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6．3.3　平面向量数乘运算的坐标表示
1. 会用坐标表示平面向量的数乘运算．
2. 理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
活动一 平面向量的数乘运算
思考1
已知a＝(x，y)，你能得出λa的坐标吗？
例1　已知a＝(2，1)，b＝(－3，4)，求3a＋4b的坐标．
活动二 掌握向量共线的坐标表示
思考2
在平面直角坐标系中作出向量a＝(1，－4)与b＝(－2，8).
(1) 观察它们是否共线？
(2) 观察它们的坐标间满足什么关系？
(3) 由此可以得到什么结论？能再举一些例子吗？
思考3
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，x1，y1不同时为零，如果a∥b，那么相应向量的坐标有什么关系？如果它们的坐标满足上述关系，那么向量a，b共线吗？
　　
活动三 掌握向量共线的坐标表示的应用
例2　已知a＝(1，0)，b＝(2，1)，当实数k为何值时，向量ka－b与a＋3b共线？并确定此时它们是同向还是反向．
根据两个向量共线的充要条件x1y2－x2y1＝0去解决问题，其中(x1，y1)，(x2，y2)分别表示两个向量的坐标．
已知a＝(1，2)，b＝(x，1)，若a＋2b与2a－b共线，则x的值为________．
例3　已知点O，A，B，C的坐标分别为(0，0)，(3，4)，(－1，2)，(1，1)，是否存在常数t，使得＋t＝成立？解释你所得结论的几何意义．
向量a＝(x1，y1)(a≠0)与b＝(x2，y2)共线，可以表示为x1y2－x2y1＝0，也可以表示为b＝λa.
已知向量a＝(－3，2)，b＝(2，1)，c＝(3，－1)，t∈R.若a－tb＝kc，求t的值．
例4　已知点A(x，0)，B(2x，1)，C(2，x)，D(6，2x).
(1) 求实数x的值，使向量与共线；
(2) 当向量与共线时，点A，B，C，D是否在同一条直线上？
已知点A(0，－2)，B(2，2)，C(3，4)，求证：A，B，C三点共线．
例5　设P是线段P1P2上的一点，点P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2).当P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标．
如图，线段P1P2的端点P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2).当P是线段P1P2上的一点，且＝λ时，求点P的坐标．
1. (2023南昌高一联考)已知平面向量a＝(－2，3)，b＝(x，－3)，若(b－a)∥b，则x的值为(　　)
A. 1 B. －1 C. 2 D. －2
2. (2023綦江高一期中)已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，若(ka＋b)∥(a－3b)，则k的值是(　　)
A. 1 B. C. － D. －1
3. (多选)已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则b的坐标可能是(　　)
A. (4，8) B. (4，－8) C. (－4，－8) D. (－4，8)
4. 已知平行四边形ABCD四个顶点的坐标为A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，则x＝________.
5. 平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1).
(1) 若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k的值；
(2) 若d＝(x，y)满足(d－c)∥(a＋b)，且(d＋c)∥(a－b)，求d的坐标．
【答案解析】
6．3.3　平面向量数乘运算的坐标表示
【活动方案】
思考1：λa＝(λx，λy).
例1　3a＋4b＝3(2，1)＋4(－3，4)＝(6，3)＋(－12，16)＝(－6，19).
思考2：作图略．
(1) a，b共线．　(2) 1×8－(－4)×(－2)＝0.
(3) 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0)，若x1y2－x2y1＝0，则a∥b.举例略．
思考3：x1y2－x2y1＝0，共线．　
例2　由题意，得ka－b＝(k－2，－1)，a＋3b＝(7，3)，
所以3k－6＝－7，解得k＝－，
此时ka－b＝－(a＋3b)，它们是反向的．
跟踪训练　　解析：由题意，得a＋2b＝(1＋2x，4)，2a－b＝(2－x，3)，则3(1＋2x)－4(2－x)＝0，解得x＝.
例3　t＝(－t，2t)＝－＝(－2，－3)，t无解，所以不存在常数t，使得＋t＝成立．
几何意义：与不共线．
跟踪训练　a－tb＝(－3－2t，2－t)，c＝(3，－1).
因为a－tb＝kc，所以a－tb与c共线，
所以(－3－2t)×(－1)＝3(2－t)，
解得t＝.
例4　(1) 因为＝(x，1)，＝(4，x)，
所以x2－4＝0，解得x＝±2.
(2) ＝(2－2x，x－1).
①当x＝2时，＝(2，1)，＝(－2，1)，
所以A，B，C三点不共线，则点A，B，C，D不在同一条直线上；
②当x＝－2时，＝(－2，1)，＝(6，－3)，
所以＝－，且有公共点B，
所以A，B，C三点共线．
又向量和共线，
所以点A，B，C，D在同一条直线上．
跟踪训练　由题意，得＝(2，4)，＝(3，6)，
所以＝，且有公共点A，
所以A，B，C三点共线．
例5　如图，由向量的线性运算可知＝(＋)＝，
所以点P的坐标是.
跟踪训练　因为＝＋＝＋·＝＋(－)＝＋＝，
所以点P的坐标为.
【检测反馈】
1. C　解析：因为a＝(－2，3)，b＝(x，－3)，所以b－a＝(x＋2，－6).因为(b－a)∥b，所以－6x－(x＋2)×(－3)＝0，解得x＝2.
2. C　解析：由a＝(1，2)，b＝(－3，2)，得ka＋b＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(10，－4).因为(ka＋b)∥(a－3b)，所以＝，整理，得－4k＋12＝20k＋20，解得k＝－.
3. BD　解析：因为|b|＝4|a|且a∥b，所以b＝4a＝(4，－8)或b＝－4a＝(－4，8).故选BD.
4. 5　解析：由题意，得∥，＝(－2，x－7)，＝(－2，3－x)，则－2(3－x)＝－2(x－7)，解得x＝5.
5. (1) a＋kc＝(4k＋3，k＋2)，2b－a＝(－5，2)，
由(a＋kc)∥(2b－a)，得8k＋6＝－5k－10，解得k＝－.
(2) d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2，4)，
d＋c＝(x＋4，y＋1)，a－b＝(4，0).
由(d－c)∥(a＋b)，得4x－16＝2y－2，
由(d＋c)∥(a－b)，得4y＋4＝0，
所以
所以d＝(3，－1).

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