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19.2　一次函数
19.2.2　正比例函数
第4课时 一次函数与几何图形综合问题
一、选择题
1．某物体在力F的作用下，沿力的方向移动的距离为s，力对物体所做的功W与s的对应关系如图所示，则下列结论正确的是(　　)
A．W＝s B．W＝20s C．W＝8s D．s＝
　 　
第1题图 第6题图
2．等腰三角形周长为20 cm，底边长y cm与腰长x cm之间的函数关系是(　　)
A．y＝20－2x B．y＝20－2x(5＜x＜10) C．y＝10－0.5x D．y＝10－0.5x(10＜x＜20)
3．一次函数y＝－2x＋m的图象经过点P（－2，3），且与x轴、y轴分别交于点A，B，则△AOB的面积是(　　)
A. B. C.4 D.8
4．某品牌鞋子的长度y cm与鞋子的“码”数x之间满足一次函数关系．若22码鞋子的长度为16 cm，44码鞋子的长度为27 cm，则38码鞋子的长度为(　　)
A．23 cm B．24 cm C．25 cm D．26 cm
5．如果直线y＝2x＋m与两坐标轴围成的三角形面积等于4，则m的值是(　　)
A.±3 B.3 C.±4 D.4
6．某商场销售一种儿童滑板车，经市场调查，售价x(单位：元)、每星期销量y(单位：件)、单件利润w(单位：元)之间的关系如图①、图②所示．若某星期该滑板车单件利润为20元，则本星期该滑板车的销量为(　　)
A．94 B．96 C．1600 D．1800
7．如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P点经过的路程为x，以点A，P，D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是(　　)
8．如图，直线y＝－x＋6分别与x轴、y轴交于点A，B，点C在线段OA上，将线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处.以下结论：①AB＝10；②直线BC的解析式为y＝－2x＋6；③点D的坐标为.其中正确的结论是(　　)
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
二、填空题
9．从甲地向乙地打长途电话，计时收费，前3分钟收费2.4元，以后每增加1分钟收1元，则电话费y(元)与通话时间t(分)之间的函数关系式是 ．
10．一辆汽车在行驶过程中，其行驶路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系如图所示.当0≤x≤0.5时，y与x之间的函数解析式为y＝60x；当0.5≤x≤2时，y与x之间的函数解析式为 　 　 .
　 　
第10题图 第11题图
11．如图，一次函数y＝x＋4的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P，C分别是线段AB，OB上的点，且∠OPC＝45°，PC＝PO，则点P的坐标为 　 .
三、解答题
12．已知矩形ABCD的周长为20 cm.若设AB＝x cm，BC＝y cm.请写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.
13．如图，一次函数y＝kx＋b的图象经过A（0，4）和D（4，0）两点.一次函数y＝x＋1的图象与x轴交于点C，两直线相交于点B.
（1）求k，b的值.（2）求点B的坐标.（3）求△ABC的面积.
14．一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向B地，货车到达B地填装货物耗时15分钟，然后立即按原路匀速返回A地.巡逻车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）A，B两地之间的距离是 　　 千米，a＝ 　　 ；
（2）求线段FG所在直线的函数解析式；
（3）货车出发多长时间时两车相距15千米？（直接写出答案即可）
15．如图，直线y＝－x＋4与x轴、y轴分别交于点A，B，点C是线段AB上一点，四边形OADC是菱形，求OD的长.
16．已知，一次函数y＝（2－t）x＋4与y＝－（t＋1）x－2的图象相交于点P，分别与y轴相交于点A，B，其中t为常数，t≠2且t≠－1.
（1）求线段AB的长.
（2）试探索△ABP的面积是不是一个定值，若是，求出△ABP的面积；若不是，请说明理由.
（3）当t为何值时，△ABP的周长最小，并求出△ABP周长的最小值.
17．【2023重庆B卷】如图①，△ABC是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线A→B→C方向运动，点F沿折线A→C→B方向运动，当两者相遇时停止运动.设运动时间为t秒，点E，F的距离为y.
（1）请直接写出y关于t的函数解析式并注明自变量t的取值范围.
（2）在给定的平面直角坐标系（如图②）中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质.
（3）结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值.
18．如图，已知函数y＝－x＋b的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与函数y＝x的图象交于点M，点M的坐标为（2，m）.
（1）直接写出b和m的值：b＝ 　　 ，m＝ 　　 .
（2）在x轴上有一动点P（a，0）（其中a＞2），过点P作x轴的垂线，分别交函数y＝－x＋b和y＝x的图象于点C，D.
①若OB＝2CD，求a的值.
②是否存在这样的点，使以B，O，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
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参考答案
一、选择题
1．某物体在力F的作用下，沿力的方向移动的距离为s，力对物体所做的功W与s的对应关系如图所示，则下列结论正确的是(　C　)
A．W＝s B．W＝20s C．W＝8s D．s＝
　 　
第1题图 第6题图
2．等腰三角形周长为20 cm，底边长y cm与腰长x cm之间的函数关系是(　B　)
A．y＝20－2x B．y＝20－2x(5＜x＜10) C．y＝10－0.5x D．y＝10－0.5x(10＜x＜20)
3．一次函数y＝－2x＋m的图象经过点P（－2，3），且与x轴、y轴分别交于点A，B，则△AOB的面积是(　B　)
A. B. C.4 D.8
4．某品牌鞋子的长度y cm与鞋子的“码”数x之间满足一次函数关系．若22码鞋子的长度为16 cm，44码鞋子的长度为27 cm，则38码鞋子的长度为(　B　)
A．23 cm B．24 cm C．25 cm D．26 cm
5．如果直线y＝2x＋m与两坐标轴围成的三角形面积等于4，则m的值是(　C　)
A.±3 B.3 C.±4 D.4
6．某商场销售一种儿童滑板车，经市场调查，售价x(单位：元)、每星期销量y(单位：件)、单件利润w(单位：元)之间的关系如图①、图②所示．若某星期该滑板车单件利润为20元，则本星期该滑板车的销量为(　D　)
A．94 B．96 C．1600 D．1800
7．如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P点经过的路程为x，以点A，P，D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是(　B　)
8．如图，直线y＝－x＋6分别与x轴、y轴交于点A，B，点C在线段OA上，将线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处.以下结论：①AB＝10；②直线BC的解析式为y＝－2x＋6；③点D的坐标为.其中正确的结论是(　D　)
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
【解析】∵直线y＝－x＋6分别与x轴、y轴交于点A，B，
∴易得点A（8，0），点B（0，6），
∴OA＝8，OB＝6，∴AB＝＝＝10，故①正确.
∵将线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处，
∴BD＝OB＝6，OC＝CD，∠BOC＝∠BDC＝90°.
∴AD＝AB－BD＝4.
在Rt△ADC中，AC2＝AD2＋CD2，
∴（8－OC）2＝16＋OC2，解得OC＝3.
∴点C（3，0）.
设直线BC的解析式为y＝kx＋6，代入点C的坐标得0＝3k＋6，解得k＝－2，
∴直线BC的解析式为y＝－2x＋6，故②正确.
如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵OC＝3，OA＝8，∴CA＝5.
∵S△ACD＝AC×DH＝CD×AD，∴DH＝＝.
∴在y＝－x＋6中，当y＝时，＝－x＋6，
解得x＝.
∴点D，故③正确.
二、填空题
9．从甲地向乙地打长途电话，计时收费，前3分钟收费2.4元，以后每增加1分钟收1元，则电话费y(元)与通话时间t(分)之间的函数关系式是 ．
【答案】y＝
10．一辆汽车在行驶过程中，其行驶路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系如图所示.当0≤x≤0.5时，y与x之间的函数解析式为y＝60x；当0.5≤x≤2时，y与x之间的函数解析式为 　 　 .
【答案】y＝80x－10
　 　
第10题图 第11题图
11．如图，一次函数y＝x＋4的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P，C分别是线段AB，OB上的点，且∠OPC＝45°，PC＝PO，则点P的坐标为 　 .
【答案】（－2，4－2）
【解析】如图，过P作PD⊥OC于点D.
∵一次函数y＝x＋4的图象与坐标轴分别交于A，B两点，
∴易得A（－4，0），B（0，4），即OA＝OB＝4，
∴∠ABO＝∠OAB＝45°.又∵PD⊥BO，∴∠BPD＝45°.
∴△BDP是等腰直角三角形.
∵∠PBC＝∠CPO＝45°，
∴∠PCB＋∠BPC＝135°＝∠OPA＋∠BPC.
∴∠PCB＝∠OPA.
又∵∠PBC＝∠OAP＝45°，PC＝OP，∴△PCB≌△OPA（　AAS　）.∴BP＝AO＝4.
∴在Rt△BDP中，由勾股定理易得BD＝PD＝2，∴OD＝OB－BD＝4－2.∴P（－2，4－2）.
三、解答题
12．已知矩形ABCD的周长为20 cm.若设AB＝x cm，BC＝y cm.请写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.
解：由题意得2（x＋y）＝20，则y＝10－x.因为x，y均大于0，所以0＜x＜10.所以y＝－x＋10（0＜x＜10）.
13．如图，一次函数y＝kx＋b的图象经过A（0，4）和D（4，0）两点.一次函数y＝x＋1的图象与x轴交于点C，两直线相交于点B.
（1）求k，b的值.
（2）求点B的坐标.
（3）求△ABC的面积.
解：（1）把A（0，4）和D（4，0）的坐标代入y＝kx＋b得
解得
（2）由（1）得y＝－x＋4，联立可得方程组解得所以B.
（3）在y＝x＋1中，当y＝0时，x＋1＝0，解得x＝－1，所以点C（－1，0）.所以CD＝5.
所以S△ABC＝S△ACD－S△BCD＝×5×4－×5×＝.
14．一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向B地，货车到达B地填装货物耗时15分钟，然后立即按原路匀速返回A地.巡逻车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）A，B两地之间的距离是 　　 千米，a＝ 　　 ；
【答案】60 1
（2）求线段FG所在直线的函数解析式；
（3）货车出发多长时间时两车相距15千米？（直接写出答案即可）
解：（2）设线段FG所在直线的解析式为y＝kx＋b（k≠0），将
F（1，60），G（2，0）代入
y＝kx＋b，得解得
∴线段FG所在直线的函数解析式为y＝－60x＋120（1≤x≤2）.
解：（3）货车出发小时或小时或小时时，两车相距15千米.
15．如图，直线y＝－x＋4与x轴、y轴分别交于点A，B，点C是线段AB上一点，四边形OADC是菱形，求OD的长.
解：∵直线y＝－x＋4与x轴、y轴分别交于点A，B，
∴易得点A（3，0），点B（0，4）.
∴OA＝3，OB＝4，∴AB＝＝5.
∵四边形OADC是菱形，∴OE⊥AB，
OE＝DE.∴OA·OB＝OE·AB，即3×4＝5OE，解得OE＝.∴OD＝2OE＝.
16．已知，一次函数y＝（2－t）x＋4与y＝－（t＋1）x－2的图象相交于点P，分别与y轴相交于点A，B，其中t为常数，t≠2且t≠－1.
（1）求线段AB的长.
（2）试探索△ABP的面积是不是一个定值，若是，求出△ABP的面积；若不是，请说明理由.
（3）当t为何值时，△ABP的周长最小，并求出△ABP周长的最小值.
解：（1）在y＝（2－t）x＋4中，令x＝0，则y＝4，在y＝－（t＋1）x－2中，令x＝0，则y＝－2，
∴A（0，4），B（0，－2），∴AB＝4－（－2）＝6.
（2）△ABP的面积是一个定值.
∵两一次函数的图象相交于点P，
∴令（2－t）x＋4＝－（t＋1）x－2，解得x＝－2，
代入y＝（2－t）x＋4中，得y＝－2（2－t）＋4＝2t，
∴P（－2，2t）.
∴S△ABP＝×｜xP｜×AB＝×｜－2｜×6＝6.
（3）∵P（－2，2t），∴点P在直线x＝－2上，
∵AB＝6，∴若要△ABP的周长最小，使AP＋BP最小即可，如图，作点A关于直线x＝－2的对称点A'（－4，4），连接A'B，与直线x＝－2交于点P，
此时AP＋BP最小，设直线A'B的函数解析式为y＝kx＋b，
则代入点A'，B的坐标得解得
∴直线A'B的函数解析式为y＝－x－2.
令x＝－2，则y＝1，即P（－2，1），则2t＝1，解得t＝，
此时AP＝＝，BP＝＝，
∴△ABP的周长的最小值为2＋6.
17．【2023重庆B卷】如图①，△ABC是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线A→B→C方向运动，点F沿折线A→C→B方向运动，当两者相遇时停止运动.设运动时间为t秒，点E，F的距离为y.
（1）请直接写出y关于t的函数解析式并注明自变量t的取值范围.
（2）在给定的平面直角坐标系（如图②）中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质.
（3）结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值.
解：（1）y＝
（2）函数图象如图：
当0≤t≤4时，y随x的增大而增大.（所写性质不唯一）
（3）当0≤t≤4时，y＝3，即t＝3；
当4＜t≤6时，y＝3，即12－2t＝3，解得t＝4.5，
故t的值为3或4.5.
18．如图，已知函数y＝－x＋b的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与函数y＝x的图象交于点M，点M的坐标为（2，m）.
（1）直接写出b和m的值：b＝ 　　 ，m＝ 　　 .
（2）在x轴上有一动点P（a，0）（其中a＞2），过点P作x轴的垂线，分别交函数y＝－x＋b和y＝x的图象于点C，D.
①若OB＝2CD，求a的值.
②是否存在这样的点，使以B，O，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（1）3；2
（2）①由（1）可知，直线AB的函数解析式为y＝－x＋3，
当x＝0时，y＝3，即B（0，3），则OB＝3.
∵OB＝2CD，∴CD＝OB＝.
∵P（a，0）（a＞2），且PD⊥x轴，
∴C，D（a，a）.
∴CD＝a－＝a－3，
则a－3＝，解得a＝3.
②存在，点P的坐标为（4，0）.

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