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第八章 立体几何初步
——高一数学人教A版（2019）必修第二册期末复习知识大盘点
学习目标整合
1.空间几何体 （1）认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. （2）掌握球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题.
2.空间点、直线、平面之间的位置关系 在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义，了解基本事实和定理.
3.直线、平面平行或垂直的判定及性质 （1）了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直关系，归纳出性质定理和判定定理，并加以证明. （2）会解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题. （3）能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题.
教材习题变式
【课后习题】
1.从多面体角度去考察棱柱、棱锥、棱台，填写下列表格：
多面体 顶点数V 棱数E 面数F
n棱柱
n棱锥
n棱台
2.在直四棱柱中，，，，，，.
（1）画出四棱柱的直观图；
（2）将四棱柱补成一个长方体，并说出补上的几何体的名称.
3.填空题
（1）正方体的棱长扩大到原来的n倍，则其表面积扩大到原来的______倍，体积扩大到原来的______倍；
（2）球的半径扩大到原来的n倍，则其表面积扩大到原来的______倍，体积扩大到原来的______倍.
4.如图，一块边长为10cm的正方形铁片上有四块阴影部分.将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，把容器的容积V（单位：cm）表示为x（单位：cm）的函数.
5.三个平面可将空间分成几部分 请分情况说明.
6.已知是三个平面，且，，.
（1）若，求证：a，b，c三线共点.
（2），则a与c，b与c有什么关系 为什么
7.如图，四边形是在平面上的投影（），求证：四边形是平行四边形.
8.如图，一块正方体形木料的上底面有一点E.若经过点E在上底面上画一条直线与CE垂直，则应该怎样画？
9.如图，在三棱锥中，底面ABC，，D，E分别是AB，PB的中点.求证：
（1）平面PAC；
（2）.
10.如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将，，分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点.
（1）求证；
（2）求三棱锥的体积.
11.如图，在四面体中，平面BCD，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且.
求证：平面BCD.
12.如图，在正方体中，求证：
（1）平面；
（2）与平面的交点H是的重心.
13.如图，在三棱锥中，，PA上底面ABC.
（1）求证：平面平面PBC；
（2），M是PB的中点，求AM与平面PBC所成角的正切值.
14.如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面底面ABCD，M是PD的中点.
（1）求证：平面PCD；
（2）求侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值.
15.从直线a，b和平面这三个空间元素中任取两个，若已知它们与第三个元素有平行或垂直关系，则所取的两个元素是否也有平行或垂直关系 你能得到哪些结论 写出一些你认为重要的.如果三个元素分别是直线m、平面和，你能得到哪些结论
16.已知m，n为异面直线，平面，平面.若直线l满足，，，，则( ).
A.， B.与相交，且交线平行于l
C.， D.与相交，且交线垂直于l
【变式训练】
17.在正方体中，E是的中点.若，则点B到平面ACE的距离等于( )
A. B. C. D.3
18.如图，在四棱锥中，侧面底面，侧面为等边三角形，底面为正方形，E为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
19.已知a，b为两条不同直线，为两个不同的平面，给出以下四个命题：
①若，则；
②，则；
③若a，b是异面直线，，则；
④若，则或a，b是异面直线.
其中假命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
20.如图，在长方体中，，，E，F，M分别为，，的中点，过点M的平面与平面DEF平行，且与长方体的面相交，则交线围成的平面图形的面积为( )
A. B. C.12 D.24
21.已知圆锥的底面半径为2，高为1，经过圆锥顶点的平面α截此圆锥所得的截面面积为，则平面α与底面所成的锐二面角的正切值为( )
A. B.1 C.或 D.或1
22.如图，在正方体中，E，F，G分别是棱AB，BC，的中点，过E，F，G三点作该正方体的截面，则下列说法错误的是( )
A.在平面内存在直线与平面EFG平行
B.在平面内存在直线与平面EFG垂直
C.平面平面EFG
D.直线与EF所成角为45°
23.已知四棱锥SABCD的底面是边长为2的正方形，平面平面ABCD，，，则四棱锥的外接球的表面积为( ).
A. B. C. D.
24.如图，在直四棱柱中，底面ABCD是正方形，.记异面直线与BD所成的角为，则的值为________.
25.已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____________.
26.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，H为EF的中点，沿AE，EF，FA将正方形折起，使B，C，D重合于点O，构成四面体，则在四面体中，下列说法不正确的序号是______________.
①平面EOF；②平面EOF；③；④；⑤平面平面AOF.
27.如图，三棱锥的所有顶点都在球O的表面上，平面平面BCD，，，，则球O的表面积为_______________.
28.如图，在正三棱柱中，各棱长均为4，M，N分别是BC，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线AB与平面所成角的余弦值.
29.如图，长方体的底面ABCD是正方形，点E在棱上，.
（1）证明：平面；
（2）若，，求四棱锥的体积.
30.如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，为等边三角形，平面平面，
(1)设G，H分别为PB，AC的中点，求证：平面PAD.
(2)求证：平面PCD.
(3)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.
答案以及解析
1.答案：
多面体 顶点数V 棱数E 面数F
n棱柱 2n 3n 2
n棱锥 2n 2
n棱台 2n 3n 2
解析：
2.答案：（1）四棱柱的直观图如图（1）.
（2）补成的长方体如图（2），补上的几何体是三棱柱.
解析：
3.答案：（1）；
（2）；
解析：
4.答案：
解析：由题意，得，，且四边形ABCD为正方形，
，
.
.
5.答案：三个平面可将空间分成4或6或7或8部分，它们的直观图如图：
解析：
6.答案：（1）见解析
（2），.原因见解析
解析：（1），，，，.
又，，O为与的公共点.
又，，a，b，c三线共点.
（2）解：，，原因如下：
，，，.
，，，.同理可证.
7.答案：见解析
解析：，
与确定平面，与确定平面.
且平面.
又在中，，平面，
平面.
又，平面，平面，
平面平面.
易知平面，平面，.
同理，四边形是平行四边形.
8.答案：见解析
解析：如图，连接.在上底面过点E 直线即可.
因为面，所以，
根据作法知.又因为，
所以平面，所以.
9.答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）D，E分别是AB，PB的中点，.
又平面PAC，平面PAC，平面PAC
（2）底面ABC，底面ABC，.
又，.平面PBC.
平面PBC..
10.答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）折叠前，，，折叠后，，，又，平面，.
（2）由（1）可知，平面，棱锥的高.又折前为，E，F分别为AB，BC的中点，
.
.
11.答案：见解析
解析：在CD上取点E，使，连接QE，
，，
且.
取BD的中点F，连接PF，EF，
P为BM的中点，.
M是AD的中点，..
四边形PQEF是平行四边形..
又平面BCD，平面BCD.
平面BCD.
12.答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）如图所示，连接BD，，则.
平面，
.
又，
平面.
平面，
，同理.
，
平面.
（2）连接，CH，，由，得，因此点H为的外心.
又为正三角形，
点H是的重心.
13.答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）底面ABC，
底面ABC，
.又，即.
，平面PAC.
平面PBC，平面平面PBC.
（2）取PC的中点D，连接AD，DM.
..由（1）知，平面PAC，
又平面PAC，.而，平面PBC.
DM是斜线AM在平面PBC上的射影.
就是AM与平面PBC所成的角，目.
设，则由M是PB中点得，
..
即AM与平面PBC所成角的正切值为.
14.答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）在正方形ABCD中，，
又侧面底面ABCD，侧面底面.
平面PAD.平面PAD，.
是正三角形，M是PD的中点，.
又，平面PCD.
（2）解：取AD，BC的中点分别为E，F，连接EF，PE，PF.
则，.
又在正中，.
，平面PEF.
正方形ABCD中，，平面PEF.
是侧面PBC与底面ABCD所成二面角的平面角.
由平面PAD，，平面PAD.平面PAD，
.设正方形ABCD的边长，则，.
，，
即侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值为.
15.答案：见解析
解析：对直线a，b和平面：
①，；
②，；
对直线m、平面和：①，；
②，.
16.答案：B
解析：若，则由平面，平面，可得，
这与m，n是异面直线矛盾，故与相交.
设，过空间内一点P，作，，与相交，与确定的平面为.
因为，所以，，
因为，，所以，，
所以，，所以，
又因为，，所以l与a不重合所.以.
17.答案：B
解析：在正方体中，，E是的中点，则，，，.设点B到平面ACE的距离为h，由，得，解得.故选B.
18.答案：D
解析：如图，连接，相交于点O.∵四边形为正方形，为的中点.连接为的中点，，且(或其补角)为异面直线与所成角.由题易知.∵平面平面，平面平面平面.又平面.设，则，∴在中，由余弦定理的推论得，故选D.
19.答案：B
解析：若，则，故①正确；
若，当时，无法得到，故②错误；
若a，b是异面直线，，则，故③正确；
若，则或a，b是异面直线，故④正确，故选B.
20.答案：A
解析：如图，取的中点N，连接MN，AN，AC，CM，，则四边形MNAC为所求图形.因为，所以四边形为平行四边形，所以.又M，N分别为，的中点，所以，故，且，所以四边形MNAC为梯形，.过点M作交AC于点P.因为，所以.在中，，所以梯形MNAC的面积为.故选A.
21.答案：D
解析：如图，设圆锥的顶点为P，底面圆的圆心为O，平面α与圆O的交点分别为，过点P作于点H，连接.由题意可知，平面α截此圆锥所得的截面为等腰三角形，且点H为的中点.设，则在中，，在中，，所以的面积.整理，得，解得或(负值已舍去).因为平面α与底面所成的锐二面角即为，所以或.故选D.
22.答案：D
解析：设BD交AC于点O，EF交BD于点P，连接，PG.因为，，所以.因为平面EFG，平面EFG，所以平面EFG.又平面，故A正确.连接，.因为平面，所以.又，所以.因为平面，所以.又，，所以平面，所以.又，所以.因为，所以平面EFG.又平面，故B正确.因为，，EG，平面EFG，，平面EFG，所以平面EFG，平面EFG.又因为平面，平面，，所以平面平面EFG，故C正确.因为，为等边三角形，故直线与AC所成角为60°，即直线与EF所成角为60°，故D不正确.故选D.
23.答案：C
解析：如图所示，连接AC，BD交于点O，取AD的中点E，连接SE，OE，
因为且，所以，又由平面平面ABCD，可得平面ABCD，所以，则，又，可得外接球的球心为O，半径，所以四棱雉的外接球的表面积.故选C.
24.答案：
解析：连接，因为在直四棱柱中，底面ABCD是正方形，
所以，
所以是异面直线与BD所成的角(或所成的角的补角)，
设，
所以，
记异面直线与BD所成的角为，
则.
25.答案：
解析：如图，正四棱锥的底面边长为，侧棱长为，点E，F，G，H分别为线段PA，PB，PC，PD的中点，O为底面中心，，，，故圆柱的高为1.
设EG与OP交于点I，则I为正方形EFGH外接圆的圆心，
，以点O，I为上下底面圆心的圆柱的体积.
26.答案：②
解析：依题意，得，，，平面EOF，故①正确，②错误.由①知，平面EOF，又平面EOF，，故③正确.由①可得.又，，平面AOF.又平面AOF，，故④正确.由④及平面AOE，得平面平面AOF，故⑤正确.故答案为②.
27.答案：
解析：如图，取AB中点O，连接OD.在中，由，，，得，则.又平面平面BCD，且平面平面，平面BCD，则.在中，，，，则.，平面ACD，得.则O为三棱锥的外接球的球心，则外接球的半径，球O的表面积为.故答案为.
28.答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）因为，且M为BC的中点，所以.在正三棱柱中，平面平面ABC，平面ABC，且平面平面，所以平面.
因为平面，所以.
因为M，N分别为BC，的中点，所以.
又因为，，所以，所以，，
所以，所以.
又因为平面，平面，，
所以平面.
（2）设，连接AO.由（1）可知平面，所以为AB与平面所成的角.连接AN，由题可知，
所以为等腰三角形，作于E，则E为AB的中点，所以，所以.在中，，所以，
所以直线AB与平面所成角的余弦值为.
29.答案：（1）见解析
（2）四棱锥的体积为18
解析：（1）由已知得平面，平面，故.
又，所以平面.
（2）由（1）知.由题设知，所以，故，.
作，垂足为F，则平面，且.
所以，四棱锥的体积.
30.答案：(1)见解析.
(2)见解析.
(3)正弦值为.
解析：(1)连接BD，易知，
又由，故，
又因为平面平面PAD，
所以平面PAD.
(2)取棱PC的中点N，连接DN，依题意，得，
又因为平面平面PCD，平面平面，
所以平面PAC，
又平面PAC，故，
又因为，
所以平面PCD.
(3)连接AN，由(2)中平面PAC，可知为直线AD与平面PAC所成的角.
因为为等边三角形，且N为PC的中点，
所以，又，
在中，，
所以直线AD与平面PAC所成角的正弦值为.
重难知识易混易错
【重难知识】
1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.一般地，表面积=侧面积+底面积.
多面体 侧面展开图 面积公式
棱柱 （如三棱柱）
棱锥 （如三棱锥）
棱台 （如三棱台）
2.圆柱、圆锥、圆台的表面积
旋转体 侧面展开图 面积公式
圆柱 底面积： 侧面积： 表面积：
圆锥 底面积： 侧面积： 表面积：
圆台 上底面面积： 下底面面积： 侧面积： 表面积：
3.柱体、锥体、台体的体积
几何体 体积公式
柱体 （为底面面积，为高），（为底面半径，为高）
锥体 （为底面面积，为高），（为底面半径，为高）
台体 （分别为上、下底面面积，为高）， （分别为上、下底面半径，为高）
4.球的表面积和体积
（1）球的表面积：设球的半径为，则球的表面积为，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍.
（2）球的体积：设球的半径为，则球的体积为.
5.直线与直线平行：
基本事实4 平行于同一条直线的两条直线平行.这一性质叫做空间平行线的传递性.
6.等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
7.直线与平面平行的判定定理
自然语言 图形语言 符号语言
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. ，，且.
该定理可简记为“若线线平行，则线面平行”.
8.直线与平面平行的性质定理
自然语言 图形语言 符号语言
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. ，，.
该定理可简记为“若线面平行，则线线平行”.
9.平面与平面平行的判定定理
自然语言 图形语言 符号语言
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行. ，，，，
该定理可简记为“若线面平行，则面面平行”.
10.平面与平面平行的性质定理
自然语言 图形语言 符号语言
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行. ，，.
该定理可简记为“若面面平行，则线线平行”.
11.异面直线所成的角：
（1）定义：已知两条异面直线，经过空间任一点分别作直线，我们把与所成的角叫做异面直线与所成的角（或夹角）.
（2）异面直线所成的角的取值范围：.
（3）两条异面直线互相垂直：两条异面直线所成的角是直角，即时，与互相垂直，记作.
12.直线与平面垂直的概念
定义 如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作， 直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.它们唯一的公共点叫做垂足.
画法图示 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图所示
点到面的距离 线到面的距离 两面间的距离 过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条. 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离. 一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离. 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
13.直线与平面垂直的判定定理
自然语言 图形语言 符号语言
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. ，，，， .
该定理可简记为“若线线垂直，则线面垂直”.
14.直线和平面所成的角
有关概念 对应图形
斜线 一条直线与一个平面相交，但不与这个平面垂直，图中直线.
斜足 斜线和平面的交点，图中点.
射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.
直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角； 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角； 一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是的角.
取值范围
15.直线与平面垂直的性质定理
自然语言 图形语言 符号语言
垂直于同一个平面的两条直线平行. ，
16.二面角的概念
概念 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.
图示
记法 棱为，面分别为的二面角记为. 也可在内（棱以外的半平面部分）分别取点，记作二面角.
平面角 文字 在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角.
图示
符号 ，，，，，，是二面角的平面角.
范围
规定 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度. 平面角是直角的二面角叫做直二面角.
17.平面与平面垂直
（1）定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面与平面垂直，记作.如图
（2）判定定理：
自然语言 图形语言 符号语言
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. ，.
该定理可简记为“若线面垂直，则面面垂直”.
18.平面与平面垂直的性质定理
自然语言 图形语言 符号语言
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直. ，，，.
该定理可简记为“若面面垂直，则线面垂直”.
【典型例题】
1.如图所示，观察下面四个几何体，其中判断正确的是( )
A.（1）是圆台 B.（2）是圆台 C.（3）是圆锥 D.（4）是圆台
2.如图，的斜二侧直观图为等腰直角三角形，其中，则的面积为( )
A.2 B.4 C. D.
3.如图所示的粮仓可近似为一个圆锥和圆台的组合体，且圆锥的底面圆与圆台的较大底面圆重合.已知圆台的较小底面圆的半径为1，圆锥与圆台的高分别为和3，则此组合体的外接球的表面积是( )
A. B. C. D.
4.（多选）将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，下列四个结论中正确的是( )
A.
B.是等边二角形
C.直线AB与平面BCD所成的角是60°
D.AB与CD所成的角为60°
5.如图，在正方体中，M，N分别为棱，的中点，有以下四个结论：
①直线AM与是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与是异面直线；
④直线AM与是异面直线.
其中正确的结论为_______________.
6.如图，E是棱长为1的正方体的棱上的一点，且平面，则线段CE的长度为________________.
答案以及解析
1.答案：C
解析：图（1）不是由圆锥截得的，所以（1）不是圆台；图（2）上、下两个面不平行，所以（2）不是圆台；图（4）不是由圆锥截得的，所以（4）不是圆台；很明显（3）是圆锥.故选C.
2.答案：D
解析：是一平面图形的直观图，直角边长为2，的面积是.因为平面图形与直观图的面积的比为，原平面图形的面积是.故选D.
3.答案：B
解析：设外接球半径为R，球心为O，圆台较小底面圆的圆心为，则，而，故，解得，所以外接球的表面积.故选B.
4.答案：ABD
解析：设正方形的边长为1，取BD的中点O，连接OA，CO，可得，，，平面AOC.平面AOC，，A正确.正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，即平面平面BCD.，平面平面，平面ABD，同理平面BCD，.在中，，，故为等边三角形，故B正确.平面BCD，为直线AB与平面BCD所成的角，而，故C错误.过点D作且，连接CE，OE，则或其补角为AB与CD所成的角.在中，，，，由余弦定理得.易知平面ABD，平面ABD，.在中，.又，由余弦定理得，，即AB与CD所成的角为60°，故D正确.故选ABD.
5.答案：③④
解析：因为A，M，三点共面，且在平面内，但，平面，所以直线AM与是异面直线，同理，AM与BN也是异面直线，AM与也是异面直线，①②错，④正确；M，B，三点共面，且在平面内，，平面，因此直线BN与是异面直线，③正确.
6.答案：
解析：如图，连接交于点O，连接EO，则O为的中点.因为平面，平面，平面平面，所以，故E为的中点，所以.在中，.故答案为.
核心素养对接高考
【核心素养】
空间几何体在高考中的命题重点包括空间几何体的体积和表面积的计算以及与球有关的切、接问题，题型以选择题和填空题为主.在习备考的过程中，既要训练常规题型，还要明晰高考命题新导向，如数学应用题、数学文化题以及多选题和双空题，做到复习全面高效.
空间点、直线、平面之间的位置关系是立体几何的基础，主要以选择题、填空题的形式出现，命题热点：（1）平面的基本性质及应用；（2）空间线线、线面位置关系的判断；（3）求异面直线所成的角.要注意对新题型多选题的训练.
直线、平面平行或垂直的判定及性质是高考命题的热点，主要考查直线与平面以及平面与平面平行或垂直的判定定理和性质定理，题型既有选择题，也有解答题，在解答题中常在第（1）问设置线、面平行、垂直关系的证明或用线、面垂直的性质定理证明线线垂直等，要特别注意应用判定定理与性质定理时条件的完整，这是对解答题的解题规范的基本要求.
【真题对接】
1.【2022年新高考Ⅰ卷】南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为( )
A. B. C. D.
2.【2022年新高考Ⅰ卷】已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上，若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.【2022年新高考Ⅱ卷】已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A. B. C. D.
4.【2021年新高考Ⅰ卷】已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为( )
A.2 B. C.4 D.
5.【2021年新高考Ⅱ卷】正四棱台的上 下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为( )
A. B. C. D.
6.【2023年新课标Ⅰ卷】（多选）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有( )
A.直径为的球体
B.所有棱长均为的四面体
C.底面直径为，高为的圆柱体
D.底面直径为，高为的圆柱体
7.【2023年新课标Ⅱ卷】（多选）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为，则( )
A.该圆锥的体积为 B.该圆锥的侧面积为
C. D.的面积为
8.【2022年新高考Ⅰ卷】（多选）已知正方体，则( )
A.直线与所成的角为
B.直线与所成的角为
C.直线与平面所成的角为
D.直线与平面ABCD所成的角为
9.【2022年新高考Ⅱ卷】（多选）如图，四边形ABCD为正方形，平面，，，记三棱锥，，的体积分别为，，，则( )
A. B. C. D.
10.【2021年新高考Ⅰ卷】（多选）在正三棱柱中，，点P满足，其中，，则( )
A.当时，的周长为定值.
B.当时，三棱锥的体积为定值
C.当时，有且仅有一个点P，使得
D.当时，有且仅有一个点P，使得平面
11.【2023年新课标Ⅱ卷】底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为____________.
12.【2023年新课标Ⅰ卷】在正四棱台中，，，，则该棱台的体积为___________.
13.【2023年新课标Ⅰ卷】如图，在正四棱柱中，，.点，，，分别在棱，，，上，，，.
(1)证明：；
(2)点P在棱上，当二面角为时，求.
14.【2023年新课标Ⅱ卷】如图，三棱锥中，，，，E为BC中点.
(1)证明：；
(2)点F满足，求二面角的正弦值.
答案以及解析
1.答案：C
解析：如图，依题意可知棱台的高，所以增加的水量即为棱台的体积V.棱台上底面积，下底面积，.故选C.
2.答案：C
解析：通解：如图，设该球的球心为O，半径为R，正四棱锥的底边长为a，高为h，
依题意，得，解得.由题意及图可得，解得，所以正四棱锥的体积，所以，令，得，所以当时，；当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，又当时，；当时，；当时，；所以该正四棱锥的体积的取值范围是.故选C.
光速解：如图，设该球的球心为O，半径为R，正四棱锥的底边长为a，高为h，
依题意，得，解得.由题意及图可得，解得，又，所以该正四棱锥的体积（当且仅当，即时取等号），所以正四棱锥的体积的最大值为，排除A，B，D，故选C.
优美解：如图，设该球的半径为R，球心为O，正四棱锥的底边长为a，高为h，正四棱锥的侧棱与高所成的角为，
依题意，得，解得，所以正四棱锥的底边长，高.在中，作，垂足为E，则可得，所以，（另解：也可以利用余弦定理，得）所以正四棱锥的体积，设，易得，则，则，令，得，所以当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减.又当时，；当时，；当时，；所以，所以.所以该正四棱锥的体积的取值范围是，故选C.
3.答案：A
解析：由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为，.设该正三棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为，，外接球的球心为O，则球心O在直线上，由于球心位置不能确定，需分球心在线段上和不在线段上两种情况讨论.当球心在线段上时，，解得，不符合题意；当球心不在线段上，即球心在线段的延长线.上时，，解得，所以.综上，球O的表面积为，故选A.
4.答案：B
解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l.由题意可得，所以.
5.答案：D
解析：作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，
因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，
所以该棱台的高，
下底面面积，上底面面积，
所以该棱台的体积.
故选：D.
6.答案：ABD
解析：对于A选项，正方体内切球的直径为，故A符合题意；
对于B选项，如图①，正方体内部最大的正四面体棱长为，，故B符合题意；
对于C选项，圆柱底面直径为，可忽略不计，高为，圆柱可看作长度为的线段.如图②，正方体的体对角线为，故C不符合题意；对于D选项，圆柱高为，可忽略不计，底面直径为，圆柱可看作直径为的圆.如图③，E，F，G，H，I，J为各棱的中点，六边形EFGHIJ为正六边形，其边长为，其内切圆直径，，故D符合题意.
7.答案：AC
解析：对于A，依题意，圆锥母线长，，，所以底面圆的半径，圆锥的体积为，故A正确；对于B，该圆锥的侧面积为；故B错误；
对于C，如图，取AC的中点M，连接PM，OM，则，又因为，所以，故为二面角的平面角，即，所以，即，所以，故C正确；
对于D，由选项C可知，，，，所以的面积为，故D错误.故选AC.
8.答案：ABD
解析：如图，连接，在正方体中，，，又，所以平面.因此，，故选项A和B都正确.
连接，设O为与的交点，连接OB，因为平面，所以直线与平面所成的角为.在中，，即，故选项C错误.
易知直线与平面ABCD所成的角为，且，故选项D正确.故选ABD.
9.答案：CD
解析：如图，设，因为平面ABCD，，
则，，连接BD交AC于点M，连接EM，FM，易得，又平面，平面ABCD，.又，，平面，平面BDEF，又，过F作于G，易得四边形BDGF为矩形，，，，，，，.，，则，则，，，故A，B错误，C，D正确.故选CD.
10.答案：BD
解析：（，）.对于A，当时，点P在棱上运动，如图1所示，此时的周长为，不是定值，故A错误；
对于B，当时，点P在棱上运动，如图2所示，则，为定值，故B正确；
对于C，取BC的中点D，的中点，连接，，则当时，点P在线段上运动，假设，则，即，解得或，所以点P与点D或重合时，，故C错误；
方法一：由多选题特征，排除A，C，故选BD.
方法二：对于选项D，四边形为正方形，所以，设与交于点K，连接PK，要使平面，需，所以点P只能是棱的中点，故D正确.综上，选BD.
方法三：对于D，分别取，的中点E，F，连接EF，则当时，点P在线段EF上运动，以点为原点，以，的方向分别为y，z轴的正方向，建立如图3所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，.若平面，则，所以，解得，所以只存在一个点P，使得平面，此时点P与F重合，故D正确.综上，选BD.
11.答案：28
解析：方法一：由于，而截去的正四棱锥的高为3，所以原正四棱锥的高为6，所以原正四棱锥的体积为，截去的正四棱锥的体积为，所以棱台的体积为.
方法二：由方法一可知，棱台的体积为.故答案为28.
12.答案：
解析：如图，连接AC，BD交于点O，连接，交于点，连接，过点作于点H，则为正四棱台的高.
在等腰梯形中，，，则，，所以.又，所以，所以，所以正四棱台的体积为.
13.解析：(1)法一：依题意，得，
所以.
法二：以点C为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
所以，所以.
(2)建立空间直角坐标系，建系方法同(1)中解法二，设，则，
所以，，
设平面的法向量为，
所以，则，令，得.
设平面的法向量为，
由(1)解法二知，，，
所以，则，令，得.
所以，
整理得，解得或，
所以或，
所以.
14.解析：(1)如图，连接DE，AE，
因为，且E为BC的中点，所以.
因为，，，
所以.
可得，故.
因为，，平面ADE，所以平面ADE.
又平面ADE，所以.
(2)由(1)知，，.
不妨设，因为，所以.
由题可知为等腰直角三角形，故.
因为，所以.
在中，，所以.
以E为坐标原点，ED所在直线为x轴，EB所在直线为y轴，EA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，.
设，因为，所以，可得.
所以.
设平面DAB的法向量为，则，即，
取，则，.
设平面ABF的法向量为，则，即，
得，取，则，.
所以.
记二面角的大小为，则，
故二面角的正弦值为.

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