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第六章 计数原理
——高二数学人教A版（2019）选择性必修第三册
期末复习知识大盘点
学习目标整合
两个计数原理 （1）理解分类计数原理、分步计数原理及其意义. （2）会利用两个原理分析和解决一些简单的实际应用问题.
排列与组合 （1）理解排列、组合的概念，能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式. （2）能运用排列组合解决实际应用问题.
二项式定理 （1）能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理. （2）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. （3）掌握二项式系数的性质及其应用，掌握“赋值法”并会灵活运用.
教材习题变式
【课后习题】
1.填空题
（1）乘积展开后，共有_________项；
（2）学生可从本年级开设的7门选修课中任意选择3门，并从6种课外活动小组中选择2种，不同的选法种数是_________；
（3）安排6名歌手演出顺序时，要求某歌手不是第一个出场，也不是最后一个出场，不同排法的种数是_________；
（4）5个人分4张无座足球票，每人至多分1张，而且票必须分完，那么不同分法的种数是_________；
（5）5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同选择的种数是_________；
（6）正十二边形的对角线的条数是_________；
（7）的展开式中，系数最大的项是第_________项.
2.一个集合有5个元素.
（1）这个集合的含有3个元素的子集有多少个？
（2）这个集合的子集共有多少个？
3.填空题
（1）已知，那么__________；
（2）某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学课排在.上午，体育课排在下午，不同排法种数是__________；
（3）某人设计的电脑开机密码由2个英文字母后接4个数字组成，且2个英文字母不相同，该密码可能的个数是__________；
（4）以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是__________；
（5）在的展开式中，各项系数的和是__________.
4.（1）平面内有n条直线，其中没有两条平行，也没有三条交于一点，共有多少个交点？
（2）空间有n个平面，其中没有两个互相平行，也没有三个交于一条直线，共有多少条交线？
5.（1）求的展开式中按x的升幂排列的第3项；
（2）求的展开式的常数项；
（3）已知的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，求n；
（4）求的展开式中的系数；
（5）求的展开式中的系数.
6.用二项式定理证明能被8整除.
7.（1）平面内有两组平行线，一组有m条，另一组有n条，这两组平行线相交，可以构成多少个平行四边形？
（2）空间有三组平行平面，第一组有m个，第二组有n个，第三组有l个，不同两组的平面都相交，且交线不都平行，可以构成多少个平行六面体？
8.某种产品的加工需要经过5道工序.
（1）如果其中某道工序不能放在最后，那么有多少种加工顺序？
（2）如果其中某2道工序既不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少种加工顺序？
（3）如果其中某2道工序必须相邻，那么有多少种加工顺序？
（4）如果其中某2道工序不能相邻，那么有多少种加工顺序？
9.在的展开式中，含项的系数是多少？
10.你能构造一个实际背景，对等式的意义作出解释吗？
【变式训练】
11.从甲地到乙地，一天中有5次火车，12次客车，3次飞机航班，还有6次轮船，某人某天要从甲地到乙地，共有不同走法的种数是( )
A.26 B.60 C.18 D.1080
12.若，则( )
A.7 B.6 C.5 D.4
13.为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤菜、4种小荤菜中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有( )
A.48种 B.36种 C.24种 D.12种
14.永定土楼位于中国东南沿海的福建省龙岩市，是世界上独一无二的神奇的山区民居建筑，是中国古建筑史上的一个奇迹.2008年7月，永定土楼被成功列入世界遗产名录.它历史悠久、风格独特，规模宏大、结构精巧.土楼具体有圆形、方形、五角形、八角形、日字形、回字形、吊脚楼等类型.现有某大学建筑系学生要重点对这七种主要类型的土楼依次进行调查研究.要求调查顺序中，圆形要排在第一个或最后一个，方形、五角形相邻，则不同的排法种数为( )
A.480 B.240 C.384 D.1440
15.，则( )
A.16 B.27 C.43 D.70
16.4名同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有( )
A.12种 B.24种 C.30种 D.36种
17.安排4名教师去3所学校支教，每人只能去一所学校，每所学校至少分配一名教师，则不同的分派方法种数为( )
A.36 B.24 C.18 D.12
18.在的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的系数是( )
A. B. C. D.7
19.（多选）下列等式中，正确的是( )
A.! B.
C. D.
20.（多选）已知的展开式中共有7项，则该二项展开式中( )
A.所有项的二项式系数和为64 B.所有项的系数和为1
C.二项式系数最大的项为第4项 D.有理项共有4项
21.已知的展开式中的系数为-160，则展开式中各项系数之和为__________.（用数字作答）
22.5名学生站成一排照相，甲不站排头、乙不站排尾的站法种数是__________.
23.的展开式中的系数是__________.
24.杭州第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，竞赛项目设置为40个大项，61个分项，481个小项，并增设电子竞技、霹雳舞两个竞赛项目.现有甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者到乒乓球、电子竞技、霹雳舞三个项目志愿服务，其中每个项目至少一名志愿者，甲必须在霹雳舞项目，则不同的志愿服务方案共有_________种（用数字作答）.
25.（1）由0，1，2，3，4，5这6个数字组成的没有重复数字的四位偶数有多少个？
（2）把6本不同的书分给3个同学，每人至少1本书，有多少种不同的分法？
答案以及解析
1.答案：（1）
（2）525
（3）480
（4）
（5）
（6）54
（7）
解析：（2）分两步完成，第一步从7门选修课中任意选择3门，有种方法；
第二步从6种课外活动小组中选择2种有种方法，
由分步乘法计数原理得不同选法的种数是.
（3）方法一：先排这名歌手有种方法，余下的5名歌手全排列为种方法，
不同排法的种数为.
方法二：先排第一场和最后一场有种方法；余下的四名歌手全排列为种方法，
不同排法的种数为.
（6）所求对角线的条数等于连接正十二边形中任意两个顶点的线段的条数减去其中不是对角线的线段的条数12，即.
2.答案：（1）10个
（2）32个
解析：（1）一个含有3个元素的子集对应于从5个不同元素中任取3个不同元素的一个组合，子集的个数为.
（2）（个）.
3.答案：（1）6
（2）192
（3）6500000
（4）58
（5）1或-1
解析：（1），即，解得或（负值舍去）.
（2）.
（3）.
（4）在从正方体的8个顶点中任取4个的所有种数中，排除四点共面的12种情形（正方体表面上的6种四点共面的情形以及正方体的对角面上的6种四点共面的情形），因此，三棱锥的个数为.
（5）令，这时的值就是展开式中各项系数的和，
其值是
4.答案：（1）
（2）
5.答案：（1）
（2）
（3）或
（4）135
（5）30
解析：（1）第3项是含的项，
其系数是.
展开式中按x的升幂排列的第3项为.
（2）由通项，
令，得，
；
（3）由题意得，
即，
化简得，解得或.
（4）原式
，
的系数.
（5）原式，
通项，
令，，
.
又的展开式的通项为，
令，，
，
的展开式中的系数为.
6.答案：证明见解析
解析：证明：
.
中各项都能被8整除，
能被8整除.
7.答案：（1）（个）
（2）（个）
8.答案：（1）（种）
（2）（种）
（3）（种）
（4）（种）
9.答案：
解析：，，…，的展开式中含项的系数分别是，，…，，
因此它们的和就是所求展开式中含项的系数，
易得.
10.答案：见解析
解析：由于等式两边都是两个组合数相乘，想到分步乘法计数原理，可以构造如下实际背景：
从n个人中选择m个人参加慰问表演，其中k个人唱歌，个人跳舞，问：共有多少种不同的安排方法？
解法一：利用分步乘法计数原理，先从n个人中选出m个人，然后从选出的m个人中再选出k个人唱歌，剩余的人跳舞，这样有种不同的安排方法；
解法二：直接从n个人中选k个人唱歌，然后在剩下的个人中选个人跳舞，这样，由分步乘法计数原理，共有种不同的安排方法，
所以成立.
11.答案：A
解析：由分类加法计数原理知有（种）不同走法.故选A.
12.答案：D
解析：因为，所以，
且，解得或（舍去）.故选D.
13.答案：B
解析：由题意可知，分三步完成：
第一步，从2种主食中任选一种，有2种选法；
第一步，从3种素菜中任选一种，有3种选法；
第三步，从6种荤菜中任选一种，有6种选法，
根据分步乘法计数原理，共有（种）不同的选取方法.故选B.
14.答案：A
解析：当圆形排在第一个时，因为方形、五角形相邻，所以将其捆绑在一起与其他类型的土楼全排列，且方形、五角形内部排列，有种不同的排法，同理，当圆形排在最后一个时也有种不同的排法.综上，共有480种不同的排法.故选A.
15.答案：C
解析：令，则.
16.答案：B
解析：由题意得，其中恰有两人选甲，共有种选法；余下的两人每人有2种选法.共有（种）选法，所以所有的选法共有（种），故选B.
17.答案：A
解析：由题意可知，先将4名教师分成2人、1人、1人这样的3组，有种方法，然后将这3组分配到3个学校有种方法，所以共有（种）方法，故选A.
18.答案：C
解析：依题意知第五项的二项式系数最大，所以一共是9项，所以，二项式展开项的通项公式为，令，得，所以的系数为.故选C.
19.答案：AC
解析：对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.故选AC.
20.答案：ACD
解析：由题意知，则的展开式的通项为.
对于A，所有项的二项式系数和为，故A正确；
对于B，令，得，因此所有项的系数和为，不为1，故B错误；
对于C，由二项式系数的性质，可知的展开式中第4项的二项式系数最大，为，故C正确；
对于D，当，即时，对应的项为有理项，共有4项，故D正确.故选ACD.
21.答案：1
解析：的展开式的通项为，令，解得，故的展开式中的系数为，解得，故的展开式中各项系数之和为.
22.答案：78
解析：甲不站排头，乙不站排尾站法种数可分为两类，第一类甲站在排尾，站法有种，
第二类甲不站在排尾，先排甲，有种站法，再排乙，有种站法，剩下的三人有种站法，故有种站法.由此所有的总站法有（种）.
23.答案：-20
解析：由题意，展开式通项为，.当时，；当时，，故的展开式中项为，系数为-20.
24.答案：50
解析：（1）若霹雳舞项目只有1人，则乒乓球项目2人、电子竞技项目2人或乒乓球项目1人、电子竞技项目3人或乒乓球项目3人、电子竞技项目1人，则不同的志愿服务方案有（种）；
（2）若霹雳舞项目有2人，则乒乓球项目2人、电子竞技项目1人或乒乓球项目1人、电子竞技项目2人，则不同的志愿服务方案有（种）；
（3）若霹雳舞项目有3人，则乒乓球项目1人、电子竞技项目1人，则不同的志愿服务方案有（种）.
综上所述：不同的志愿服务方案共有（种）.
25.答案：（1）156个
（2）540种
解析：（1）若个位上的数字为0，则没有重复数字的四位偶数有（个）；
若个位上的数字不为0，则先排个位，再排首位，最后排中间两位，没有重复数字的四位偶数有（个）.
故由0，1，2，3，4，5这6个数字组成的没有重复数字的四位偶数共有（个）.
（2）先把6本不同的书分成1，1，4或2，2，2或1，2，3三份，再把三份不同的书分给3个不同的同学，
则不同的分法有（种）.
重难知识易混易错
【重难知识】
1.排列与排列数
（1）排列：从n个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
（2）排列数：从n个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作.
2.组合与组合数
（1）组合：从n个不同元素中取出个元素组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
（2）组合数：从n个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作.
3.二项式定理
公式叫做二项式定理.公式中右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数叫做二项式系数，式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项.
4.二项展开式形式上的特点
（1）项数为.
（2）各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
（3）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到0，字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
（4）二项式系数为.
6.二项式系数的性质
（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即.
（2）增减性与最大值：对于二项式系数，当时，二项式系数是递增的；当时，二项式系数是递减的.当n是偶数时，二项展开式的中间一项（第项）的二项式系数最大，即最大的二项式系数为.当n是奇数时，二项展开式的中间两项（第项和第项）的二项式系数相等且最大，即最大的二项式系数为和.
（3）二项式系数的和：的展开式的各个二项式系数的和等于，即.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即.
【典型例题】
1.某校高一年级有四个班，四位老师各教一个班的数学在该年级某次数学考试中，要求每位数学老师均不在本班监考，则不同的安排监考的方法种数为( )
A.8 B.9 C.12 D.24
2.若一个三位正整数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”，现从1，2，3，4，5这5个数字中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中“伞数”共有( )个.
A.60 B. C.20 D.
3.的展开式中的系数是( )
A. -35 B. 0 C. 35 D. 70
4.2022年9月3日贵阳市新冠疫情暴发以来，某住宿制中学为做好疫情防控工作，组织6名教师组成志愿者小组，分配到高中三个年级教学楼楼门口配合医生给学生做核酸.由于高三年级学生人数较多，要求高三教学楼志愿者人数均不少于另外两栋教学楼志愿者人数，若每栋教学楼门至少分配1名志愿者，每名志愿者只能在1个楼门进行服务，则不同的分配方法种数为( )
A.240 B.150 C.690 D.180
5.在二项式的展开式中，各项的系数之和为512，则展开式中常数项的值为___________.
6.如图，节日花坛中有5个区域，现有4种不同颜色的花卉可供选择，要求相同颜色的花不能相邻栽种，则符合条件的种植方案有_____________种.
答案以及解析
1.答案：B
解析：设四个班分别是A、B、C、D，对应的数学老师分别是a、b、c、d.
让a老师先选，可从B、C、D班中选一个，有3种选法，
不妨假设a老师选的是B，则b老师从剩下的三个班级中任选一个，有3种选法，剩下的两位老师都只有1种选法.
由分步乘法计数原理，知共有种不同的安排方法.故选B.
2.答案：C
解析：由题意得：十位数只能是3，4，5，
当十位数是3时，个位和百位只能是1，2，“伞数”共有个；
当十位数是4时，个位和百位只能是1，2，3，“伞数”共有个；
当十位数是5时，个位和百位只能是1，2，3，4，“伞数”共有个；
所以“伞数”共有20个，故选C.
3.答案：C
解析：的展开式的通项为，
其中项的系数为，项的系数为，
则的展开式中的系数为.故选C.
4.答案：A
解析：第一种：当高三的志愿者有3人时，其他两个年级有1个年级1人，有1个年级2人，则有种；第二种：当高三的志愿者有2人时，其他两个年级也分别有2人，则有种；第三种：当高三的志愿者有4人时，其他两个年级分别有1人，则有种，所以不同的分配方法有：种，故选A.
5.答案：135
解析：因为二项式的展开式中，各项的系数之和为512，所以令，得，解得.又因为的展开式的通项公式为，令，解得，所以展开式中常数项为.故答案为135.
6.答案：72
解析：如图，假设5个区域分别为1，2，3，4，5，
分2种情况讨论：①当选用3种颜色的花卉时，2，4同色且3，5同色，共有种植方案（种），②当4种不同颜色的花卉全选时，即2，4或3，5用同一种颜色，共有种植方案（种），则不同的种植方案共有（种）.
核心素养对接高考
【核心素养】
两个基本计数原理及排列与组合的综合应用有时单独考查，一般以小题的形式呈现；但更多地与概率知识相结合考查，此时，小题形式、解答题形式均有出现.题目主要以实际问题为背景，重点考查考生分析问题与解决问题的能力及逻辑推理素养.
二项式定理是高考常考内容，主要考查二项展开式的通项、二项式系数、二项展开式中项的系数等，难度为中低档，命题形式单一.主要以选择题、填空题的形式呈现，考查运算能力.
【真题对接】
1.【2023年新课标Ⅱ卷】某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有( )
A.种 B.种
C.种 D.种
2.【2022年新高考Ⅱ卷】甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有( )
A.12种 B.24种 C.36种 D.48种
3.【2023年新课标Ⅰ卷】某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有__________种（用数字作答）.
4.【2022年新高考Ⅰ卷】的展开式中的系数为________（用数字作答）.
答案以及解析
1.答案：D
解析：根据分层随机抽样方法，易知从初中部和高中部分别抽取40名和20名学生，根据分步计数原理，得不同的抽样结果共有种.故选D.
2.答案：B
解析：法一（间接法）：丙和丁相邻共有种站法，甲站在两端且丙和丁相邻共有种站法，所以甲不站在两端且丙和丁相邻共有种站法.
法二（直接法）：因为丙和丁相邻，所以先把丙和丁捆线，看成一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列，有种排列方式；又甲不站在两端，所以甲只需在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙和丁两人的顺序可交换，有2种排列方式.故共有种不同的排列方式，故选B.
3.答案：64
解析：法一：由题意，可分三类：第一类，体育类选修课和艺术类选修课各选修1门，有种方案；第二类，在体育类选修课中选修1门，在艺术类选修课中选修2门，有种方案；第三类，在体育类选修课中选修2门，在艺术类选修课中选修1门，有种方案.综上，不同的选课方案共有（种）.
法二：若学生从这8门课中选修2门课，则有（种）选课方案；若学生从这8门课中选修3门课，则有（种）选课方案.综上，不同的选课方案共有（种）.
4.答案：-28
解析：展开式的通项，.令，得，令，得，所以的展开式中的系数为.

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