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6．2.2　向量的减法运算
1. 掌握相反向量的概念及其在向量减法中的作用．
2. 掌握向量的减法，会作两个向量的差向量，并理解其几何意义．
活动一 了解向量减法的概念
1. 复习回顾：
向量的加法运算法则是什么？
2. 相反向量：
与数x的相反数是－x类似，我们规定，与向量a长度相等，方向相反的向量，叫作a的相反向量，记作－a.由于方向反转两次仍回到原来的方向，因此a和－a互为相反向量，于是－(－a)＝a.
我们规定，零向量的相反向量仍是零向量．
练习　(1) －(－a)＝________；
(2) a＋(－a)＝ ________；(－a)＋a＝________；
(3)设a与b互为相反向量，那么a＝________，b＝________，a＋b＝________．
思考1
在数的运算中，减法是加法的逆运算，其运算法则是“减去一个数等于加上这个数的相反数”．类比数的减法，向量的减法与加法有什么关系？如何定义向量的减法法则？
3. 向量减法的概念：
利用数的减法运算和向量加法运算的定义得到向量减法定义：
活动二 掌握向量的减法运算
例1　如图，已知向量a，b不共线，试作出向量a－b.　
思考2
如果a∥b，那么怎样作出a－b呢？
思考3
向量减法的几何意义是怎样的？
例2　已知O是平行四边形ABCD的对角线的交点，若＝a，＝b，＝c.求证：b＋c－a＝.
在平面几何中解决向量问题，一定要将两个向量之间的运算放在同一个三角形中，可以通过平移其中的一个向量来达到此目的，同时要注意向量的加减法满足交换律和结合律．
已知△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M为斜边AB的中点，＝a，＝b.求证：
(1) |a－b|＝|a|；
(2) |a＋(a－b)|＝|b|.
例3　已知|a|＝6，|b|＝8，且|a＋b|＝|a－b|，求|a－b|.
根据向量加减法的几何意义，可以由条件联想到用图形来解决问题．
已知O为四边形ABCD所在的平面内的一点，且向量，，，满足等式＋＝＋，若E为AC的中点，则等于(　　)　　　　　　　　　　
A. B. 　 C. D.
例4　已知两个向量a，b不共线，求证：
(1) ||a|－|b||＜|a＋b|＜|a|＋|b|；
(2) ||a|－|b||＜|a－b|＜|a|＋|b|.
根据平面向量的加减法的三角形法则与三角形的特征(两边之和大于第三边)，易得到向量的加减法中模的性质．
已知||＝6，||＝9，求|－|的取值范围．
1. 如图，向量＝a，＝b，＝c，则向量可以表示为(　　)
A. a＋b－c
B. a－b＋c
C. b－a＋c
D. b－a－c
2. 已知下列各式：①＋＋；②＋＋＋；③＋＋＋；④－＋－.其中结果为零向量的个数为(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. (多选)如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中正确的是(　　)
A. ＝
B. ＋＝
C. －＝
D. ＋＝0
4. (2023红河一中阶段练习)若||＝2，||＝6，则||的取值范围是________．
5. (2023南阳高一统考)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB和BC的中点，G为 AC与BD的交点．
(1) 若||＝|＋＋|，则四边形ABCD是什么特殊的平行四边形？并说明理由．
(2) 化简－－，并在图中作出表示该化简结果的向量．
【答案解析】
6．2.2　向量的减法运算
【活动方案】
1. 三角形法则和平行四边形法则．
练习：(1) a　(2) 0　0　(3) －b　－a　0
思考1：向量的减法可转化为向量的加法来进行：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．
3. 向量a加上b的相反向量，叫作a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，求两个向量差的运算叫作向量的减法．
例1　
思考2：设＝a，＝b.
①若a与b同向，
②若a与b反向，
思考3：如图，已知向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b，即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，这是向量减法的几何意义．
例2　b＋c－a＝＋－＝＋－＝－＝＝.
跟踪训练　如图，在等腰直角三角形ABC中，由M是斜边AB的中点，得||＝||，||＝||.
(1) 在△ACM中，＝－＝a－b.
由||＝||，得|a－b|＝|a|.
(2) 因为＝＝a－b，
所以＝－＝a－b＋a＝a＋(a－b).
由||＝||，得|a＋(a－b)|＝|b|.
例3　因为|a＋b|＝|a－b|，
所以根据平行四边形法则，
得|a|，|b|为一个矩形的两条邻边的长，
所以|a－b|＝＝10.
跟踪训练　B　解析：因为向量，，，满足等式＋＝＋，所以－＝－，即＝，则四边形ABCD为平行四边形．因为E为AC的中点，所以E为对角线AC与BD的交点，则S△EAB＝S△ECD＝S△ADE＝S△BCE，所以＝.
例4　如图，设a＝，b＝，以OA，OB为邻边作一个平行四边形OACB，则＝a＋b，＝a－b.
(1) 在△AOC中，|AO－AC|所以||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|.
(2) 在△AOB中，|OA－OB|所以||a|－|b||<|a－b|<|a|＋|b|.
跟踪训练　|||－|||≤|－|，当且仅当与共线且同向时取等号；
|－|≤||＋||，当且仅当与共线且反向时取等号，
即|||－|||≤|－|≤||＋||，
所以|－|的取值范围为[3，15].
【检测反馈】
1. C　解析：依题意，得＝－＝＋－＝b－a＋c.
2. B　解析：①＋＋＝＋＝0；②＋＋＋＝＋(＋＋)＝＋0＝；③＋＋＋＝＋＝；④－＋－＝＋＋＋＝＋＝0.故结果为零向量的个数为2.
3. ABD　解析：在平行四边形ABCD中，根据向量的加减法法则知A，B，D正确；－＝，故C错误．故选ABD.
4. [4，8]　解析：因为＝－，||＝2，||＝6，所以|||－|||≤||≤||＋||，即4≤||≤8.
5. (1) 因为||＝|＋＋|＝||，
即AB＝AD，
又四边形ABCD是平行四边形，
所以四边形ABCD是菱形．
(2) 由平行四边形及三角形中位线的性质可知＝，
所以－－＝－－＝－(＋)＝－＝.
作出向量如图所示．

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