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2023～2024学年第二学期数学（九年级）练习卷（三）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 的相反数是（　　）
A. B. 2 C. D.
2. 如图所示的几何体，从上面看，得到的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列运算中正确是（ ）．
A. B. C. D.
4. 不等式正整数解有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5. 已知点，，都在直线上，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，正六边形内接与，若的半径为5，则等于（ ）
A. 8 B. C. D. 9
7. 学校组织校外实践活动，安排给九年级三辆车，小明与小红都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，小明与小红同车概率是（ ）
A B. C. D.
8. 如图所示，是矩形的对角线的中点，为的中点．若，，则的周长为（ ）
A. 10 B. C. D. 14
9. 如图，已知点，分别在反比例函数，的图象上，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在正方形中，点是对角线的中点，点在线段上，连接并延长交于点，过点作交于点，连接，，交于，给出下面四个结论：①，②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 计算：=_____________
12. 2022年，全国教育事业统计结果发布，数据显示，全国各级各类学校共52.93万所，将数据万用科学记数法表示为______．
13. 《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白．与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代具有很高的数学水平，其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从偶，开平方得积”，若把这段文字表述为数学语言即为：在中，所对的边分别为a、b、c，则其面积为，可利用其解决下列问题．如图，在中，，则_________．
14. 二次函数的对称轴为直线，点，都在函数图象上．
（1）______；
（2）若，则的取值范围为______．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 先化简， 再求值∶ 其中．
16. 2023年女足世界杯以“超越伟大”为赛事口号，激烈的世界杯比赛，激发了学生对足球的兴趣，八（1）班学生去商场购买了A品牌足球1个，B品牌足球2个，共花费320元，八（2）班学生购买了同样的A品牌足球2个，B品牌足球3个，共花费520元.求购买一个A品牌，一个B品牌的足球各需多少元
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在平面直角坐标系中，网格是由边长为1个单位长度小正方形组成，点，，均为格点（网格线的交点）．
（1）画出关于轴对称的；
（2）画出绕原点顺时针旋转后的；
（3）仅用无刻度直尺画出线段中点（保留作图痕迹）．
18. 如图，每一幅图都是由大小相同的小正方形（包含白色小正方形和灰色小正方形）按某种规律组成的，图1中有3个灰色小正方形，有9个白色小正方形；图2中有6个灰色小正方形，有14个白色小正方形；图3中有9个灰色小正方形，有19个白色小正方形；……
（1）请用含的代数式分别表示图中，白色小正方形有______个，灰色小正方形有______个；
（2）问第几个图中白色小正方形比灰色小正方形正好多254个．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，灯塔位于港口的北偏东方向，且之间的距离为，灯塔位于灯塔的正东方向，且之间的距离为．一艘轮船从港口出发，沿正南方向航行到达处，测得灯塔在北偏东方向上，灯塔到直线的距离为．
（1）求的长；
（2）求的长（结果精确到0.1）．（参考数据：）
20. 如图，是的直径，与相切于点，．
（1）求证：；
（2）若，求的半径．
六、解答题（本题满分12分）
21. 为了解全市居民用户用电情况，某部门从居民用户中随机抽取1000户进行月用电量（单位：）调查，按月用电量，，，，，进行分组，绘制频数分布直方图如下：
（1）求频数分布直方图中的值；
（2）判断这1000户居民用户月用电量数据的中位数在哪一组（直接写出结果）；
（3）设各组居民用户月平均用电量为每组的组中值，例如：这组的月平均用电量为，根据上述信息，估计该市居民用户月用电量的平均数．
七、解答题（本题满分12分）
22. 正方形中，为对角线上一点．
（1）连接，．求证：；
（2）是延长线上一点，，交于点．
①求证：；
②当时，求证：．
八、解答题（本题满分14分）
23. 如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．
（1）直接写出A，B，C三点的坐标；
（2）求CP+PQ+QB的最小值；
（3）过点P作PM⊥y轴于点M，当CPM和QBN相似时，求点Q的坐标．2023～2024学年第二学期数学（九年级）练习卷（三）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 的相反数是（　　）
A. B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据相反数的性质，互为相反数的两个数的和为0即可求解．
【详解】解：因为-+＝0，
所以-的相反数是．
故选：D．
【点睛】本题考查求一个数的相反数，掌握相反数的性质是解题关键．
2. 如图所示的几何体，从上面看，得到的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的线条都应表现在俯视图中．
【详解】解：从上面看共有两圆圈，都是实线．
故选：B．
3. 下列运算中正确的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数相乘，幂的乘方，积的乘方，同底数相除法则，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项正确，符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了同底数相乘，幂的乘方，积的乘方，同底数相除法则，熟练掌握同底数相乘，幂的乘方，积的乘方，同底数相除法则是解题的关键．
4. 不等式的正整数解有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了求不等式的正整数解，熟练掌握解一元一次不等式的方法和步骤是解题关键．首先按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解该不等式，然后确定正整数解，即可获得答案．
【详解】解：，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ，
所以，该不等式的正整数解为1，2，共计2个．
故选：B．
5. 已知点，，都在直线上，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质、比较一次函数函数值的大小，由一次函数解析式得出随的增大而增大，结合，即可得出答案，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键．
详解】解：∵直线，，
∴随的增大而增大，
∵，
∴，
故选：C．
6. 如图，正六边形内接与，若的半径为5，则等于（ ）
A. 8 B. C. D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、解直角三角形、垂径定理，连接、，，交于，证明为等边三角形，，，得出，再由垂径定理结合解直角三角形，计算即可得出答案．
【详解】解：如图，连接、，，交于，
，
∵正六边形内接与，
∴，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴垂直平分，即，
∴，，
∴，
故选：C．
7. 学校组织校外实践活动，安排给九年级三辆车，小明与小红都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，小明与小红同车的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】用A，B，C分别表示给九年级的三辆车，画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，小明与小红同车的有3种情况，
∴小明与小红同车的概率是：．
故答案为：C．
【点睛】此题主要考查了用列表法或树状图求概率，解题关键是用字母或甲乙丙分别表示给九年级的三辆车，然后根据题意画树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与小明与小红同车的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
8. 如图所示，是矩形的对角线的中点，为的中点．若，，则的周长为（ ）
A. 10 B. C. D. 14
【答案】C
【解析】
【分析】易知OE是△ACD的中位线，则，在Rt△ABE中，利用勾股定理求得BE，在Rt△ABC中，利用勾股定理求得AC，再根据直角三角形的性质可求得BO，从而求出△BOE的周长．
【详解】解：∵点O是矩形ABCD对角线AC的中点，E点为AD中点，
∴AB=CD=6，AD=BC=8，，，
在Rt△ABE中，，
在Rt△ABC中，，
∴，
则△BOE的周长为：，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、三角形中位线定理、直角三角形的性质，解题的关键是把所求三角形的三条线段分别放在不同的三角形中求解长度．
9. 如图，已知点，分别在反比例函数，的图象上，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】过点作轴于点M，过点作轴于点，根据反比例函数中k的几何意义得，，利用相似三角形的判定定理得出，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结论．
【详解】解：如图，分别过点，作轴于点，轴于点．
根据反比例函数中k的几何意义得，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题是一道反比例函数与几何综合题，证出，熟知反比例函数系数k的几何意义是解答此题的关键．
10. 如图，在正方形中，点是对角线的中点，点在线段上，连接并延长交于点，过点作交于点，连接，，交于，给出下面四个结论：①，②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
【答案】A
【解析】
【分析】①取的中点，连接，，利用直角三角形性质可得，即，，，四点共圆，再运用勾股定理即可判断结论①；②将绕点顺时针旋转得到，可证得，即可判断结论②；③连接，过点作于，过点作于，则四边形是矩形，可证得，再结合等腰直角三角形性质即可判断结论③；④分当点P不与点D重合时，当点P与点D重合时，两种情况讨论，延长至，使，连接，取的中点，连接，，可证得，，进而可证得，再利用相似三角形性质、等腰直角三角形性质即可判断结论④．
【详解】解：①如图1，取的中点，连接，，
，四边形是正方形，
，，
，
，
，，，四点共圆，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
；故①正确；
②将绕点顺时针旋转得到，如图2，
，，
，
，，共线，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；故②正确；
③连接，过点作于，过点作于，则四边形是矩形，如图3，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，故③正确；
④当点P不与点D重合时，延长至，使，连接，取的中点，连接，，如图4，
四边形是正方形，
，，
又，
，
，，
，
，
是的中点，
，
，，，四点共圆，
，
由②得，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
在中，，
，
如图，当点P与点D重合时，
此时点重合，点重合，点重合，
，
综上，，故④错误；
故正确的有：①②③，
故选：A．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等或相似．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 计算：=_____________
【答案】2
【解析】
【分析】根据立方根和算术平方根的定义求解即可．
【详解】
故答案为：2．
【点睛】本题考查立方根和算术平方根求解，掌握计算方法是解题的关键．
12. 2022年，全国教育事业统计结果发布，数据显示，全国各级各类学校共52.93万所，将数据万用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据科学记数法的表示为的形式，其中，n为整数，求解即可．
【详解】解：万用科学记数法表示为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，正确记忆科学记数法的表示为的形式是解题关键．
13. 《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白．与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代具有很高的数学水平，其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从偶，开平方得积”，若把这段文字表述为数学语言即为：在中，所对的边分别为a、b、c，则其面积为，可利用其解决下列问题．如图，在中，，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】把数据代入面积公式计算面积即可求解．
【详解】解：在中，，
∴
=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的应用，考查了学生的计算能力，正确计算出结果是解题的关键．
14. 二次函数的对称轴为直线，点，都在函数图象上．
（1）______；
（2）若，则的取值范围为______．
【答案】 ①. 1 ②. 或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象性质及点的坐标特征，二次函数与不等式．
（1）根据对称轴，即可求出a的值；
（2）根据，列出关于m的不等式即可解得答案．
【详解】解：（1）二次函数的对称轴为直线，
，
，
故答案为：1；
（2）点，都在二次函数的图象上，
，
，
即
，
或．
故答案为： 或．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 先化简， 再求值∶ 其中．
【答案】，4
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值．先根据分式的混合运算法则，进行计算，化简后，代值计算即可．
【详解】解：原式
；
当时，原式．
16. 2023年女足世界杯以“超越伟大”为赛事口号，激烈的世界杯比赛，激发了学生对足球的兴趣，八（1）班学生去商场购买了A品牌足球1个，B品牌足球2个，共花费320元，八（2）班学生购买了同样的A品牌足球2个，B品牌足球3个，共花费520元.求购买一个A品牌，一个B品牌的足球各需多少元
【答案】购买一个A品牌足球需80元，一个B品牌足球需120元
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设购买一个A品牌足球需x元，一个B品牌足球需y元，根据题意列二元一次方程组求解即可．
【详解】设购买一个A品牌足球需x元，一个B品牌足球需y元，
根据题意得，
解得，
答：购买一个A品牌足球需80元，一个B品牌足球需120元.
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在平面直角坐标系中，网格是由边长为1个单位长度的小正方形组成，点，，均为格点（网格线的交点）．
（1）画出关于轴对称的；
（2）画出绕原点顺时针旋转后的；
（3）仅用无刻度直尺画出线段中点（保留作图痕迹）．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称的作图，旋转的作图，格点作图，解题的关键是掌握轴对称，旋转的作图方法，以及格点的性质．
（1）先画出点A、B、O关于y轴对称的对应点，再依次连接即可；
（2）先画出点A、B、O绕原点O顺时针旋转后的对应点，再依次连接即可；
（3）取格点，连接交于点C，点C即为所求．
【小问1详解】
解：如图所示，为所求；
【小问2详解】
解：如图所示，所求；
【小问3详解】
解：如图所示，线段中点．
18. 如图，每一幅图都是由大小相同的小正方形（包含白色小正方形和灰色小正方形）按某种规律组成的，图1中有3个灰色小正方形，有9个白色小正方形；图2中有6个灰色小正方形，有14个白色小正方形；图3中有9个灰色小正方形，有19个白色小正方形；……
（1）请用含的代数式分别表示图中，白色小正方形有______个，灰色小正方形有______个；
（2）问第几个图中白色小正方形比灰色小正方形正好多254个．
【答案】（1），
（2）125
【解析】
【分析】本题考查了图形类规律探索、一元一次方程的应用，观察图形，正确得出规律是解此题的关键．
（1）依次求出图形中白色和灰色小正方形的个数，发现规律即可解决问题；
（2）根据（1）中的规律得出方程，解方程即可得出答案．
【小问1详解】
解：由图形可得：
图1中灰色小正方形的个数为个，白色小正方形的个数为个；
图2中灰色小正方形的个数为个，白色小正方形的个数为个；
图3中灰色小正方形的个数为个，白色小正方形的个数为个；
……
∴示图中，白色小正方形有个，灰色小正方形有个；
【小问2详解】
解：由题意得：，
解得：，
∴第个图中白色小正方形比灰色小正方形正好多254个．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，灯塔位于港口的北偏东方向，且之间的距离为，灯塔位于灯塔的正东方向，且之间的距离为．一艘轮船从港口出发，沿正南方向航行到达处，测得灯塔在北偏东方向上，灯塔到直线的距离为．
（1）求的长；
（2）求的长（结果精确到0.1）．（参考数据：）
【答案】（1）km
（2）km
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟悉掌握三角函数是解题的关键．
（1）用正弦三角函数求解即可．
（2）结合第一问，求解长度，用正切三角函数求解即可．
【小问1详解】
解：由题意得，，
，
．
【小问2详解】
，
．
20. 如图，是的直径，与相切于点，．
（1）求证：；
（2）若，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角为直角以及圆的切线垂直于经过切点的半径，可得，再根据推出，由，得到，因此，即可得出结论；
（2）由（1）中结论，得到，，由进而证明是等边三角形，得到，从而求出的半径．
【小问1详解】
证明：连接，
是的直径，与相切于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：由（1）得：，
，
，，
，
，
，
，
，
的半径为．
【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理，等边三角形的判定及性质，三角形外角的性质，熟练掌握圆和等边三角形的相关性质是解题的关键．
六、解答题（本题满分12分）
21. 为了解全市居民用户用电情况，某部门从居民用户中随机抽取1000户进行月用电量（单位：）调查，按月用电量，，，，，进行分组，绘制频数分布直方图如下：
（1）求频数分布直方图中的值；
（2）判断这1000户居民用户月用电量数据中位数在哪一组（直接写出结果）；
（3）设各组居民用户月平均用电量为每组的组中值，例如：这组的月平均用电量为，根据上述信息，估计该市居民用户月用电量的平均数．
【答案】（1）220；
（2）；
（3）
【解析】
【分析】本题考查了频数分布直方图、中位数、平均数，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据频数分布直方图列式计算即可得出答案；
（2）根据中位数的定义判断即可得出答案；
（3）根据平均数的定义计算即可得出答案．
【小问1详解】
解：由图可得：；
【小问2详解】
解：中位数是第和两个数的平均数，第和两个数都位于月用电量的范围内，
∴这1000户居民用户月用电量数据的中位数在的范围内；
【小问3详解】
解：由题意得：
该市居民用户月用电量的平均数为：．
七、解答题（本题满分12分）
22. 正方形中，为对角线上一点．
（1）连接，．求证：；
（2）是延长线上一点，，交于点．
①求证：；
②当时，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②见解析
【解析】
【分析】（1）先判断出，进而判断出，即可得出结论；
（2）①先证明，进而判断出，即可得出结论；②先证明，由（1）知，由①知，则，即可判断出结论．
【小问1详解】
证明：∵是正方形的对角线，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
①证明：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
由（1）知，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②证明：∵，
∴，
在中，，
∴，
由（1）知，，
由①知，，
∴，
∴．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定，熟练掌握正方形的性质、勾股定理是解题的关键．
八、解答题（本题满分14分）
23. 如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．
（1）直接写出A，B，C三点的坐标；
（2）求CP+PQ+QB的最小值；
（3）过点P作PM⊥y轴于点M，当CPM和QBN相似时，求点Q的坐标．
【答案】（1）A(﹣1，0)，B(4，0)，C(0，4)
（2）6 （3）(，)或(，)或(，)
【解析】
【分析】（1）由y＝﹣x2+3x+4可得A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）；
（2）将C（0，4）向下平移至C'，使CC'＝PQ，连接BC'交抛物线的对称轴l于Q，可知四边形CC'QP是平行四边形，及得CP+PQ+BQ＝C'Q+PQ+BQ＝BC'+PQ，而B，Q，C'共线，故此时CP+PQ+BQ最小，最小值为BC'+PQ的值，由勾股定理可得BC'＝5，即得CP+PQ+BQ最小值为6；
（3）由在y＝﹣x2+3x+4得抛物线对称轴为直线x＝﹣＝，设Q（，t），则Q（，t+1），M（0，t+1），N（，0），知BN＝，QN＝t，PM＝，CM＝|t﹣3|，①当＝时，＝，可解得Q（，）或（，）；②当＝时，＝，得Q（，）．
【小问1详解】
解：在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝﹣1或x＝4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）．
【小问2详解】
将C（0，4）向下平移至，使，连接交抛物线的对称轴l于Q，如图所示：
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵B，Q，共线，
∴此时CP+PQ+BQ最小，最小值为的值，
∵C（0，4），，
∴，
∵B（4，0），
∴＝＝5，
∴，
∴CP+PQ+BQ最小值为6．
【小问3详解】
如图：
由y＝﹣x2+3x+4得，抛物线对称轴为直线，
设Q（，t），则P（，t+1），M（0，t+1），N（，0），
∵B（4，0），C（0，4）；
∴BN＝，QN＝t，PM＝，CM＝|t﹣3|，
∵∠CMP＝∠QNB＝90°，
∴△CPM和△QBN相似，只需＝或＝，
①当＝时，＝，
解得t＝或t＝，
∴Q（，）或（，）；
②当＝时，＝，
解得t＝或t＝（舍去），
∴Q（，），
综上所述，Q的坐标是(，)或(，)或(，)．
【点睛】本题主要考查二次函数综合应用，涉及二次函数图象上点坐标的特征，线段和的最小值，相似三角形的性质及应用等，解题的关键是分类讨论思想的应用．

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