资源简介

6．4.4　正弦定理(2)
1. 熟练掌握正弦定理的变形与运用．
2. 掌握三角形中的面积公式．
3. 学会将实际问题转化成解三角形的问题来求解．
活动一 巩固正弦定理
例1　在△ABC中，判断下列各命题是否正确．
(1) ＝；
(2) 若a＋c＝2b，则sin A＋sin C＝2sin B；
(3) 若sin B sin C＝sin2A，则bc＝a2.
　　
在三角形中，正弦定理可以将边之间的关系全部转换成角之间的关系，反之可以将角之间的正弦关系转换成边之间的关系．
已知命题：若cos B＝，sin A＝，则A为钝角．判断该命题的真假．
活动二　利用正弦定理判断三角形的形状　
例2　在△ABC中，已知＝＝，试判断△ABC的形状．
判断三角形的形状，可以用边之间的关系，也可以用角之间的关系，所以要把条件中的边角关系，通过正弦定理，转换为纯的边或角的关系．
根据下列条件，判断△ABC的形状．
(1) sin2A＋sin2B＝sin2C；
(2)a cos A＝b cos B.
　
活动三 利用正弦定理证明三角形中的有关结论
例3　如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，用正弦定理证明＝.
三角形中有些性质，可以通过正弦定理去证明．
在△ABC中，证明：S△ABC＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B.
活动四　利用正弦定理解决一些实际问题　
例4　如图，某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35°，沿倾斜角为20°的斜坡前进1 000m后到达D处，又测得山顶的仰角为65°，求山的高度BC(精确到1m).
在实际生活中，会遇到一些长度和角度的大小的测量问题，可以将这些量放在三角形中，然后利用正弦定理或余弦定理去解决．
一艘船以42n mile/h的速度向正北航行. 在A处看灯塔S在船的北偏东30°，30min后航行到B处，在B处看灯塔S在船的北偏东60°.求灯塔S与A之间的距离．
1. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若a＝b，sin B＝sin C，则角B的大小为(　　)
A. 60°　 B. 30° C. 135°　 D. 45°
2. 已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b cos C＝a＋c cos B，则该三角形的形状是(　　)
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等边三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
3. (多选)已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，则下列结论中正确的是(　　)
A. sin A∶sin B∶sin C＝4∶5∶6
B. △ABC是钝角三角形
C. △ABC的最大内角是最小内角的2倍
D. 若c＝6，则△ABC外接圆的半径为
4. 在△ABC中，若a＝3，cos C＝，S△ABC＝4，则b＝________．
5. (2023南平高一统考)已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a－2b sin A＝0.
(1) 求角B的大小；
(2) 若b＝，a＋c＝5，求△ABC的面积．
【答案解析】
6．4.4　正弦定理(2)
【活动方案】
例1　因为＝＝＝2R，
所以a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C，sin A＝，sin B＝，sin C＝.
(1) ＝2R＝＝，
故该命题正确．
(2) 因为2R sin A＋2R sin C＝2·2R sin B，
所以sin A＋sin C＝2sin B，
故该命题正确．
(3) 因为·＝，
所以bc＝a2，
故该命题正确．
跟踪训练　因为cos B＝，所以sin B＝，
所以sin B>sin A，即B>A.
又B是锐角，所以A为锐角，
故原命题为假命题．
例2　由＝及＝，
得＝，
所以tan A＝tan B.
因为A，B∈(0，π)，所以A＝B.
同理可得A＝C，故△ABC是正三角形．
跟踪训练　(1) 由正弦定理可得a2＋b2＝c2，
所以△ABC是以C为直角的直角三角形．
(2) 由余弦定理，得a·＝b·，
化简，得a2c2－b2c2＝a4－b4，
即c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)，
所以a2＝b2或c2＝a2＋b2，
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形．
例3　在△ABD中，＝，
在△ADC中，＝.
又sin ∠ADB＝sin ∠ADC，∠BAD＝∠CAD，
所以＝.
跟踪训练　设边BC上的高为ha，边AC上的高为hb，边AB上的高为hc，
则S△ABC＝aha＝bhb＝chc.
因为ha＝b sin C，hb＝c sin A，hc＝a sin B，
所以S△ABC＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B.
例4　过点D作DE∥AC交BC于点E.
因为∠DAC＝20°，所以∠ADE＝160°，
则∠ADB＝360°－160°－65°＝135°.
又∠BAD＝35°－20°＝15°，
所以∠ABD＝30°.
在△ABD中，由正弦定理，
得AB＝＝＝1 000(m).
在Rt△ABC中，
BC＝AB sin 35°＝1 000sin 35°≈811(m)，
故山的高度约为811m.
跟踪训练　在△SAB中，A＝30°，B＝180°－60°＝120°，S＝60°－30°＝30°，
AB＝42×＝21(n mile).
根据正弦定理，得＝，
即SA＝·AB＝×21＝21(n mile)，
故灯塔S与A之间的距离为21 n mile.
【检测反馈】
1. D　解析：根据正弦定理将角化边可得b＝c.又因为a＝b，由勾股定理可得△ABC是以A为直角的等腰直角三角形，故B＝45°.
2. B　解析：由b cos C＝a＋c cos B，得sin B cos C＝sin A＋sin C cos B，可得sin (B－C)＝sin (B＋C)，当B－C＝B＋C时，C＝0，不符合题意，故B－C＝π－B－C，解得B＝，故△ABC为直角三角形．
3. ACD　解析：因为(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，所以可设(其中x>0)，解得a＝4x，b＝5x，c＝6x，所以sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝4∶5∶6，故A正确；由上可知边c最大，所以三角形中角C最大，又cos C＝＝＝>0，所以角C为锐角，故B错误；由上可知边a最小，所以三角形中角A最小，又cos A＝＝＝，所以cos 2A＝2cos2A－1＝，所以cos2A＝cos C．由三角形中角C最大，且角C为锐角，可得2A∈(0，π)，C∈，所以2A＝C，故C正确；由正弦定理，得2R＝，又sin C＝＝，所以2R＝，解得R＝，故D正确．故选ACD.
4．2　解析：由题意，得sin C＝，因为S△ABC＝4，所以ab sin C＝4，则b＝2.
5. (1) 由a－2b sin A＝0及正弦定理，得sin A－2sin B sin A＝0，
又A∈，则sin A≠0，可得sin B＝.
因为B为锐角，所以B＝.
(2) 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B，即(a＋c)2－3ac＝7，
所以25－3ac＝7，则ac＝6，
所以△ABC的面积S＝ac sin B＝.

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