得，则可化为证明与仅有一个交点，利用导数求出的变化情况，数形结合即可求解；
（III）令，题目等价于存在，使得，即，利用导数即可求出的最小值.
【详解】（I），则，
又，则切线方程为；
（II）令，则，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
当时，，，当时，，画出大致图像如下：
所以当时，与仅有一个交点，令，则，且，
当时，，则，单调递增，
当时，，则，单调递减，
为的极大值点，故存在唯一的极值点；
（III）由（II）知，此时，
所以，
令，
若存在a，使得对任意成立，等价于存在，使得，即，
，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，故，
所以实数b的取值范围.
【点睛】关键点睛：第二问解题的关键是转化为证明与仅有一个交点；第三问解题的关键是转化为存在，使得，即.
【考点1】分离参数法求参数范围
一、单选题
1．（23-24高三下·上海·阶段练习）若函数有2个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（22-23高二下·江苏南京·期中）已知函数，，则实数a的值可能是（ ）
A．-1 B． C．3 D．e
三、填空题
4．（23-24高二上·陕西榆林·期末）已知函数是上的增函数，则的最小值为 .
四、解答题
5．（23-24高二下·江苏·期中）设函数，．
(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值：（其中为自然对数的底数）；
(2)在（1）的条件下求的单调区间和极小值：
(3)若在上存在增区间，求的取值范围．
6．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，不等式恒成立，求整数的最大值．
参考答案：
1．C
【分析】先将函数有两个零点转化成关于的方程有两个解，然后构造，利用导数并分类讨论即可求解.
【详解】条件等价于关于的方程有两个解.
设，则原方程即为，而，故当时，当时.
所以在上单调递增，在上单调递减.
当时，对都有，所以方程至多一个零点，从而不满足条件；
当时，对有，而由知在上单调递增，所以方程至多有一个零点，且该零点属于，从而不满足条件；
当时，由于，且，，，故方程在和上各有一个零点，所以一定有两个零点，从而满足条件.
综上，实数的取值范围是.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于使用分离参数法，然后用导数研究函数的单调性，属于常规题.
2．D
【分析】根据题意，转化为在上有解，得到在上有解，令，利用导数求得函数的单调性与最大值，即可求解.
【详解】因为函数，可得，
因为函数在上存在单调递减区间，
可得在上有解，
即在上有解，
令，则，且，
当时，，所以；
当时，，所以，
所以在上单调递增，在上单调递减，故，所以.
故选：D．
【点睛】结论点睛：“恒成立问题”与“有解问题”在等价转化上的区别：
恒成立问题 有解问题
①恒成立；恒成立． ②恒成立； 恒成立． ③恒成立 ； 恒成立 ． ④ ． ①有解； 有解． ②有解； 有解． ③有解； 有解． ④，使得 ．
3．ABD
【分析】分和两种情况讨论可得实数,即可求解.
【详解】函数，,
当时，
当时，恒成立,满足题意;
当时，则有,即有,
当时，则有,即有,
令,,
当时，则有即有单调递减,
当时，则有即有单调递增,
所以,所以可得,
所以；
当时，,
所以a的范围为，
故选:ABD.
4．
【分析】由函数单调性得恒成立，分离参数后构造函数求最值即得.
【详解】因为函数是上的增函数，
所以，即：.
令，则，令，得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以，
要使恒成立，则，故的最小值为.
故答案为：.
5．(1)
(2)单调减区间为，单调增区间为，极小值为2
(3)
【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求得的值；
（2）利用导数与单调性以及极值的关系即可求解；
（3）将在上存在增区间转化为有解，分离参数，即可求出的取值范围.
【详解】（1）由题可得，
因为曲线在点处的切线与直线垂直，
所以，解得；
（2）由（1）知，令，解得
由，解得，由，解得，
所以的单调减区间为，单调增区间为，当时，取得极小值；
（3）由在上存在增区间，
即在上有解，
即在上有解，所以，
令，易知在上单调递增，在上单调递减，
则，
所以
即的取值范围为.
6．(1)
(2)2
【分析】（1）先求出导数，再求斜率结合点斜式写出切线方程；
（2）先把恒成立问题通过参数分离转化为求最小值求出的最大值.
【详解】（1）当时，，
因为 ，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
（2）由题意，知对任意恒成立，
可知对任意恒成立．
设函数，只需．
对函数求导，得．
设函数，对函数求导，得，
所以函数在上单调递增．
又，
所以存在，使，即，
所以当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以，
所以．又，所以，
所以整数的最大值为2．
反思提升：
分离参数法解决恒(能)成立问题的策略
(1)分离变量.构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
(2)a≥f(x)恒成立 a≥f(x)max；
a≤f(x)恒成立 a≤f(x)min；
a≥f(x)能成立 a≥f(x)min；
a≤f(x)能成立 a≤f(x)max.
【考点2】分类讨论法求参数范围
一、单选题
1．（23-24高二下·河北张家口·期中）若函数在时取得极大值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二下·全国·专题练习）若是区间上的单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．
二、多选题
3．（23-24高二下·海南省直辖县级单位·阶段练习）函数在内有最小值，则a的值可以为（ ）
A．0 B． C． D．
三、填空题
4．（21-22高二下·辽宁大连·阶段练习）已知函数，若存在唯一的正整数，使得，则实数的取值范围是
四、解答题
5．（2024·黑龙江·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性，并求出的极小值．
6．（2024·山东泰安·二模）已知函数.
(1)若的极大值为，求的值；
(2)当时，若使得，求的取值范围.
参考答案：
1．C
【分析】求导，分、和三种情况，讨论的单调性，进而可得极值点，结合题意分析判断.
【详解】因为的定义域为，且，
令，可得或，
若，即，当或时，；当时，；
可知在内单调递增，在内单调递减，
则在处取到极小值，不合题意；
若，即，则在定义域内恒成立，
可知在定义域内单调递增，无极值，不合题意；
若，即，当或时，；当时，；
可知在内单调递增，在内单调递减，
则在处取到极大值，符合题意；
综上所述：实数a的取值范围是.
故选：C.
2．C
【分析】求导，分析导函数的正负得到原函数的单调性，再由已知建立关于的不等式组，解出即可．
【详解】由题意，，
令，解得，令，解得或，
所以在上单调递减，在，上单调递减，
若函数在区间上单调，
则或或，解得或或，
即或.
故选：C.
3．BCD
【分析】对求导，然后对分情况讨论函数的单调性，由单调性确定函数的最值.
【详解】由题意可知：，
若，可得在上单调递增，无最小值，不合题意；
若时，令，解得；令，解得；
在内为增函数，在内为减函数，
所以在处取得极小值，也是最小值，符合题意；
若，可得在上单调递减，无最小值，不合题意；
综上所述：，故A错误，BCD正确.
故选：BCD.
4．
【分析】将存在唯一的正整数，使得转化为存在唯一的正整数，使得，然后构造函数，然后利用导数研究函数的性质，进而数形结合即可得出结果.
【详解】因为存在唯一的正整数，使得，则因为存在唯一的正整数，使得，
令，所以存在唯一的正整数，使得，，
所以，，所以单调递减；，，所以单调递增，
所以，恒过定点，
所以当时，有无穷多个整数，使得，
当时，函数单调递增，作出函数图象：

记上，所以，所以
实数a的取值范围是，
故答案为：.
5．(1)
(2)在单调递减，在和单调递增；0.
【分析】（1）欲求曲线在点处的切线方程，只需求出斜率和的值，利用直线的点斜式方程求解切线的方程；
（2）利用函数的导数，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可.
【详解】（1）当时，，
则，
所以，
又知，
所以在点处的切线方程为．
（2）因为，
令，
则或，
所以当时，，
当或时，．
综上，在上单调递减，在和上单调递增；
所以．
6．(1)2
(2)
【分析】（1）根据题意，求得，令，解得或，分类讨论，求得函数单调性和极大值，即可求解；
（2）当时，由（1）得到的单调性，分别求得和，结合题意，分类讨论，列出不等式，即可求解.
【详解】（1）解：因为函数，可得，
因为，令，解得或，
当时，即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增
所以的极大值为，不符合题意；
当时，即时，，在上单调递增，无极大值；
当时，即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以极大值为，解得.
（2）解：当时，
由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且当时，，当时，
当时，即时，当时，单调递增，，
又因为当时，，
因为，所以，当时，使得，
当时，即时，
当时，单调递增，，
当时，
若满足题意，只需，即，
当时，即时，
当时，在上单调递减，上单调递增
所以函数的最小值为，
所以，
又因为时，，
若满足题意，只需，即，
因为，所以，
所以，当时，不存在使得，
综上，实数的取值范围为.
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；
2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
反思提升：
根据不等式恒成立求参数范围的关键是将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足题意即可.
【考点3】双变量的恒(能)成立问题
一、单选题
1．（23-24高三上·江苏苏州·阶段练习）已知正数满足，则（ ）
A． B． C．1 D．
2．（2023·湖北武汉·二模）已知直线与函数的图象恰有两个切点，设满足条件的所有可能取值中最大的两个值分别为和，且，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·广东广州·一模）已知直线与曲线相交于不同两点，，曲线在点处的切线与在点处的切线相交于点，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
4．（22-23高三上·安徽六安·期末）已知函数，，若，，则的最大值为 ．
四、解答题
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数，．
(1)若存在零点，求a的取值范围；
(2)若，为的零点，且，证明：．
6．（2024·四川德阳·二模）已知函数，
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若函数有两个极值点，求的最小值.
参考答案：
1．A
【分析】不等式可化为，分别构造函数，利用导数求出函数的最大、最小值，由不等式左边最小值等于右边的最大值，建立方程即可得解.
【详解】由，
设，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，故，
当且仅当，即时取等号；
设，则，
当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，故，
当且仅当时取等号，
又，则，
此时，则.
故选：A
【点睛】关键点点睛：不等式中含有不相关的双变量，据此分别构造不同的函数，利用导数求最值是关键之一，其次根据不等式左边的最小值与不等式右边的最大值相等，由不等式成立得出方程是关键点之二，据此建立方程求解即可.
2．B
【分析】根据结论恒成立可只考虑的情况，假设切点坐标，则只需考虑，，其中的情况，可将表示为；构造函数，，利用导数可求得的单调性，从而对进行放缩即可求得所求范围.
【详解】对于任意，，，的范围恒定，
只需考虑的情况，
设对应的切点为，，，
设对应的切点为，，，
，，，
只需考虑，，其中的情况，
则，
，其中，
；
又，，
，；
令，则，
在上单调递增，，
设，
，又，，
；
令，则，
令，则，
在上单调递增，
，
即，在上单调递减，，
，；
综上所述：.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考查导数与三角函数综合应用问题，解题关键是能够采用特殊值的方式，考虑不含变量的函数的情况，采用构造函数的方式对所求式子进行放缩，从而求得的范围.
3．ACD
【分析】对于A，构造函数，计算即可判断；对于B，写出点处的切线程联立并化简得，而，计算即可判断；对于C，根据斜率相等可得，为两切线的交点代入化简得，再计算可得；对于D，根据，计算即可判断.
【详解】令，则，
故时，递增；时，递减，
所以的极大值，且，，
因为直线与曲线相交于 两点，
所以与图像有2个交点，
所以，故A正确；
设，且，可得，
在点处的切线程为
，得，即，
因为，所以，即，故B错误；
因为，所以，
因为为两切线的交点，
所以，
即，所以，
所以，故C正确；
因为，所以，所以，
同理得，得，即，
因为，所以，故D正确.
故选：ACD.

【点睛】方法点睛：判断B，关键在于根据切线方程联立求得，而两点得斜率即为直线得斜率得，化简可得；判断C，根据斜率相等得，根据在切线上，代入化简计算可得，计算得后即可判断，判断D，关键在于利用不等式进行计算化简即可判断.
4．
【分析】对已知等式进行同构可得，令，利用导数可求得单调递增，由此可得，从而将所求式子化为；令，利用导数可求得，即为所求最大值.
【详解】由得：；
由得：，；
，
令，，
，在上单调递增，
；
令，则，
则当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
，即的最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解多变量的式子最值的问题；解题关键是能够对于已知等式进行同构变形，将问题转化为某一单调函数的两个函数值相等的问题，从而确定两个变量之间的关系，将所求式子化为单变量的式子来进行求解.
5．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用导数求出函数的最小值，解不等式即可求解；
（2）由零点的定义可得，只需证，令，利用导数证明不等式即可.
【详解】（1）的定义域为，
令，即，等价于，
设，则（），
令，可得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
则的最小值为，，
要使得存在零点，则，
即，得．
（2）由为的零点，得，
即，即
两式相减得，即.
要证当时，，
只需证，只需证，，
，．
令，，只需证，
，则在上单调递增，
∴，即可得证.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的求解策略
形如的求解策略：
1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可；
2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可；
3，数形结合法：结合函数的图象在的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立.
6．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系，分类讨论与两种情况即可得解；
（2）利用（1）中结论，利用韦达定理得到，，，利用消元法将表示成关于的函数，再利用换元法和导数求得所得函数的最小值，从而得解.
【详解】（1）因为，
所以,
令，则，
因为，
当时，，则，即，
此时在上单调递增，
当时，，由，得，且，
当或时，，即；
当时，，即，
所以在,上单调递增，在上单调递减；
综上，当时，在上单调递增，
当时，在,上单调递增，在上单调递减，
其中.
（2）由（1）可知，为的两个极值点，且，
所以，且是方程的两不等正根，
此时，，，
所以，，且有，，
则
令，则，令，
则，
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
所以，
所以的最小值为.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用韦达定理将双变量的转化为关于单变量的函数，从而得解.
反思提升：
含参不等式能成立问题(有解问题)可转化为恒成立问题解决，常见的转化有：
(1) x1∈M， x2∈N，f(x1)>g(x2) f(x)min>g(x)min.
(2) x1∈M， x2∈N，f(x1)>g(x2) f(x)min>g(x)max.
(3) x1∈M， x2∈N，f(x1)>g(x2) f(x)max>g(x)min.
(4) x1∈M， x2∈N，f(x1)>g(x2) f(x)max>g(x)max.
【基础篇】
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高二下·山东枣庄·阶段练习）已知函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23高三上·河南驻马店·期中）已知函数，在区间内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（21-22高二下·福建宁德·期末）已知，，若存在，，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
5．（21-22高三上·江苏无锡·期中）已知函数，满足对任意的，恒成立，则实数a的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·全国·模拟预测）设函数，若恒成立，则实数的可能取值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（22-23高三上·江苏盐城·阶段练习）给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记若在上恒成立，则函数在上为凸函数．以下四个函数在上是凸函数的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
8．（22-23高三下·全国·阶段练习）已知不等式对任意恒成立，则正实数的取值范围是 ．
9．（21-22高二·全国·课后作业）已知不等式对任意恒成立，则实数的最大值是 .
10．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围 ．
四、解答题
11．（23-24高三上·贵州安顺·期末）已知函数
(1)求的单调增区间；
(2)方程在有解，求实数m的范围.
12．（2024·吉林白山·二模）已知函数.
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)若，求实数的取值范围.
参考答案：
1．B
【分析】由题意可得在上恒成立，即在上恒成立．利用二次函数的性质求出在上的最大值即可得答案.
【详解】解：的定义域为，且在定义域内单调递增，
在上恒成立，
即在上恒成立．
令，
，
，
即实数的取值范围为．
故选：B
2．B
【分析】先得到的定义域，由题意得到在上有解，参变分离后得到在上有解，利用配方求出，得到实数的取值范围.
【详解】的定义域为，
由题意得在上有解，
即在上有解，
其中，
故，故实数的取值范围是.
故选：B
3．A
【分析】由的几何意义，得函数图象上在区间内任意两点连线的斜率大于1，即函数的导数大于1在内恒成立，可得在内恒成立，利用二次函数的性质可求.
【详解】因为的几何意义，表示点与点连线斜率，
∵实数，在区间内，不等式恒成立，
∴函数图象上在区间内任意两点连线的斜率大于1，
故函数的导数大于1在内恒成立，∴在内恒成立，
由函数的定义域知，，所以在内恒成立，
由于二次函数在上是单调递减函数，
故，∴，
∴．
故选：A.
4．B
【分析】原命题等价于，再求和解不等式即得解.
【详解】，使得成立，则，
由题得，
当时，，当时，，
所以函数在（-∞，0）单调递增，在（0，+∞）单调递减，
所以，
由题得，
∴
故选：B.
5．ABC
【分析】当得到恒成立，即可得到，当时，恒成立，当得到恒成立，即可得到，从而得到，再结合选项求解即可.
【详解】因为函数，满足对任意的，恒成立，
当时，恒成立，即恒成立，
因为，当且仅当，即时取等号，
所以.
当时，恒成立.
当时，恒成立，即恒成立，
设，，
，，为减函数，，，为增函数，
所以，所以，
综上所述：.
故选：ABC
6．ABC
【分析】求导，用导数法求得函数的最小值，根据恒成立，由求解.
【详解】，令，得，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
所以时，函数取得最小值，
因为恒成立，
所以恒成立，且，
可得实数的所有可能取值1，2，3，
故选：ABC.
7．ABC
【分析】根据凸函数的定义，求出函数的二阶导函数，分别判断即可．
【详解】对于对于，，，
当时，恒成立，故A为凸函数；
对于B.对于，，，
当时，恒成立，故B为凸函数；
对于C.对于，，
，
当时，，，恒成立，故C为凸函数；
对于D.对于，，，
当时，恒成立，故D不是凸函数．
故选：．
8．
【分析】由题意将不等式变形为，利用导数研究函数的单调性求出即可求解.
【详解】因为，不等式可变形为．
设，则．
当时，，所以函数在上单调递增．
则，所以．故正实数的取值范围是．
故答案为：
9．
【分析】依题意，恒成立，构造函数，利用导数求最小值.
【详解】不等式对任意恒成立，即对任意恒成立，
设，，
时，在上恒成立，在上单调递增，无最小值，
函数和函数在上都单调递增，，，不恒成立.
时，恒成立，此时，
时，解得，解得，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，有最小值，
故，，，
综上可知，实数的最大值为.
故答案为：.
10．
【分析】由题意，即，构造函数，利用导数求出最大值即可.
【详解】存在，使得可得，
构造函数，其中，则，
当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，
则，所以，，解得，因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
11．(1)单调递增区间为，；
(2).
【分析】（1）求导，解不等式求出单调递增区间；
（2）先求出在区间上的最大值为4，最小值为1，从而得到答案.
【详解】（1）的定义域为R，
，
当时，；时，；
故单调增区间为，；
（2）由（1）知，函数在区间，上单调递增，
在区间上单调递减，
∵，，，，
∴，，
故函数在区间上的最大值为4，最小值为1，
∴，
∴.
12．(1)
(2)
【分析】（1）根据导数的几何意义，结合导数的运算性质、直线的点斜式方程进行求解即可；
（2）对不等式进行常变量分离，构造函数，利用导数研究函数的最值即可.
【详解】（1） ，
因此，而，
故所求切线方程为，即；
（2）依题意，，故对任意恒成立.
令，则，
令，解得.
故当时，单调递增；
当时，单调递减，
则当时，取到极大值，也是最大值2.
故实数的取值范围为.
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·四川成都·三模）若，恒成立，则实数的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
二、多选题
2．（2024·辽宁·三模）已知函数为实数，下列说法正确的是（ ）
A．当时，则与有相同的极值点和极值
B．存在，使与的零点同时为2个
C．当时，对恒成立
D．若函数在上单调递减，则的取值范围为
三、填空题
3．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数，使不等式成立，则实数的取值范围是 ．
四、解答题
4．（2024·海南海口·二模）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若，求的取值范围.
参考答案：
1．D
【分析】先确定时的情况，在时，参变分离可得，进而构造函数，求得的最小值即可.
【详解】当，，不等式成立，
当时，恒成立，即，
令，则，
令，则，当时，，
所以在上单调递增，所以，所以，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，所以.
所以实数的最大值为.
故选：D.
2．AC
【分析】对于A，分别各自求导，结合导数与函数极值的关系即可判断；对于B，分别求出与的零点为2个时的范围，看它们的交集是否为空集即可判断；对于C，构造函数，求导，对分类讨论，只需判断是否成立即可；对于D，原问题等价于对恒成立，从而即可进一步求解.
【详解】对于A，当时，
，
当时，有，此时均单调递减，
当时，有，此时均单调递增，
所以当时，均各自取到相应的极值，且，
所以当时，则与有相同的极值点和极值，故A正确；
，
令，
，，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
当时，，当，，
当时，有极大值，，
在同一平面直角坐标系中，画出直线的图象与函数的图象，如图所示，
所以方程有两个根当且仅当，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
当从1的左边趋于1时，趋于正无穷，当从1的右边趋于1时，趋于负无穷，
当时，，单调递增，
令，则，，当时，，
当时，有极小值，，
在同一平面直角坐标系中，画出直线的图象与函数的图象，如图所示，
方程有两个根当且仅当，
综上所述，不存在，使与的零点同时为2个，故B错误；
设，
，
，
当时，显然，
若，即，在此情况下：
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
，
即在的情况下，对恒成立，
若，即，在此情况下：
当时，，单调递减，
所以，
所以在的情况下，对恒成立，
综上所述，当时，对恒成立，故C正确；
对于D，若函数在上单调递减，
这意味着对恒成立，
也就是说对恒成立，即对恒成立，
注意到在上单调递减，
所以，也就是说的取值范围为，故D错误.
故选：AC.
3．
【分析】根据题意得，再利用导数求出最值，代入即可得解.
【详解】由题意，可得，
当时，，
由，可得，由，可得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，
因为，所以在上单调递减，所以，
所以，解得.所以实数的取值范围是.
故答案为：.
4．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导，分和判断导数的正负求得的单调区间；
（2）由，转化得恒成立，令，利用导数判断单调性求出最大值得解.
【详解】（1）的定义域为，，
当时，，所以在上单调递增；
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
（2）由，得.
设，则.
令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取最大值.
所以.
【培优篇】
一、解答题
1．（2024·山东泰安·三模）已知函数.
(1)讨论的最值；
(2)若，且，求的取值范围.
2．（23-24高二下·河南郑州·期中）已知函数．
(1)当，时，求证恒成立；
(2)当时，，求整数的最大值．
3．（广东省名校教研联盟2023-2024学年高三下学期5月模拟预测考试数学试题）已知函数，．
(1)曲线与在处的切线分别是：，，且，求的方程；
(2)已知．
（i）求的取值范围；
（ii）设函数的最大值为，比较与（1）中的的大小．
参考答案：
1．(1)最小值为，无最大值.
(2).
【分析】（1）求得，结合导数的符号，求得函数的单调区间，进而求得其最值；
（2）把不等式转化为，令，利用导数求得函数的单调性与最值，进而求得的取值范围.
【详解】（1）.解：因为的定义域为，可得.
当时，令，可得；
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故当时，取得极小值，也是最小值，且最小值为，无最大值.
（2）解：当时，由，可得，
整理得，即，
令，
则，
由（1）知，当时，的最小值为，即恒成立，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
故当时，取得最大值，即，
故的取值范围为.
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；
2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
2．(1)证明见解析
(2)1
【分析】（1）将，代入函数，求导求最小值即可；
（2）分离参变量，构造函数，研究函数的单调性及最值，最终确定的取值范围，进而得到整数的最大值.
【详解】（1）当，时，记，则，
因为在上单调递增，且，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，所以恒成立.
（2）当时，，即，
因为，所以只需，
令，，
令，，
在上是增函数，
，，
根据零点存在定理，，使得，
即，即，
当时，，即，单调递减，
当时，，即，单调递增，
所以，故；
又在上单调递增，，所以，
又，所以．所以整数的最大值是.
【点睛】方法点睛：分离参变量，构造函数，用进行代换，进而简化函数求得参数取值范围.
3．(1)
(2)（i），（ii）
【分析】（1）分别求导，由已知可得，求解可得，进而可求切线的方程；
（2）设，求导后令，求得，分类讨论可得若，可得程有两个不相等实根，进而可得的单调性，可求得的取值范围；
（3），求导后令，可得，使得，，可得，设，可得，进而可得，得到，通过构造函数设，判断单调性可得结论.
【详解】（1），，，
∵两切线平行，∴，，即，
∵，，∴．
∴直线与曲线相切于点，斜率为0．
∴的方程为．
（2）（i）设，则，．
求导可得，
设，则．当时，，单调递增；
当时，，单调递减．因，所以．
若，则当时，，又，∴，不合题意．
若，则，不合题意．
若，则关于的方程有两个不相等实根，
设为，所以，且．
当变化时，，变化情况如下表：
1
+ 0 - 0 + 0 -
极大值 极小值 极大值
设，则，同上可证．
所以，，
所以．
综上所述，的取值范围为．
（ii），∴．
设，则，在单调递减．
因为，所以．
若，则，，，所以存在，使得，．
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减．
是的极大值点，且．
设，则，所以在区间单调递减，
即当时，，①．
所以，所以，即．
由，得，∴．
设，则，单调递增，
所以．
所以．
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专题18 不等式恒(能)成立问题（新高考专用）
【真题自测】 2
【考点突破】 2
【考点1】分离参数法求参数范围 2
【考点2】分类讨论法求参数范围 4
【考点3】双变量的恒(能)成立问题 5
【分层检测】 6
【基础篇】 6
【能力篇】 7
【培优篇】 8
一、解答题
1．（2023·全国·高考真题）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若，求的取值范围．
2．（2023·全国·高考真题）已知函数
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
3．（2023·全国·高考真题）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
4．（2023·全国·高考真题）（1）证明：当时，；
（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．
5．（2022·全国·高考真题）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，，求a的取值范围；
(3)设，证明：．
6．（2021·天津·高考真题）已知，函数．
（I）求曲线在点处的切线方程：
（II）证明存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．
【考点1】分离参数法求参数范围
一、单选题
1．（23-24高三下·上海·阶段练习）若函数有2个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（22-23高二下·江苏南京·期中）已知函数，，则实数a的值可能是（ ）
A．-1 B． C．3 D．e
三、填空题
4．（23-24高二上·陕西榆林·期末）已知函数是上的增函数，则的最小值为 .
四、解答题
5．（23-24高二下·江苏·期中）设函数，．
(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值：（其中为自然对数的底数）；
(2)在（1）的条件下求的单调区间和极小值：
(3)若在上存在增区间，求的取值范围．
6．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，不等式恒成立，求整数的最大值．
反思提升：
分离参数法解决恒(能)成立问题的策略
(1)分离变量.构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
(2)a≥f(x)恒成立 a≥f(x)max；
a≤f(x)恒成立 a≤f(x)min；
a≥f(x)能成立 a≥f(x)min；
a≤f(x)能成立 a≤f(x)max.
【考点2】分类讨论法求参数范围
一、单选题
1．（23-24高二下·河北张家口·期中）若函数在时取得极大值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二下·全国·专题练习）若是区间上的单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．
二、多选题
3．（23-24高二下·海南省直辖县级单位·阶段练习）函数在内有最小值，则a的值可以为（ ）
A．0 B． C． D．
三、填空题
4．（21-22高二下·辽宁大连·阶段练习）已知函数，若存在唯一的正整数，使得，则实数的取值范围是
四、解答题
5．（2024·黑龙江·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性，并求出的极小值．
6．（2024·山东泰安·二模）已知函数.
(1)若的极大值为，求的值；
(2)当时，若使得，求的取值范围.
反思提升：
根据不等式恒成立求参数范围的关键是将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足题意即可.
【考点3】双变量的恒(能)成立问题
一、单选题
1．（23-24高三上·江苏苏州·阶段练习）已知正数满足，则（ ）
A． B． C．1 D．
2．（2023·湖北武汉·二模）已知直线与函数的图象恰有两个切点，设满足条件的所有可能取值中最大的两个值分别为和，且，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·广东广州·一模）已知直线与曲线相交于不同两点，，曲线在点处的切线与在点处的切线相交于点，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
4．（22-23高三上·安徽六安·期末）已知函数，，若，，则的最大值为 ．
四、解答题
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数，．
(1)若存在零点，求a的取值范围；
(2)若，为的零点，且，证明：．
6．（2024·四川德阳·二模）已知函数，
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若函数有两个极值点，求的最小值.
反思提升：
含参不等式能成立问题(有解问题)可转化为恒成立问题解决，常见的转化有：
(1) x1∈M， x2∈N，f(x1)>g(x2) f(x)min>g(x)min.
(2) x1∈M， x2∈N，f(x1)>g(x2) f(x)min>g(x)max.
(3) x1∈M， x2∈N，f(x1)>g(x2) f(x)max>g(x)min.
(4) x1∈M， x2∈N，f(x1)>g(x2) f(x)max>g(x)max.
【基础篇】
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高二下·山东枣庄·阶段练习）已知函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23高三上·河南驻马店·期中）已知函数，在区间内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（21-22高二下·福建宁德·期末）已知，，若存在，，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
5．（21-22高三上·江苏无锡·期中）已知函数，满足对任意的，恒成立，则实数a的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·全国·模拟预测）设函数，若恒成立，则实数的可能取值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（22-23高三上·江苏盐城·阶段练习）给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记若在上恒成立，则函数在上为凸函数．以下四个函数在上是凸函数的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
8．（22-23高三下·全国·阶段练习）已知不等式对任意恒成立，则正实数的取值范围是 ．
9．（21-22高二·全国·课后作业）已知不等式对任意恒成立，则实数的最大值是 .
10．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围 ．
四、解答题
11．（23-24高三上·贵州安顺·期末）已知函数
(1)求的单调增区间；
(2)方程在有解，求实数m的范围.
12．（2024·吉林白山·二模）已知函数.
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)若，求实数的取值范围.
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·四川成都·三模）若，恒成立，则实数的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
二、多选题
2．（2024·辽宁·三模）已知函数为实数，下列说法正确的是（ ）
A．当时，则与有相同的极值点和极值
B．存在，使与的零点同时为2个
C．当时，对恒成立
D．若函数在上单调递减，则的取值范围为
三、填空题
3．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数，使不等式成立，则实数的取值范围是 ．
四、解答题
4．（2024·海南海口·二模）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若，求的取值范围.
【培优篇】
一、解答题
1．（2024·山东泰安·三模）已知函数.
(1)讨论的最值；
(2)若，且，求的取值范围.
2．（23-24高二下·河南郑州·期中）已知函数．
(1)当，时，求证恒成立；
(2)当时，，求整数的最大值．
3．（广东省名校教研联盟2023-2024学年高三下学期5月模拟预测考试数学试题）已知函数，．
(1)曲线与在处的切线分别是：，，且，求的方程；
(2)已知．
（i）求的取值范围；
（ii）设函数的最大值为，比较与（1）中的的大小．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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