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第六章 平面向量及其应用 复习(二)
能用正弦定理、余弦定理解决三角形中的边角问题及简单的实际问题．
活动一 构建知识网络
活动二　利用正弦定理、余弦定理求三角形的边长或角度的大小　
例1　如图，D是直角三角形ABC斜边BC上的一点，AC＝DC.
(1) 若∠BAD＝60°，求∠ADC的大小；
(2) 若BD＝2DC，且AB＝，求AD的长．
理清何时用正弦定理，何时用余弦定理，从而解决三角形中的边长和角度问题．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＋c2＝b2－ac.
(1) 求角B的大小；
(2) 若≤A≤，求的取值范围；
(3) 若c＝，∠BAC的平分线AD＝，求b.
活动三 利用正弦定理求三角形的面积
例2　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，b＝，c＝1，cos B＝.求：
(1) sin C的值；
(2) △ABC的面积．
在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边长，且c＝－3b cos A，tan C＝.
(1) 求tan B的值；
(2) 若c＝2，求△ABC的面积．
活动四　利用正弦定理、余弦定理解决实际问题　
例3　AB是底部为B的建筑物，A是建筑物的最高点，为测量建筑物AB的高度，先将高度为1 m的测角仪放置在CD位置，测得仰角为45°，再将测角仪放置在EF位置，测得仰角为75°，已知DF＝2 m，D，F，B在同一水平线上，求建筑物AB的高度．
实际问题中的长度与角度的大小的计算，往往借助于正、余弦定理去解决，只要将所求的长度或角度放在适当的三角形中即可．
如图，已知在东西走向上有AM，BN两座发射塔，且AM＝100 m，BN＝200 m，一辆测量车在塔底M的正南方向的P处测得发射塔顶A的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了100 m后到达Q处，在Q处测得发射塔顶B的仰角为θ，且∠BQA＝θ，经计算，tan θ＝2，求两发射塔顶A，B之间的距离．
1. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＋b＝2c，则cos C的最小值为(　　)
A. － B. C. D.
2. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若A＝45°，B＝60°，a＝1，则b的值为(　　)
A. B. C. D.
3. (多选)(2023三明高一联考)已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题中正确的有(　　)
A. 当a＝5，b＝7，A＝60°时，满足条件的三角形有1个
B. 若sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7则这个三角形的最大角是120°
C. 若a2＋b2>c2，则△ABC为锐角三角形
D. 若C＝，a2－c2＝bc，则△ABC为等腰直角三角形
4. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝90°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝2，则a＋4c的最小值为________．
5. (2023菏泽高一阶段练习)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2b cos C＝2a＋c.
(1) 求角B的大小；
(2) 若b＝2，D为AC边上的一点，BD＝1，且________，求△ABC的面积．
请在下面两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题．
①BD是∠ABC的平分线；②D为线段AC的中点．
【答案解析】
第六章 平面向量及其应用 复习(二)
【活动方案】
例1　(1) 因为∠BAD＝60°，∠BAC＝90°，
所以∠DAC＝30°.
在△ADC中，由正弦定理，得＝，
则sin ∠ADC＝·sin ∠DAC＝，
所以∠ADC＝120°或∠ADC＝60°.
又∠BAD＝60°，所以∠ADC＝120°.
(2) 因为BD＝2DC，所以BC＝3DC.
在△ABC中，由勾股定理可得BC2＝AB2＋AC2，
即9DC2＝6＋3DC2，解得DC＝1，
所以BD＝2，AC＝.
令∠ADB＝θ，
在△ADB中，由余弦定理，
得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos θ，
在△ADC中，由余弦定理，
得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos (π－θ)，
即
解得AD2＝2，故AD＝.
跟踪训练　(1) 因为a2＋c2＝b2－ac，
所以由余弦定理，得cos B＝＝－.
因为0(2) 因为B＝，所以A＋C＝，
所以＝＝＝－.
又因为≤A≤，所以≤tan A≤1，
所以≤≤1，
所以的取值范围为.
(3) 在△ABD中，AB＝，AD＝，B＝，
由正弦定理，得＝，即＝，
所以sin ∠ADB＝，显然∠ADB＝，
所以∠BAD＝，
所以∠BAC＝，C＝.
在△ABC中，C＝，B＝，c＝，
则由正弦定理＝，得＝，
解得b＝.
例2　(1) 因为b＝，c＝1，cos B＝，
所以sin B＝＝，
所以由正弦定理，得sinC＝＝＝.
(2) 因为c所以由(1)可得cos C＝＝，
所以sinA＝sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C＝×＋×＝，
所以S△ABC＝bc sin A＝××1×＝.
跟踪训练　(1) 由正弦定理，得 sin C＝－3sin B cos A，
即sin (A＋B)＝－3sin B cos A，
所以sin A cos B＋cos A sin B＝－3sin B cos A，
从而sin A cos B＝－4sin B cos A.
因为cos A cos B≠0，所以＝－4.
又tan C＝－tan (A＋B)＝＝，
所以＝，
解得tanB＝.
(2) 由(1)，得 sin A＝，sin B＝，sin C＝.
由正弦定理，得a＝＝＝，
所以△ABC的面积为ac sin B＝××2×＝.
例3　在△ACE中，＝，
AE＝＝＝2(m)，
AB＝AG＋1＝AE sin 75°＋1＝2×＋1＝2＋(m)，
所以建筑物AB的高度为(2＋)m.
跟踪训练　在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100 m，
所以PM＝100 m.
连接QM.
在△PQM中，∠QPM＝60°，PQ＝100 m，
所以△PQM为等边三角形，所以QM＝100 m，
所以在Rt△AMQ中，得AQ＝200 m.
在Rt△BNQ中，因为tan θ＝2，BN＝200 m，
所以QN＝100 m，BQ＝100 m，cos θ＝.
在△BQA中，由余弦定理，得BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQ cos θ，
所以BA＝100 m，
所以两发射塔顶A，B之间的距离是100 m．
【检测反馈】
1. B　解析：由余弦定理，得cos C＝＝＝≥＝，当且仅当a＝b时等号成立．
2. D　解析：因为＝，所以b＝＝1××＝.
3. BD　解析：对于A，sin B＝＝＝>1，无解，故A错误；对于B，由sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7，得a∶b∶c＝3∶5∶7，不妨令a＝3，则b＝5，c＝7，最大角C的余弦值为cos C＝＝＝－，所以C＝120°，故B正确；对于C，由条件，结合余弦定理只能得到cos C>0，即角C为锐角，无法保证其他角也为锐角，故C错误；对于D，由cos C＝＝＝＝cos ＝，得b＋c＝a，所以a2＝bc＋c2＝c(b＋c)＝ac，所以a＝c，所以sin A＝sin C＝sin ＝1，所以A＝，所以△ABC为等腰直角三角形，故D正确．故选BD.
4. 18　解析：根据题意，得S△ABC＝ac.因为∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝2，所以S△ABD＝·BD·c·sin ∠ABD＝c，S△CBD＝BD·a·sin ∠CBD＝a.又S△ABC＝S△ABD＋S△CBD，所以ac＝c＋a，化简，得＋＝1，则a＋4c＝(a＋4c)·＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当a＝2c，即c＝3，a＝6时取等号，即a＋4c的最小值为18.
5. (1) 由题意，及正弦定理，得2sin B cos C＝2sin A＋sin C＝2sin B cos C＋2cos B sin C＋sin C，
所以2cos B sin C＋sin C＝0.
因为C∈(0，π)，
所以sin C>0，cos B＝－.
因为B∈(0，π)，所以B＝.
(2) 若选①：
由BD平分∠ABC，得S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，
所以ac sin ＝×1×c sin ＋×1×a sin ，
即ac＝a＋c.
在△ABC中，由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos ，
又b＝2，所以a2＋c2＋ac＝12，
联立得(ac)2－ac－12＝0，
解得ac＝4，
所以S△ABC＝ac sin ＝×4×＝.
若选②：
因为＝(＋)，
所以||2＝(＋)2＝(||2＋2·＋||2)，
即1＝(c2＋2ac cos ＋a2)，则a2＋c2－ac＝4，
在△ABC中，由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos ，
又b＝2，所以a2＋c2＋ac＝12，
联立解得ac＝4，
所以S△ABC＝ac sin ＝×4×＝.

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