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第七章 复数
——高一数学人教A版（2019）必修第二册期末复习知识大盘点
学习目标整合
1.复数的概念 （1）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件. （2）了解复数的代数形式，掌握实数、虚数、纯虚数之间的关系. （3）了解复数的几何意义. （4）理解并掌握共轭复数的概念.
2.复数的四则运算 （1）掌握复数代数形式的加、减运算法则，并会简单应用. （2）了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. （3）掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则. （4）理解复数乘法的运算律.
3.*复数的三角表示 （1）通过复数的几何意义，了解复数的三角表示. （2）了解复数的代数表示与三角表示之间的关系. （3）了解辐角、辐角的主值等概念. （4）了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.
教材习题变式
【课后习题】
1.选择题
（1）复数与的积是实数的充要条件是( ).
A. B. C. D.
（2）复数的共轭复数是( ).
A. B. C. D.
（3）当时，复数在复平面内对应的点位于( ).
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
*（4）复数的辐角主值是( ).
A.40° B.140° C.220° D.310°
2.填空题
（1）若复数z的模为5，虚部为-4，则复数________.
（2）已知复数，那么________.
（3）复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为________.
*（4）如果向量对应复数4i，绕点O按逆时针方向旋转45°后再把模变为原来的倍得到向量，那么与对应的复数是________（用代数形式表示）.
3.求证：.
4.已知复数与都是纯虚数，求z.
5.在复数集C中解下列方程：
（1）；
（2）.
6.已知，，，求z.
7.已知，求z及.
8.（1）求，，，，，，，的值；
（2）由（1）推测的值有什么变化规律，并把这个规律用式子表示出来.
9.已知复数，，并且，求的取值范围.
10.在复平面的上半平面内有一个菱形OABC，，点A所对应的复数是，求另外两个顶点B，C所对应的复数.
【变式训练】
11.已知i是虚数单位，为实数，且，则( )
A.2 B.1 C. D.
12.在复平面内，复数，其中i是虚数单位，则复数z对应的点Z在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
13.已知复数z满足，则( )
A.1 B. C. D.2
14.已知复数，是z的共轭复数，则的虚部为( )
A.2 B. C.-2 D.
15.已知，若复数为纯虚数，则______.
16.若复数z满足（i是虚数单位），则__________.
17.设z的共轭复数是.若，，则复数_______________.
18.复数z满足，则____________.
答案以及解析
1.答案：（1）A
（2）B
（3）D
（4）D
解析：（1）由题意得是实数，所以.
（2）因为，所以其共轭复数为.
（3）.因为，
所以，，即对应的点在第四象限.
（4），故辐角主值是310°.
2.答案：（1）或
（2）
（3）
（4）
解析：（1）设，，，或.
（2），，故.
（3）
（4），
所求复数为.
3.答案：见解析
解析：证明：设，则，
，，
，.
4.答案：
解析：因为z是纯虚数，可设（且），
所以.
因为是纯虚数，所以解得，所以.
5.答案：（1）
（2）
解析：（1），
方程的根为.
（2）原方程可转化为，
，方程的根为.
即原方程的根为.
6.答案：
解析：因为，，
所以
，所以.
7.答案：，
解析：设，则.
，，
即，
则必有.
.
8.答案：（1），，，，，，，.
（2）当时推测：，，，.
解析：
9.答案：
解析：由得，
由复数相等的定义知，必有
得.
.
，
，.故.
10.答案：B，C所对应的复数分别为，
解析：如答图，由题意可知，和均为等边三角形.
又，其中为的辐角.
将绕原点O按逆时针方向旋转60°，120°可得，，则
，
.
又，，，，
，，
，，
B，C所对应的复数分别为，.
11.答案：A
解析：由题意，得解得.故选A.
12.答案：A
解析：，
复数z在复平面内所对应的点Z的坐标为，
所以点Z在第一象限.
故选：A.
13.答案：B
解析：解法一：由已知得，，即，.
解法二：由已知得，，.
14.答案：C
解析：由题意得，，的虚部为-2.故选C.
15.答案：2
解析：因为为纯虚数，
所以，解得.
故答案为：2.
16.答案：
解析：因为，
所以.
故答案为：.
17.答案：
解析：设，因为，所以.
又因为，所以，所以.所以，即，故.
18.答案：1
解析：，，即，.
重难知识易混易错
【重难知识】
1.复数的有关概念
（1）复数相等：且.
（2）共轭复数：与共轭且.
（3）复数的模
①概念：复数对应的向量的模叫做z的模，记作或，即.
②性质：若为复数，则.
2.复数的几何意义
（1）复数复平面内的点.
（2）复数平面向量.
3. 复数的加、减、乘、除运算法则
设，则
（1）加法：；
（2）减法：；
（3）乘法：；
（4）除法：.
4.复数加法的运算律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何，有，.
5.复数加、减法的几何意义
（1）复数加法的几何意义
若复数对应的向量不共线，则复数是以为两邻边的平行四边形的对角线所对应的复数.
（2）复数减法的几何意义
复数是所对应的复数.
6.复数乘法的运算律：对于任意，有交换律：；结合律：；乘法对加法的分配律：.
【典型例题】
1.已知复数z的实部为3，，则( )
A. B. C.4 D.
2.设复数z 的共轭复数为，， 则复数 在复平面内的对应点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D. 第四象限
3.已知复数z满足，则( )
A.2 B. C. D.
4.（多选）已知复数，其中i为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
5.若复数z满足，则______.
6.若复数z满足（i为虚数单位），则______.
答案以及解析
1.答案：D
解析：由题意，设，，则，所以，又，所以.
2.答案：D
解析：依题意， 复数，则，所以复数在复平面内的对应点的坐标为，位于第四象限，故选D.
3.答案：B
解析：由题意得，，所以，所以，所以.故选B.
4.答案：ACD
解析：A项，，故A项正确；B项，，故B项错误；
C项，，故C项正确；
D项，，故D项正确.
5.答案：
解析：由复数z满足可得，
所以，故答案为：.
6.答案：
解析：由，得，
所以，则，
所以.故答案为：.
核心素养对接高考
【核心素养】
复数是高考的必考内容，主要考查复数的概念和复数的四则运算，一般出现在选择题的前三题中，比较简单，属于送分题，分值5分，复习中应重视基本概念的理解，把握好基本的四则运算.主要考查考生的数学运算能力和等价转化思想的应用.
【真题对接】
1.【2023年新课标Ⅰ卷】已知，则( )
A. B.i C.0 D.1
2.【2023年新课标Ⅱ卷】在复平面内，对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.【2022年新高考Ⅰ卷】若，则( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
4.【2022年新高考Ⅱ卷】( )
A. B. C. D.
5.【2021年新高考Ⅰ卷】已知，则( )
A. B. C. D.
6.【2021年新高考Ⅱ卷】复数在复平面内对应的点所在的象限为( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
答案以及解析
1.答案：A
解析：因为，所以，即.故选A.
2.答案：A
解析：，在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限，故选A.
3.答案：D
解析：因为，所以，所以，所以.故选D.
4.答案：D
解析：，故选D.
5.答案：C
解析：本题考查复数及共轭复数的概念与运算.因为，所以.
6.答案：A
解析：，所以该复数对应的点为，该点在第一象限，
故选：A.

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