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2024年广东省初中学业水平质量监测卷九年级（二）
数学
本试卷共4页，23小题，满分120分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、座位号和考号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考号填涂区”相应位置填涂自己的考号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上，
3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 甲地的平均海拔为，乙地的平均海拔比甲地高，乙地的平均海拔为（ ）
A. B. C. D.
2. 第七次全国人口普查公布的我国总人口数约为，该数用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则（ ）
A B. 1 C. 2 D. 3
4. 如图，a，b是两条平行线，三角板的直角顶点在直线b上，已知，则的度数是（ ）
A. B. C. D. 与三角板形状有关
5 若，则（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
6. 掷一枚均匀的骰子，骰子的6个面上分别刻有1、2、3、4、5、6点，则点数为奇数的概率是（　　）
A. B. C. D.
7. 若一元一次不等式组的解集为，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，四边形平行四边形，四边形为菱形，与交于点G，，，则（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，菱形的一条对角线，，P是对角线上的一个动点，E，F分别为边，的中点，则的最小值是（ ）
A. 2 B. C. 4 D.
10. 若锐角三角形内的点满足，则称点为的费马点．如图，在中，，，则的费马点到，，三点的距离之和为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 已知，，则______．
12. 若a，b是一元二次方程的两个根，则______．
13. 如图，在矩形中，，，为边上一点，将沿翻折，若点刚好落在边上的点处，则_____．
14. 如图，已知抛物线过，两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，当时，______．
15. 如图，美术素描课堂上有很多关于黄金分割比的元素，比如脸部素描就需要考虑黄金分割比的问题，按照如下要求作出的人脸图像比较美观：（1）眉头、眼头、鼻翼在一条竖直直线上；（2）眉头和眉峰的水平距离（图中直线①和直线②的距离）和眼长大致相等（设此长度为a），眉头和眉尾的水平距离（图中直线①和直线③的距离）设为b，a与b的比例为黄金分割比；（3）眉尾、眼梢、鼻翼在同一直线上．某同学按照以上要求进行素描，已知他的素描作品中眼梢到眉尾的距离为，则眼梢到鼻翼的距离为______．（，结果保留两位小数）
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分
16. （1）计算：；
（2）已知，，求的值．
17. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求反比例函数和一次函数解析式；
（2）直接写出时x的取值范围．
18. （1）求边长为的等边三角形的面积；
（2）小明将一根长为绳子剪成2段，分别围成两个等边三角形．问：如何剪才能够使得这两个等边三角形的面积和最小？最小面积和为多少？
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分，
19. 如图，在中，．
（1）实践与操作：用尺规作图法作的平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）应用与计算：设（1）中的平分线交于点，若的面积为，，求点到的距离．
20. 某校为了解九年级学生对急救知识的掌握情况，从全年级1000名学生中随机抽取部分学生进行测试，所得成绩分为以下四种等级：A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格），将数据进行整理后，绘制了两幅不完整的统计图如图所示．
已知扇形统计图中B等级所对应的扇形圆心角的度数为，根据以上信息，解答下列问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）如果全年级学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该年级获得A等级的学生人数；
（3）为分析学生对急救知识掌握情况欠缺的原因，该校决定从D等级的学生中随机抽取两名进行调查，若D等级中有2名男生，其余均为女生，求抽取的两名学生恰好是一男一女的概率．
21. 如图，P是外一点，，是的两条切线，切点分别为A，B，C为劣弧上一点，过点C作的切线，分别交，于点D，E．
（1）若的周长为12，求的长；
（2）若，求的度数．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
22. 如1图，在锐角三角形中，，，的对边分别为a，b，c．
（1）用b，c，表示的面积S；
（2）求证：；
（3）如2图，若，，且于点D，，求．
23. 如图，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C．以点B为圆心，为半径作圆，P是上的一个动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到．当与在x轴上方的部分相切时，四边形为矩形．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求面积的最大值．2024年广东省初中学业水平质量监测卷九年级（二）
数学
本试卷共4页，23小题，满分120分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、座位号和考号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考号填涂区”相应位置填涂自己的考号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上，
3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 甲地的平均海拔为，乙地的平均海拔比甲地高，乙地的平均海拔为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了有理数的加法，理解题意，正确列出式子是解答本题的关键．
根据题意，甲地的平均海拔为，乙地平均海拔比甲地高，则乙地的平均海拔为，由此得到答案．
【详解】解：∵甲地的平均海拔为，乙地平均海拔比甲地高，
∴乙地的平均海拔为．
故选：B．
2. 第七次全国人口普查公布的我国总人口数约为，该数用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故选：D．
3. 已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则（ ）
A. B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了化简绝对值，有理数的除法运算，根据数轴确定的大小，可把绝对值进行化简，再计算从而可得答案．
【详解】解：由数轴可得：，
∴，
∴
，
故选B．
4. 如图，a，b是两条平行线，三角板的直角顶点在直线b上，已知，则的度数是（ ）
A. B. C. D. 与三角板形状有关
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，平角的性质，先求解，再结合平角的含义可得答案．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∴，
故选A
5. 若，则（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了合并同类项，牢记同类项的概念是解题的关键．
首先根据题意得到和是同类项，然后得到，，求出m和n的值，然后代入求解即可．
【详解】∵
∴和是同类项
∴，
∴，
∴．
故选：B．
6. 掷一枚均匀的骰子，骰子的6个面上分别刻有1、2、3、4、5、6点，则点数为奇数的概率是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】分析：根据题意和题目中的数据可以求得点数为奇数的概率．
详解：由题意可得，
点数为奇数的概率是：，
故选C．
点睛：本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，利用概率的知识解答．
7. 若一元一次不等式组的解集为，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了不等式组的解集，解题关键是根据不等式组解集的确定方法，列出不等式，解不等式即可．
【详解】解：一元一次不等式组的解集为，
所以，，
解得，，
故选：D
8. 如图，四边形为平行四边形，四边形为菱形，与交于点G，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查平行四边形和菱形的性质，三角形的内角和定理，掌握菱形的对角线平分一组对角是解题的关键．
【详解】解：∵四边形为菱形，
∴，
又∵为平行四边形，
∴，
∴，
故选A．
9. 如图，菱形的一条对角线，，P是对角线上的一个动点，E，F分别为边，的中点，则的最小值是（ ）
A. 2 B. C. 4 D.
【答案】C
【解析】
【分析】作点关于直线的对称点，连接，根据轴对称的性质可知，证明四边形为平行四边形，为最小值，再求出菱形的边，即为的最小值．
【详解】解：如图，连接，交于，
∵菱形，
∴，，，，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，，
作点关于直线的对称点，连接，
∴，
∵点为边上中点，则点也为边的中点，
∴当点、、在一条直线上时，有最小值，
连接交于，
∴当重合时，为最小值，
∵为的中点，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴的最小值是，
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称中的最短距离问题、菱形的性质、平行四边形的判定与性质，勾股定理的应用，学会利用轴对称的性质解决最短距离问题是解答本题的关键．
10. 若锐角三角形内的点满足，则称点为的费马点．如图，在中，，，则的费马点到，，三点的距离之和为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形性质，勾股定理和解直角三角形，过作于点，过分别作，则，证明，所以点是的费马点，再通过解直角三角形即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】过作于点，过分别作，
∵是等腰三角形，
∴，
∴，
∴点是的费马点，
∵，，
∴，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
即的费马点到，，三点的距离之和为，
故选：．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 已知，，则______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值．先把分子因式分解，再约分化简，代入数据即可求解．
【详解】解：
；
当，时，原式．
故答案为：1．
12. 若a，b是一元二次方程的两个根，则______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查根与系数的关系及一元二次方程的解，关键掌握用根与系数的关系与代数式变形相结合进行解题．由题意可得，，再整体代入计算即可．
【详解】解：∵a，b是一元二次方程两个根，
∴，，
∴，
∴
；
故答案为：
13. 如图，在矩形中，，，为边上一点，将沿翻折，若点刚好落在边上的点处，则_____．
【答案】##0.6
【解析】
【分析】本题考查了折叠变换，矩形的性质，勾股定理和相似三角形的判定与性质，由四边形是矩形得，，，由翻折性质可知，，，再通过定理求得，然后证明，根据相似三角形的性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
由翻折性质可知，，，，
在中，由勾股定理得，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 如图，已知抛物线过，两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，当时，______．
【答案】
【解析】
【分析】根据，两点可求出抛物线解析式，进而求得点C、点D的坐标，过点D作轴交有y轴于点M，过点D作轴交有x轴于点N，证得，进而计算即可．
【详解】解：过点D作轴交y轴于点M，过点D作轴交x轴于点N，如图
∵抛物线过，两点
∴
解得
∴
∴，
又∵，
∴
∵轴，轴
∴
∴
∴
∴
解得
∵抛物线图象开口向下
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质和判定，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．
15. 如图，美术素描课堂上有很多关于黄金分割比的元素，比如脸部素描就需要考虑黄金分割比的问题，按照如下要求作出的人脸图像比较美观：（1）眉头、眼头、鼻翼在一条竖直直线上；（2）眉头和眉峰的水平距离（图中直线①和直线②的距离）和眼长大致相等（设此长度为a），眉头和眉尾的水平距离（图中直线①和直线③的距离）设为b，a与b的比例为黄金分割比；（3）眉尾、眼梢、鼻翼在同一直线上．某同学按照以上要求进行素描，已知他的素描作品中眼梢到眉尾的距离为，则眼梢到鼻翼的距离为______．（，结果保留两位小数）
【答案】3.24
【解析】
【分析】本题考查的是黄金分割的含义，平行线分线段成比例的含义，先画出图形，可得，再建立方程求解即可．
【详解】解：如图，
由题意可得：，，，
∴，而，，
∴，
∴，
经检验符合题意；
∴眼梢到鼻翼的距离约为，
故答案为
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分
16. （1）计算：；
（2）已知，，求的值．
【答案】（1）；（2）36
【解析】
【分析】本题考查了特殊角度的锐角三角函数的混合运算，平方根公式，解题的关键是熟记各个特殊角度的锐角三角函数值，以及平方差公式．
（1）先将各个特殊角度的锐角三角函数化简，再进行计算即可；
（2）根据平方差公式可得，进而得出，即可解答．
【详解】解：（1）
．
（2），且，
．
．
17. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）直接写出时x的取值范围．
【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为
（2）或
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合：
（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再把A、B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可；
（2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围即可．
【小问1详解】
解：依题意，点在反比例函数的图象上，
．
反比例函数的解析式为．
又为一次函数的图象与反比例函数的图象的交点，
．
，两点均在一次函数的图象上，
解得
一次函数的解析式为．
综上所述，反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为．
【小问2详解】
解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象下方时，自变量的取值范围为或，
∴当，即当时x的取值范围为或．
18. （1）求边长为的等边三角形的面积；
（2）小明将一根长为的绳子剪成2段，分别围成两个等边三角形．问：如何剪才能够使得这两个等边三角形的面积和最小？最小面积和为多少？
【答案】（1）；（2）将绳子从中间剪开时，两个等边三角形的面积和最小，最小面积和为
【解析】
【分析】本题考查的是等边三角形的性质，勾股定理的应用，二次函数的性质，熟练的利用二次函数的性质解决问题是关键；
（1）过点A作于点H，则．再利用勾股定理求解，再利用面积公式即可得到答案；
（2）设第一段绳子的长为，则第二段绳子的长为，其中．再建立面积函数关系式即可得到答案．
【详解】解：（1）如图，在等边三角形中，过点A作于点H，则．
由勾股定理可得．
等边三角形的面积为．
（2）设第一段绳子的长为，则第二段绳子的长为，其中．
由（1）可知，第一个等边三角形的面积为，
第二个等边三角形的面积为，
两个三角形的面积和为
．
当时，取等号．
当，即将绳子从中间剪开时，两个等边三角形的面积和最小，最小面积和为．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分，
19. 如图，在中，．
（1）实践与操作：用尺规作图法作的平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）应用与计算：设（1）中的平分线交于点，若的面积为，，求点到的距离．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的尺规作图法、角平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据角平分线的尺规作图法作图即可．
（2）由角平分线的性质得，所以，因为，，即，所以．
【小问1详解】
解：的角平分线下图所示．
【小问2详解】
如图，过点作于点，
为角平分线上的点，，，
，
，
，，即，
．
20. 某校为了解九年级学生对急救知识的掌握情况，从全年级1000名学生中随机抽取部分学生进行测试，所得成绩分为以下四种等级：A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格），将数据进行整理后，绘制了两幅不完整的统计图如图所示．
已知扇形统计图中B等级所对应的扇形圆心角的度数为，根据以上信息，解答下列问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）如果全年级学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该年级获得A等级的学生人数；
（3）为分析学生对急救知识掌握情况欠缺的原因，该校决定从D等级的学生中随机抽取两名进行调查，若D等级中有2名男生，其余均为女生，求抽取的两名学生恰好是一男一女的概率．
【答案】（1）见解析 （2）200
（3）
【解析】
【分析】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，利用样本估计总体，利用例举法求解随机事件的概率，掌握以上基础知识是解本题的关键．
（1）先由B等级所对应的扇形圆心角的度数为，求解总人数，再求解D等级的人数，再补全图形即可；
（2）由总人数乘以A等级的百分比即可得到答案；
（3）利用例举法求解所有等可能的结果数，再结合符合条件的结果数，利用概率公式可得答案，
【小问1详解】
解： 随机抽取的人数为（人），
D等级人数为（人），补全条形统计图如图所示．
．
【小问2详解】
该年级获得A等级的学生人数为（人）．
【小问3详解】
D等级的人数为4，
D等级中女生有2人．
设这4人分别为a，b，c，d，其中a，b为男生，c，d为女生，随机抽取两名学生，共有以下6种等可能的情况：，，，，，．
其中抽到一男一女的情况共有4种，即，，，．
（抽取的两名学生恰好是一男一女）．
21. 如图，P是外一点，，是的两条切线，切点分别为A，B，C为劣弧上一点，过点C作的切线，分别交，于点D，E．
（1）若的周长为12，求的长；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）6 （2）
【解析】
【分析】本题考查的是切线的性质，切线长定理的含义，四边形的内角和定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．
（1）由切线长定理可得答案；
（2）如图，连接，，，利用切线的性质与切线长定理的含义，再结合四边形的内角和定理可得答案．
【小问1详解】
解：由切线长定理可知，，，．
则的周长．
．
【小问2详解】
如图，连接，，，
则，．
．
在四边形中，，，
即，
．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
22. 如1图，在锐角三角形中，，，的对边分别为a，b，c．
（1）用b，c，表示的面积S；
（2）求证：；
（3）如2图，若，，且于点D，，求．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）过点C作于点E，再求解，最后结合面积公式计算即可；
（2）由的面积，，，再利用等面积法可得结论；
（3）设，则，即，．由，可得．结合勾股定理可得．．结合：，从而可得答案．
【小问1详解】
解：如图1，过点C作于点E，
在中，，
．
【小问2详解】
证明：由（1）知，的面积，
同理，，
．
同时除以，得．
即．
【小问3详解】
，设，则，即，．
如图，在中，，
．
由勾股定理可得，
即，解得．
在中，，，
由勾股定理可得，
即，解得．
，．
由（2）得：，
．
【点睛】本题考查的是三角形的面积的计算，等面积法的应用，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，熟练的利用等面积法解决问题是关键．
23. 如图，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C．以点B为圆心，为半径作圆，P是上的一个动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到．当与在x轴上方的部分相切时，四边形为矩形．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求面积的最大值．
【答案】（1）
（2）24
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质结合与在x轴上方的部分相切时，四边形为矩形，得到四边形为正方形，进而求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）将线段绕点A顺时针旋转得到，连接，，证明，得到，进而得到点Q在以点D为圆心，半径为的圆上运动，连接，过点D作交的延长线于点H，求出点Q到直线的距离最大值，再利用面积公式进行求解即可．
【小问1详解】
解：如图，
当与在x轴上方的部分相切时，四边形为矩形，且，
矩形为正方形．
．
．
，
，
将，分别代入，
得解得
抛物线解析式为．
【小问2详解】
如图，将线段绕点A顺时针旋转得到，连接，．
在和中，，．
，
．
．
．
点Q在以点D为圆心，半径为的圆上运动．
连接，过点D作交的延长线于点H．
∵，
∴当时，，
∴，
，
∴，
，．
．
在等腰直角三角形中，．
点Q到直线的距离最大值为．
面积的最大值为．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，切线的性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．

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