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6.4 多边形的内角和与外角和
（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】多边形及其相关概念
1．多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．
2．多边形的相关概念
（1）多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．
（2）多边形的顶点：相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点．
（3）多边形的内角：多边形相邻两边所组成的在多边形内部的角叫做多边形的内角，简称多边形的角．
（4）多边形的外角：多边形的一边和它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．
（5）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线．
【知识点二】正多边形
各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．正多边形必须满同时满足以下两个条件：①各边都相等；②各角都相等．
【知识点三】凸多边形与凹多边形
多边形分为凸多边形和凹多边形．
如图①所示，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的多边形成为凸多边形；
而图②就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画出CD所在的直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧，所以我们称它为凹多边形．
图① 图②
【知识点四】多边形内角和定理
n边形的内角和等于（n-2）×180°．特别地，正n边形每个内角的度数是．
【知识点五】多边形外角和定理
1．多边形的外角和：在多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．
2．多边形外角和定理：多边形的外角和等于360°．
【考点目录】
【考点1】多边形的内角和问题；
【考点2】正多边形内角问题；
【考点3】多（少）算一个角和截角后的内角（和）问题；
【考点4】正多边形的外角和问题；
【考点5】多边形内角和与外角和综合问题．
【考点1】多边形内角和问题；
【例1】（23-24八年级上·湖北黄冈·期中）
1．阅读小明和小红的对话，解决下列问题．
(1)这个“多加的锐角”是__________度．
(2)小明求的是几边形内角和？
(3)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度？
【变式1】（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）
2．如图，将四边形纸片沿折叠，点分别落在点处．若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24七年级下·四川内江·期中）
3．一个n边形除一个内角外，其余各个内角的和为1680度，那么这个多边形的变边数是 ，这个内角是 度．
【考点2】正多边形内角问题；
【例2】（23-24八年级上·广东湛江·期中）
4．如图，已知正五边形，过点A作交的延长线于点F，交的延长线于点G，求证：是等腰三角形．
【变式1】（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）
5．将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果，，那么的度数等于（ ）

A． B． C． D．
【变式2】（23-24八年级下·重庆九龙坡·期中）
6．如图，五边形是正五边形，过点A作，则的度数为 ．
【考点3】多（少）算一个角和截角后的内角（和）问题；
【例3】（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）
7．（1）一个多边形的纸片，小明将这个多边形纸片剪去一个角后，得到的新多边形的内角和为2160°，求原多边形的边数．
（2）小明在算另一个多边形纸片的内角和时不小心少算了一个内角，得到的结果为2024°，求它的边数及少算的内角的度数．
【变式1】（23-24八年级上·甘肃平凉·期中）
8．一个多边形截取一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（ ）
A． B． C． D．以上都有可能
【变式2】（23-24八年级上·全国·课后作业）
9．小明在计算一个多边形的内角和时，漏掉了一个内角，结果算得，则这个内角的度数为 ．
【考点4】正多边形外角和问题；
【例4】（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）
10．如图1，图2，图3，在中，分别以AB、AC为边，向外作正三角形，正四边形，正五边形，BE、CD相交于点O．（正多边形的各边相等，各个内角也相等）
①如图1，求证：；
②探究：如图1，∠BOC=______°；
如图2，∠BOC=______°；
如图3，∠BOC=______°．
如图4，已知：AB、AD是以AB为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边；AC、AE是以AC为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边．BE、CD的延长相交于点O．
猜想：如图4，∠BOC=_________°（用含的式子表示）
【变式1】（21-22八年级上·黑龙江牡丹江·期中）
11．如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转后，再向左转后沿直线前进10米到达点D…，照这样走下去，第2次回到出发点A时所走的路程为（　　）

A．200米 B．160米 C．140米 D．80米
【变式2】（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）
12．一个正多边形的外角与它相邻的内角的度数之比是，则它是正 边形．
【考点5】多边形内角和与外角和综合；
【例5】（2024·浙江杭州·一模）
13．问题情境：在探索多边形的内角与外角关系的活动中，同学们经历了观察、猜想、实验、计算、推理、验证等过程，提出了问题，请解答．
（1）若四边形的一个内角的度数是α．
①求和它相邻的外角的度数（用含α的代数式表示）；
②求其它三个内角的和（用含α的代数式表示）．
（2）若一个n边形，除了一个内角，其余内角的和为，求n的值．
深入探究：
（3）探索n边形的一个外角与和它不相邻的个内角的和之间满足的等量关系，说明理由．
【变式1】（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）
14．如图，七边形中，，的延长线交于点，若，，，的外角和等于，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【变式2】（22-23七年级下·江苏泰州·阶段练习）
15．如图，五边形中，，，，分别是，，的外角，，则 ．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)
(2)小明求的是边形内角和
(3)这个正多边形的一个内角是
【分析】本题考查了多边形的内角和，一元一次方程的应用．熟练掌握多边形的内角和，一元一次方程的应用是解题的关键．
（1）由题意知，多边形的内角和为，是的整数倍，根据，计算求解即可；
（2）由题意知，，计算求解即可；
（3）根据这个正多边形的一个内角是，计算求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，多边形的内角和为，是的整数倍，
∴这个“多加的锐角”是 ，
故答案为：；
（2）解：由题意知，，
解得，，
∴小明求的是边形内角和；
（3）解：由题意知，这个正多边形的一个内角是，
∴这个正多边形的一个内角是．
2．A
【分析】本题考查了翻折变换，四边形的内角和，先根据，得出的度数，再由四边形内角和定理即可得出结论．
【详解】解：，
．
，
．
故选：A．
3． 12 120
【分析】本题考查多边形的内角和，根据多边形的内角和为的整数倍，进行求解即可．
【详解】解：设这个内角的度数为，由题意，得：，
∴，；
故答案为：12，120．
4．见解析
【分析】本题主要考查了正多边形的内角，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握多边形的内角和公式，先求出，根据等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质和三角形内角和定理，证明，即可得出结论．
【详解】证明：∵五边形是正五边形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
5．D
【分析】本题考查了等边三角形、正方形、正五边形的内角和、三角形的外角和，先求出等边三角形、正方形、正五边形每个内角的度数，再根据三角形的外角和等于列出等式计算即可求解，掌握正多边形的内角和公式和外角和等于是解题的关键．
【详解】解：等边三角形的每个内角为，
正方形的每个内角为，
正五边形的每个内角为，
如图，

∵的外角和等于，
∴，
即，
∴，
∵，，
∴，
故选：．
6．##36度
【分析】本题考查了多边形的内角和，三角形外角性质，平行线的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．利用多边形的内角和得到，利用平行线的性质得到，再利用三角形外角性质得到，即可解题．
【详解】解：五边形是正五边形，
，
延长，交于点，
，
，
；
故答案为：．
7．（1）13或14或15；（2）边数为14，内角为
【分析】本题考查多边形的内角和与切割问题：
（1）先根据多边形的内角和公式，求出现在多边形的边数，再分三种情况讨论即可；
（2）根据多边形的内角和为的整数倍，用2024°除以的结果中的整数加1再加2即为边数，再求出多边形的内角和减去2024°，即可．
【详解】解：（1）设新的多边形的边数为，由题意，得：，
∴，
∵切去一角有如图所示的三种切法，切完后新多边形的边数可以比原多边形多一条边，相等，少一条边，三种情况，

故：原多边形的边数为13或14或15；
（2）设多边形的边数为，
∵，
∴，
∴，
∴少算的内角的度数为，
故多边形的边数为14，少算的内角度数为．
8．D
【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理及多边形截去一个角有三种情况，首先计算截取一个角后多边形的边数，然后分三种情况讨论，因为截取一个角可能会多出一个角，也可能角的个数不变，也可能少一个角，从而得出结果，解题的关键是掌握多边形的内角和及分类讨论思想．
【详解】解：设剪去一个角后的多边形边数为，根据题意得，
∴ 即得到的多边形是边形，
当沿的是一条对角线剪去一个角，则原来的是边形；
当沿的直线并不是对角线时，分为两种情况：
过多边形的一个顶点，则原来的是边形；
不过多边形的顶点，则原来的是边形，
∴原来多边形的边数可能是或或，
故选：．
9．##100度
【分析】设这个多边形的边数是n，根据漏掉的那个内角的范围介于可得关于n的不等式组，求出n的范围结合n为正整数即得答案．
【详解】解析：设这个多边形的边数是n，
依题意，得，
解得．
又n为正整数，
∴．
∴这个内角的度数为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了多边形的内角和，正确理解题意、求出n的范围是关键．
10．①见解析；②；；；
【分析】①根据等边三角形的性质和等式的性质可以得出∠BAE=∠DAC，然后根据“SAS”可证；
②在图1中，根据三角形的外角与内角的关系就可以求出∠BOC的值，在图2中，连接BD，然后用同样的方法证明，根据三角形外角与内角之间的关系就可以求出∠BOC的值，在图3中，连接BD，然后用同样的方法证明，根据三角形外角与内角之间的关系就可以求出∠BOC的值，在图4中，延长BA交CD于F，然后用同样的方法证明，根据三角形外角与内角之间的关系就可以求出∠BOC的值．
【详解】①证明：∵和都是等边三角形，
∴AB=AD，AC=AE，，
∴∠BAE=∠DAC，
在和中，
，
∴（SAS）
②解：如图1，
∵，
∴∠ABE=∠ADC，
又∠BOC=∠ODB+∠OBD=∠ODB+∠OBA+∠ABD，
∴∠BOC=∠ODB+∠ADC+∠ABD=∠ADB+∠ABD=；
如图2，连接BD，
∵四边形ABFD和四边形ACGE都是正方形，
∴AB=AD，AC=AE，，，
∴∠BAE=∠DAC，
∴（SAS），
∴∠ABE=∠ADC，
又∠BOC=∠ODB+∠OBD=∠ADB+∠ODA +∠DBO，
∴∠BOC=∠ADB+∠OBA +∠DBO =∠ADB+∠ABD=；
如图3，连接BD，
∵五边形ABHFD和五形ACIGE都是正方形，
∴AB=AD，AC=AE，，，
∴∠BAE=∠DAC，
∴（SAS），
∴∠ABE=∠ADC，
又∠BOC=∠ODB+∠OBD=∠ADB+∠ODA +∠DBO，
∴∠BOC=∠ADB+∠OBA +∠DBO =∠ADB+∠ABD=；
如图4，延长BA交CD于F，
根据题意，得∠BAD=∠CAE，AB=AD，AC=AE，，
∴∠BAE=∠DAC，
∴（SAS），
∴∠ABE=∠ADC，
∵∠BFC=BOC+∠ABE=∠FAD+∠ADC，
∴∠BOC=．
故答案为：；；；．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用，正方形的性质的运用，正五边形的性质的运用及正n边形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时根据正多边形的性质证明三角形全等是解题的关键．
11．B
【分析】根据题意，小明走过的路程是正多边形，先用除以求出边数，进而即可求解．
【详解】解：∵小明每次都是沿直线前进10米后向左转，
∴他走过的图形是正多边形，
∴边数，
∴他第1次回到出发点A时，一共走了（m），
∴第2次回到出发点A时所走的路程为（m）．
故选：B．
【点睛】本题考查了正多边形的边数的求法，多边形的外角和为；根据题意判断出小明走过的图形是正多边形是解题的关键．
12．十二
【分析】本题考查了正多边形的定义，多边形的外角定理等知识．先求出正多边形的每个外角为，进而得到正多边形的边数为12，问题得解．
【详解】解：∵正多边形的外角与它相邻的内角的度数之比是，
∴这个正多边形的每个外角为，
∴这个正多边形的边数为，
即它是正十二边形．
故答案为：十二
13．（1）①，②（2）；（3），理由见解析
【分析】（1）①根据一个内角与它相邻的外角的和是进行计算即可；②四边形的内角和是进行计算即可；
（2）根据多边形的内角和的计算方法进行计算即可；
（3）表示出和它不相邻的个内角的和即可．
【详解】解：（1）①四边形的一个内角的度数是，则与它相邻的外角的度数；
②由于四边形的内角和是其中一个内角为，则其它三个内角的和为；
（2）由题意得，
，
的正整数，，
，
即这个多边形为八边形；
（3）设边形的一个外角为，它不相邻的个内角的和为，
则有，
即．
14．A
【分析】本题主要考查多边形的内角和的应用，利用内角和外角的关系求得，，，的和是解题的关键．
根据题意，由外角和内角的关系可求得，，，的和，由五边形内角和可以求得五边形的内角和，由此求出，选出答案．
【详解】解：根据题意得：
，，，的外角和等于，
，
，
五边形内角和，
，
，
故选：．
15．##85度
【分析】本题考查多边形的内角和和外角的综合应用，根据多边形的内角和定理，结合两直线平行，同旁内角互补，以及平角的定义求出的度数，进而求出的度数即可．
【详解】解：∵五边形，，
∴五边形的内角和为，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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