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6．2　平面向量的运算
6.2.1　向量的加法运算
1. 借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加法运算及其几何意义．
2. 掌握平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则，会作两个已知平面向量的和向量．
3. 理解平面向量的加法交换律和结合律，并能熟练地运用其进行平面向量计算．
活动一 了解向量加法的概念及运算
1. 问题引入：
(1) 如图，一个人先从景点O到景点A，再从景点A到景点B和这个人直接由景点O到景点B的结果是相同的，即都从景点O到达景点B.
利用向量表示就是：从景点O到景点A的位移为，从景点A到景点B的位移为，由景点O到景点B的位移为，那么向量，，三者之间有何关系？
(2) 如图，在光滑的平面上，一个物体同时受到两个外力F1与F2的作用，你能作出这个物体所受的合力F吗？
2. 向量的加法：
练习　如图，已知向量a，b，试作出向量a＋b.
思考1
若向量a与b共线，则向量a＋b与向量a是否共线？
3. 向量加法的法则：
(1) 三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．
表示：＋＝________；
(2) 平行四边形法则：如图，以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作 OACB，则以O为起点的向量(OC是 OACB的对角线)就是向量a与b的和．这种作两个向量和的方法叫作向量加法的平行四边形法则．
思考2
已知向量a，b，则向量a＋b与向量b＋a关系如何？
思考3
向量(a＋b)＋c与向量a＋(b＋c)关系如何？
思考4
根据向量的加法法则，|a＋b|与|a|和|b|之间存在什么关系？
4. 向量加法的运算律：
思考5
如果平面内有n个向量依次首尾连接组成一条封闭折线，那么这n个向量的和是什么向量？
活动二　掌握向量加法的简单应用　
例1　如图，已知O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量：
(1) ＋；
(2) ＋；
(3) ＋.
向量求和的三角形法则与平行四边形法则的区别与联系：当两个向量不共线时，它们是一致的，但当两个向量共线时，三角形法则仍然适用，而平行四边形法则就不适用了．
设a，b都是单位向量，则|a＋b|的取值范围是________．
例2　长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如图，一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为15 km/h，同时江水的速度为向东6 km/h.
(1) 用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
(2) 求船实际航行的速度的大小(结果保留小数点后一位)与方向(用与江水速度间的夹角表示，精确到1°).
对于实际生活中的矢量问题，应该先在平面上画出图形，再根据平面向量的加法法则去运算，最后回归到实际中去．
已知a表示“向东走了2 km”， b表示“向南走了2 km”， c表示“向西走了2 km”， d表示“向北走了2 km”．
(1) a＋d 表示向________走了________km；
(2) b＋c 表示向________走了________km；
(3) a＋c＋d表示向________走了________km；
(4) b＋c＋d表示向________走了________km.
1. 向量＋＋＋＋ 等于(　　)
A. B. 　 C. D.
2. 设a，b是非零向量，则“a，b共线”是“|a＋b|＝|a|＋|b|”的(　　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. (多选)已知D，E，F分别是△ABC各边的中点，则下列等式中正确的是(　　)
A. ＋＝
B. ＋＋＝0
C. ＋＝
D. ＋＝
4. 已知a，b，c是非零向量，则向量(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(a＋b)，c＋b＋a中与向量a＋b＋c相等的有________个．
5. (2023高一课时练习)如图，在任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．求证：＋＝2.
【答案解析】
6．2　平面向量的运算
6.2.1　向量的加法运算
【活动方案】
1. (1) ＋＝
(2) 合力F在以OA，OB为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小等于这条对角线的长．
2. 求两个向量和的运算，叫作向量的加法．
练习：
思考1：共线
3. (1)
思考2：a＋b＝b＋a
思考3：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
思考4：|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立．
4. 向量的加法满足交换律和结合律．
思考5：零向量
例1　作图略．
(1) ＋＝
(2) ＋＝
(3) ＋＝0
跟踪训练　[0，2]　解析：当a，b同向时，|a＋b|取最大值2；当a，b反向时，|a＋b|取最小值0；当a，b不共线时，|a＋b|在(0，2)之间，所以|a＋b|的取值范围是[0，2].
例2　(1) 如图． 表示船速，表示江水速度，以AD，AB为邻边作 ABCD，则表示船实际航行的速度．
(2) 在Rt△ABC中，||＝6，||＝15，所以||＝＝＝≈16.2.
因为tan ∠CAB＝＝，所以利用计算工具可得∠CAB≈68°.
故船实际航行速度的大小约为16.2 km/h，方向与江水速度间的夹角约为68°.
跟踪训练　(1) 东北　2　(2) 西南　2 (3) 北　2　(4) 西　2
解析：(1) 根据向量加法，得a＋d表示向东北走了2 km；(2) b＋c表示向西南走了2 km；(3) a＋c＋d＝d，表示向北走了2 km；(4) b＋c＋d＝c，表示向西走了2 km.
【检测反馈】
1. A　解析：＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝.
2. B　解析：已知a，b是非零向量，若a，b共线，且a，b方向相反，则|a＋b|≠|a|＋|b|；反之，若|a＋b|＝|a|＋|b|，则a，b共线，且方向相同，即“|a＋b|＝|a|＋|b|”可推出“a，b共线”，故“a，b共线”是“|a＋b|＝|a|＋|b|”的必要不充分条件．
3. ABC　解析：＋＝，故A正确；＋＋＝＋＝0，故B正确；＋＝＋＝＝≠，故C正确，D错误．故选ABC.
4. 5
5. 因为E，F分别是AD，BC的中点，
所以＝，＝.
因为＝＋＋，＝＋＋，
所以＋＝＋＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋2＝2.

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