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2023-2024学年第二学期初三综合测试二
数学问卷
本试卷共8页， 25题， 满分120分． 考试用时120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必在答题卡第 1 面、第 3 面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写学校、班级、姓名：填写考生号、座位号，再用 2B 铅笔把对应这两个号码的标号涂黑．
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号：不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用 2B 铅笔画图．答案必须写在答题卡各题指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回，本试卷自留．
第一部分：选择题(30分)
一、选择题： (本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填在答题卡上)
1. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2. 中国航天科工集团公司的技师们可以运用数控微雕这项技术，在一个直径只有一角硬币大小的金属片上打孔，这个孔的直径是一根头发丝的三分之一．若一根头发丝的直径大约为，且，则金属片上这个孔的直径用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 某市举办了“传诵经典”青少年演讲比赛，其中综合荣誉分占，现场演讲分占，小明参加并在这两项中分别取得90分和80分的成绩，则小明的最终成绩为（ ）
A. 81分 B. 82分 C. 83分 D. 84分
4. 下列计算正确的是（　　　）
A. B. C. D.
5. 如图，在中，轴，点、在反比例函数图象上，若的面积是8，则的值是　　
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
6. 如图是两个形状、大小完全一样的小长方形拼接而成的图形，已知，，则此图形的面积为（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
7. 如图，正六边形的半径为4，则该正六边形的边心距为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，平面直角坐标系中，已知矩形，为原点，点、分别在轴、轴上，点的坐标为，连接，将沿直线翻折，点落在点的位置，则 的值是（　　）
A. B. C. D.
9. 如图，把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若，则截面的半径等于（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在正方形 中，点E在对角线上，连接，作交于点F，连接交于点H，延长交点K，连接．下列结论：①，②；③；④若，则 ．其中结论正确的序号是（　）
A. ①②④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④
第二部分：填空与解答题 (90分)
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，满分18分，请将答案填在答题卡上)
11. 不等式的解集为 ___________．
12. 若，则__________________．
13. 如图，在中，过点分别作于点于点．若，且的周长为32，则的长为_________．
14. 已知一次函数不过第一象限，则的取值范围是________．
15. 如图，数轴上点A表示的数为a，化简________．
16. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，是的中点，是的中点，连接，若，则线段的最小值是________．
三、解答题： (本大题共9题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. 解方程：．
18. 如图，点在上，与交于点，且．求证：．
19. 先化简，再求值：，且a值满足．
20. 为加强公民的节水意识，某城市制定了以下用水收费标准：每户每月用水未超过7立方米时，每立方米收费元并加收元的城市污水处理费；超过7立方米的部分每立方米收费元并加收元的城市污水处理费．设某户每月用水量为x(立方米)，应交水费为y(元)．
（1）分别写出未超过7立方米和多于7立方米时，y与x的函数关系式；
（2）如果小明家11月用水 12立方米，应付水费多少元？
21. 某校为落实“双减”政策，增强课后服务的丰富性，充分用好课后服务时间，3月份学校开展数学学科活动，其中七年级开展了五个项目（每个学生只能参加一个项目）；A．阅读数学名著；B、讲述数学故事；C、制作数学模型；D、参与数学游戏；E、挑战数学竞赛．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果．绘制了如图所示的两幅不完整的统计图：
根据图中信息，解答下列问题：
（1）①此次调查一共随机抽取了________名学生；
②补全条形统计图（要求在条开图上方注明名数）；
③扇形统计图中圆心角_________度．
（2）若该年级有学生1100名，请你估计该年级参加D项目的学生大约有多少名？
（3）在C项目展示活动中，某班获得一等奖学生有3名男生，2名女生，则从这5名学生中随机抽取2名学生代表本班参加学校制作数学模型活动，请画树状图或列表法求出恰好抽到2名男生的概率．
22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数． 所在直线与反比例函数 的图象在第一象限内交于和 两点， 连接， 把沿x轴向右平移3个单位长度得到线段恰好过点 B且点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）请结合函数图象，直接写出关于x不等式 的解集；
（3）求梯形的面积．
23. 如图， 在 中， 以为直径的交于D．
（1）尺规作图：过点B作 ，交于点E(不写作法，请保留作图痕迹)；
（2）在（1）的条件下，当时，求的长度．
24. 如图1，点E是正方形的对角线上一个动点（不与重合），连接，作等腰直角，其中与相交，连接．
（1）求证：；
（2）如图2，点G为的中点，连接．
①是什么特殊三角形，并说明理由；
②线段与之间有什么数量关系，并证明你的结论．
25. 已知抛物线 与x轴相交于A，B两点 (点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，过抛物线的顶点 D作 轴于点M，点 N在y轴正半轴上， ，点P在抛物线上，过点P作x轴垂线，交x轴于点E，交直线MN于点 F．
（1）若 ；
①求抛物线顶点D和点A的坐标；
②若点P在第一象限，过点P作垂直直线于点H， ，求点E的坐标；
（2）若，点P与点C关于抛物线的对称轴对称，射线交直线于点 G， 当时，求顶点D的坐标．2023-2024学年第二学期初三综合测试二
数学问卷
本试卷共8页， 25题， 满分120分． 考试用时120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必在答题卡第 1 面、第 3 面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写学校、班级、姓名：填写考生号、座位号，再用 2B 铅笔把对应这两个号码的标号涂黑．
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号：不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用 2B 铅笔画图．答案必须写在答题卡各题指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回，本试卷自留．
第一部分：选择题(30分)
一、选择题： (本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填在答题卡上)
1. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用二次根式的定义即可得出答案．
【详解】∵式子在实数范围内有意义，
∴x的取值范围是：x＞3．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解答本题的关键．
2. 中国航天科工集团公司技师们可以运用数控微雕这项技术，在一个直径只有一角硬币大小的金属片上打孔，这个孔的直径是一根头发丝的三分之一．若一根头发丝的直径大约为，且，则金属片上这个孔的直径用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．
【详解】解：依题意，．
故选：C．
3. 某市举办了“传诵经典”青少年演讲比赛，其中综合荣誉分占，现场演讲分占，小明参加并在这两项中分别取得90分和80分的成绩，则小明的最终成绩为（ ）
A. 81分 B. 82分 C. 83分 D. 84分
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查加权平均数．根据加权平均数的求法求解即可．
【详解】解：（分）．
所以小明的最终成绩为83分．
故选：C．
4. 下列计算正确的是（　　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项、幂的乘方、 利用二次根式的性质化简，同底数幂相乘，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、不是同类项，不能合并，故该选项是错误的；
B、，故该选项是错误的；
C、，故该选项是错误的；
D、，故该选项是正确的；
故选：D．
5. 如图，在中，轴，点、在反比例函数图象上，若的面积是8，则的值是　　
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】连接，根据平行四边形的性质得到的面积的面积，，于是得到结论．
【详解】解：连接，
四边形是平行四边形，的面积是8，
的面积的面积，，
∴点B、D横坐标互为相反数，
∴点B、D纵坐标也互为相反数，
又轴，，
∴,
∴
，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，平行四边形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
6. 如图是两个形状、大小完全一样的小长方形拼接而成的图形，已知，，则此图形的面积为（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】设小长方形的长为，宽为，根据图形列出方程组进行计算，再利用面积公式进行计算即可．
【详解】解：设小长方形的长为，宽为，
依题意得：
解得：
，
小长方形面积为．
则此图形的面积为．
故选：B．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用．根据题意正确的列出方程组是解题的关键．
7. 如图，正六边形的半径为4，则该正六边形的边心距为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数，过正多边形中心O作，连接，证出是等边三角形，根据锐角三角函数的定义求解即可．
【详解】解：如图，过正多边形中心O作，连接，
多边形为正六边形，
，
，
为等边三角形，
，
故选：B．
8. 如图，平面直角坐标系中，已知矩形，为原点，点、分别在轴、轴上，点的坐标为，连接，将沿直线翻折，点落在点的位置，则 的值是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据翻折不变性及勾股定理求出、长，再根据相似三角形的性质，求出的长，的长即可解决问题；
【详解】解：作轴于，轴于，交于．
在与中，
，
，
，
设，
则，
于是在中，；
解得．
；
轴，轴，
，
，
，
，
；
又，
．
．
故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、矩形与折叠的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
9. 如图，把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若，则截面的半径等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用、矩形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，设球的平面投影圆心为O，过点O作于点N，延长交于点M，连接由垂径定理得设，则，然后在中，由勾股定理求出的长即可，
【详解】解：设球的平面投影圆心为O，过点O作于点N，延长交于点M，连接，如图所示∶
则，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
设，则，
∴
在中，由勾股定理得∶
，
即∶’，
解得∶
即截面的半径长是．
故选∶C．
10. 如图，在正方形 中，点E在对角线上，连接，作交于点F，连接交于点H，延长交点K，连接．下列结论：①，②；③；④若，则 ．其中结论正确的序号是（　）
A. ①②④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】①连接，证明，得到，，利用四边形内角和和平角定义，证明，得到，则问题可证；②将绕点C逆时针旋转，使与重合，得到，连，先证明，再证明，由勾股定理得到，则问题可证；③利用外角定义正，再证明则有，可得；④，证明由相似三角形性质得到，再利用得到方程求解即可．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，故①正确；
将绕点C逆时针旋转，使与重合，得到，连，
由旋转可知，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故③正确；
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
解得，，
故④正确，
故选：D．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
第二部分：填空与解答题 (90分)
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，满分18分，请将答案填在答题卡上)
11. 不等式的解集为 ___________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可．
【详解】解：
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
故答案为：．
12. 若，则__________________．
【答案】##
【解析】
【分析】先将原式变形为，再将，代入计算即可．本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
【详解】解：，，
，
故答案为：．
13. 如图，在中，过点分别作于点于点．若，且的周长为32，则的长为_________．
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的周长与面积得到关于、的两个方程，然后解方程即可．
【详解】解∵的周长，
∴①，
∵，，，，
∴，即②，
联立①②解得，，
故答案为：10．
14. 已知一次函数不过第一象限，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据一次函数不过第一象限，可得，解不等式组即可得到答案．
【详解】解：一次函数不过第一象限，
，
解得：，
的取值范围是：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数（为常数，）是一条直线，当时，直线经过一、三象限，随的增大而增大，当时，直线经过二、四象限，随的增大而减小，当时，直线交于轴的正半轴，当时，直线过原点，当时，直线交于轴的负半轴．
15. 如图，数轴上点A表示的数为a，化简________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了数轴及二次根式的性质与化简；利用数轴表示数的方法得到，再利用二次根式的性质得到原式，然后去绝对值后合并即可．
【详解】解：根据数轴A点表示的数得，
∴
．
故答案为：1．
16. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，是的中点，是的中点，连接，若，则线段的最小值是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形的三边关系．如图连接，由直角三角形的性质和旋转的性质可得，可求出，由三角形的三边关系可求解．掌握辅助线的作法及旋转的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
在中，
∵，，，
∴，
∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，即，
∴的最小值为（此时、、共线）．
故答案为：．
三、解答题： (本大题共9题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了解分式方程，去分母把方程化为整式方程，解方程后，再检验后即可得到答案．
【详解】解：
方程两边都乘，得.
去括号，得，
解得.
检验、当时，，
所以原方程的解为.
18. 如图，点在上，与交于点，且．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题考查三角形全等的判定、等腰三角形的判定与性质等知识，先由得到，再由两个三角形全等的判定定理即可得证，熟记三角形全等的判定定理是解决问题的关键．
【详解】证明：，
，
，，
，
在和中，
．
19. 先化简，再求值：，且a的值满足．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查的是分式的化简求值，根据分式的基本性质及运算法则，有括号先算括号里面的，注意利用因式分解先约分化简，再整体代入计算即可求解．
【详解】解：原式＝；
＝；
；
；
∵；
∴；
∴原式．
20. 为加强公民的节水意识，某城市制定了以下用水收费标准：每户每月用水未超过7立方米时，每立方米收费元并加收元的城市污水处理费；超过7立方米的部分每立方米收费元并加收元的城市污水处理费．设某户每月用水量为x(立方米)，应交水费为y(元)．
（1）分别写出未超过7立方米和多于7立方米时，y与x的函数关系式；
（2）如果小明家11月用水 12立方米，应付水费多少元？
【答案】（1）；
（2）元
【解析】
【分析】本题考查列函数关系式和求函数值，解题的关键是读懂题意，理清收费标准．
（1）根据题干中给定的收费标准列出函数关系式即可．
（2）根据（1）所求把代入中求出y的值即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意得，；
【小问2详解】
解：在中，当时，，
∴如果小明家11月用水 12立方米，应付水费元．
21. 某校为落实“双减”政策，增强课后服务的丰富性，充分用好课后服务时间，3月份学校开展数学学科活动，其中七年级开展了五个项目（每个学生只能参加一个项目）；A．阅读数学名著；B、讲述数学故事；C、制作数学模型；D、参与数学游戏；E、挑战数学竞赛．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果．绘制了如图所示的两幅不完整的统计图：
根据图中信息，解答下列问题：
（1）①此次调查一共随机抽取了________名学生；
②补全条形统计图（要求在条开图上方注明名数）；
③扇形统计图中圆心角_________度．
（2）若该年级有学生1100名，请你估计该年级参加D项目的学生大约有多少名？
（3）在C项目展示活动中，某班获得一等奖的学生有3名男生，2名女生，则从这5名学生中随机抽取2名学生代表本班参加学校制作数学模型活动，请画树状图或列表法求出恰好抽到2名男生的概率．
【答案】（1）①②见详解③54
（2）名
（3）
【解析】
【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用以及利用树状图求概率率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
（1）①根据讲述数学故事的名数是100名，所占的比例是，据此即可求得此次调查的学生人数；②用总人数乘以项所占百分比即可得阅读数学名著的人数，再用总人数减去、、、的人数即可得的人数，从而画出条形统计图；③将乘以所占百分比即可得解；
（2）利用总人数1100乘以对应的百分比即可求得；
（3）根据题意画出树状图即可得解．
【小问1详解】
解：（1）①（名，
故答案为400；
②阅读数学名著（名，
制作数学模型（名，
补全统计图如下：
③，
故答案为：54；
【小问2详解】
解：项目的学生：（名；
【小问3详解】
解：列表法如下：
男1 男2 男3 女1 女2
男1
（男1，男 （男1，男 （男1，女 （男1，女
男2 （男2，男
（男2，男 （男2，女 （男2，女
男3 （男3，男 （男3，男
（男3，女 （男3，女
女1 （女1，男 （女1，男 （女1，男
（女1，女
女2 （女2，男 （女2，男 （女2，男 （女2，女
共有20种等可能的情况，其中抽到2名男生的情况数为6种，
22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数． 所在直线与反比例函数 的图象在第一象限内交于和 两点， 连接， 把沿x轴向右平移3个单位长度得到线段恰好过点 B且点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）请结合函数图象，直接写出关于x的不等式 的解集；
（3）求梯形的面积．
【答案】（1）反比例函数为，一次函数为
（2）或
（3）梯形的面积为9
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形性质得到A，C两点的坐标，根据待定系数法求出两个函数解析式即可；
（2）根据两个函数图象及交点坐标，直接写出不等式解集即可；
（3）先求出，再求出，两者做差就得梯形面积．
【小问1详解】
解：根据题意知，，，
四边形是平行四边形，
点和点的横坐标相差3，纵坐标相同，
即，
，，
反比例函数的图象过，
.，
反比例函数为，
把代入，得，
，
把，代入得：
，
解得，
一次函数为；
【小问2详解】
由函数图象可得的解集为或；
【小问3详解】
，点A到的距离为4，
，
，
点B到的距离为，
，
．
梯形的面积为9．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，平行四边形的判定与性质，图形的平移，反比例函数与一次函数解析式的求解，由函数图像求不等式的解集等知识，交点坐标满足两个函数解析式是解答本题的关键．
23. 如图， 在 中， 以为直径的交于D．
（1）尺规作图：过点B作 ，交于点E(不写作法，请保留作图痕迹)；
（2）在（1）的条件下，当时，求的长度．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了尺规作图、解直角三角形、圆周角定理等知识点，灵活运用解直角三角形解决问题成为解题的关键．
（1）根据运用尺规作垂线的方法即可解答；
（2）如图：连接，由已知条件可得，再根据运用正弦函数可得，然后再说明、；根据直角三角形的性质可得，然后再解直角三角形即可解得．
【小问1详解】
解：如图即为所求．
【小问2详解】
解：如图：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴,
∴．
24. 如图1，点E是正方形的对角线上一个动点（不与重合），连接，作等腰直角，其中与相交，连接．
（1）求证：；
（2）如图2，点G为的中点，连接．
①是什么特殊三角形，并说明理由；
②线段与之间的有什么数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）见解析 （2）①是等边三角形，理由见解析；②，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质得出，根据等腰直角三角形的性质得出，则，即可证明；
（2）①连接，通过证明，推出，进而得出，则，即可得出，得出结论是等边三角形；②设，先求出，则，通过证明是等边三角形，得出，则，进而得出，即可得出结论．
【小问1详解】
解：∵四边形正方形，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴；
【小问2详解】
解：①连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点G为的中点，，
∴，即，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴是等边三角形；
②，证明如下：
证明：设，
∵是等边三角形；
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点G为的中点，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，则，
∵是等腰直角三角形，
∴，即，
整理得：，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，并灵活运用．
25. 已知抛物线 与x轴相交于A，B两点 (点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，过抛物线的顶点 D作 轴于点M，点 N在y轴正半轴上， ，点P在抛物线上，过点P作x轴垂线，交x轴于点E，交直线MN于点 F．
（1）若 ；
①求抛物线顶点D和点A的坐标；
②若点P在第一象限，过点P作垂直直线于点H， ，求点E的坐标；
（2）若，点P与点C关于抛物线的对称轴对称，射线交直线于点 G， 当时，求顶点D的坐标．
【答案】（1）①，；②
（2）
【解析】
【分析】本题属于二次函数综合问题，主要考查了解直角三角形、求二次函数解析式、勾股定理等知识点，灵活运用解直角三角形成为解题的关键．
（1）①直接运用待定系数法求解即可；②设，其中，由轴于点M，在中，得出，求得直线 的解析式为，由于点H，轴于点E，交于点F，则，在中，，根据列方程求解即可；
（2）根据解析式得出顶点坐标，同（）可得，在中，，根据列出方程可得得，根据由，点F在直线：上，得出，进而可得即可．
【小问1详解】
解：①将，代入可得，即，其顶点D为，
令，得，即，
令，得，解得，即，．
②点P在第一象限，设，其中，由轴于点M，

由①顶点，，，,
有，即
∵点N在y轴正半轴，，
故在中，，即，
设直线 的解析式为：，代入，
可得：，解得：，
即直线 的解析式为，
由于点H，轴于点E，交于点F，
∴，,
在中，,
∵点P在第一象限，
∴，即，解得 （舍去），即．
【小问2详解】
解：由，点P与点C关于抛物线的对称轴对称，
∴，对称轴直线，，
∴顶点坐标为即，
同（1）可得，在中，，
∴，
∵，
∴，解得：;
在中，，
在中，，
由，点F在直线：上，
则，，解得：，
∵，
∴顶点D的坐标为．

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