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8.2 消元——代入法解二元一次方程组（知识梳理与考点分类讲解）
1．消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数． 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想．
2．消元的基本思路：未知数由多变少．
3．消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程．
通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法．
特别提醒：
(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的．
(2)代入消元法的技巧是：
①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；
②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便；
(3)若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数的绝对值较小的方程变形比较简便．
【考点目录】
【考点1】用代入法解二元一次方程组； 【考点2】用整体代入法解二元一次方程组； 【考点3】用代入法解二元一次方程组综合运用；
【考点1】用代入法解二元一次方程组；
【例1】（22-23七年级下·全国·课时练习）
1．用代入法解下列方程组：
(1)
(2)
【变式1】（22-23七年级下·河南鹤壁·期中）
2．用代入法解方程组时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（22-23八年级上·广东梅州·阶段练习）
3．用代入法解方程组正确的解法是 ．
（）先将①变形为，再代入②；
（）先将①变形为，再代入②；
（）先将②变形为，再代入①；
（）先将②变形为，再代入①．
【考点2】用整体代入法解二元一次方程组；
【例2】（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）
4．小智同学在解方程组时发现，可将第一个方程通过移项变形为，可以很轻松地解出这个方程组．小智同学发现的这种方法叫作“整体代入法”，是中学数学里很常用的一种解题方法．
(1)请按照小智的解法解出这个方程组；
(2)用整体代入法解方程组．
【变式1】（22-23七年级下·山西晋城·期末）
5．解二元一次方程组时，用代入消元法整体消去，得到的方程是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（22-23七年级下·河北唐山·期中）
6．整体代入就是把某些部分看成一个整体，则能使复杂的问题简单化．例如在解方程组时，把①变形：③，把③代入②中，求得 ， ；利用整体代入思想，已知，则 ．
【考点3】用代入法解二元一次方程组综合运用；
【例3】（22-23七年级下·全国·课时练习）
7．已知关于x，y的方程组其中m为常数．
(1)求x（用含m的式子表示）；
(2)若|y|=x，求m的值．
【变式1】（21-22七年级下·新疆阿克苏·期末）
8．若是二元一次方程组的解，则的算术平方根是（ ）
A．2 B．4 C． D．
【变式2】（21-22七年级下·浙江杭州·期末）
9．已知关于的二元一次方程组的解为，那么关于的二元一次方程组中的的值为 ．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．(1)
(2)
【解析】略
2．C
【分析】按照题干思路直接作答即可．
【详解】，
方程①代入②中，得：，
去括号为：，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了代入消元的知识，细心计算是关键．去括号时，若括号前是负号，去括号后，括号内的各项均要变号．
3．（）（）##（3）（2）
【分析】根据等式的性质把方程组两方程中的其中一个方程变形，即可得出正确选项．
【详解】解：将①变形得或，故（1）错误，（2）正确；
将②变形得或，故（3）正确、（4）错误；
综上分析可知，正确的是（）（）．
故答案为：（）（）．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握等式的性质和运用是解本题的关键．
4．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，利用整体代入法求解是解题的关键．
（1）直接把①整体代入②求出，进而求出即可；
（2）先把原方程整理得到，再把②整体代入①先求出，进而求出即可．
【详解】（1）解：
整理得，
把①整体代入②得，解得，
把代入①得：，解得，
∴方程组的解为；
（2）解：
整理得，
把②整体代入①得：，解得，
把代入②得：，解得，
∴方程组的解为．
5．B
【分析】本题考查用代入消元法解二元一次方程组，由①得，用含的代数式表示出，再将代入方程②，消去，可得到的值．能够正确代入并化简是解题的关键．
【详解】解：，
由①得：，
把③代入②得：，
∴．
故选：B．
6． 17
【分析】①②将代入即可解答；②给两边同乘以得到，再减去即可解答；
【详解】（1）解：代入式即可得到，进而得到，
故答案为；
（2）解：，
②得：，
③②得：，
∴，
∴，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查了带入消元法，加减法解代数式的值，掌握二元一次方程的解法是解题的关键．
7．(1)
(2)m=3
【详解】（1）将①代入②，得3x-m=m-3，解得
（2）把代入①，得，
∴．解得m=3或-3．
当m=-3时，，
∴m=-3（舍）．∴m=3．
8．A
【分析】由是二元一次方程组的解，根据二元一次方程根的定义，可得，即可求得m与n的值，进而求得的算术平方根．
【详解】解：是二元一次方程组的解，
∴，
解得：，
，
的算术平方根为．
故选：A．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解、二元一次方程组的解法以及算术平方根的定义．此题难度不大，注意理解方程组的解的定义．
9．
【分析】根据二元一次方程组解的定义求出的值，再代入方程组得到一个关于的二元一次方程组，求出的值，再代入计算即可．
【详解】解：关于的二元一次方程组的解为，
，
解得：，
将代入得，
解得，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，理解二元一次方程组解的定义，掌握解二元一次方程组的方法是正确解答的前提．
答案第1页，共2页
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