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6．3　平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1　平面向量基本定理
理解平面向量基本定理及其意义，会用平面内两个不共线的向量表示平面内任一向量．
活动一 平面向量基本定理
火箭在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度．
　　
探究1：平面内任一向量都可以用这一平面内给定的两个不共线向量表示吗？如图，已知平面中两个不共线向量e1，e2，a是平面内的任一向量，则向量a如何用e1与e2表示？其作法体现了向量的什么运算？试试自己画出另一个向量，也用e1与e2表示．
探究2：平面内的任一向量a都可以用任意两个向量表示吗？
1. 平面向量基本定理：
2. 基底：
对于一个平面内两个不共线的向量e1，e2有如下结论：①任何一个向量a都可以表示成e1与e2的一个线性组合，即a＝λ1e1＋λ2e2(存在性)；②这个线性组合的表达式是唯一的，即实数λ1，λ2唯一确定(唯一性).
活动二 掌握平面向量基本定理的简单应用
例1　如图，，不共线，且＝t(t∈R)，用，表示.
思考
观察＝(1－t)＋t，你有什么发现？
平面上三点共线的向量表示的一般结论：平面上三点A，B，C共线的等价条件是存在实数λ，μ，使得＝λ＋μ，其中λ＋μ＝1，O为平面内任意一点．
在△OAB所在平面内，若点C满足＝m＋n，且A，B，C三点共线，求证：m＋n＝1.
例2　设e1，e2是两个不共线的非零向量，已知a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1) 求证：a，b可作为一个基底；
(2) 以a，b为基底，将向量c＝3e1－e2用a，b表示．
两个向量能作为基底的条件是不共线，平面向量基本定理的本质是通过一个基底的线性运算，得到一个新的向量，也可以认为是一个向量在一个基底向量的两个方向上的分解．
在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，用a，b表示.
活动三　掌握平面向量基本定理的综合应用　
例3　已知在△OAB中，点C和点B关于点A对称，D是OB上靠近点B的三等分点，设＝a，＝b，用a，b表示，.
将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算对所求向量不断地进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．
在△OAB中，＝a，＝b，M，N分别是边OA，OB上的点，且＝a，＝b，设AN与BM相交于点P，试用a，b表示.
1. (2023天津滨海新区高一期中)如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段AE上靠近点A的三等分点，则等于(　　)
A. －＋　 B. －
C. －　 D. －
2. 如图，已知在△ABC中，D为AB的中点，＝，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　)
A. － B. －
C. D.
3. (多选)已知非零向量e1，e2，a，b满足a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2(k∈R)，则下列结论中正确的是(　　)
A. 若e1与e2不共线，a与b共线，则k＝－2
B. 若e1与e2不共线，a与b共线，则k＝2
C. 存在k，使得a与b不共线，e1与e2共线
D. 不存在k，使得a与b不共线，e1与e2共线
4. 设e1，e2是两个不共线的向量，实数λ，μ满足3λe1＋(10－μ)e2＝(2μ＋1)e1＋2λe2，则λ＝________，μ＝________．
5. 已知在平行四边形ABCD中，＝e1，＝e2，＝，＝，用e1，e2表示.
【答案解析】
6．3　平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1　平面向量基本定理
【活动方案】
探究1：可以，作法略，向量的加法．画图略．
探究2：不可以，需要用两个不共线向量．
1. 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
2. 若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫作表示这一平面内所有向量的一个基底．
例1　因为＝t，
所以＝＋＝＋t＝＋t(－)＝＋t－t＝(1－t)＋t.
思考：1－t＋t＝1.
跟踪训练　＝－＝(m－1)＋n.
因为A，B，C三点共线，
所以存在λ，使＝λ，
即(m－1)＋n＝λ＝－λ＋λ，
所以所以m＋n＝1.
例2　(1) 设a＝λb，则λ无解，所以a，b不共线，
所以a，b可作为一个基底．
(2) 设c＝ma＋nb＝(m＋n)e1＋(3n－2m)e2＝3e1－e2，
所以解得
所以c＝2a＋b.
跟踪训练　＝＋＝＋(＋)＝－＝b－a.
例3　＝＋＝＋＝＋＋＝2－＝2a－b；
＝＋＝－＋＝－b＋2a－b＝2a－b.
跟踪训练　设＝λ，＝μ，
则＝＋＝a＋λ＝a＋λb，
＝＋＝b＋μ＝μa＋b，
所以解得
所以＝a＋b.
【检测反馈】
1. C　解析：＝－＝－＝(＋)－＝(＋)－＝－.
2. C　解析：因为＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝－＋，所以λ＝－，μ＝，则λ＋μ＝.
3. AD　解析：若e1与e2不共线，a与b共线，可得λa＝b(λ∈R)，即2λ＝k，－λ＝1，解得k＝－2，故A正确，B错误；若e1与e2共线，可得e1＝me2(m∈R)，a＝2e1－e2＝(2m－1)e2，b＝ke1＋e2＝(km＋1)e2，可得a与b共线，故C错误，D正确．故选AD.
4. 3　4　解析：由题意，得解得
5. 如图，由题意，得＝－＝＋＝－＋(－)＝－e2＋(e2－e1)＝－e1＋e2.

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