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7．1.2　复数的几何意义
1. 了解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数．
2. 掌握复数的模的计算公式及几何意义．
3. 了解共轭复数的概念．
活动一 了解复数的几何意义
思考1
实数与数轴上的点是一一对应的，实数可以用数轴上的点来表示，那么复数能否也能用点来表示呢？
1. 复平面．
2. 实轴、虚轴上的点与复数的对应关系．
实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．
3. 复数的几何意义．
(1) 复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)；
(2) 复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
4. 复数的模．
(1) 定义：向量的模叫作复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值；
(2) 记法：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模记为|z|或|a＋bi|；
(3) 公式：|z|＝|a＋bi|＝.
例1　在复平面内，分别用点和向量表示下列复数：4，2＋i，－i，－1＋3i，3－2i.
复数的几何意义就是复数与复平面上的点建立一一对应关系，以及与复平面内以原点为起点的向量建立一一对应关系(实数0与零向量对应).
若复数x＋yi(x，y∈R)的对应点在复平面的第一、三象限角的平分线上，求x，y之间的关系．
例2　已知复数z1＝3＋4i，z2＝－1＋5i，试比较它们模的大小．
复数的模的代数含义就是计算公式.
已知复数z满足|z|＝5，且复数z的实部为3，求复数z.
例3　设z∈C，则满足下列条件的点Z的集合分别是什么图形？
(1) |z|＝1；
(2) 1<|z|<2.
复数的模的几何含义就是复平面上两点之间的距离．
满足条件|z|≤3的复数z在复平面内对应的点的集合是什么图形？它的面积是多少？
活动二　了解共轭复数的概念　
5. 共轭复数
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫作互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫作共轭虚数．复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝a－bi.
思考2
若z1，z2是共轭复数，那么在复平面内它们所对应的点有怎样的关系？
例4　已知复数z＝－3＋4i，则z的共轭复数在复平面内对应的点在(　　)
A. 第一象限　　　　B. 第二象限
C. 第三象限　　　　D. 第四象限
利用共轭复数之间的关系即可解决．
已知复数z，其共轭复数为z1，z1的共轭复数为z2，求证：z2＝z.
1. 若复数z的共轭复数满足＝1＋i3，则复数z对应的点在(　　)
A. 第一象限　 B. 第二象限　 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 在复平面内，O为坐标原点，复数z对应的点为Z(1，0)，将向量按逆时针方向旋转30°得到，则对应的复数z′为(　　)
A. ＋i B. ＋i C. －i D. －i
3. (多选)设复数z满足z＝－1－2i，i为虚数单位，则下列命题中正确的是(　　)
A. |z|＝
B. 复数z在复平面内对应的点在第四象限
C. z的共轭复数为－1＋2i
D. 复数z在复平面内对应的点在直线y＝－2x上
4. (2023辽宁高一联考)已知复数z满足|z|＝1，则|z＋3－4i|(i为虚数单位)的最大值为________．
5. (2023利川第一中学高一联考)已知复数z＝a＋bi，a，b∈R.
(1) 若a＝m2＋m－2，b＝2m2－m－3，m∈R，z对应的点在第四象限，求实数m的取值范围；
(2) 若|z－1|＝1, 求a＋b的最大值．
【答案解析】
7．1.2　复数的几何意义
【活动方案】
思考1：能
例1　如图，点A，B，C，D，E分别表示复数4，2＋i，－i，－1＋3i，3－2i.与之对应的向量可用，，，，来表示．
跟踪训练　x－y＝0
例2　因为|z1|＝＝5，|z2|＝＝，且5<，所以|z1|<|z2|.
跟踪训练　z＝3＋4i或z＝3－4i.
例3　(1) 因为|z|＝1，即||＝1，所以满足|z|＝1的点Z的集合是以原点为圆心，1为半径的圆，如图1.
(2) 不等式1<|z|<2可化为不等式组
不等式|z|>1的解集是圆|z|＝1外部所有的点组成的集合，不等式|z|<2的解集是圆|z|＝2内部所有的点组成的集合，这两个集合的交集就是上述不等式组的解集．因此，满足条件1<|z|<2的点Z的集合是以原点为圆心，分别以1和2为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界，如图2.
图1 图2
跟踪训练　图形是以原点O为圆心，3为半径的圆面，包括边界，其面积为9π.
思考2：关于实轴对称．
例4　C　解析：由题意，得＝－3－4i，则其在复平面内对应的点为(－3，－4)，位于第三象限．
跟踪训练　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z1＝a－bi，z2＝a＋bi，所以z2＝z.
【检测反馈】
1. A　解析：由题意，得＝1－i，则z＝1＋i，故z对应的点在第一象限．
2. A　解析：设z′＝a＋bi(a，b∈R).由题意，知a＝cos 30°＝，b＝sin 30°＝，所以z′＝＋i.
3. AC　解析：|z|＝＝，故A正确；复数z在复平面内对应的点的坐标为(－1，－2)，在第三象限，故B错误；z的共轭复数为－1＋2i，故C正确；复数z在复平面内对应的点(－1，－2)不在直线y＝－2x上，故D错误．故选AC.
4. 6　解析：设z＝a＋bi(a，b为实数)，则复数z满足|z|＝1的几何意义是以原点为圆心，以1为半径的圆上的点，则|z＋3－4i|＝表示的几何意义是圆上的点到点(－3，4)的距离，根据圆的性质可知，所求最大值为＋1＝5＋1＝6.
5. (1) 由题意，得解得1故实数m的取值范围为 .
(2) 因为|z－1|＝|(a－1)＋bi|＝＝1, 所以(a－1)2＋b2＝1，
所以≤＝， 故a＋b≤＋1，当且仅当a－1＝b时取等号，
所以a＋b的最大值为＋1.

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