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第七章 随机变量及其分布
——高二数学人教A版（2019）选择性必修第三册
期末复习知识大盘点
学习目标整合
1.条件概率与全概率公式 （1）了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率.（2）了解条件概率与独立性的关系，会利用乘法公式计算概率.（3）会利用全概率公式计算概率.
2.离散型随机变量及其分布列 （1）理解离散型随机变量的含义，会用离散型随机变量描述随机现象.（2）掌握离散型随机变量分布列的表示方法及性质，了解两点分布.
3.离散型随机变量的数字特征 （1）理解离散型随机变量的均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差.（2）理解离散型随机变量的均值、方差的性质.（3）会利用离散型随机变量的均值、方差解决简单的实际问题.
4.二项分布与超几何分布 （1）掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题.（2）了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题.
5.正态分布 （1）了解服从正态分布的随机变量，了解正态分布的特征.（2）了解正态分布的均值、方差及其含义.
教材习题变式
【课后习题】
1.举例说明与没有确定的大小关系.
2.抛掷两枚质地均匀的骰子，求：
（1）两个点数都出现偶数的概率；
（2）已知第一枚骰子的点数是偶数的条件下，第二枚骰子的点数也是偶数的概率.
3.假设有两箱零件，第一箱内装有10件，其中有2件次品；第二箱内装有20件，其中有3件次品.现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件.
（1）求取出的零件是次品的概率；
（2）已知取出的是次品，求它是从第一箱取出的概率.
4.已知离散型随机变量X的分布列如下表所示.
X 0 1 2
P 0.36
求：（1）常数q的值；
（2）和.
5.已知随机变量X取可能的值1，2，…，n是等可能的，且，求n的值.
6.已知每门大炮击中目标的概率都是0.3，现在n门大炮同时对某一目标各射击一次.
（1）当时，求恰好击中目标3次的概率（精确到0.001）；
（2）如果使目标至少被击中一次的概率超过，至少需要多少门大炮？
7.长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过，这些人的近视率约为.现从每天玩手机不超过的学生中任意调查一名学生，求他近视的概率.
8.某商场要在国庆节开展促销活动，促销活动可以在商场内举行，也可以在商场外举行.统计资料表明，每年国庆节商场内的促销活动可获得利润2万元；商场外的促销活动，如果不遇到有雨天气可获得利润8万元，如果遇到有雨天气则会带来经济损失3万元.9月30日气象台预报国庆节当地的降水概率是，商场应该选择哪种促销方式？
9.一份某种意外伤害保险费为20元，保险金额为50万元.某城市的一家保险公司一年能销售10万份保单，而每一份保单需要赔付的概率为.利用计算工具求（精确到0.0001）：
（1）这家保险公司亏本的概率；
（2）这家保险公司一年内获利不少于100万元的概率.
10.甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.求n次传球后球在甲手中的概率.
11.某单位有10000名职工，想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带者.假设携带病毒的人占，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10000次.统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验.如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次.
（1）按照这种化验方法能减少化验次数吗？
（2）如果携带病毒的人只占，按照k个人一组，k取多大时化验次数最少？
12.某城市高中数学统考，假设考试成绩服从正态分布.如果按照，，，的比例将考试成绩分为A，B，C，D四个等级，试确定各等级的分数线（精确到1）.
【变式训练】
13.某道数学试题含有两问，当第一问正确做对时，才能做第二问，为了解该题的难度，调查了100名学生的做题情况，做对第一问的学生有80人，既做对第一问又做对第二问的学生有72人，以做对试题的频率近似作为做对试题的概率，已知某个学生已经做对第一问，则该学生做对第二问的概率为( )
A.0.72 B.0.8 C.0.9 D.0.2
14.设随机变量，，若，则( )
A. B. C. D.
15.若随机变量X的分布列如下：
X -3 -2 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当时，m的取值范围是( )
A. B. C. D.
16.已知随机变量X服从正态分布，且，则( )
A. B. C. D.
17.已知袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（）.现从袋中任取一球，X表示所取球的标号.若，，，则的值是( )
A.1或2 B.0或2 C.2或3 D.0或3
18.已知随机变量，若，则( )
A. B. C. D.
19.设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率是( )
A.0.08 B.0.1 C.0.15 D.0.2
20.记，为两个离散型随机变量，则下列结论不正确的是( )
A. B.
C. D.
21.（多选）下列结论正确的是( )
A.若随机变量X服从两点分布，，则
B.若随机变量服从二项分布，则
C.若随机变量服从二项分布，则
D.若随机变量Y的方差，则
22.（多选）已知某地区有20000名学生参加某次模拟考试，其中数学考试成绩X近似服从正态分布（满分150分），则下列说法正确的是( )
（参考数据：，，）
A.根据以上数据无法计算本次数学考试成绩的平均分
B.的值越大，成绩不低于100分的人数越多
C.若，则这次考试成绩高于120分的约有46人
D.从参加考试的学生中任选3人，至少有2人的成绩超过90分的概率为
23.六一临近，某火车站有三个安检入口，每个安检入口每天通过的旅客人数（单位：人）超过1100人的概率不低于0.2，假设三个安检入口均能正常工作，则这三个安检入口每天至少有两个超过1100人的概率最小为__________.
24.已知随机变量X有三个不同的取值，分别是0，1，x，其中，又，，则随机变量X方差的最小值为__________.
25.已知随机变量X服从正态分布，且，则__________.
26.为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假面向全体学生发出“读书好、读好书、好读书”的号召，并开展阅读活动.开学后，学校统计了高一年级共1000名学生的假期日均阅读时间（单位：），得到了如图的频率分布直方图，若前两个小矩形的高度分别为0.0075，0.0125，后三个小矩形的高度之比为.
（1）根据频率分布直方图，估计高一年级1000名学生假期日均阅读时间的平均数（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）.
（2）开学后，学校从高一日均阅读时间不低于的学生中，按照分层抽样的方式，抽取6名学生作为代表分两周进行国旗下演讲.假设第一周演讲的3名学生中假期日均阅读时间处于的人数为，求随机变量的分布列与数学期望.
27.城南公园种植了4棵棕榈树，各棵棕榈树成活与否是相互独立的，成活率为p，设为成活棕榈树的棵数，数学期望.
（1）求p的值并写出的分布列；
（2）若有2棵或2棵以上的棕榈树未成活，则需要补种，求需要补种棕榈树的概率.
答案以及解析
1.答案：见解析
解析：答案不唯一，如下：
设事件B：抛一枚骰子，得到1点，事件A：抛一枚硬币，出现正面向上，
则事件A，B相互独立，；
若事件A改为：拋一枚骰子得到奇数点，则，，
从而.
2.答案：（1）0.25
（2）0.5
解析：（1）设骰子的点数为偶数的有X枚，则，
两个点数都是偶数的概率.
（2）设事件A：第一枚骰子的点数是偶数，
设事件B：第二枚骰子的点数是偶数.
则.
3.答案：（1）
（2）
解析：（1）设事件表示从第i箱中取一个零件，事件B表示取出的零件是次品，
则
.
（2）.
4.答案：（1）
（2），
解析：（1）由离散型随机变量的性质得，
，
或，
又由，，.
（2）由（1）得X的分布列为：
X 0 1 2
P 0.36 0.6 0.04
，
.
5.答案：
解析：由题意知，随机变量X的分布列如下：
X 1 2 3 … 4
P …
，.
6.答案：（1）
（2）9门
解析：（1）设击中目标的次数为X，由题意知，
.
（2）假设要用n门大炮同时对目标射击，才能使目标被击中的概率超过.
可以把一门大炮的射击看成是一次随机试验，将击中目标看成是成功，则成功的概率为0.3.
用X表示这n门大炮中击中目标的门数，即n次试验中出现的成功次数，则.
事件“目标被击中”可以表示为，它的对立事件是，
所以“目标被击中”的概率为.
为使目标被击中的概率超过，只有选择合适的n，使，解得.
根据实际含义，至少要用9门大炮才能使目标被击中的概率超过.
7.答案：
解析：设事件A：任意调查一名学生，玩手机超过，则，
，
设事件B：任意调查一名学生，该学生近视，
则
.
.
8.答案：应选择第2种方案
解析：商场有两种方案可以选择：
第1种方案是选择在商场内促销，此时可获利2万元.
第2种方案是选择在商场外促销，此时可获利X万元，X的分布列如下：
X 8 -3
P 0.6 0.4
第2种方案的平均收入为（万元）.
因为，所以应选择第2种方案.
9.答案：（1）
（2）
解析：一份意外伤害保险费为20元，共销售10万份保单，可得保险费200万元.
保险金额为50万元，表示如果某人出险，需要赔付50万元.
在一年内若有5人出险，保险公司将要赔付250万元，在一年内若有4人出险，保险公司将要赔付200万元，可以看出在一年内若有4人以上出险，保险公司将亏本.
每个人在一年内是否遭遇意外伤害可以看成是一次随机试验，把遭遇意外伤害视作事件成立，则事件成立的概率为.10万参保人可以看成是10万次伯努利试验.
用X表示一年内这10万人中遭遇意外伤害的人数，则.
（1）这家保险公司亏本的概率为
.
可以看出这家保险公司亏本的概率是很小的，几乎不可能发生.
（2）这家保险公司一年内获利不少于100万元，表示一年内最多只能有2人出险，所以这家保险公司一年内获利不少于100万元的概率为
.
可以看出这家保险公司一年内获利不少于100万元的概率是很大的.
10.答案：
解析：设事件：球经过n次传递后，球在甲手中，.
则.
设，则，
即，设，可得.
.
又，，
是首项为，公比为的等比数列.
，
.
即经过n次传球后球在甲手中的概率为.
11.答案：（1）能减少化验次数
（2）时化验次数最少
解析：（1）按照这种方法，需化验两轮，第1轮要化验2000次.
按假设携带病毒的人占，有（人），
最多有500组需进行2轮化验，故2轮最多化验2500次.
故按这种方法最多共需化验4500次，能减少化验次数.
（2）按（1）中方法，按k个人一组，第一轮要化验次，按携带病毒的人占，有（人），最多有200组需进行2轮化验.
故2轮最多化验200k次，
这样，最多共需化验（当且仅当时有最小值）.
又，时化验次数最少.
12.答案：A，B，C，D各等级的分数线为83，75，67及67以下
解析：由题意知，考试成绩，，.
.
同理，.
A，B，C，D各等级的分数线为83，75，67及67以下.
13.答案：C
解析：做对第一问的学生有80人，则做对第一问的频率为0.8，做对第一问又做对第二问的学生有72人，则两问都做对的频率为0.72.设“做对第一问”为事件A，“做对第二问”为事件B，则，.某个学生已经做对第一问，则该学生做对第二问的概率.故选C.
14.答案：B
解析：因为随机变量，所以，解得，所以，
则.故选B.
15.答案：B
解析：由题意可得，，，则.故选B.
16.答案：A
解析：因为随机变量X服从正态分布，所以由正态密度曲线的对称性可知，，又，所以，故.故选A.
17.答案：B
解析：由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，
，
，
由，得，即.
又，所以当时，由，得，此时；
当时，由，得，此时.故选B.
18.答案：B
解析：因为，故，故，因为，解得.故，故，故选B.
19.答案：A
解析：设，，分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，B表示取得的X光片为次品，则，，，，，.
由全概率公式知所求概率为.故选A.
20.答案：D
解析：设，设，Y也是随机变量，因为，
所以
，故A正确.同理C正确.
根据期望的性质，，
而，所以，故B正确，，
而，不一定相等，故D错误.故选D.
21.答案：BC
解析：若随机变量X服从两点分布，，则，故A错误；若随机变量服从二项分布，则，故B正确；若随机变量服从二项分布，则，故C正确；若随机变量Y的方差，则，故D错误.故选BC.
22.答案：BD
解析：对于A，由题知，数学考试成绩X的平均分为90分，故A错误；对于B，根据中标准差的意义，的值越大，则高于90分低于100分的人数越少，所以成绩不低于100分的人数越多，故B正确；对于C，当时，，对于D，由数学考试成绩X近似服从正态分布知，由n次独立重复试验可知，从参加考试的学生中任选3人，至少有2人的分数超过90分的概率为，故D正确.故选BD.
23.答案：
解析：由题意可知旅客人数X超过1100人的概率不低于0.2，即，所以这三个安检入口每天至少有两个超过1100人的概率最小为.故答案为.
24.答案：
解析：由，，得，所以随机变量X的数学期望，则方差.当时，取到最小值，故答案为.
25.答案：0.14
解析：易知，故.
26.答案：（1）
（2）分布列见解析，数学期望为1
解析：（1）由题意知，第一、二组的频率分别为，，剩余三组的频率之和为.
又后三个小矩形的高度之比为，
所以后三组的频率分别为，，.
因此日均阅读时间的平均数为
.
（2）由题意得，在，，三组应分别抽取3人、2人、1人.
的可能取值为0，1，2，
则，，.
所以的分布列为
0 1 2
P
故.
27.答案：（1），分布列见解析
（2）
解析：（1）由题意知，，又，所以，
故未成活率为，由于所有可能的取值为0，1，2，3，4，
所以，，
，，
，
则的分布列为：
0 1 2 3 4
P
（2）记“需要补种棕榈树”为事件A，
由（1）得，，
所以需要补种棕榈树的概率为.
重难知识易混易错
【重难知识】
1.离散型随机变量的分布列
（1）如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.
（2）一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为取每一个值的概率，则下表称为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列.
X … …
P … …
2.离散型随机变量的分布列的性质
根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质：
（1）；
（2）；
（3）.
3.常见的离散型随机变量的概率分布模型
（1）两点分布
若随机变量X的分布列为
X 0 1
P p
则称X服从两点分布.
（2）超几何分布
一般地，在含有M件次品的N件产品中任取n件，其中恰有X件次品，则
，其中，且，称分布列
X 0 1 … m
P …
为超几何分布.
4.离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为
X … …
P … …
（1）均值：称为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
（2）方差：称为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值的平均偏离程度，并称为随机变量X的标准差，记为.
5.均值与方差的性质
（1）.
（2）.
6.两点分布的均值、方差
若X服从两点分布，则.
7.条件概率及其性质
（1）一般地，设A，B为两个事件，且，称为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率.
（2）条件概率的性质：
（i）；
（ii）如果B和C是两个互斥事件，则.
8.全概率公式
一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，有，称此公式为全概率公式.
9.二项分布的均值与方差：若，则，.
10.正态曲线的定义：
函数（其中实数和为参数）的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.
11.正态分布的定义及表示：
如果对于任何实数，随机变量X满足，则称X的分布为正态分布，记作.
【典型例题】
1.环境空气质量监测资料表明，某地一天的空气质量为轻度污染的概率是0.25，连续两天为轻度污染的概率是0.1，则此地在某天的空气质量为轻度污染的条件下，随后一天的空气质量也为轻度污染的概率是( )
A.0.4 B.0.25 C.0.1 D.0.05
2.通讯中常采取重复发送信号的办法来减少在接收中可能发生的错误，假定接收一个信号时发生错误的概率是，为减少错误，采取每一个信号连发3次，接收时以“少数服从多数”的原则判断，则判错一个信号的概率为( )
A. B. C. D.
3.若随机变量X的分布列为
X 0 1
P 0.2 m
已知随机变量，且，则a与b的值为( )
A. B. C. D.
4.一批产品分为一，二，三3个等级，其中一级品的个数是二级品的两倍，三级品的个数是二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量，则__________.
5.已知服从正态分布的随机变量在区间内取值的概率分别为0.683，0.954，0.997.若某种袋装大米的质量X(单位：)服从正态分布，任意选一袋这种大米，质量在的概率为_________________.
6.为进一步激发青少年学习中华优秀传统文化的热情，某校举办了“我爱古诗词”对抗赛，在每轮对抗赛中，高二年级胜高三年级的概率为，高一年级胜高三年级的概率为，且每轮对抗赛的成绩互不影响.
（1）若高二年级与高三年级进行4轮对抗赛，求高三年级在对抗赛中至少有3轮胜出的概率；
（2）若高一年级与高三年级进行对抗，高一年级胜2轮就停止，否则开始新一轮对抗，但对抗不超过5轮，求对抗赛轮数X的分布列与数学期望.
答案以及解析
1.答案：A
解析：设事件A：一天的空气质量为轻度污染，事件B：随后一天的空气质量也为轻度污染，由题知，所以.故选A.
2.答案：B
解析：得到正确信号的概率有两种情形，一种情形是三次接收正确，概率为，另一种情形是两次接收正确，一次接收不正确，概率为，所以判错一个信号的概率为，故选B.
3.答案：C
解析：由随机变量X的分布列可知，，
，，
，，
，，，故选C.
4.答案：
解析：设二级品有k个，则一级品有个，三级品有个，总数为个，则级别的分布列为
1 2 3
P
.
5.答案：0.818 5
解析：根据题意得到质量在到之间的大米概率为0.954，则小于的大米的概率为；质量在到之间的大米的概率为0.683，故质量大于的大米的概率为.故质量在的大米的概率为.
6.答案：（1）
（2）分布列见解析，
解析：（1）由题意知，高三年级胜高二年级的概率为.
设高三年级在4轮对抗赛中有x轮胜出，“至少有3轮胜出”的概率为P，
则.
（2）由题意知，对抗赛轮数X的所有可能取值为2，3，4，5，
则，，
，，
故X的分布列为
X 2 3 4 5
P
.
核心素养对接高考
【核心素养】
离散型随机变量及其分布列、均值与方差是高考的热点，常以实际问题为背景，与计数原理、古典概型等知识相结合，考查离散型随机变量的分布列、均值和方差，要特别注意二项分布与超几何分布问题及利用期望与方差决策的问题，主要以解答题的形式呈现，难度中等，近两年难度有加大的趋势，更加重视对考生的实际应用能力的考查，要重视对实际问题背景的分析与了解，要在审题、转化、建模等问题上下功夫，重视与其他知识的综合应用.
二项分布及其应用、正态分布是高考的热点，主要考查：①条件概率、相互独立事件的概率的求法，一般以选择题、填空题的形式出现，有时也会渗透在解答题中；②独立重复试验、二项分布、正态分布的应用，结合实际问题以解答题的形式出现.解题时注意对相关概念的理解及相关公式的应用.主要考查考生的数据分析能力.
【真题对接】
1.【2021年新高考Ⅱ卷】某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是( )
A.越小，该物理量在一次测量中在的概率越大
B.该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C.该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D.该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等
2.【2023年新课标Ⅱ卷】（多选）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1).( )
A.采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为
B.采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为
C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为
D.当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
3.【2020年新高考Ⅰ卷】（多选）信息熵是信息论中的一个重要概念，设随机变量所有可能的取值为，且，定义的信息熵，( )
A.若，则
B.若，则随着的增大而增大
C.若，则随着的增大而增大
D.若，随机变量所有可能的取值为，且，则
4.【2022年新高考Ⅱ卷】已知随机变量X服从正态分布，且，则__________.
5.【2023年新课标Ⅰ卷】甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8，由抽签决定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.
(1)求第2次投篮的人是乙的概率.
(2)求第i次投篮的人是甲的概率.
(3)已知：若随机变量服从两点分布，且，，则，记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y，求.
6.【2023年新课标Ⅱ卷】某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为.假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
（1）当漏诊率时，求临界值c和误诊率；
（2）设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值.
7.【2022年新高考Ⅰ卷】一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R.
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）利用该调查数据，给出，的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值.
附：，
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
8.【2021年新高考Ⅰ卷】某学校组织知识比赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，回答错误得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，回答错误得0分.已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
答案以及解析
1.答案：D
解析：对于A，为数据的方差，所以越小，数据在附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故A正确；
对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为，故B正确；
对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于的概率与小于的概率相等，故C正确；
对于D，因为该物理量一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，所以一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，故D错误.
故选：D.
2.答案：ABD
解析：由题意，发0收1的概率为，发0收0的概率为；发1收0的概率为，发1收1的概率为.对于A，发1收1的概率为，发0收0的概率为，发1收1的概率为，所以所求概率为，故A选项正确.对于B，相当于发了1，1，1，收到1，0，1，则概率为，故B选项正确.对于C，相当于发了1，1，1，收到1，1，0或1，0，1或0，1，1或1，1，1，则概率为，故C不正确.对于D，发送0，采用三次传输方案译码为0，相当于发0，0，0，收到0，0，1或0，1，0或1，0，0或0，0，0，则此方案的概率；发送0，采用单次传输方案译码为0的概率，当时，，故D选项正确.综上，选ABD.
3.答案：AC
解析：对于选项A，若，则，，，A正确.对于选项B，当时，，当时， ，由此可得，当与时，信息熵相等，B不正确.对于选项C，若，则，随着的增大而增大，C正确.对于选项D，若，随机变量的可能取值为，由知，；；；；.，，.易知，，，，，，，故D错误.
4.答案：0.14
解析：随机变量X的均值为2，所以由对称性，可得，因此.
5.解析：(1)记“第2次投篮的人是乙”为事件A，“第1次投篮的人是甲”为事件B，则，
所以
.
(2)设第i次投篮的人是甲的概率为，
由题意可知，，，即，
所以，
又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以.
(3)设第i次投篮时甲投篮的次数为，则的可能取值为0或1，
当时，表示第i次投篮的人是乙，当时，表示第i次投篮的人是甲，
所以，，所以.
，
则，
由(2)知，，
所以
.
6.解析：（1）依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为，所以，所以，解得，.
（2）当时，；
当时，，
故所以在区间的最小值为0.02.
7.解析：（1）.
因为，
所以有的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
（2）
（ⅰ）
.
（ⅱ）由调查数据得，病例组中卫生习惯不够良好的频率为，
对照组中卫生习惯不够良好的频率为，
所以的估计值为0.4，的估计值为0.1.
的估计值为0.6，的估计值为0.9，
利用（ⅰ）的结果可得R的估计值为.
8.解析：（1）由题可知，X的所有可能取值为0，20，100.
；；.
所以X的分布列为：
X 0 20 100
P 0.2 0.32 0.48
（2）由（1）知，.
若小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0，80，100.
；；.
所以.
因为，所以小明应选择先回答B类问题.

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