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第六章 平面向量及其应用
——高一数学人教A版（2019）必修第二册期末复习知识大盘点
学习目标整合
1.平面向量的概念 （1）了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.（2）理解平面向量的几何表示和基本要素.
2.平面向量的运算 （1）掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义.（2）掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义.（3）了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.
3.平面向量的数量积 （1）理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积.（2）了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.（3）会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
4.平面向量的基本定理及坐标运算 （1）理解平面向量的基本定理及其意义.（2）掌握平面向量的正交分解及坐标表示.（3）会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.（4）能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角.（5）能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件.
5.解三角形 （1）掌握余弦定理、正弦定理.（2）能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题.
教材习题变式
【课后习题】
1.判断下列命题是否正确（正确的在括号内打“√”，错误的打“×”）.
（1）.( )
（2）.( )
（3）.( )
（4）.( )
2.选择题
（1）如果a，b是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是( ).
A. B. C. D.
（2）对于任意两个向量a和b，下列命题中正确的是( ).
A.若a，b满足，且a与b同向，则
B.
C.
D.
（3）在四边形ABCD中，若，则( ).
A.四边形ABCD是矩形 B.四边形ABCD是菱形
C.四边形ABCD是正方形 D.四边形ABCD是平行四边形
（4）设a是非零向量，是非零实数，下列结论中正确的是( ).
A.a与的方向相反 B.
C.a与的方向相同 D.
（5）设M是的对角线的交点，O为任意一点，则( )
A. B. C. D.
（6）在下列各组向量中，可以作为基底的是( ).
A.， B.，
C.， D.，
3.已知六边形ABCDEF为正六边形，且，，分别用a，b表示，，，，，，.
4.已知平面直角坐标系中，点O为原点，，.
（1）求的坐标及的值；
（2）若，，求与的坐标；
（3）求的值.
5.已知点，，.若，则点D的坐标是什么
6.已知向量，，，求满足的和的值.
7.已知的顶点坐标分别为，，，求，，的值.
8.已知向量，.当为何值时，与a垂直
9.已知向量a与b的夹角为30°，，，求，的值.
10.如图，支座A受，两个力的作用，已知与水平线成角，，沿水平方向，，与的合力F的大小为100N，求以及F与的夹角的余弦值.
11.在中，分别根据下列条件解三角形（角度精确到1′，边长精确到0.01cm）：
（1），，；
（2），，；
（3），，；
（4），，.
12.海中有一座小岛，周围3nmile内有暗礁.一艘海轮由西向东航行，望见该岛在北偏东75°；海轮航行8nmile以后，望见该岛在北偏东55°.如果这艘海轮不改变航向继续前进，有没有触礁的危险
13.选择题
（1）已知a，b是不共线的向量，且，，，则( ).
A.A，B，D三点共线 B.A，B，C三点共线
C.B，C，D三点共线 D.A，C，D三点共线
（2）已知正方形ABCD的边长为1，，，，则( ).
A.0 B.3 C. D.
（3）已知，，，，且四边形ABCD为平行四边形，则( ).
A. B. C. D.
（4）若，是夹角为60°的两个单位向量，则与的夹角为( ).
A.30° B.60° C.120° D.150°
（5）已知等边三角形ABC的边长为1，，，，那么( ).
A.3 B.-3 C. D.
（6）若平面向量a，b，c两两的夹角相等，且，，，则( ).
A.2 B.5 C.2或5 D.或
14.已知a，b，c，d为非零向量，证明下列结论，并解释其几何意义.
（1）；
（2）若，，则.
15.已知，向量，，满足条件，.求证：是等边三角形.
16.如图，已知，，任意点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，用a，b表示向量.（本题可以运用信息技术发现规律）
17.一个人骑自行车由A地出发向东骑行了9km到达B地，然后由B地行了16km到达D地，求这个人由A地到D地的位移（角度精确到1°）.
【变式训练】
18.在中，设为AC边的中点，则( )
A. B. C. D.
19.已知向量不共线，若向量与的方向相反，则的值为( )
A.1 B.0 C.-1 D.
20.如图所示，在四边形ABCD中，为BC的中点，且，则( )
A. B. C.1 D.2
21.已知作用在点A的三个力，，，且，则合力的终点坐标为( )
A. B. C. D.
22.P是所在平面内一点，满足，则的形状是( )
A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形
23.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，其面积为，则( )
A. B. C. D.
24.在中，，，，则( )
A. B. C. D.
25.自古以来，人们对于崇山峻岭都心存敬畏，同时感慨大自然的鬼斧神工，一代诗圣杜甫曾赋诗《望岳》：“岱宗夫如何？齐鲁青未了造化钟神秀，阴阳割昏晓荡胸生层云，决毗入归鸟会当凌绝顶，一览众山小”然而，随着技术手段的发展，山高路远便不再人们出行的阻碍，伟大领袖毛主席曾作词：“一桥飞架南北，天堑变通途”在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳跨海大桥等如图为某工程队将A到D修建一条隧道，测量员测得一些数据如图所示(A，B，C，D在同一水平面内)，则A，D间的距离为( )
A.km B.km C.km D.km
26.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，且，则是( )
A.直角三角形 B.等边三角形
C.等腰（非等边）三角形 D.等腰直角三角形
27.已知向量.若向量与共线，则实数________.
28.平面向量，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则________.
29.已知在中，内角所对的边分别为，且满足，且，则____________.
30.如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角，C点的仰角以及；从C点测得.已知山高，则山高__________m.
31.设是不共线的两个非零向量.
(1)若，求证：A，B，C三点共线；
(2)若与共线，求实数k的值；
(3)若，且A，C，D三点共线，求实数k的值.
32.已知，，，.
（1）当时，求实数x的值；
（2）当取最小值时，求向量a与c的夹角的余弦值.
33.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求B.
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
34.如图，在海岸A处，发现南偏东45°方向距A为海里的B处有一艘走私船，在A处正北方向，距A为海里的C处的缉私船立即奉命以海里/时的速度追截走私船.
(1)刚发现走私船时，求两船的距离.
(2)若走私船正以海里/时的速度从B处向南偏东75°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(精确到分钟，参考数据：)
35.已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足.
(1)求角C大小.
(2)若，求的取值范围.
答案以及解析
1.答案：（1）√
（2）√
（3）×
（4）×
解析：（1）与是相反向量，它们的和为零向量.故正确.
（2）当第一个向量的终点是第二个向量的起点时，这两个向量的和等于第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量.故正确.
（3）当两个向量有共同的起点时，那么这两个向量的差等于减向量的终点指向被减向量的终点的向量.故不正确.
（4）实数0与任意向量的数乘结果是零向量，而不是实数0.故不正确.
2.答案：（1）D
（2）B
（3）D
（4）C
（5）D
（6）B
解析：（1）因为a，b是两个单位向量，所以，因此，也即，故C项错误，D项正确；两个单位向量尽管长度相等，但方向不一定相同，故A项错误；，只有a，b的夹角为0时，才有，故B项错误.
（2）A项错误，向量不能比较大小；B项正确；C项错误，；D项错误，.故选B.
（3）是向量加法的平行四边形法则.
（4）当时，a与的方向相反，当时，a与的方向相同，故A项错误；，只有当时，才有，故B项错误；因为，所以a与同向，故C项正确；D项错误.故选C.
（5）因为，
所以.
（6）两个不共线的向量可以作为基底.A项中，故不能作为基底；B项中，不共线，可以作为基底；C项中，所以，不能作为基底；D项中，不能作为基底，故选B.
3.答案：，，，，，，
解析：如图，
设.
因为六边形ABCDEF为正六边形，
所以，
且.
又是等腰三角形，
所以，
从而可有，
则，
则，
所以，，同理有，.
所以，
，.
，，
，
，.
4.答案：（1），
（2），
（3）33
解析：（1），.
（2），
.
（3）.
5.答案：
解析：设，由，，知，，
要使，则有解得
所以点D的坐标为.
6.答案：
解析：由，得.即解得
7.答案：，，
解析：由，，可知，，所以，即，所以，，，所以，故，，.
8.答案：
解析：，，.
又与a垂直，，
，即，.
9.答案：，
解析：，
，.
10.答案：，
解析：，
，
即.
，解得.
又，
，即，
，解得.
11.答案：见解析
解析：（1）在中，根据正弦定理，得，，
（2）在中，根据正弦定理，得，因为，所以或；
当时，，；
当时，，.
（3）在中，根据余弦定理，得，根据正弦定理，得，.
（4）在中，根据余弦定理的推论，得，即，同理可得，.
12.答案：没有
解析：设海轮在B处望见小岛A在北偏东75°，在C处望见小岛A在北偏东55°，从小岛A向海轮的航线BC作垂线，垂足为D.设垂线段AD的长度为xnmile，CD为ynmile（如图），则即，则，解得.所以这艘海轮不改变航向继续前进，没有触礁的危险.
13.答案：（1）A
（2）D
（3）B
（4）C
（5）D
（6）C
解析：（1），A，B，D三点共线.
（2）因为，所以.
因为，所以.故选D.
（3）易知，，而在平行四边形ABCD中，，所以，即，也即，故选B.
（4），
，
，
.
设向量a与向量b的夹角为，则.又，所以，故选C.
（5）.
（6）由向量a，b，c两两所成的角相等，故向量a，b，c两两所成的角都等于0或.当a，b，c两两所成的角为时，，，.则，.当a，b，c唡两所成的角为0时，.故选C.
14.答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）先证.
，
.
因为，所以，于是.
再证.
由，两边平方得，
所以，于是.几何意义是矩形的两条对角线相等.
（2）先证.
.
又，所以，
所以.
再证，
由得，
即，
所以，
几何意义是菱形的对角线互相垂直，如图所示.
15.答案：见解析
解析：由已知，可得，
两边平方得，
令，，
，.
同理，.
故是等边三角形.
16.答案：
解析：连接AB（图略），由对称性可知，AB是的中位线，.
17.答案：这个人的位移是沿北偏东约67°方向前进了
解析：以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系如图.
由题意可得，，，.
，
.
，
，
.
这个人的位移是沿北偏东约67°方向前进了.
18.答案：D
解析：因为为AC边的中点，所以.
由向量减法的三角形法则可得，，故选D.
19.答案：C
解析：向量与的方向相反，.
由向量共线的性质定理可知，存在一个实数m，使得，
即.
与不共线，，
可得.
当时，向量与是相等向量，其方向相同，不符合题意，故舍去..
20.答案：C
解析：由题意，得
.
.
与不共线，由平面向量基本定理得
.故选C.
21.答案：A
解析：，设合力f的终点为，O为坐标原点，则.故选A.
22.答案：B
解析：P是所在平面上一点，且，即，
两边平方并化简得，即是直角三角形.故选B.
23.答案：C
解析：设的面积为S，由题意知，即，解得.由余弦定理得，即.由正弦定理可得.故选C.
24.答案：C
解析：方法一：在中，由余弦定理可得，所以，则.又因为，所以，所以.故选C.
方法二：过点B作交AC于点D，则，可得为等腰三角形，且.在中，，所以，所以.故选C.
25.答案：A
解析：本题考查两角差的余弦公式以及余弦定理的应用.连接AC，设，，则在中，，，，所以，，，所以，所以，所以.故选A.
26.答案：B
解析：，，.根据余弦定理，得，即，.，.又，，即，化简可得，即，是等边三角形.故选B.
27.答案：
解析：因为，所以，故.
28.答案：2
解析：由，得，.与a的夹角等于c与b的夹角，，即，解得.
29.答案：
解析：根据正弦定理得，即，则，根据余弦定理得.
30.答案：150
解析：在中，，，，，
在中，，，，
由正弦定理可得，即，解得，
在中，.
故答案为150.
31.答案：(1)见解析
(2)值为
(3)
解析：(1)，
所以.又因为A为公共点，所以A，B，C三点共线.
(2)设，则
解得或
所以实数k的值为.
(3).
因为A，C，D三点共线，所以与共线.
从而存在实数使，即，
得解得所以.
32.答案：（1）
（2）
解析：（1），，解得.
（2）.
当时，有最小值1，即有最小值1.
此时，.，设向量a，c的夹角为，
则.
33.答案：(1)
(2)
解析：(1)由题设及正弦定理得.
因为，所以.
由，可得，
故.
因为，故，因此.
(2)由题设及(1)知的面积.
由正弦定理得.
由于为锐角三角形，故，
由(1)知，所以，故，
从而.
因此，面积的取值范围是.
34.答案：(1)4海里.
(2)南偏东60°方向，需47分钟才能追上走私船.
解析：(1)在中，因为海里，海里，，
由余弦定理，得(海里).
(2)根据正弦定理，可得.
所以，易知，
设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，如图所示.
则有(海里)，(海里).
而，在中，根据正弦定理，可得，
所以，所以.
在中根据正弦定理，得，即，
解得小时≈47分钟.
故缉私船沿南偏东60°方向，需47分钟才能追上走私船.
35.答案：(1).
(2)取值范围是.
解析：(1)因为，
所以由正弦定理得，
所以，
因为，所以.
(2)由正弦定理得，
所以
，因为，
所以，
所以，
所以的取值范围是.
重难知识易混易错
【重难知识】
1.向量加法的法则：三角形法则和平行四边形法则.
三角形法则 如图，已知非零向量a，b，在平面内取任意一点A，作，，则向量叫做a与b的和，记作，即.
平行四边形法则 已知两个不共线向量a，b，作，，以，为邻边作，则对角线上的向量.
2.对于零向量与任意向量a，有.
3.向量加法的运算律：
交换律：；
结合律：.
4.向量形式的三角不等式：，当且仅当方向相同时等号成立.
5.相反向量：
①定义：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a，并且规定，零向量的相反向量仍是零向量.
②性质：零向量的相反向量仍是零向量；
和互为相反向量，于是；
若互为相反向量，则，，.
6.向量数乘的定义：规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：，它的长度与方向规定如下：①；②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反.当或时，.
7.向量数乘的运算律：设为任意实数，则有：
①；
②；
③.
特别地，有；.
8.向量的线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量.对于任意向量，以及任意实数，恒有.
9.向量共线（平行）定理：向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使.
10.平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使.
11.基底：若不共线，则把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
12.平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
13.平面向量的坐标运算：
设向量，则有下表：
运算 文字描述 符号表示
加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差
数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标
向量坐标公式 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知，则
14.平面向量共线的坐标表示
（1）设，其中共线的充要条件是存在实数，使.
（2）如果用坐标表示，向量共线的充要条件是.
15.向量的夹角：已知两个非零向量，如图，是平面上的任意一点，作，则叫做向量与的夹角.记作.
当时，向量同向；当时，向量垂直，记作；当时，向量反向.
16.平面向量数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，把数量叫做向量与的数量积（或内积），记作，即.
17.投影向量：如图，设是两个非零向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，这种变换称为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.
18.向量数量积的性质：设是非零向量，它们的夹角是是与方向相同的单位向量，则
（1）；
（2）；
（3）当与同向时，；当与反向时，，特别地，或；
（4）由可得，；
（5）
19.向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘结合律：；
（3）分配律：.
20.平面向量数量积的坐标表示：设向量，则.
这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
21.向量模的坐标表示：
（1）若向量，则；
（2）若点，向量，则.
由此可知，向量的模的坐标运算的实质是平面直角坐标系中两点间的距离的运算.
22.向量夹角的坐标表示：设都是非零向量，，是与的夹角，则.
23.向量垂直的坐标表示：设向量，则.
24.正弦定理：在中，角的对边分别为，则.在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.
25.正弦定理的常见变形：
（1）（边角互化）.
（2）.其中，为外接圆的半径.
（3）（边化角）.
（4）（角化边）.
26.余弦定理：在中，角的对边分别为，则
，，.
三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.
27.余弦定理的推论：，，.
28.三角形的面积公式
（1）（为外接圆的半径）.
（2），其中为的一边长，而为该边上的高的长.
（3），其中分别为的内切圆半径及的周长.
（4）海伦公式：，其中.
【典型例题】
1.若非零向量与满足，且，则为( ).
A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形
C.底边和腰不相等的等腰三角形 D.等边三角形
2.已知在中，，，，动点M位于线段BC上，则的最小值为( )
A.0 B. C. D.
3.（多选）已知向量，，则( )
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则a与b的夹角为
4.已知向量，. 若， 则 ________.
5.在中，，.设，且，则当取最小值时，_________.
6.记的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，，，已知，.
（1）求的面积；
（2）若，求b.
答案及解析
1.答案：D
解析：由，知，
中，的平分线与边BC垂直，.
又，.
，，为等边三角形，故选D.
2.答案：C
解析：在中，易知，所以，且，所以，所以当时，有最小值为.故选C.
3.答案：BC
解析：A项，若，则，即，故A项错误；B项，若，则，即，，故B项正确；C项，若，则，所以，故C项正确；D项，，则，，，
，所以a与b的夹角不是，故D项错误.
4.答案：-2
解析：因为向量，，，
所以，解得.
5.答案：7
解析：由已知，得点D是AC的中点.设，则由知.以C为原点，分别以CB，CA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图，
则，，，，所以直线BD的方程为.易知点P在直线BD上运动.设，则，，
，所以，所以.故当时，取得最小值，此时，则，.由，得.
6.解析：（1）由，得，
即，
又，所以.
由，得或（舍去），
所以，
则的面积.
（2）由，及正弦定理知
，
即，得.
核心素养对接高考
【核心素养】
平面向量的概念及运算、平面向量基本定理及坐标运算，在高考中的考查突出向量的基本运算与工具性，命题重点为平面向量的线性运算、共线向量定理、平面向量基本定理及平面向量共线的坐标表示，主要以选择题和填空题的形式呈现，难度较低，要注重掌握向量的数与形的特征，同时要掌握用坐标法解决向量问题.
平面向量的数量积及应用是高考命题的热点，每年必考，主要考查平面向量的数量积运算，模、夹角问题的求解，平行或垂直问题的求解，有时也会与平面几何、三角函数、不等式、解析几何等内容综合考查，主要以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏下，要掌握运用数形结合思想和函数与方程思想解决有关最值等综合问题.
解三角形是高考的重点和热点，主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，有时也与三角恒等变换、立体几何等进行综合命题，加强解三角形与其他章节知识的综合训练以及解三角形在生活、生产实践中的应用，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度属于中低档.
【真题对接】
1.【2023年新课标Ⅰ卷】已知向量，.若，则( )
A. B. C. D.
2.【2022年新高考Ⅰ卷】在中，点D在边AB上，.记，，则( )
A. B. C. D.
3.【2022年新高考Ⅱ卷】已知向量，，，若，则( )
A.-6 B.-5 C.5 D.6
4.【2021年新高考Ⅰ卷】（多选）已知O为坐标原点，点，，，，则( )
A. B.
C. D.
5.【2023年新课标Ⅱ卷】已知向量a，b满足，，则___________.
6.【2021年新高考Ⅱ卷】已知向量，，，则____________.
答案以及解析
1.答案：D
解析：因为，，所以，，因为，所以，所以，整理得.故选D.
2.答案：B
解析：方法一：因为，所以，所以
.
方法二：如图，利用平行四边形法则，合成出向量，由图易知（即向量m）的系数为负数，排除A，C，D，故选B.
3.答案：C
解析：，，即，解得，故选C.
4.答案：AC
解析：
选项 正误 原因
A √ 因为，，所以
B × 因为，，所以，，由于与的关系不确定，所以无法判断
C √ 因为，，所以
D × 因为，，由于与的关系不确定，所以无法判断
5.答案：
解析：由，得，即①.由，得，整理得，，结合①，得，整理得，，所以.
6.答案：
解析：由，得，所以，所以，解得.由，得，所以，所以，解得.同理可得，所以.

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