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二〇二四年青岛市初中学业水平考试模拟测试九年级数学试题
（建议考试时间：150分钟；满分：120分）
说明：
1．本试题共8页，分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共26小题，第Ⅰ卷为单项选择题，共4小题，8分；第Ⅱ卷为非选择题，共23小题，112分．
2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效．
走进新课程/走在数学的风雨中/我们思索/我们探究/我们敲击智慧之火/我们点燃希望之灯
第Ⅰ卷（选择题，共8分）
一、选择题（本大题共4小题，每题2分，共8分）
1. 下列几何体中，俯视图是三角形的是（　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据常见简单几何体的三视图，结合俯视图是从上往下看到的图形，可得答案．
本题考查了简单几何体的三视图，熟记简单几何体的三视图是解题关键．
【详解】解：该圆锥的俯视图是带圆心的圆，故本选项不符合题意；
B.该圆柱的俯视图是圆，故本选项不符合题意；
C.该正方体的俯视图是正方形，故本选项不符合题意；
D.该三棱柱的俯视图是三角形，故本选项符合题意．
故选：．
2. 下列函数图象中，能反映的值始终随值的增大而增大的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】观察图象，由函数的性质可以解答．
【详解】解：由图可知：
A、函数值具有对称性．在对称轴的左侧y的值随x值的增大而增大，对称轴的右侧y的值随x值的增大而减小，该选项不符合题意；
B、增减性需要限定在各个象限内，该选项不符合题意；
C、图象是函数y的值随x值的增大而增大，该选项符合题意；
D、图象在原点左侧是函数y的值随x值的增大而减小，该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，正比例函数图象，反比例函数图象，准确识图并理解函数的增减性的定义是解题的关键．
3. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F是CD上一点，交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP．则下列结论：①；②；③；④若，则；⑤四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的．其中正确的结论是（ ）
A. ①②④⑤ B. ①②③⑤ C. ①②③④ D. ①③④⑤
【答案】B
【解析】
【分析】分别对每个选项进行证明后进行判断：
①通过证明得到EC=FD，再证明得到∠EAC=∠FBD，从而证明∠BPQ=∠AOQ=90°，即；
②通过等弦对等角可证明；
③通过正切定义得，利用合比性质变形得到，再通过证明得到，代入前式得，最后根据三角形面积公式得到，整体代入即可证得结论正确；
④作EG⊥AC于点G可得EGBO，根据，设正方形边长为5a，分别求出EG、AC、CG的长，可求出，结论错误；
⑤将四边形OECF的面积分割成两个三角形面积，利用，可证明S四边形OECF=S△COE+S△COF=S△DOF+S△COF =S△COD即可证明结论正确．
【详解】①∵四边形ABCD是正方形，O是对角线AC、BD的交点，
∴OC=OD，OC⊥OD，∠ODF=∠OCE=45°
∵
∴∠DOF+∠FOC=∠FOC+∠EOC=90°
∴∠DOF=∠EOC
在△DOF与△COE中
∴
∴EC=FD
∵在△EAC与△FBD中
∴
∴∠EAC=∠FBD
又∵∠BQP=∠AQO
∴∠BPQ=∠AOQ=90°
∴AE⊥BF
所以①正确；
②∵∠AOB=∠APB=90°
∴点P、O在以AB为直径的圆上
∴AO是该圆的弦
∴
所以②正确；
③∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
所以③正确；
④作EG⊥AC于点G，则EGBO，
∴
设正方形边长为5a，则BC=5a，OB=OC=，
若，则，
∴
∴
∴
∵EG⊥AC，∠ACB=45°，
∴∠GEC=45°
∴CG=EG=
∴
所以④错误；
⑤∵，S四边形OECF=S△COE+S△COF
∴S四边形OECF= S△DOF+S△COF= S△COD
∵S△COD=
∴S四边形OECF=
所以⑤正确；
综上，①②③⑤正确，④错误，
故选 B
【点睛】本题综合考查了三角形、正方形、圆和三角函数，熟练运用全等三角形、相似三角形、等弦对等角和三角函数的定义是解题的关键．
4. 有一组数据，1，2，3，其中的平均数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了求一组数据的平均数，把这三个数相加后除以3即可得到答案．
【详解】解：，
∴这组数据的平均数为2，
故选：B．
第Ⅱ卷（非选择题，共112分）
二、填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分；若有两个答案请用“或”字隔开）
5. 南山植物园坐落在省级南山风景名胜区群山之中，与重庆主城区夹长江面峙，是一个以森林为基础；每到春季，上山赏花的人络绎不绝，开办了植物花卉门市；将A、B、C三种花卉包装成“如沐春风”、“懵懂少女”、“粉色回忆”三种不同的礼盒进行销售；用A花卉2支、B花卉4支、C种花卉10支包装成“如沐春风”礼盒；用A花卉2支、B花卉2支、C种花卉4支包装成“懵懂少女”礼盒；用A花卉2支、B花卉3支、C花卉6支包装成“粉色回忆”礼盒，且每支B花卉的成本是每支C花卉成本的4倍，每盒“如沐春风”礼盒的总成本是每盒“懵懂少女”礼盒总成本的2倍；该商家将三种礼盒均以利润率50%进行定价销售；某周末，该门市为了加大销量，将“如沐春风”、“懵懂少女”两种礼盒打八折进行销售，且两种礼盒的销量相同，“粉色回忆”礼盒打九折销售，三种礼盒的总成本恰好为总利润的4倍，则该周末“粉色回忆”礼盒的总利润与三种礼盒的总利润的比值为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】设C花卉一支x元，A花卉一支y元，则B花卉一支4x元，根据每盒“如沐春风”礼盒的总成本是每盒“懵懂少女”礼盒总成本的2倍，可得，得到，从而设A花卉一支x元，B花卉一支元，则C花卉一支元，设“如沐春风”、“懵懂少女”这两种礼盒都销售了a盒，“粉色回忆”礼盒销售了盒，根据三种礼盒的总成本恰好为总利润的4倍可得：，
解得： ，即可得该周末“粉色回忆”礼盒的总利润与三种礼盒的总利润的比值．
【详解】解：设C花卉一支x元，A花卉一支y元，
每盒“如沐春风”礼盒的总成本是每盒“懵懂少女”礼盒总成本的2倍，
，
化简整理得，
A花卉一支x元，C花卉一支x元，
“如沐春风”礼盒每盒成本为（元），以利润率50%定价为（元），
“懵懂少女”礼盒每盒成本为（元），以利润率50%定价为（元），
“粉色回忆”礼盒每盒成本为（元），以利润率50%定价为（元），
由某周末，该门市为了加大销量，将“如沐春风”、“懵懂少女”两种礼盒打八折进行销售，设这两种礼盒都销售了a盒，“粉色回忆”礼盒销售了盒，根据三种礼盒的总成本恰好为总利润的4倍可得：，
化简整理得： ，
该周末“粉色回忆”礼盒的总利润为，
该周末三种礼盒的总利润为，
该周末“粉色回忆”礼盒的总利润与三种礼盒的总利润的比值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程（组）的应用，解题的关键是读清题意，用含未知数的式子表示题中的量，再根据已知列方程解决问题．
6. 若一个四位数的千位与百位之差等于2，十位与个位之差等于4，称这个四位数是“差2倍数”，若四位数的千位与百位之差等于3，十位与个位之差等于6，称这个四位数是“差3倍数”，若数p，q分别为“差2倍数”和“差3倍数”，它们的个位数字均为3，p，q的各数位数字之和分别记为和，，若为整数，此时的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据定义和已知条件分别设，，再根据定义进行计算，由为整数，以及的最大值，得出符合条件的取值为或，进而解题．
【详解】解：∵数p，q分别为“差2倍数”和“差3倍数”，它们的个位数字均为3，
故数p的十位数是，数q的十位数是，
设数p，q的百位数分别m、n，则数p的千位数是，数q的千位数是，而且，，
∴，，
∴，
，
∴，，
∴，
∴
∵为整数，
∴为的约数，而要使的最大值则有
∴或，
当时，即，，
此时，当，时，的最大值为，
当时，即，，
此时，当，时，的最大值为，
综上所述：当，时，的最大值为，
故答案为：
【点睛】本题考查新定义运算，数的整除、分式的化简，整式的加减运算等，有一定难度，解题的关键是通过为整数推出为的约数．
7. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点（点在轴上），与轴交于点，且，那么本抛物线的表达式为____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，先分别求出，，设，利用勾股定理得到，，，则，解方程求出点B的坐标，再利用待定系数法求解即可．
【详解】解：在中，当时，，
∴，
在中，当时，，
∴，
设，
∴，，
，
∵，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴，
把，代入中得：，
∴，
∴抛物线解析式为，
故答案为：．
8. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，下列说法正确的有____个
①抛物线的对称轴为直线
②抛物线的顶点坐标为
③，两点之间的距离为5
④当时，的值随值的增大而增大
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，待定系数法求得二次函数解析式，进而逐项分析判断即可求解．
【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于，两点，
∴
∴
∴二次函数解析式为，对称轴为直线，顶点坐标为，故①，②不正确，不符合题意；
∵，抛物线开口向上，当时，的值随值的增大而减小，故④不正确，不符合题意；
当时，
即
∴，
∴，故③正确，符合题意；
正确的有③，共1个，
故答案为：1．
9. 如图，在中，是直径，，过的中点作的垂线交于点和，是上一动点．连接，，，．那么的长度是___．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，求弧长，线段垂直平分线的性质，由垂直平分，证明是等边三角形，求出的圆心角度数，进而根据弧长公式求出的长度．
【详解】解：连接，，
垂直平分，
，
又，
是等边三角形，
，
又，
，
，
故答案为：．
10. 如图，中，是中线，分别以点A，点B为圆心，大于长为半径作弧，两孤交于点M，N．直线交于点E．连接交于点F．过点D作，交于点G．若，则的长为____________．
【答案】
【解析】
【分析】由作图方法可知是线段的垂直平分线，则是的中线，进而得到点F是的重心，则，证明，利用相似三角形的性质得到，则．
【详解】解：由作图方法可知是线段的垂直平分线，
∴点E是的中点，
∴是的中线，
又∵是的中线，且与交于点F，
∴点F是的重心，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形重心的性质，相似三角形的性质与判定，线段垂直平分线的尺规作图，推出点F是的重心是解题的关键．
11. 如图，在直角坐标系中，与轴相切于点为的直径，点在函数 的图象上，为轴上一点，的面积为6，那么的值的8次方应该为____．
【答案】110075314176
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的性质，反比例函数的图象和性质，解题的关键掌握切线的定义：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，以及反比例函数图象上点的坐标特征．设，则，则，根据三角形的面积公式得出，列出方程求解即可．
【详解】解：设，
∵与轴相切于点，
∴轴，
∴，则点D到的距离为a，
∵为的直径，
∴，
∴，
解得：，
∴
故答案为：．
12. 如图，在中，，，为边上任意一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转，得到线段，为边的中点，连接，，．如图1，交于点，若，，线段的长度是______；为的中点，连接，，，点为直线上一动点（不与点，重合），连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，若，当取得最小值时，线段的长度的最小值是______．
【答案】 ①. ## ②.
【解析】
【分析】先证明是等边三角形，得到，推导出，根据锐角三角函数的定义计算可得，，的长，由此即得答案；过点作，交于点，连结，，先证明，得到，，由此当时，取最小值，求出这个最小值为；由轴对称的性质可知，点在以点为圆心，的长为半径的弧上运动，所以当，，三点共线时，线段的长度取得最小值，求出这个最小值，即得答案．
【小问1详解】
解：，，
是等边三角形，
，，
，
，
为边的中点，
，
，
，，
；
将线段绕点逆时针旋转，得到线段，
，，
，，
，
，
，
，，
射线与的夹角为定值，
即射线的方向固定，
当时，取最小值，
，
，
，
在中，，
沿翻折至所在平面内，得到，
点在以点为圆心，的长为半径的弧上运动，
当，，三点共线时，线段的长度取得最小值，如图3，
在中，，
线段的长度的最小值为．
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了图形的旋转与翻折，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，及直角三角形的性质等知识，作辅助线是解题的关键．
13. 如果一个四位自然数各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为，则这个数为___________；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是___________．
【答案】 ①. ②. 8165
【解析】
【分析】根据递减数的定义进行求解即可．
【详解】解：∵ 是递减数，
∴，
∴，
∴这个数为；
故答案：
∵一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，
∴，
∵，
∴，
∵，能被整除，
∴能被9整除，
∵各数位上的数字互不相等且均不为0，
∴，
∵最大的递减数，
∴，
∴，即：，
∴最大取，此时，
∴这个最大的递减数为8165．
故答案为：8165．
【点睛】本题考查一元一次方程和二元一次方程的应用．理解并掌握递减数的定义，是解题的关键．
14. 如图，已知点，，两点，在抛物线上，向左或向右平移抛物线后，，的对应点分别为，，当四边形的周长最小时，抛物线的解析式为__________．
【答案】．
【解析】
【分析】先通过平移和轴对称得到当B、E、三点共线时，的值最小，再通过设直线的解析式并将三点坐标代入，当时，求出a的值，最后将四边形周长与时的周长进行比较，确定a的最终取值，即可得到平移后的抛物线的解析式．
【详解】解：∵，，，，
∴，，
由平移的性质可知：,
∴四边形的周长为；
要使其周长最小，则应使的值最小；
设抛物线平移了a个单位，当a>0时，抛物线向右平移，当a<0时，抛物线向左平移；
∴，，
将向左平移2个单位得到，则由平移的性质可知：，
将关于x轴的对称点记为点E，则，由轴对称性质可知，,
∴，
当B、E、三点共线时，的值最小，
设直线的解析式为：，
∴，
当时，
∴
∴，
将E点坐标代入解析式可得：，
解得：，
此时，
此时四边形的周长为；
当时，，，，，
此时四边形的周长为：
；
∵，
∴当时，其周长最小，
所以抛物线向右平移了个单位，
所以其解析式为：；
故答案为：．
【点睛】本题综合考查了平移、轴对称、一次函数的应用、勾股定理、抛物线的解析式等内容，解决本题的关键是理解并确定什么情况下该四边形的周长最短，本题所需综合性思维较强，对学生的综合分析和计算能力要求都较高，本题蕴含了数形结合与分类讨论的思想方法等．
15. 数学语言是学习数学必不可少的一部分，请把以下文字翻译为数学语言：根号7_____；π的0次方____；三次根号5____
【答案】 ①. ②. ③.
【解析】
【分析】本题主要考查了算术平方根的概念，立方根的概念和零指数幂的概念，熟知相关概念是解题的关键．
【详解】解：根号7即为，π的0次方即为，三次根号5即为，
故答案为：，，．
16. 计算（保留小数点后4位）：_______；____；__
【答案】 ①. ②. ③.
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的运算，四舍五入法的运用，利用计算器进行近似计算，保留小数点后四位即可．
【详解】解：，，，
故答案为：；；．
三、作图题（本大题共2小题，共5分）
17. 画长的线段，并以此为半径，点x为圆心画一个半径为的圆x．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了画圆，根据圆的尺规作图方法作图即可．
【详解】解：如图所示，即为所求．
18. 已知：如图，∠ABC，射线BC上一点D，
求作：等腰△PBD，使线段BD为等腰△PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质即可解决问题．
【详解】解：∵点P在∠ABC的平分线上，
∴点P到∠ABC两边的距离相等（角平分线上的点到角的两边距离相等），
∵点P在线段BD的垂直平分线上，
∴PB=PD（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等），
如图所示：
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
四、解答题（本大题共9小题，共71分）
19. 计算
（1）解不等式组；
（2）化简．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查解不等式组、分式的混合运算等知识点，掌握相关计算方法和步骤成为解题的关键．
（1）先分别求出各不等式的解集，然后再确定不等式组的解集即可；
（2）根据分式的混合运算法则计算即可．
【小问1详解】
解：
解不等式①可得：，
解不等式②可得：，
所以原不等式组的解集为：．
【小问2详解】
解：
．
20. 在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和外一点，给出如下定义：若直线，都是的切线，则称点是弦的“关联点”．
（1）已知点．
①如图1，若的弦，在点，，中，弦的“关联点”是______；
②如图2，若点，点C是的弦的“关联点”，直接写出长；
（2）已知点，线段是以点D为圆心，以1为半径的的直径，对于线段EF上任意一点S，存在的弦，使得点S是弦的“关联点”．当点S在线段上运动时，将其对应的弦长度的最大值与最小值的差记为t，直接写出t的取值范围．
【答案】（1）①，；②．
（2）
【解析】
【分析】（1）①已知线段长，求出的长度，根据平面直角坐标系中两点间的距离公式求出，，，再看与是否相等即可作出判断；
②由，的坐标求出，再求出到的距离，进而求出；
（2）首先确定线段与长度间的关系，线段长度越长，线段长度越长；然后举例线段，确定线段最大值和最小值取值情况；改变线段的位置，确定线段最大值和最小值的变换情况；当线段是水平线段时，取最大值；当线段是竖直线段时，取最小值，由此可解决问题．
【小问1详解】
解：先探究长度确定时，的长度，如图，
，是的切线，切点分别为，，
由切线长定理，得，，，
，
，即，
，
①，，
，
，
，
，
，
弦的“关联点”是，，
故答案为：和；
②．
理由：由，，
可知，
，
；
【小问2详解】
解：．
理由如下：，，
，
，
越大，越大；越小，越小；
以线段为例，如图：
当最大时，，
当最小时，，
改变线段的位置到，如图：
当由变为，
，
，
当由变为，
，
，
，，
，
当为水平线段时，如图：
，，
，
，
，
改变线段的位置到，如图：
过点作于点，
当由变为，
，
，
当由变为时，
，
，
，，
，
当为竖直线段时，如图：
，或，
，
，
，
综上，．
【点睛】本题是一道圆的综合题，考查对新定义的理解，切线长定理，相似三角形，勾股定理，准确理解“关联点”，能灵活运用线段与的等量关系是解题的关键．
21. 如图1，四边形内接于，点A是的中点，．直线与相切于点A，交的延长线于点E，已知，思考并解决以下问题：
（1）求证：．
（2）求的值．
（3）如图2，在上取一点F，使．
①判断与的数量关系，并说明理由．
②如图3，作于点H，于点I．若，，连接，请直接写出的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）①，理由见解析；②
【解析】
【分析】（1）连接OA，根据是的切线，得出，进一步推出，得出，由圆周角定理得，即可得到；
（2）根据点A是中点即条件推出，由（1）得，证明出，即可得到；
（3）①判断：，根据等角对等边即可证明；②连接OI，OB，先得出点A，I，O三点共线，进一步求出．设，，利用勾股定理，解得，，，，作，由题意得，进一步证明出，得出，作，利用勾股定理求出，即可求解．
【小问1详解】
解：连接OA，∵是的切线，
∴，
∵点A是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：∵点A是中点，∵，
∵四边形ABCD内接于，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
∴．
【小问3详解】
解：①判断：，理由：
∵，，
∴，
∴，
∵，，
又∵，
∴，
∴．
②如上图，连接OI，OB．
∵，，
∴I是BD中点，
∴，
∴点A，I，O三点共线，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
设，，
则，，
，即，
解得，
∴，，，
作，
∵点F为角平分线交点，
∴，
由题意得，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
作，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了切线，圆周角定理，三角形相似的判定及性质，锐角三角函数，勾股定理，角平分线的性质等，解题的关键是掌握相关知识点，添加适当的辅助线，利用相似建立等式求解．
22. 定义，如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”如：，则和都是“和谐分式”．
（1）下列各式中，属于“和谐分式”的是：___________（填序号）；
①；②③④
（2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：__________+___________．
（3）应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
【答案】（1）①③④ （2），
（3），
【解析】
【分析】本题考查了分式的混合运算及和新定义“和谐分式”，
（1）把给出的各式进行处理，根据和谐分式的定义判断；
（2）把分式先变形为，再写成整式与分式分子为常数的形式；
（3）先算除法，把分式转化成和谐分式，再确定x的值；
解决本题的关键是理解定义的内容并能运用．
【小问1详解】
①，是和谐分式；②是整式，③，是和谐分式，
④，是和谐分式．
故答案为：①③④；
【小问2详解】
，
故答案为：，；
【小问3详解】
，
当时，是整数；
即当时，是整数；
∵分母不能为0，
∴，
故只有当时，分式的值为整数，
∴当时，分式运算的结果是整数．
23. 综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪为正方形，，顶点A处挂了一个铅锤M.如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线交于点H.经测量，点A距地面，到树的距离，.求树的高度.
【答案】树的高度约为
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，由题意可知，，，易知，可得，进而求得，利用即可求解，得到是解决问题的关键．
【详解】解：由题意可知，，，
则，
，
，，
则，
，
，
则，
，
．
答：树的高度约为．
24. 随着人们环保意识的提高和技术的飞速发展，新能源汽车已成为汽车市场的一股不可忽视的力量．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多万元，用万元购买甲型充电桩与用万元购买乙型充电桩的数量相等．
（1）甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？
（2）该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的倍，则如何购买所需总费用最少？
【答案】（1）甲型充电桩的单价为元，乙型充电桩的单价为元；
（2）购买甲型充电桩个，乙型充电桩个，所需费用最少．
【解析】
【分析】（）设乙型充电桩的单价是元，根据题意，列出分式方程即可求解；
（）设购买甲型充电桩的数量为个，根据题意，列出不等式求出得取值范围，又设所需费用为元，求出与的函数关系式，根据一次函数的性质解答即可求解；
本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，根据题意，列出分式方程和一次函数解析式是解题的关键．
【小问1详解】
解：设乙型充电桩的单价是元，则甲型充电桩的单价是元，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：甲型充电桩的单价为元，乙型充电桩的单价为元；
【小问2详解】
解：设购买甲型充电桩的数量为个，则购买乙型充电桩的数量为个，
由题意得，，
解得，
设所需费用为元，由题意得，，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，取得最小值，
此时，，
答：购买甲型充电桩个，乙型充电桩个，所需费用最少．
25. 数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题．
同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．
在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数（实数为常数）的图象为图象．
（1）求证：无论取什么实数，图象与轴总有公共点；
（2）是否存在整数，使图象与轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）或或或
【解析】
【分析】（1）分与两种情况讨论论证即可；
（2）当时，不符合题意，当时，对于函数，令，得，从而有或，根据整数，使图象与轴的公共点中有整点，即为整数，从而有或或或或或或或，解之即可．
【小问1详解】
解：当时，，函数为一次函数，此时，令，则，解得，
∴一次函数与轴的交点为；
当时，，函数为二次函数，
∵，
∴
，
∴当时，与轴总有交点，
∴无论取什么实数，图象与轴总有公共点；
【小问2详解】
解：当时，不符合题意，
当时，对于函数，
令，则，
∴，
∴或
∴或，
∵，整数，使图象与轴的公共点中有整点，即为整数，
∴或或或或或或或，
解得或或（舍去）或（舍去）或或或（舍去）或（舍去），
∴或或或．
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系以及二次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的性质以及数形相结合的思想是解题的关键．
26. 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，，．
（1）求线段的长；
（2）如图2，为轴负半轴上一点，的垂直平分线交直线于，设的长为，求线段的长与的关系式；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点作于，为上一点，以为斜边作等腰，，，延长交于，连接、，若平分，，，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，勾股定理，即可求解；
（2）过点分别作轴的垂线，垂足分别为，得出四边形是矩形，则，根据垂直平分线的性质可得，得出是等腰直角三角形，则，设的长为，线段的长为，根据即可求解．
（3）过点作交的延长线于点，连接，过点作轴于点，则是等腰直角三角形，作于点，证明得出，证明，得出，，,过点作交的延长线于点，证明，设，则，在中，，在中，得出，设，根据得出，设，在，,中，，，，得出，则，进而即可求解．
【小问1详解】
解：∵，．
∴是等腰直角三角形，
又，
∴，
【小问2详解】
解：如图所示，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，
∴四边形是矩形，
∴，
∵的垂直平分线交直线于，
∴，
又∵是等腰直角三角形，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∴
设的长为，线段的长为，
∴
∴；
【小问3详解】
解：如图所示，过点作交的延长线于点，连接，过点作轴于点，则是等腰直角三角形，作于点，
∵，
∴
设，
∵，
∴
∴，
∵，则
∴
∵，
∴
∴
∴
又∵，
∴
∴
∵
∴
∵
∴，
∵平分，
∴，
又∵是等腰直角三角形，
∴，
∵
∴是等腰直角三角形，则
∴，，
∵
∴
∴
∴，
∴
∴
∵是等腰直角三角形，
∴
∴
又∵
∴
∴，
∴，
如图所示，过点作交的延长线于点，
设，则，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
在中，，
设，则，
在中，
在中，
∴
即
解得：
∴
∴
设，
∵，
∵
∴
解得：
∴
在，，
设
,中，，，
∴
解得：
∴
∴
∵是等腰直角三角形，
∴
∴，
∴．
【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
27. 活动·探究
运用数学知识解决实际问题是我们初中生的必修课，同时也是“双减”的目标之一．青岛市某数学跨学科学习小组开展了数学跨学科学习探究，请你帮他们完成探究．
探究一、地理学习（与地理跨学科学习小组共同完成）
（1）该等高线地形图的等高距为 米；
（2）已知图上，若该图的比例尺是，则实际相距 ；
（3）估计王家庄的实际面积可能是 ；
A． B． C． D． E． F． G．
（4）E点在点A的 偏 方向；
探究二、化学学习（与化学跨学科学习小组共同完成）
有两组没有标签的化学试剂：
第一组 稀 稀 溶液 溶液
第二组 稀 澄清石灰水 溶液 溶液
还有一小瓶紫色石蕊试液；
与化学小组提供的实验信息：
已知紫色石蕊试液遇到酸性溶液变红，遇到碱性溶液变蓝，遇到中性不变色酸碱盐性质表格：
酸性 稀 稀 稀
碱性 澄清石灰水 溶液 溶液
中性 溶液 溶液
请你解决以下问题：
（5）数学小组中的调皮鬼郑锋设计了一个小游戏：从中取样检测，如果紫色石蕊试液变红色，数学小组获胜；如果不变色，那么化学小组获胜．化学小组的叶子姐姐觉得她们小组被坑了．你来帮叶子姐姐用画树状图的方法判断，本游戏是否公平？化学小组有没有被郑锋同学坑？如果被坑了，请你帮叶子姐姐设置一个游戏规则，让她坑郑锋一把（数学小组获胜概率小，化学小组获胜概率大），并再次画树状图证明你设计的规则能帮叶子姐姐坑到郑锋．
【答案】（1）100；（2）140000；（3）G；（4）南，东；（5）不公平；化学小组被坑了；设置新游戏规则：从中取样检测，如果紫色石蕊试液变红色，化学小组获胜；如果不变色，那么数学小组获胜；证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了比例尺的应用，树状图或列表法求解概率，用方位角表示位置等等：
（1）根据图示和等高线的定义求解即可；
（2）根据比例尺等于图上距离比上实际距离进行求解即可；
（3）结合实际情况可知，王家庄的长和宽大约为2000米，1000米，据此根据长方形面积公式求解即可；
（4）根据点A和点E位置结合地图中上北下南，左西右东的方位进行求解即可；
（5）画出树状图或列出表格可求出数学小组获胜的概率为，化学小组获胜的概率为，则数学小组获胜的概率大于化学小组获胜的概率，故不公平，化学小组被坑了；在原来规则下，把数学小组和化学小组获胜的条件互换即可．
【详解】解：（1）由等高线的定义和所给图形可知该等高线地形图的等高距为100米，
故答案为：100；
（2），
故答案为：；
（3）结合实际情况可知，王家庄的长和宽大约为2000米，1000米，则王家庄的面积大约为，
故选：G；
（4）观察图形可知，点E在点A南偏东方向，
故答案为：南；东；
（5）设分别用A、B、C表示三种酸性溶液，用D、E、F表示三种碱性溶液，用G、H表示两种中性溶液，
画树状图如下：
由树状图可知，一共有8种等可能性的结果数，其中能使紫色石蕊试液变红色的有3种，变蓝色的有3种，不变色的有2种，
∴数学小组获胜的概率为，化学小组获胜的概率为，
∵，
∴数学小组获胜的概率大于化学小组获胜的概率，
∴不公平，化学小组被坑了；、
设置新游戏规则：从中取样检测，如果紫色石蕊试液变红色，化学小组获胜；如果不变色，那么数学小组获胜；证明如下：
设分别用A、B、C表示三种酸性溶液，用D、E、F表示三种碱性溶液，用G、H表示两种中性溶液，
画树状图如下：
由树状图可知，一共有8种等可能性的结果数，其中能使紫色石蕊试液变红色的有3种，变蓝色的有3种，不变色的有2种，
∴化学小组获胜的概率为，数学小组获胜的概率为，
∵，
∴数学小组获胜的概率小于化学小组获胜的概率．二〇二四年青岛市初中学业水平考试模拟测试九年级数学试题
（建议考试时间：150分钟；满分：120分）
说明：
1．本试题共8页，分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共26小题，第Ⅰ卷为单项选择题，共4小题，8分；第Ⅱ卷为非选择题，共23小题，112分．
2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效．
走进新课程/走在数学的风雨中/我们思索/我们探究/我们敲击智慧之火/我们点燃希望之灯
第Ⅰ卷（选择题，共8分）
一、选择题（本大题共4小题，每题2分，共8分）
1. 下列几何体中，俯视图是三角形的是（　）
A. B. C. D.
2. 下列函数图象中，能反映的值始终随值的增大而增大的是( )
A. B.
C. D.
3. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F是CD上一点，交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP．则下列结论：①；②；③；④若，则；⑤四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的．其中正确的结论是（ ）
A. ①②④⑤ B. ①②③⑤ C. ①②③④ D. ①③④⑤
4. 有一组数据，1，2，3，其中的平均数是（ ）
A 1 B. 2 C. 3 D.
第Ⅱ卷（非选择题，共112分）
二、填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分；若有两个答案请用“或”字隔开）
5. 南山植物园坐落在省级南山风景名胜区群山之中，与重庆主城区夹长江面峙，是一个以森林为基础；每到春季，上山赏花的人络绎不绝，开办了植物花卉门市；将A、B、C三种花卉包装成“如沐春风”、“懵懂少女”、“粉色回忆”三种不同的礼盒进行销售；用A花卉2支、B花卉4支、C种花卉10支包装成“如沐春风”礼盒；用A花卉2支、B花卉2支、C种花卉4支包装成“懵懂少女”礼盒；用A花卉2支、B花卉3支、C花卉6支包装成“粉色回忆”礼盒，且每支B花卉的成本是每支C花卉成本的4倍，每盒“如沐春风”礼盒的总成本是每盒“懵懂少女”礼盒总成本的2倍；该商家将三种礼盒均以利润率50%进行定价销售；某周末，该门市为了加大销量，将“如沐春风”、“懵懂少女”两种礼盒打八折进行销售，且两种礼盒的销量相同，“粉色回忆”礼盒打九折销售，三种礼盒的总成本恰好为总利润的4倍，则该周末“粉色回忆”礼盒的总利润与三种礼盒的总利润的比值为 _____．
6. 若一个四位数的千位与百位之差等于2，十位与个位之差等于4，称这个四位数是“差2倍数”，若四位数的千位与百位之差等于3，十位与个位之差等于6，称这个四位数是“差3倍数”，若数p，q分别为“差2倍数”和“差3倍数”，它们的个位数字均为3，p，q的各数位数字之和分别记为和，，若为整数，此时的最大值为______．
7. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点（点在轴上），与轴交于点，且，那么本抛物线的表达式为____．
8. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，下列说法正确的有____个
①抛物线的对称轴为直线
②抛物线顶点坐标为
③，两点之间的距离为5
④当时，的值随值的增大而增大
9. 如图，在中，是直径，，过的中点作的垂线交于点和，是上一动点．连接，，，．那么的长度是___．
10. 如图，中，是中线，分别以点A，点B为圆心，大于长为半径作弧，两孤交于点M，N．直线交于点E．连接交于点F．过点D作，交于点G．若，则的长为____________．
11. 如图，在直角坐标系中，与轴相切于点为的直径，点在函数 的图象上，为轴上一点，的面积为6，那么的值的8次方应该为____．
12. 如图，在中，，，为边上任意一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转，得到线段，为边的中点，连接，，．如图1，交于点，若，，线段的长度是______；为的中点，连接，，，点为直线上一动点（不与点，重合），连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，若，当取得最小值时，线段的长度的最小值是______．
13. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为，则这个数为___________；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是___________．
14. 如图，已知点，，两点，在抛物线上，向左或向右平移抛物线后，，的对应点分别为，，当四边形的周长最小时，抛物线的解析式为__________．
15. 数学语言是学习数学必不可少的一部分，请把以下文字翻译为数学语言：根号7_____；π的0次方____；三次根号5____
16. 计算（保留小数点后4位）：_______；____；__
三、作图题（本大题共2小题，共5分）
17. 画长的线段，并以此为半径，点x为圆心画一个半径为的圆x．
18 已知：如图，∠ABC，射线BC上一点D，
求作：等腰△PBD，使线段BD为等腰△PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）
四、解答题（本大题共9小题，共71分）
19. 计算
（1）解不等式组；
（2）化简．
20. 在平面直角坐标系中，半径为1，对于的弦和外一点，给出如下定义：若直线，都是的切线，则称点是弦的“关联点”．
（1）已知点．
①如图1，若的弦，在点，，中，弦的“关联点”是______；
②如图2，若点，点C是的弦的“关联点”，直接写出长；
（2）已知点，线段是以点D为圆心，以1为半径的的直径，对于线段EF上任意一点S，存在的弦，使得点S是弦的“关联点”．当点S在线段上运动时，将其对应的弦长度的最大值与最小值的差记为t，直接写出t的取值范围．
21. 如图1，四边形内接于，点A是的中点，．直线与相切于点A，交的延长线于点E，已知，思考并解决以下问题：
（1）求证：．
（2）求值．
（3）如图2，在上取一点F，使．
①判断与的数量关系，并说明理由．
②如图3，作于点H，于点I．若，，连接，请直接写出的值．
22. 定义，如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”如：，则和都是“和谐分式”．
（1）下列各式中，属于“和谐分式”的是：___________（填序号）；
①；②③④
（2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：__________+___________．
（3）应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
23. 综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪为正方形，，顶点A处挂了一个铅锤M.如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线交于点H.经测量，点A距地面，到树的距离，.求树的高度.
24. 随着人们环保意识的提高和技术的飞速发展，新能源汽车已成为汽车市场的一股不可忽视的力量．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多万元，用万元购买甲型充电桩与用万元购买乙型充电桩的数量相等．
（1）甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？
（2）该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的倍，则如何购买所需总费用最少？
25. 数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题．
同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．
在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数（实数为常数）的图象为图象．
（1）求证：无论取什么实数，图象与轴总有公共点；
（2）是否存在整数，使图象与轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数的值；若不存在，请说明理由．
26. 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，，．
（1）求线段的长；
（2）如图2，为轴负半轴上一点，的垂直平分线交直线于，设的长为，求线段的长与的关系式；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点作于，为上一点，以为斜边作等腰，，，延长交于，连接、，若平分，，，求点的坐标．
27. 活动·探究
运用数学知识解决实际问题是我们初中生的必修课，同时也是“双减”的目标之一．青岛市某数学跨学科学习小组开展了数学跨学科学习探究，请你帮他们完成探究．
探究一、地理学习（与地理跨学科学习小组共同完成）
（1）该等高线地形图的等高距为 米；
（2）已知图上，若该图的比例尺是，则实际相距 ；
（3）估计王家庄的实际面积可能是 ；
A． B． C． D． E． F． G．
（4）E点在点A的 偏 方向；
探究二、化学学习（与化学跨学科学习小组共同完成）
有两组没有标签的化学试剂：
第一组 稀 稀 溶液 溶液
第二组 稀 澄清石灰水 溶液 溶液
还有一小瓶紫色石蕊试液；
与化学小组提供的实验信息：
已知紫色石蕊试液遇到酸性溶液变红，遇到碱性溶液变蓝，遇到中性不变色酸碱盐性质表格：
酸性 稀 稀 稀
碱性 澄清石灰水 溶液 溶液
中性 溶液 溶液
请你解决以下问题：
（5）数学小组中的调皮鬼郑锋设计了一个小游戏：从中取样检测，如果紫色石蕊试液变红色，数学小组获胜；如果不变色，那么化学小组获胜．化学小组的叶子姐姐觉得她们小组被坑了．你来帮叶子姐姐用画树状图的方法判断，本游戏是否公平？化学小组有没有被郑锋同学坑？如果被坑了，请你帮叶子姐姐设置一个游戏规则，让她坑郑锋一把（数学小组获胜概率小，化学小组获胜概率大），并再次画树状图证明你设计的规则能帮叶子姐姐坑到郑锋．

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