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第十章 概率
——高一数学人教A版（2019）必修第二册期末复习知识大盘点
学习目标整合
1.随机事件与概率 （1）理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系，了解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算. （2）理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率. （3）理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则.
2.事件的相互独立性 （1）理解两个事件相互独立的概念. （2）能进行一些与事件独立有关的概率的计算.
3.频率与概率 （1）会用频率估计概率. （2）会用随机模拟方法估计概率
教材习题变式
【课后习题】
1.在一个盒子中有3个球，蓝球、红球、绿球各1个，从中随机地取出一个球，观察其颜色后放回，然后再随机取出1个球.
（1）用适当的符号表示试验的可能结果，写出试验的样本空间；
（2）用集合表示“第一次取出的是红球”的事件；
（3）用集合表示“两次取出的球颜色相同”的事件.
2.如图是一个古典概型的样本空间和事件A和B，其中，，，，那么
（1）________，________，________，________.
（2）事件A与B互斥吗 事件A与B相互独立吗？
3.某个制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有500名志愿者服用此药，结果如下：
体重变化 体重减轻 体重不变 体重增加
人数 276 144 80
如果另有一人服用此药，估计下列事件发生的概率：
（1）这个人的体重减轻了；
（2）这个人的体重不变；
（3）这个人的体重增加了.
4.某中学有教职工130人，对他们进行年龄状况和受教育程度的调查，其结果如下：
本科 研究生 合计
35岁以下 50 35 85
35~50岁 20 13 33
50岁以上 10 2 12
从这130名教职工中随机地抽取一人，求下列事件的概率：
（1）具有本科学历；
（2）35岁及以上；
（3）35岁以下且具有研究生学历.
5.一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球.
（1）求第二次取到红球的概率；
（2）求两次取到的球颜色相同的概率；
（3）如果是4个红球，n个绿球，已知取出的2个球都是红球的概率为，那么n是多少
6.有2个人在一座7层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的.
（1）求这两个人在不同层离开电梯的概率；
（2）求这两个人在同一层离开电梯的概率.
7.柜子里有3双不同的鞋，分别用，，，，，表示6只鞋.如果从中随机地取出2只，那么
（1）写出试验的样本空间.
（2）求下列事件的概率，并说明它们的关系：
①“取出的鞋不成双”；
②“取出的鞋都是左脚的”；
③“取出的鞋都是一只脚的”；
④“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”.
8.某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李明答对每道题目的概率都是0.6.若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止.用Y表示答对题目，用N表示没有答对题目，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，那么
（1）在上面的树状图中填写样本点，并写出样本空间；
（2）求李明第二次答题通过面试的概率；
（3）求李明最终通过面试的概率.
9.有两个盒子，其中1号盒子中有95个红球，5个白球；2号盒子中有95个白球，5个红球.现在从两个盒子中任意选择一个，再从中任意摸出一个球.如果摸到的是红球，你认为选择的是哪个盒子
做出你的推断，并说说你的想法.你认为能否做出完全正确的判断
【变式训练】
10.袋中装有标号分别为1，3，5，7的四个相同的小球，从中取出两个，下列事件不是样本点的是( )
A.取出的两球标号为3和7 B.取出的两球标号的和为4
C.取出的两球标号都大于3 D.取出的两球标号的和为8
11.某个地区从某年起几年内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表：
时间范围 1年内 2年内 3年内 4年内
新生婴儿数 5544 9013 13520 17191
男婴数 2716 4899 6812 8590
这一地区男婴出生的概率约是( )。
A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.7
12.某地有A，B，C，D四人先后感染了传染性肺炎，其中只有A到过疫区，B确定是受A感染的.对于C因为难以判定是受A还是受B感染的，于是假定他受A和B感染的概率都是.同样假定D受A，B和C感染的概率都是.在这种假定下，B，C，D中恰有两人直接受A感染的概率是( )
A. B. C. D.
13.经统计，某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如表：
排队人数 0 1 2 3 4 5人及以上
概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04
则至少3人排队等候的概率是( )
A.0.44 B.0.56 C.0.86 D.0.14
14.在一次随机试验中，三个事件，，的概率分别为0.2，0.3，0.5，则下列说法正确的个数是( )
①与是互斥事件，也是对立事件；
②是必然事件；
③；
④.
A.0 B.1 C.2 D.3
15.从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为( )
A. B. C. D.
16.一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏，让孩子把分别写有“1”“3”“1”“4”的四张卡片随机排成一行.若卡片按从左到右的顺序排成“1314”，则孩子会得到父母的奖励，那么孩子受到奖励的概率为( )
A. B. C. D.
17.元旦放假，甲去北京旅游的概率为，乙、丙去北京旅游的概率分别是、，假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为( )
A. B. C. D.
18.一场五局三胜制的乒乓球对抗赛，当甲运动员先胜两局时，比赛因故中断.已知甲、乙水平相当，每局甲、乙胜的概率都为，则这场此赛的奖金分配（甲：乙）应为( )
A.6:1 B.7:1 C.3:1 D.4:1
19.从分别写有1，2，3，4，5的五张卡片中任取两张，则这两张卡片上的数字和为偶数的概率为____________.
20.某商店月收入（单位：元）在下列范围内的概率如下表所示：
月收入/元
概率 0.12 a b 0.14
已知月收入在内的概率为0.67，则月收入在内的概率为_________。
21.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4:1获胜的概率是____________.
22.在数学考试中，小王的成绩在90分以上(含90分)的概率是0.18，在80~89分的概率是0.51，在70~79分的概率是0.15，在60~69分的概率是0.09，在60分以下(不含60分)的概率是0.07.求：
(1)小王在数学考试中取得80分以上(含80分)成绩的概率.
(2)小王数学考试及格的概率.
23.判断下列各对事件哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件.
(1)掷一枚骰子一次，事件M：“出现的点数为奇数”；事件N：“出现的点数为偶数”
(2)掷一枚骰子一次，事件A：“出现偶数点”；事件B：“出现3点或6点”.
24.某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下表：
消费次数 第1次 第2次 第3次 第4次 消费5次及以上
收费比例 1 0.95 0.90 0.85 0.80
该公司从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如下表：
消费次数 第1次 第2次 第3次 第4次 消费5次及
频数 60 20 10 5 5
假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：
(1)估计该公司一位会员至少消费两次的概率.
(2)某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润.
(3)该公司要从这100位里至少消费两次的顾客中按消费次数用分层随机抽样方法抽出8人，再从这8人中抽出2人发放纪念品，求抽出的2人中恰有1人消费两次的概率.
答案以及解析
1.答案：（1）见解析
（2）
（3）
解析：（1）分别用1，2，3表示取出的球的颜色为蓝色，红色，绿色，
用有序数对，m，表示试验的可能结果，则试验的样本空间可表宗为，.
（2）事件“第一次取出的是红球”.
（3）事件“两次取出的球颜色相同”.
2.答案：（1）4；；；
（2）事件A与B相互独立
解析：（1），
.
，，
，，
.
（2），，A与B不互斥.
，，
，事件A与B相互独立.
3.答案：（1）0.552
（2）0.288
（3）0.16
解析：（1）概率估计值为；
（2）概率估计值为；
（3）概率估计值为.
4.答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）具有本科学历的共有（人），故所求概率为.
（2）35岁及以上的共有（人），故所求概率为.
（3）35岁以下且具有研究生学历的有35人，故所求概率为.
5.答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）从10个球中不放回地随机取出2个共有（种）可能，即.
设事件“两次取出的都是红球”，则.
设事件“第一次取出红球，第二次取出绿球”，
则.
设事件“第一次取出绿球，第二次取出红球”，
则.
设事件“两次取出的都是淥球”，则.事件A，B，C，D两两互斥.
P（第二次取到红球）.
（2）P两次取到的球颜色相同.
（3），.
又，，解得.
6.答案：（1）
（2）
解析：（1）每个人离开的楼层都有6种等可能的结果，两个人离开共有（种）等可能的结果.
两人在不同层离开有（种）等可能结果，故所求概率为.
（2）两人在同一层离开有6种等可能结果，故所求概率为.
7.答案：（1）
（2）①；②；③；④；
，，B与D互斥，C与D互斥，
解析：（1）该试验的样本空间可表示为.
（2）由（1）得.
①，，
，.
②，，
.
③，
，.
④，
，.
A，B，C，D之间有如下关系：
，，B与D互斥，C与D互斥，.
8.答案：（1），树状图见解析
（2）0.24
（3）0.936
解析：（1）样本空间.
（2），，
.
（3）李明末通过面试的概率为，
李明通过面试的概率为.
9.答案：见解析
解析：如果摸到红球，选择的是1号盒子，原因如下：在1号盒子中摸到红球的概率为，在2号盒子中摸到红球的概率为，在1号盒子摸到红球的概率远远大于2号盒子的，故选择的应是1号盒子.但是这种判断并不能保证完全正确，也存在选择2号盒子的可能性.
10.答案：D
解析：由样本点的定义知，选项A，B，C都是样本点，选项D中包含取出标号为1和7，3和5两个样本点，所以选项 D不是样本点.
11.答案：B
解析：由表格可知，男婴出生的频率依次为0.49，0.54，0.50，0.50，故这一地区男婴出生的概率约为0.5。故选B。
12.答案：C
解析：由题意得B，C，D中恰有两人直接受A感染包含的情况有以下3种：
①B，C两人直接受A感染，D受B感染；
②B，D两人直接受A感染，C受B感染；
③B，C两人直接受A感染，D受C感染.
所以B，C，D中恰有两人直接受A感染的概率.故选C.
13.答案：A
解析：设“至少3人排队等候”为事件H，
则，故选A.
14.答案：B
解析：三个事件，，不一定是互斥事件，
故，，；
与不一定是互斥事件，也不一定是对立事件.
④正确.故选B.
15.答案：A
解析：2名男生记为，，2名女生记为，，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，共有，，，，，，，，，，，这12种情况，而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有，，，这4种情况，则所求概率.故选A.
16.答案：A
解析：由题意，样本点空间为.所以共有12种不同排法，而卡片排成“1314”只有1种情况，故所求事件的概率.
17.答案：B
解析：因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为，，.
他们不去北京旅游的概率分别为，，，至少有1人去北京旅游的对立事件是没有人取北京旅游，
至少有1人去北京旅游的概率为.
所以B选项是正确的.
18.答案：B
解析：由题意可知，奖金分配比即为甲、乙获胜的概率比，甲前两局已胜，甲胜有3种情况：①甲第三局胜为，；②甲第三局负，第四局胜为，；③甲第三局、第四局负，第五局胜为，，所以甲胜的概率，乙胜的概率则为，故选B.
19.答案：
解析：从五张卡片中任取两张的所有样本点有，，，，，，，，，，共10种情况，
其中，两张卡片上的数字和为偶数的样本点有，，，，共4种情况，
故两张卡片上的数字和为偶数的概率.
20.答案：0.55
解析：记这个商店月收入在，，，范围内的事件分别为A，B，C，D。因为事件A，B，C，D两两互斥，且，所以。
21.答案：0.18
解析：甲队以4:1获胜，第五场甲胜，而前四场甲需要胜三场输一场.又前五场的主客场安排为“主主客客主”，甲获胜情况可分为“胜胜胜负胜”“胜胜负胜胜”“胜负胜胜胜”“负胜胜胜胜”这4种.设事件A为甲以4:1获胜，表示第i场甲获胜.
22.答案：(1)概率为0.69.
(2)概率为0.93.
解析：(1)设小王的成绩在90分以上(含90分)、在80~89分、在60分以下(不含60分)分别为事件A，B，C，且A，B，C两两互斥.
设小王的成绩在80分以上(含80分)为事件D，则，
所以.
(2)设小王数学考试及格为事件E，由于事件E与事件C为对立事件，所以.
23.答案：(1)互相独立.
(2)不是互斥事件.
解析：(1)因为二者不可能同时发生，所以M与N是互斥事件.
(2)样本空间为，事件，事件，事件，
所以，
即.
故事件A与B相互独立.
当“出现6点”时，事件A，B可以同时发生，因此，A，B不是互斥事件.
24.答案：(1)概率为0.4.
(2)平均利润为45元.
(3)概率为.
解析：(1)100位会员中，至少消费两次的会员有40位所以估计一位会员至少消费两次的概率为.
(2)该会员第1次消费时，公司获得的利润为(元)，
第2次消费时，公司获得的利润为(元)，
所以，公司获得的平均利润为(元).
(3)因为，所以用分层随机抽样方法抽出的8人中，消费2次的有4人，分别设为，消费3次的有2人，分别设为，
消费4次和5次及以上的各有1人，分别设为C，D，从中抽出2人，抽到的有，共7种；
去掉后，抽到的有，共6种；…
去掉后，抽到C的有：CD，共1种，
总的抽取方法有(种)，
其中恰有1人消费两次的抽取方法有(种)，
所以抽出的2人中恰有1人消费两次的概率为.
重难知识易混易错
【重难知识】
1.
名称 定义 符号表示
包含关系 若事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或事件A包含于事件B） （或）
相等关系 如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即且，则称事件A与事件B相等 A=B
并事件 （和事件） 事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，则称这个事件为事件A与事件B的并事件（或和事件） （或）
交事件 （积事件） 事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，则称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件（或积事件） （或）
互斥事件 若为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥
对立事件 若为不可能事件，为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 且（U为全集）
2.古典概率模型：我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概率：
（1）有限性：样本空间的样本点只有有限个；
（2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
3.古典概型的概率公式
（1）在基本事件总数为n的古典概型中，每个基本事件发生的概率都是相等的，即每个基本事件发生的概率都是.
（2）对于古典概型，任何事件的概率为.
4.相互独立事件
（1）对于事件A、B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A、B是相互独立事件.
（2）若A与B相互独立，则，.
（3）若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立.
（4）若，则A与B相互独立.
【典型例题】
1.一盒子里有黑色、红色、绿色的球各一个，现从中随机取出一个球.事件“取出的球是红色”，事件“取出的球是绿色”，则事件A与事件B( )
A.是互斥事件，不是对立事件
B.是对立事件，不是互斥事件
C.既是互斥事件，也是对立事件
D.既不是互斥事件，也不是对立事件
2.从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为( )
A. B. C. D.
3.袋子中有四个小球，分别写有“春、夏、秋、冬”四个字，从中任取一个小球，取到“冬”就停止.用随机模拟的方法估计“取球直到第二次停止”的概率，先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数，且用1，2，3，4表示取出的小球上分别写有“春、夏、秋、冬”四个字，每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
13 24 12 32 43 14 24 32 31 34
21 23 13 32 21 24 42 13 32 21
据此估计，“取球直到第二次停止”的概率为( )
A. B. C. D.
4.下列说法错误的个数为( )
①对立事件一定是互斥事件；
②若A，B为两个事件，则；
③若事件A，B，C两两互斥，则.
A.0 B.1 C.2 D.3
5.一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，公司收集了20000辆汽车的数据，时间是从某年的5月1日到下一年的4月30日，共发现有600辆汽车的挡风玻璃破碎，则一辆汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是_________________.
6.设某批电子手表的正品率为，次品率为，现对该批电子手表进行检测，每次抽取一个电子手表，假设每次检测相互独立，则第3次首次检测到次品的概率为___________.
答案以及解析
1.答案：A
解析：由题意可知，事件A与B为互斥事件，但事件不是必然事件，所以事件A与事件B是互斥事件，不是对立事件.故选A.
2.答案：A
解析：2名男生记为，，2名女生记为，，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，共有，，，，，，，，，，，这12种情况，而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有，，，这4种情况，则所求概率.故选A.
3.答案：B
解析：20组随机数中，第一次不是4且第二次是4的数共有5组，故估计“取球直到第二次停止”的概率为.故选B.
4.答案：C
解析：互斥不一定对立，但对立必互斥，①正确；只有A与B是互斥事件时，才有，②错误；若事件A，B，C两两互斥，则，但不一定是必然事件，例如，设样本点空间是由两两互斥的事件A，B，C，D组成且事件D与为对立事件，当时，，③错误.
5.答案：0.03
解析：在一年内挡风玻璃破碎的频率为，用频率来估计挡风玻璃破碎的概率.
6.答案：
解析：因为第3次首次检测到次品，所以第1次和第2次检测到的都是正品，第3次检测到的是次品，所以第3次首次检测到次品的概率为.
核心素养对接高考
【核心素养】
随机事件的概率单独考查的概率较小，一般与其他知识综合考查，其中互斥事件和对立事件的概率是高考的重点考查内容，在与对立事件有关的题目中常利用“正难则反”的解题思想.以小题和解答题形式呈现，当以解答题形式呈现时，多与排列组合、分布列、期望与方差、统计等知识综合命题.
古典概型是高考的热点，常以选择题、填空题的形式呈现，主要考查古典概型，在高考中常与平面向量、集合、函数、数列、解析几何、统计等知识交汇命题，命题角度及背景新颖，考查知识全面，能力要求较高.在备考中要注意古典概型与数学文化、实际生活密切联系的问题，要加强实际应用问题的训练.
【真题对接】
1.【2022年新高考Ⅰ卷】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为( )
A. B. C. D.
2.【2021年新高考Ⅰ卷】有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( )
A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立
答案以及解析
1.答案：D
解析：从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，取法总数为.其中2个数互质的情况为，，，，，，，，，，，，，，取法总数是14.因此，从2至8的7个整数字随机取2个不同的数，这2个数互质的概率为.故正确选项为D.
2.答案：B
解析：本题考查独立事件的概念.由于有放回的取球，则，，，，，，，，其中，故甲与丁相互独立.

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