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第九章不等式与不等式组题型归纳总结与跟踪训练-2023-2024学年数学七年级下册人教版
5大题型归纳总结
题型1：一元一次不等式的定义
题型2：一元一次不等式的解集
题型3：一元一次不等式与实际问题
题型4：解不等式组
题型5：一元一次不等式组的应用
跟踪训练
题型1：一元一次不等式的定义
1．若，则下列不等式中一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．表示数a，b，c的点在数轴上的位置如图所示，下列选项中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．如果，那么下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型2：一元一次不等式的解集
5．将不等式的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列的值中，是不等式的解的是（ ）
A． B．0 C． D．4
7．关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．对于任意实数，定义运算：，例如：，．请根据上述定义解决问题：若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型3：一元一次不等式与实际问题
9．为实现“乡村振兴”战略目标，金普新区制定了“以产业带动发展”的策略，在各村开展大棚种植樱桃，某种植大户4月初共采摘大棚樱桃48吨，计划租用，两种型号的货车将樱桃全部运到大连市内销售，已知用1辆型货车和2辆型货车载满樱桃一次可运14吨；用2辆型货车和3辆型货车载满樱桃一次可运23吨．计划一次运完，且每辆车都满载．
(1)1辆型货车和1辆型货车满载时一次分别运樱桃多少吨？
(2)若1辆型货车需租金180元/次，1辆型货车需租金200元/次，请问有几种租车方案？最少租车费用是多少元？
10．端午节到来之际，某超市准备购进粽子和咸鸭蛋进行销售．若购进500个粽子和200个咸鸭蛋共需1700元，已知一个粽子的进价比一个咸鸭蛋的进价多2元．
(1)求每个粽子和每个咸鸭蛋的进价分别为多少元？
(2)若超市销售每个粽子的售价为5元，每个咸鸭蛋的售价为2元．超市打算购进粽子和咸鸭蛋共1000个，全部售完后利润不低于1800元，求超市至少购进多少个粽子？
11．共共享单车创业公司小黄车在运营过程中，公司的保障团队需要采购自行车零部件，其中1个自行车座和2个自行车锁共需40元；2个自行车座和3个自行车锁共需68元．
(1)求1个自行车座和1个自行车锁各需多少元？
(2)OFO公司购买自行车锁的数量比购买自行车座数量的多500个，因购买数量较大，卖家全部打八折优惠，总费用不超过40000元，那么最多可买多少个自行车座？
12．书店用1500元首次购进了甲、乙两种杂志，甲种杂志每本进价为18元，乙种杂志每本进价为15元，书店在销售时甲种杂志每本售价为26元，乙种杂志每本售价为20元，全部售完后共获利润600元．
(1)求书店购进甲、乙两种杂志各多少本？
(2)若书店以原进价再次购进甲、乙两种杂志，购进甲种杂志的数量是第一次的2倍，而购进乙种杂志的数量不变，甲种杂志降价出售，而乙种杂志按原售价出售．当两种杂志销售完毕时，要使再次获利不少于800元，求甲种杂志每本最低售价应为多少元？
(3)某活动中心准备用280元购买甲、乙两种杂志，甲种杂志的单价是（2）的条件下的最低售价，在280元恰好用完的条件下，有哪些购买方案？
题型4：解不等式组
13．解下列不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来．
(1)
(2)
14．已知关于x、y的方程组的解满足，．
(1)求m的取值范围；
(2)是否存在整数m，使不等式的解集为．若不存在，请说明理由；若存在，请求出整数m的值．
15．仔细观察小明同学解不等式的过程：
解：
∴
(1)第步的依据是______；
(2)第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______；
(3)直接写出该不等式的正确解集______；
(4)要使不等式组的解集只包含一个非负整数解，则在括号里添加的一元一次不等式可以为______；此时不等式组的解集是______；这个不等式组的非负整数解是______．
16．先阅读，再完成练习．
一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．
．
表示到原点距离小于3的数，从图1所示的数轴上看：大于而小于3的数，它们到原点距离小于3，所以的解集是；
．
表示到原点距离大于3的数，从图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数，它们到原点距离大于3，所以的解集是或．
解答下面的问题：
(1)不等式的解集为 ，不等式的解集为 ．
(2)解不等式．
(3)解不等式．
(4)直接写出不等式的解集： ．
题型5：一元一次不等式组的应用
17．汝阳县某单位在创建“百里画廊”项目过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造．已知购买A种树苗70棵，B种树苗30棵，需要8500元；购买A种树苗50棵，B种树苗60棵，则需要8000元．
(1)求购买A，B两种树苗每棵各需要多少元？
(2)考虑到绿化效果和资金周转，购买A种树苗不能少于500棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过76000元．若购进这两种树苗共1000棵（每种树苗数量均为10的整数后八位为单位），则有哪几种购买方案，请分别写出来．
18．某物流公司现有114吨货物，计划租用A，B两种车，经理发现一个运货货单上的一个信息是：
A型车（满载） B型车（满载） 运货总量
3辆 2辆 38吨
1辆 3辆 36吨
根据以上信息，解答下列问题：
(1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
(2)若物流公司打算一次运完，且恰好每辆车都装满货物．请你帮该物流公司设计租车方案：
(3)若A型车每辆需租金800元/次，B型车每辆需租金1000元/次．公司预算支出12000元．经理让会计小李和小王核算一下具体运费．请你帮他们算算，最少租车费是元，此时租车方案是(直接写出答案)
19．为实现自然资源的可持续利用，建设“节约型社会”，某省出台阶梯电价计费方案，具体实施方案如下：
档次 月用电量x（度） 电价（元/度）
1档
2档
… … …
(1)小李家2024年3月份共缴电费元，求该月小李家的用电量；
(2)小李家计划6月份用电量不超过度，且使平均费用不超过元/度．设小李家月份的用电量为度，求的最大值．
20．近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为和，已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元．
(1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？
(2)若该小区计划用不超过16.3万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于40个，则共有几种建造方案？并列出所有方案；
(3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过，在（2）的前提下，若仅有两种方案可供选择，直接写出a的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向．
【详解】解：A、由可得，原不等式不成立，不符合题意；
B、由可得，原不等式不成立，不符合题意；
C、由可得，原不等式成立，符合题意；
D、由可得，原不等式不成立，不符合题意；
故选：C．
2．D
【分析】主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．利用不等式的基本性质逐项分析得出答案即可．
【详解】解：A、若，则，本选项不符合题意；
B、若，当时，则，本选项不符合题意；
C、若，则，本选项不符合题意；
D、若，则，本选项符合题意；
故选：D．
3．D
【分析】本题主要考查了不等式的性质，实数与数轴等知识点，根据图示，可得且，，，据此逐项判断即可，正确理解不等式的性质是解此题的关键．
【详解】由图可知，，且，，，
∵，
∴，
∴选项A不符合题意；
∵，
∴，
∴选项B不符合题意；
∵，，
∴，
∴选项C不符合题意；
∵，，
∴，
∴选项D符合题意．
故选：D．
4．A
【分析】本题主要考查不等式的性质，牢记不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质逐项判断，即可，其中选项C可举反例进行判断．
【详解】解：A、不等式两边乘同一个正数，不等号的方向不变，该选项符合题意；
B、不等式两边乘同一个负数，不等号的方向改变，,该选项不符合题意；
C、可以举反例判断，当，，满足，但是，，，该选项不符合题意；
D、不等式两边加同一个数（或式子），不等号的方向不变，，该选项不符合题意．
故选：A．
5．D
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1，进而根据数轴表示解集即可求解．
【详解】去括号，得：
移项，得：
合并同类项，得：
系数化为1，得：
解集表示在数轴上如图所示：
故选：D．
6．D
【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据一元一次不等式的解法，解不等式，即可求解，解题的关键是：熟练掌握一元一次不等式的解法．
【详解】解：，
解得：，
故选：D．
7．A
【分析】本题考查了不等式的解，解不等式等知识，观察两不等式的特点，运用整体思想得出，然后求解即可．
【详解】解：∵关于x的不等式的解集为，
∴关于x的不等式满足，
解得，
故选：A．
8．C
【分析】本题主要考查了新定义运算，解一元一次不等式，准确理解和计算是解题的关键．
根据新定义运算的公式列出不等式求解即可．
【详解】∵
∴
去括号得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得，．
故选：C．
9．(1)1辆型货车满载一次可运樱桃4吨，1辆型货车满载一次可运樱桃5吨
(2)共有3种租车方案，最少租车费用为1960元
【分析】（1）设1辆A型货车满载时一次运樱桃x吨，1辆B型货车满载时一次运樱桃y吨，根据题意列方程组并求解即可；
（2）设租用A型货车x辆，租用B型货车b辆，根据题意，用b将a表示出来，根据a、b的取值条件求出a的可能值及对应b的值，从而计算每种方案的租车费用并比较大小即可．
【详解】（1）本题考查了列二元一次方程组解应用题和不等式的应用，掌握二元一次方程组和一元一次不等式的解法是本题的关键．
解：设1辆型货车和1辆型货车满载时一次分别运樱桃吨，吨，
根据题意得，，解得，，
答：1辆型货车满载一次可运樱桃4吨，1辆型货车满载一次可运樱桃5吨；
（2）解：设租用型货车辆，型货车辆，由题意可得：，
，
∴，
解得：，
又，均为非负整数，
，，，
共有3种租车方案，
方案1：租用12辆型货车，0辆型货车；
方案2：租用7辆型货车，4辆型货车；
方案3：租用2辆型货车，8辆型货车．
方案1的费用：元，
方案2的费用：元，
方案3的费用：元，
，
最少租车费用为1960元．
10．(1)每个粽子的进价是3元，每个咸鸭蛋的进价是1元
(2)超市至少购进800个粽子
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用：
（1）设每个粽子的进价是x元，每个咸鸭蛋的进价是y元，根据购进500个粽子和200个咸鸭蛋共需1700元，一个粽子的进价比一个咸鸭蛋的进价多2元列出方程组求解即可；
（2）设超市购进m个粽子，则购进咸鸭蛋共个，分别表示出粽子和咸鸭蛋的利润，再根据总利润不低于1800元列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设每个粽子的进价是x元，每个咸鸭蛋的进价是y元，
依题意，得 ，
解得：，
答：每个粽子的进价是3元，每个咸鸭蛋的进价是1元；
（2）解：设超市购进m个粽子，则购进咸鸭蛋共个，
依题意，得．
解得：，
答：超市至少购进800个粽子．
11．(1)1个自行车座需16元，1个自行车锁需12元
(2)最多可买2000个自行车座
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出数量关系，列出方程组和不等式求解．
（1）设1个自行车座需x元，1个自行车锁需y元，根据题意列出方程组进行解答即可；
（2）设买m个自行车座，则买自行车锁个，根据题意列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设1个自行车座需x元，1个自行车锁需y元，
由题意得：，
解得：，
答：1个自行车座需16元，1个自行车锁需12元；
（2）解：设买m个自行车座，则买自行车锁个，
由题意得：，
解得：，
答：最多可买2000个自行车座．
12．(1)购进甲、乙两种杂志各50本和40本；
(2)甲种杂志每本最低售价应为24元；
(3)方案一：甲、乙两种杂志分别购买5本、8本；方案二：甲、乙两种杂志分别购买10本、2本．
【分析】本题考查了二元一次方程（组），一元一次不等式的应用；
（1）设购进甲、乙两种杂志各x本和y本，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解；
（2）设甲种杂志每本售价应为m元，根据题意列出一元一次不等式，解不等式，即可求解；
（3） 依题意得出，进而得出，根据a、b为正整数，求整数解，即可求解．
【详解】（1）解：设购进甲、乙两种杂志各x本和y本，
∴，
∴，
∴购进甲、乙两种杂志各50本和40本；
（2）设甲种杂志每本售价应为m元，
∴，
∴，
∴甲种杂志每本最低售价应为24元．
（3）设购买甲种杂志a本，乙种杂志b本，
则，
∴
∵a、b为正整数，
∴或
答：共有两种购买方案：
方案一：甲、乙两种杂志分别购买5本、8本；
方案二：甲、乙两种杂志分别购买10本、2本
13．(1)，图见解析
(2)无解，图见解析
【分析】本题考查求不等式的解集，求不等式组的解集，并用数轴表示出解集：
（1）先求出不等式的解集，进而在数轴上表示出解集即可；
（2）先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，进而在数轴上表示出解集即可．
【详解】（1）解：
∴，
∴，
∴，
∴；
数轴表示解集如图：

（2），
由①，得：；
由②，得：；
数轴表示解集如图：

∴不等式组无解．
14．(1)
(2)存在．，
【分析】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式(组)，解决本题的关键是求出方程组的解集．
（1）根据方程的解满足的解满足，得到不等式组，解不等式组就可以得出m的范围；
（2）根据不等式的解集为，求出m的取值范围，即可解答；
【详解】（1）解：
解得．
∵解满足，，
∴．
解得．
（2）存在．
理由：∵，
∴．
∵解集为，
，
解得．
由（1）得，
∴．
∵m取整数，
∴，．
15．(1)不等式的基本性质（或“不等式两边都乘以同一个正数，不等号方向不变”）；
(2)；不等式两边都乘以，不等号方向没有改变；
(3)；
(4)（答案不唯一）；（答案不唯一）；（答案不唯一）．
【分析】（）根据不等式的基本性质或“不等式两边都乘以同一个正数，不等号方向不变”即可；
（）根据不等式的基本性质或“不等式两边都乘以同一个负数，不等号方向改变”即可；
（）根据不等式的基本性质或“不等式两边都乘以同一个负数，不等号方向改变”即可求解；
（）根据不等式的解集，再根据不等式组的解集只包含一个非负整数解解答即可，
本题考查了解一元一次不等式以及解一元一次不等式组，掌握不等式的性质以及解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．
【详解】（1）不等式的基本性质或“不等式两边都乘以同一个正数，不等号方向不变”
故答案为：不等式的基本性质或“不等式两边都乘以同一个正数，不等号方向不变”
（2）根据不等式的性质可知第五步出现错误，这一步错误的原因是不等式两边都乘以，不等号方向没有改变；
故答案为：，不等式两边都乘以，不等号方向没有改变；
（3），
∴，
故答案为：；
（4）由得，
∵不等式组的解集只包含一个非负整数解，
∴在括号内添加的一元一次不等式可以为，
∴不等式组的解集为，
则这个不等式组的非负整数解是，
故答案为：（答案不唯一）；（答案不唯一）；（答案不唯一）．
16．(1)，或
(2)
(3)或
(4)
【分析】本题主要考查了解不等式组：
（1）由于的解集是，的解集是或，根据它们即可确定和的解集；
（2）把当做一个整体，首先利用（1）的结论可以求出的取值范围，然后就可以求出x的取值范围；
（3）利用和（2）同样方法即可求出不等式的解集．
（4）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集．
【详解】（1）解：不等式的解集为；
不等式的解集为或．
故答案为：，或；
（2）解：，
，
；
（3）解：∵，
∴，
或，
或；
（4）解：由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到2和对应的点的距离之和等于8的点对应的的值．
当时，，
当时，，
当时，，
，
解得．
故答案为：．
17．(1)A种树苗每棵100元，B种树苗每棵50元
(2)有三种方案：方案1：购买A种树苗500棵，B种树苗500棵；方案2：购买A种树苗510棵，B种树苗490棵；方案3：购买A种树苗520棵，B种树苗480棵
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系和不等关系列出方程组或不等式组．
（1）设A种树苗每棵为x元，B种树苗每棵为y元，根据购买A种树苗70棵，B种树苗30棵，需要8500元；购买A种树苗50棵，B种树苗60棵，则需要8000元，列出方程组，解方程组即可；
（2）设购买A种树苗a棵，则购买B种树苗棵，根据购买A种树苗不能少于500棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过76000元，列出不等式组，解不等式组即可．
【详解】（1）解：设A种树苗每棵为x元，B种树苗每棵为y元，
由题意，得，
解得，
答：A种树苗每棵100元，B种树苗每棵50元．
（2）解：设购买A种树苗a棵，则购买B种树苗棵，由题意得：
，
解得，
∵a以“十”为单位，
∴a可取500，510，520，
∴共有三种方案
方案1：购买A种树苗500棵，B种树苗500棵；
方案2：购买A种树苗510棵，B种树苗490棵；
方案3：购买A种树苗520棵，B种树苗480棵．
18．(1)1辆型车和1辆型车一次分别可以运货6吨，10吨
(2)租用型车4辆，型车9辆；租用型车9辆，型车6辆；租用型车14辆，型车3辆
(3)最少租车费为12200元；租用型车4辆，型车9辆
【分析】此题考查了一次不等式组的应用，二元一次方程的应用，以及二元一次方程组的应用，弄清题意，找出等量关系是解本题的关键．
（1）设1辆型车和1辆型车一次分别可以运货吨，吨，根据题意列出方程组，求出方程组的解得到与的值，即可确定出所求；
（2）根据某物流公司现有114吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，列出方程，确定出的范围，根据为整数，确定出的值即可确定出具体租车方案．
（3）根据（2）中求出的几个租车方案得出租车费即可．
【详解】（1）解：设1辆型车和1辆型车一次分别可以运货吨，吨，
根据题意得：，
解得：，
则1辆型车和1辆型车一次分别可以运货6吨，10吨；
（2）∵某物流公司现有114吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，
，
则有，
解得：，
∵为正整数，
．
∵为正整数，
∴，
∴．
∴满足条件的租车方案一共有3种，
即租用型车4辆，型车9辆，
租用型车9辆，型车6辆，
租用型车14辆，型车3辆．
（3）∵型车每辆需租金800元/次，型车每辆需租金1000元/次，
当，租车费用为：元；
当，租车费用为：元；
当，租车费用为：元．
，
∴最少租车费为12200元；租用型车4辆，型车9辆．
19．(1)
(2)a的最大值为300．
【分析】本题考查了一元一次方程，一元一次不等式的应用；
（1）先得出，进而根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解；
（2）当时，，符合题意．当时，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组，即可求解．
【详解】（1）解：当时，（元），
∵，
∴．
∵，
∴．
答：该月小李家的用电量为120度．
（2）当时，，符合题意．
当时，
∴，
∴
∴，
∴a的最大值为300．
20．(1)新建一个地上充电桩和一个地下充电桩分别需要0.2万元和0.3万元；
(2)有4种方案，分别为：方案①新建个地上充电桩，43个地下充电桩；方案②新建个地上充电桩，42个地下充电桩；方案③新建个地上充电桩，41个地下充电桩；方案④新建个地上充电桩，40个地下充电桩；
(3)．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
（1）设新建一个地上充电桩需要x万元，新建一个地下充电桩需要y万元，根据“1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元，2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元”列方程组求解即可；
（2）设新建m个地上充电桩，则新建地下充电桩的数量为个，根据“不超过16.3万元的资金，地下充电桩的数量不少于40个”列不等式组求解即可；
（3）由总占地面积不得超过，得，解得，结合知，再依据“仅有两种方案可供选择”，得，解之即可．
【详解】（1）解：设新建一个地上充电桩需要x万元，新建一个地下充电桩需要y万元，
依题意得，，
解得，
答：该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩分别需要0.2万元和0.3万元．
（2）解：设新建个地上充电桩，则新建地下充电桩的数量为个，
由题意得，
解得，
∴整数m的值为17，18，19，20．
一共有4种方案，分别为：
方案①新建个地上充电桩，43个地下充电桩；
方案②新建个地上充电桩，42个地下充电桩；
方案③新建个地上充电桩，41个地下充电桩；
方案④新建个地上充电桩，40个地下充电桩.
（3）解：由题意可得，解得，
∵仅有两种方案可供选择，
∴ ，
解得：
因此，a 的取值范围为：．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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