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命题新趋势8 综合与实践——2024年北师大版数学八（下）期末复习
一、综合题
1．（2023八下·临汾期末）综合与实践
特例感知：
如图1，在等边三角形中，是延长线上一点，且，以为边作等边三角形，连接，分别过点作，过点作，交于点，连接与交于点．
（1）试判断和的数量关系，并说明理由．
（2）猜想论证：将绕点按顺时针方向旋转一定角度得到图2，则（1）中和的数量关系是否仍然成立？请说明理由．
（3）拓展延伸：将如图1所示的绕点按逆时针方向旋转角度，当时，请直接写出的值．
2．（2022八下·孝义期末）综合与实践
问题情境：学行四边形的性质和判定后，老师创设了如下探究情境，探究三角形的中位线定理．
问题1：如图1，在中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB上一点，连接EO并延长交CD于F，则OE与OF有怎样的数量关系？
小明：．
理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，（依据1）
∴
又∵，
∴（依据2）．
∴
问题2：如图2，若点E为AB的中点，其他条件不变，则线段EF与BC有怎样的数量关系和位置关系？
小亮：，BC．
理由如下：…．
问题3：如图3，在中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．通过前面问题给你的启发，你能猜想出DE和BC的数量关系和位置关系吗？
小慧：BC，．
…
数学思考：
（1）请你写出小明推理过程中的“依据1”和“依据2”：
依据1：　 　；依据2：　 　．
（2）请你帮助小亮写出问题2的证明过程．（温馨提示：不能用三角形的中位线定理证明哦！）
（3）问题解决：
请用图3写出三角形中位线定理的证明过程．
3．（2023八下·南城期中）阅读情境：在综合实践课上，同学们探究“全等的等腰直角三角形图形变化问题”．
如图1，，其中，，此时，点与点重合．
（1）操作探究1：小凡将图1中的两个全等的和按图2方式摆放，点落在上，所在直线交所在直线于点，连结，求证：．
（2）操作探究2：小彬将图1中的绕点按逆时针方向旋转角度，然后，分别延长、，它们相交于点．如图3，在操作中，小彬提出如下问题，请你解答：
①时，求证：为等边三角形；
②当 时，．（直接回答即可）
（3）操作探究3：小颖将图1中的绕点A按顺时针方向旋转角度，线段和相交于点，当旋转到点是边的中点时（可利用图4画图），直接写出线段的长为　 　．
4．（2021八下·介休期中）综合与实践：
【问题情境】
在数学综合实践课上，老师让同学用两张全等的等腰三角形纸片进行拼摆，并探究摆放后所构成的图形之间的关系．如图1， ， ， ．
（1）【猜想探究】
“勤奋小组”的同学把这两张纸片按如图2的方式摆放，点A与点D重合，连接 和 ．他们发现 和 之间存在着一定的数量关系，这个关系是　 　．
（2）【类比验证】
“创新小组”的同学在“勤奋小组”的启发下，把这两张纸片按如图3的方式摆放，点F，A，D，C在同一直线上，连接 和 ，他们发现了 和 之间的数量和位置关系，请写出这些关系并说明理由；
（3）【操作展示】
请你利用 和 纸片进行拼摆，将拼摆出的图形画在图4中（要求不得与图2，图3相同），并根据图形写出一条正确的数学结论．
5．（2022八下·太原期末）综合与实践：
已知，等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°．现要将其剪成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形（不能有剩余）．下面是小文借助尺规解决这一问题的过程，请阅读后完成相应任务．
作法：如图1所示， ①分别作AB，AC的垂直平分线，交于点P； ②连接PA，PB，PC． 结论：沿线段PA，PB，PC剪开，即可得到三个等腰三角形， 理由：∵点P在线段AB的垂直平分线上， ∴…….. （依据）． 同理，PA＝PC． ∴PA＝PB＝PC． ∴△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形
任务：
（1）上述过程中，横线上的结论为　 　，括号中的依据为　 　．
（2）受小文的启发，同学们想到另一种思路：如图2，以B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点D，交AB于点E．在此基础上构造两条线段（以图中标有字母的点为端点）作为裁剪线，也可解决问题！请在图2中画出一种裁剪方案，直接写出得到的三个等腰三角形及相应顶角的度数．
（3）如图3，等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，请从A，B两题中任选一题作答、我选择　 　题．
A．请在图3中设计出一种裁剪方案，将该三角形纸片分成三个等腰三角形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，说明裁剪线）．
B．请在图3中设计出一种裁剪方案，将该三角形纸片分成四个等腰三角形，且四个三角形互不全等（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，说明裁剪线）．
6．（2021八下·太原期末）综合与实践
问题情境：数学课上，同学们以等腰直角三角形为背景探究图形变化中的数学问题．如图1，将两张等腰直角三角形纸片重叠摆放在桌面，其中，，，点A，D在的同侧，点B，C在线段上，连接并延长交于点O，已知．将从图1中的位置开始，绕点O顺时针旋转（保持不动），旋转角为．
（1）数学思考：“求索小组”的同学发现图1中，请证明这个结论；
（2）操作探究：如图2，当时，“笃行小组”的同学连接线段，．
请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择 ▲ 题．
A．①猜想，满足的数量关系，并说明理由；
②若，请直接写出时，C，E两点间的距离；
B．①猜想，满足的位置关系，并说明理由；
②若，请直接写出点F落在延长线时，C，F两点间的距离．
7．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册18.2 平行四边形的判定（2）同步练习）综合与实践
问题情境
在综合实践课上，老师让同学们“以三角形的旋转”为主题进行数学活动，如图（1），在三角形纸片ABC中，AB=AC，∠B=∠C=α．
操作发现
（1）创新小组将图（1）中的△ABC以点B为旋转中心，逆时针旋转角度α，得到△DBE，再将△ABC以点A为旋转中心，顺时针旋转角度α，得到△AFG，连接DF，得到图（2），则四边形AFDE的形状是　 　．
（2）实践小组将图（1）中的△ABC以点B为旋转中心，逆时针逆转90°，得到△DBE，再将△ABC以点A为旋转中心，顺时针旋转90°，得到△AFG，连接DF、DG、AE，得到图（3），发现四边形AFDB为正方形，请你证明这个结论．
拓展探索
（3）请你在实践小组操作的基础上，再写出图（3）中的一个特殊四边形，并证明你的结论．
二、实践探究题
8．[探究与证明]折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．
[动手操作]如图①，将矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B落在EF上，并使折痕经过点A，得到折痕AM，点B，E的对应点分别为B'，E'，展平纸片，连结AB'，BB'，BE'．请完成：
（1）观察图①中∠1，∠2和∠3，试猜想这三个角的大小关系；
（2）证明(1)中的猜想；
（3）[类比操作]如图②，N为矩形纸片ABCD的边AD上的一点，连接BN，在AB上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕EF ；折叠纸片，使点B，P分别落在EF，BN上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为B'，P'，展平纸片，连接BB'，P'B'．请完成：
求证：BB'是∠NBC的一条三等分线．
9．（2022八下·深圳期末）【问题背景】
某“数学学习兴趣小组”在学习了“等腰三角形的性质”和“平行四边形的性质和判定”后，在习题中发现了这样一个问题：如图1，在等腰中，，点D、E分别是边上的点，点P是底边上的点，且，过点B作于点F，请写出线段、、之间满足的数量关系式．
同学们经过交流讨论，得到了如下两种解决思路：
解决思路1：如图2，过点P作于点G；
解决思路2：如图3，过点B作，交的延长线于点H；
（1）上述两种解决思路都可以证明一组三角形全等，判定一个四边形为平行四边形，从而可证得线段之间满足的数量关系式为　 　．
（2）【类比探究】
如图4，在等腰中，，点D、E分别是边上的点，点P是底边上的点，且，过点B作交于点F，请写出线段之间满足的数量关系式，并说明理由．
（3） 【拓展应用】
如图5，在与中，，，点A、B、P在同一条直线上，若，，则　 　．
10．（2024八下·南海月考）综合与实践，问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知中，，．将从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到（点D，E分别是点B，C的对应点），旋转角为，设线段AD与BC相交于点M，线段DE分别交BC，AC于点O，N．
（1）特例分析：如图2，当旋转到时，判断的形状并说明理由；
（2）探究规律：如图3，在绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段DM始终等于线段CN，请你证明这一结论；
（3）拓展延伸：①请求出当是等腰三角形时旋转角的度数；
②在图3中，作直线BD，CE交于点P，直接写出当时旋转角的度数．
11．（2023八下·台山期末）【背景介绍】
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．如图．
（1）【小试牛刀】
把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为，，．显然，，．请用，，分别表示出梯形，四边形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：　 　，　 　，　 　，则它们满足的关系式为　 　，经化简，可得到勾股定理．
（2）如图2，河道上，两点（看作直线上的两点）相距160米，，为两个菜园（看作两个点），，，垂足分别为，，米，米，现在菜农要在上确定一个抽水点，使得抽水点到两个菜园，的距离和最短，则该最短距离为　 　米．
（3）【知识迁移】
借助上面的思考过程，画图说明并求代数式的最小值．
12．（2023八下·深圳期末）问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边的边BC上一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接CE.
（1）【猜想证明】
试猜想BD与CE的数量关系，并加以证明；
（2）【探究应用】
如图2，点D为等边内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接CE，若B、D、E三点共线，求证：EB平分；
（3）【拓展提升】
如图3，若是边长为2的等边三角形，点D是线段BC上的动点，将线段AD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连接CE.点D在运动过程中，的周长最小值=　 　（直接写答案）
答案解析部分
1．【答案】（1）解：，
理由：和都是等边三角形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，
，
；
（2）解：仍然成立，
理由：如图，延长，交于点，
，
和都是等边三角形，
，
，
，
，，
，
同（1）可知，，
，
；
（3）解：的值为
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：（3）由（2）可知
故答案为
【分析】（1）根据等边三角形性质，平行四边形性质证明，利用全等三角形性质即可求出答案。
（2） 延长，交于点， 根据等边三角形性质证明，即可求出答案。
（3）利用（2）中结论即可求出答案。
2．【答案】（1）平行四边形的对边平行，平行四边形的对角线互相平分；角边角
（2）解：由问题1可知，
∴，
∵点E是AB的中点，
∴，
又∵，
∴
∴，
又∵CD，
∴CF
∴四边形BCFE是平行四边形
∴BC，
（3）解：方法一：
证明：连接BE，并延长，使．分别连接AF，CF，延长DE交CF于点G．
∵点E是AC的中点
∴
又∵
∴四边形ABCF是平行四边形
∴CF，
∴
又∵
∴
∴，
∵点D是AB的中点，
∴
∴，
∴
∴
又∵CF
∴CG
∴四边形BDGC是平行四边形
∴BC，
∴BC，．
方法二：
证明：延长DE至点F，使．连接AF，CF，CD．
∵点E是AC的中点，
∴
∴四边形ADCF是平行四边形．
∴，CF．
∵点D是AB的中点，
∴，且AD与BD在同一直线上
∴，CF
∴四边形BCFD是平行四边形．
∴BC，．
∵
∴BC，．
方法三：
证明：延长DE至点F，使．连接CF．
∵点E是AC的中点，
∴
又∵
∴．
∴，
∴CF．
∵点D是AB的中点，
∴，且AD与BD在同一直线上
∴，CF
∴四边形BCFD是平行四边形．
∴BC，．
∵
∴BC，．
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：
依据1：平行四边形的对边平行；平行四边形的对角线互相平分；
依据2：角边角.
故答案为：平行四边形的对边平行，平行四边形的对角线互相平分；角边角.
【分析】（1）根据平行四边形的性质以及全等三角形的判定定理进行解答；
（2）由问题1可知△AOE≌△COF，得到AE=CF，由中点的概念可得AE=BE=AB，由CD=AB可得CF=CD，则BE=CF，推出四边形BCFE是平行四边形，然后根据平行四边形的性质进行解答；
（3） 方法一：连接BE并延长，使EF=BE．分别连接AF，CF，延长DE交CF于点G，根据中点的概念可得AE=CE，推出四边形ABCF是平行四边形，得到AB∥CF，AB=CF，由平行线的性质可得∠ABE=∠CFE，利用ASA证明△BDE≌△FGE，得到BD=FG，DE=GE，结合中点的概念推出BD=CG，得到四边形BDGC是平行四边形，然后根据平行四边形的性质进行解答；
方法二：延长DE至点F，使EF=DE，连接AF，CF，CD，易得四边形ADCF、BCFD是平行四边形，然后根据平行四边形的性质进行解答；
方法三：延长DE至点F，使EF=DE，连接CF，利用ASA证明△AED≌△CEF，得到AD=CF，∠A=∠FCE，推出AD∥CF，由中点的概念可得AD=BD，易得四边形BCFD是平行四边形，据此解答.
3．【答案】（1）证明：如图2，
，
在和中，
，
，
．
（2）解：①证明：如图3中，
，，
，
，
，
，
是等边三角形．
②
（3）
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的判定；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（2）②当α=45°时，AC∥EF．
∵α=45°，
∴∠CAE=45°，
∴∠CAE=∠AED，
∴AC∥EF，
∴当α=45°时，AC∥EF．
故答案为45°．
（3）如图所示，连接AF，BD交于点O
∵∠ABF=∠ADF=90°，
在Rt△ABF和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△ADF(HL)，
∴BF=DF=1，
∵BC=2，
∴BF=CF=1，
在△BFD和△CFE中，
，
∴△BFD≌△CFE(SAS)，
∴EC=BD．
∵AB=AD，FB=FD，
∴AF垂直平分线段BD，
∴OB=OD，
∵AB=2，BF=1
∴，
∵S△ABF= AB BF= OB AF
∴OB==，
∴BD=2OB=，
∴EC=BD=，
故答案为：．
【分析】（1）直接证明根据全等三角形的性质，即可求解．
（2）①证明∠FCE=∠FEC=60°，可得是等边三角形；
②根据平行线的判定定理即可解决问题；
（3）连接AF，BD交于点O．证明△BFD≌△CFE(SAS)可得EC=BD，根据垂直平分线的性质可得OB=OD，勾股定理求得AF，然后根据等面积法求出OB即可求解．
4．【答案】（1）
（2）解：如图3， ， ，
理由如下：
∵，
∴， ， ，
∴，
在 和 中
∴，
∴， ，
∴；
（3）解：答案不唯一，符合题意即可．
如图，把 和 重合，
∵，
∴ ， ，
∴， ，
∴四边形 是平行四边形；
如图，把 和 重合，连接 ，
∵，
∴ ，
∴， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵和 都是等腰三角形，
∴ ， ，
∴．
结论：
如图1， ；或 ；或四边形 是平行四边形等；
如图2， ；或 ；或四边形 是平行四边形； 等．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1） ，理由如下：
∵， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵， ，
∴
∴
【分析】（1）利用 ， ， ，得出 ，推出 ，再根据 ， ，推出 ，即可得解；
（2）利用 ，得出，推出，，即可得解；
（3）把和 重合，根据，得出四边形是平行四边形；把和 重合，连接 ，证出四边形是平行四边形，根据和都是等腰三角形，得出 ， ，即可得出结论。
5．【答案】（1）PA=PB；线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
（2）解：如图，连接BD、DE，
由作法知，BC=BD=BE，则△BCD、△BDE是等腰三角形，
∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC=∠ACB=72°，∵BC=BD，
∴∠BDC=∠ACB=72°，∴∠DBC=36°，
∴∠EBD=∠ABC ∠DBC=36°，
∵BD=BE，∴∠BED=∠BDE =72°，
∴∠AED=180° ∠BED=108°，
∴∠EDA=180° ∠BAC ∠AED=36°，
∴AE=DE，即△ADE是等腰三角形．
综上，△ADE的顶角为108°，△BDE的顶角为36°，△BDC的顶角为36°；
如图，连接DE、CE，则BC=BE，∴△BCE是等腰三角形，且顶角为72°，∠BEC=∠BCE=54°，∴∠DCE=∠ACB←∠BCE=18°，
连接BD，由上一种裁剪方法知，
BD平分∠ABC，则△BCD≌△BED（SAS），
∴CD=DE，即△DCE是等腰三角形，且顶角∠EDC=180° 2×18°=144°，∴∠ADE=180° ∠EDC=36°=∠BAC，
∴AE=DE，即△AED是等腰三角形，且顶角；
综上，△ADE的顶角为108°，△BCE的顶角为72°，△DCE的顶角为144°．
（3）解：选A：分别以B、C为圆心，AB长为半径画弧，两弧与BC相交于点D、E，连接AD、AE，则△ABD、△ACE、△ADE三个三角形都是等腰三角形，如下图所示；裁剪线段为AD、AE；选B：以B为圆心，AB长为半径画弧，与BC相交于D，连接AD，对于等腰△ABD，按照图1中的裁剪方法，即可得到四个等腰三角形：△ACD、△ADE、△DEF、△BEF，其中裁剪线为AD、DE、EF．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：（1）∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA=PB．
同理，PA＝PC．
∴PA＝PB＝PC．
∴△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形．
故答案为：PA=PB；线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质解答；
（2）根据三角形内角和定理，等腰三角形的性质解答；
（3）根据等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质解答。
6．【答案】（1）证明：∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
又∵AO⊥BC，
∴OB=OC=OA，
同理可证明OE=OF=0D，
∴OE-OB=OF-OC，
∴BE=CF，
（2）A． ①，理由如下：
∵∠AOB=∠EOD=90°，
∴∠BOE=∠AOD，
在△OBE和△OAD中，
∴△OBE≌△OAD（SAS），
∴AD=BE，②；
B． ①，
理由如下：
如图2，延长DA交BE于点P，交EF于点Q，
∵∠AOB=∠EOD=90°，
∴∠BOE=∠AOD，
在△OBE和△OAD中，
∴△OBE≌△OAD（SAS），
∴∠BEO=∠ADO，
∵∠EQP=∠AQO，
∴∠EPQ=∠QOD，
∴AD⊥BE，
②
【知识点】旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（2）A②：过点E作EH⊥CO，交CO的延长线于H，
当旋转角α=45°时，∠BOE=45°，∠COE=135°，
∵AB=AC=2
由勾股定理得：BC＝ ，
∴OC= ，
如图所示，在Rt△EHO中，OE=2，
∴HE=HO= ，
在Rt△EHC中，由勾股定理得：
CE= ；
B②：过O点作OQ⊥AF于点Q，
则△OCQ为等腰直角三角形，QO=QC=1，
在Rt△OQF中，由勾股定理得：FQ= ，
∴．
【分析】（1）先证明△ABC是等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质可得OB=OC=OA，OE=OF=0D，最后利用线段的和差可得BE=CF；
（2）A：①利用“SAS”证明△OBE≌△OAD，即可得到AD=BE；②利用勾股定理求解即可；
B：①利用“SAS”证明△OBE≌△OAD，可得∠BEO=∠ADO，再结合∠EQP=∠AQO，可得∠EPQ=∠QOD，因此AD⊥BE；②利用勾股定理和线段的和差求解即可。
7．【答案】（1）平行四边形
（2）证明：∵△DBE是由△ABC绕点B逆时针旋转90°得到的，△AFG是由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到的，
∴∠DBA＝∠FAB＝90°，DB＝AB＝AF，
∴∠DBA＋∠FAB＝180°，
∴DB∥AF，
∵DB＝AF，
∴四边形DBAF是平行四边形，
∵∠DBA＝90°
∴平行四边形DBAF是正方形．
（3）证明：四边形AEDG是平行四边形．
证明：∵四边形ABDF是正方形，
∴∠DFA＝∠DBA＝90°，AB＝DF，
又∵∠DBE＝∠AFG＝α，
∴∠EBA＝∠GFD．
在△ABE和△DFG中， ，
∴△ABE≌△DFG，
∴AE＝DG，
又∵DE＝AG＝AB，
∴四边形DEAG是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】 解：∵△DBE是由△ABC绕点B逆时针旋转90°得到的，△AFG是由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到的．
∴DE＝AC＝AF，∠BAF＝α，∠DBE＝∠ABC＝α，∠DEB＝∠C＝α，
∴∠DEB＝∠BAF，
∴DE∥AF，
∵DE＝AF，
∴四边形AFDE是平行四边形
【分析】（1）证明：∵△DBE是由△ABC绕点B逆时针旋转α得到的，△AFG是由△ABC绕点A顺时针旋转α得到，∴DE＝AC＝AF，∠BAF＝α，∠DBE＝∠ABC＝α，∠DEB＝∠C＝α，∴∠DEB＝∠BAF，∴DE∥AF，∵DE＝AF，∴四边形AFDE是平行四边形 ；（2）证明过程与（1）同理，只需证平行四边形DBAF有一个内角为90°即可；（3）在正方形ABDF中可得到 ，从而利用SAS证得△ABE≌△DFG，即可得到AE＝DG，再结合DE＝AG＝AB，即可证得四边形DEAG是平行四边形.
8．【答案】（1）解：.
（2）证明：由折叠的性质可得垂直平分，垂直平分，
，
是等边三角形，
，平分，
，
，
，
.
（3）证明：如图②，
连接OP' ，OP ，OB，B'P，
由折叠的性质可得垂直平分，，，，
，，
，，
，
，
，
，
，
是的一条三等分线.
【知识点】线段垂直平分线的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】(1)(2)由折叠的性质可得垂直平分，垂直平分，利用垂直平分线的性质可证得是等边三角形，进而得到，再通过矩形的性质得到，故可证得.
(3)由折叠的性质可得垂直平分，，，，利用垂直平分线的性质可证得，，再通过SSS判定，进而证得，然后利用平行线的性质证得，故可判定是的一条三等分线.
9．【答案】（1）PD+PE=BF
（2）解：PD+PE=BF，理由如下：
过点P作PM∥AC，
∵，
∴四边形PEFM是平行四边形，
∴PE=MF，∠PMB=∠MFE=∠PEC，
∴∠PDB=∠PMB，
∵AB=AC，
∴∠DBP=∠C=∠BPM，
∵PB=PB，
∴△BDP≌△PMB，
∴PD=BM，
∴PD+PE=BM+MF，即PD+PE=BF；
（3）1+
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：(1)PD+PE=BF，理由：
图2：∵BF⊥AC，PG⊥BF，
∴∠PGF=∠GFE=∠PEF=90°，
∴四边形PGFE是矩形，PG∥EF，
∴PE=GE，
∵AB=AC，
∴∠DBP=∠C=∠GPB，
∵∠BDP=∠BGP=90°，BP=BP，
∴△BDP≌△PGB，
∴BG=DP，
∴DP+PE=BG+GF，即PD+PE=BF；
图3：∵，BF⊥AC，
∴∠H=∠BFE=∠PEF=90°，
∴四边形HBFE是矩形，
∴BF=HE，BH∥EF，
∵AB=AC，
∴∠DBP=∠C=∠CBH，
∵∠BDP=∠H=90°，BP=BP，
∴△BDP≌△BHP，
∴PD=PH，
∴PH+PE=PD+PE，即PD+PE=BF；
故答案为：PD+PE=BF；
(3)延长DP至点N，使PN=PC=2，
∵，
∴∠APN=∠APC，
∵AP=AP，
∴△APC≌△APN，
∴∠PAN=∠PAC=75°，
∵∠ABD=75°，
∴∠PAN=∠ABD，
∴AN∥BD，
过点N作NQ∥AB，交BD的延长线于Q，则四边形ABQN是平行四边形，
∴NQ=AB=6，∠PNQ=∠DPB=60°，∠NQB=∠PBD=75°，
过Q作QR⊥ND于点R，
∴∠NQR=30°，
∴NR=NQ=3，
∴PR=1，RQ=，
∵∠RQD=75°-30°=45°，
∴∠D=45°，
∴RD=RQ=，
∴PD=RP+RD=1+，
故答案为：1+．
【分析】（1）根据平行四边形的性质求解即可；
（2）先求出 四边形PEFM是平行四边形， 再求出 ∠DBP=∠C=∠BPM， 最后求解即可；
（3）结合图形，利用全等三角形的判定与性质，勾股定理计算求解即可。
10．【答案】（1）解：是等边三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴，
由旋转可知，，
∴是等边三角形；
（2）证明：∵，
∴，
即：，
由旋转可知，，，，
∵，
∴，则，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
则，
∴；
（3）①解：如图，当时，，
∵，
∴，
∴，
如图，当时， ，
∴，
如图，当时，，
∴，
此时和重合，这种情形不存在．
综上所述：的度数为或；
②旋转角为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定；旋转的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：（3）②如图，作直线，交于点，
，，
∴，
，
，
∴；
∵，
旋转角为．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质求得∠BAD，再根据旋转的性质求出即可；
（2）根据旋转的性质和全等三角形的判定ASA，证出，进而得出结论即可；
（3）①分当时，当时，当时，三种情况进行讨论即可；
②根据角的关系得到，再根据三角形内角和求得∠BAD即可.
11．【答案】（1）；；；
（2）200
（3）解：如下图，，，、，点为线段上一点，
设，则，
∴，
由上可得当三点共线时，距离最小，最小为，
作交延长线于点F，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴．
∴代数式的最小值为15．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的证明；勾股定理的应用；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（1）=；
由图1可知，BE=a-b，==；
+=+=
==；
∵=+
∴=+
∴化简后，可得+=.
故答案为：；；；；
（2）延长BC到点E，使BE=AD，并连接DE，延长CB到F，使BC=BF，如下图：
当点D、P、F三点在一条直线时，点P到C，D的距离和最短；
由题意可知，AB=160米，AD=70米，BC=50米；
∵ADAB，BCAB
∴AD//BC
又∵AD=BE
∴四边形ABFED是矩形
∴DE=AB=160米，BE=AD=70米
∴EF=BE+BF=70+50=120米
∴DF==200米
故答案为：200；
【分析】（1）根据三角形的面积公式和梯形的面积公式计算即可；
（2）根据两点之间线段最短的性质，判断P点的位置；再根据矩形的判定和性质，得出直角三角形的两个直角边的边长；最后根据勾股定理，计算出距离和最小值即可.
(3)设未知数，根据勾股定理，可得PD+PC的长；根据两点之间线段最短的性质，判断P点的位置，此时PD+PC=CD；根据矩形的判定和性质，得出直角三角形的两个直角边的边长；最后根据勾股定理，计算出距离和CD最小值，既是所求.
12．【答案】（1）解：结论：BD=CE
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAD+∠DAC=60°，
∵将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，
∴AD=AE，∠DAC+∠CAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE
（2）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAD+∠DAC=60°，
∵ 将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE ，
∴AD=AE，∠DAE=60°=∠DAC+∠EAC，
∴∠BAD=∠EAC，△ADE是等边三角形，
∴∠ADE=∠AEB=60°，
∴∠ADB=180°-∠ADE=180°-60°=120°，
在△BAD和△CAE中
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠AEC=∠ADB=120°
∴∠BEC=120°-∠AED=120°-60°=60°，
∴∠AED=∠BEC，
∴EB平分∠AEC
（3）
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：当AD⊥BC时，AD最短，此时△DEC的周长最小，连接AE，
∵△ABC是等边三角形，
∴BD=BC=1，∠DAC=∠BAC=×60°=30°，
∴，
∵ 将线段AD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，
∴AD=DE，∠ADE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
∴∠EAC=∠DAE-∠DAC=60°-30°=30°，
∴∠DAC=∠CAE，
在△DAC和△EAC中
∴△DAC≌△EAC（SAS）
∴DC=CE=1，
∴△DEC的周长最小值为
故答案为：
【分析】（1）利用等边三角形的性质可证得∴AB=AC，∠BAD+∠DAC=60°，利用旋转的性质可得到AD=AE，∠DAC+∠CAE=60°，由此可推出∠BAD=∠CAE；利用SAS证明△BAD≌△CAE，利用全等三角形的性质可得到BD与CE的数量关系.
（2）利用等边三角形的性质可证得∴AB=AC，∠BAD+∠DAC=60°，利用旋转的性质可得到AD=AE，∠DAC+∠CAE=60°，由此可推出∠BAD=∠CAE，同时可证得△ADE是等边三角形，据此可求出∠ADE=∠AEB=60°，∠ADB=120°；利用SAS证明△BAD≌△CAE，利用全等三角形的性质可得到∠AEC=∠ADB=120°，可求出∠BEC的度数，可推出∠AED=∠BEC，利用角平分线的定义可证得结论.
（3）当AD⊥BC时，AD最短，此时△DEC的周长最小，连接AE，利用等边三角形的性质可求出BD的长，∠DAC的度数，利用勾股定理求出AD的长；利用旋转的性质可得到AD=DE，∠ADE=60°，利用等边三角形的判定和性质可求出∠EAC的度数，可推出∠DAC=∠CAE，利用SAS证明△DAC≌△EAC，利用全等三角形的性质可求出CE的长，即可求出△DEC的周长最小值.
1 / 1命题新趋势8 综合与实践——2024年北师大版数学八（下）期末复习
一、综合题
1．（2023八下·临汾期末）综合与实践
特例感知：
如图1，在等边三角形中，是延长线上一点，且，以为边作等边三角形，连接，分别过点作，过点作，交于点，连接与交于点．
（1）试判断和的数量关系，并说明理由．
（2）猜想论证：将绕点按顺时针方向旋转一定角度得到图2，则（1）中和的数量关系是否仍然成立？请说明理由．
（3）拓展延伸：将如图1所示的绕点按逆时针方向旋转角度，当时，请直接写出的值．
【答案】（1）解：，
理由：和都是等边三角形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，
，
；
（2）解：仍然成立，
理由：如图，延长，交于点，
，
和都是等边三角形，
，
，
，
，，
，
同（1）可知，，
，
；
（3）解：的值为
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：（3）由（2）可知
故答案为
【分析】（1）根据等边三角形性质，平行四边形性质证明，利用全等三角形性质即可求出答案。
（2） 延长，交于点， 根据等边三角形性质证明，即可求出答案。
（3）利用（2）中结论即可求出答案。
2．（2022八下·孝义期末）综合与实践
问题情境：学行四边形的性质和判定后，老师创设了如下探究情境，探究三角形的中位线定理．
问题1：如图1，在中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB上一点，连接EO并延长交CD于F，则OE与OF有怎样的数量关系？
小明：．
理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，（依据1）
∴
又∵，
∴（依据2）．
∴
问题2：如图2，若点E为AB的中点，其他条件不变，则线段EF与BC有怎样的数量关系和位置关系？
小亮：，BC．
理由如下：…．
问题3：如图3，在中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．通过前面问题给你的启发，你能猜想出DE和BC的数量关系和位置关系吗？
小慧：BC，．
…
数学思考：
（1）请你写出小明推理过程中的“依据1”和“依据2”：
依据1：　 　；依据2：　 　．
（2）请你帮助小亮写出问题2的证明过程．（温馨提示：不能用三角形的中位线定理证明哦！）
（3）问题解决：
请用图3写出三角形中位线定理的证明过程．
【答案】（1）平行四边形的对边平行，平行四边形的对角线互相平分；角边角
（2）解：由问题1可知，
∴，
∵点E是AB的中点，
∴，
又∵，
∴
∴，
又∵CD，
∴CF
∴四边形BCFE是平行四边形
∴BC，
（3）解：方法一：
证明：连接BE，并延长，使．分别连接AF，CF，延长DE交CF于点G．
∵点E是AC的中点
∴
又∵
∴四边形ABCF是平行四边形
∴CF，
∴
又∵
∴
∴，
∵点D是AB的中点，
∴
∴，
∴
∴
又∵CF
∴CG
∴四边形BDGC是平行四边形
∴BC，
∴BC，．
方法二：
证明：延长DE至点F，使．连接AF，CF，CD．
∵点E是AC的中点，
∴
∴四边形ADCF是平行四边形．
∴，CF．
∵点D是AB的中点，
∴，且AD与BD在同一直线上
∴，CF
∴四边形BCFD是平行四边形．
∴BC，．
∵
∴BC，．
方法三：
证明：延长DE至点F，使．连接CF．
∵点E是AC的中点，
∴
又∵
∴．
∴，
∴CF．
∵点D是AB的中点，
∴，且AD与BD在同一直线上
∴，CF
∴四边形BCFD是平行四边形．
∴BC，．
∵
∴BC，．
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：
依据1：平行四边形的对边平行；平行四边形的对角线互相平分；
依据2：角边角.
故答案为：平行四边形的对边平行，平行四边形的对角线互相平分；角边角.
【分析】（1）根据平行四边形的性质以及全等三角形的判定定理进行解答；
（2）由问题1可知△AOE≌△COF，得到AE=CF，由中点的概念可得AE=BE=AB，由CD=AB可得CF=CD，则BE=CF，推出四边形BCFE是平行四边形，然后根据平行四边形的性质进行解答；
（3） 方法一：连接BE并延长，使EF=BE．分别连接AF，CF，延长DE交CF于点G，根据中点的概念可得AE=CE，推出四边形ABCF是平行四边形，得到AB∥CF，AB=CF，由平行线的性质可得∠ABE=∠CFE，利用ASA证明△BDE≌△FGE，得到BD=FG，DE=GE，结合中点的概念推出BD=CG，得到四边形BDGC是平行四边形，然后根据平行四边形的性质进行解答；
方法二：延长DE至点F，使EF=DE，连接AF，CF，CD，易得四边形ADCF、BCFD是平行四边形，然后根据平行四边形的性质进行解答；
方法三：延长DE至点F，使EF=DE，连接CF，利用ASA证明△AED≌△CEF，得到AD=CF，∠A=∠FCE，推出AD∥CF，由中点的概念可得AD=BD，易得四边形BCFD是平行四边形，据此解答.
3．（2023八下·南城期中）阅读情境：在综合实践课上，同学们探究“全等的等腰直角三角形图形变化问题”．
如图1，，其中，，此时，点与点重合．
（1）操作探究1：小凡将图1中的两个全等的和按图2方式摆放，点落在上，所在直线交所在直线于点，连结，求证：．
（2）操作探究2：小彬将图1中的绕点按逆时针方向旋转角度，然后，分别延长、，它们相交于点．如图3，在操作中，小彬提出如下问题，请你解答：
①时，求证：为等边三角形；
②当 时，．（直接回答即可）
（3）操作探究3：小颖将图1中的绕点A按顺时针方向旋转角度，线段和相交于点，当旋转到点是边的中点时（可利用图4画图），直接写出线段的长为　 　．
【答案】（1）证明：如图2，
，
在和中，
，
，
．
（2）解：①证明：如图3中，
，，
，
，
，
，
是等边三角形．
②
（3）
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的判定；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（2）②当α=45°时，AC∥EF．
∵α=45°，
∴∠CAE=45°，
∴∠CAE=∠AED，
∴AC∥EF，
∴当α=45°时，AC∥EF．
故答案为45°．
（3）如图所示，连接AF，BD交于点O
∵∠ABF=∠ADF=90°，
在Rt△ABF和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△ADF(HL)，
∴BF=DF=1，
∵BC=2，
∴BF=CF=1，
在△BFD和△CFE中，
，
∴△BFD≌△CFE(SAS)，
∴EC=BD．
∵AB=AD，FB=FD，
∴AF垂直平分线段BD，
∴OB=OD，
∵AB=2，BF=1
∴，
∵S△ABF= AB BF= OB AF
∴OB==，
∴BD=2OB=，
∴EC=BD=，
故答案为：．
【分析】（1）直接证明根据全等三角形的性质，即可求解．
（2）①证明∠FCE=∠FEC=60°，可得是等边三角形；
②根据平行线的判定定理即可解决问题；
（3）连接AF，BD交于点O．证明△BFD≌△CFE(SAS)可得EC=BD，根据垂直平分线的性质可得OB=OD，勾股定理求得AF，然后根据等面积法求出OB即可求解．
4．（2021八下·介休期中）综合与实践：
【问题情境】
在数学综合实践课上，老师让同学用两张全等的等腰三角形纸片进行拼摆，并探究摆放后所构成的图形之间的关系．如图1， ， ， ．
（1）【猜想探究】
“勤奋小组”的同学把这两张纸片按如图2的方式摆放，点A与点D重合，连接 和 ．他们发现 和 之间存在着一定的数量关系，这个关系是　 　．
（2）【类比验证】
“创新小组”的同学在“勤奋小组”的启发下，把这两张纸片按如图3的方式摆放，点F，A，D，C在同一直线上，连接 和 ，他们发现了 和 之间的数量和位置关系，请写出这些关系并说明理由；
（3）【操作展示】
请你利用 和 纸片进行拼摆，将拼摆出的图形画在图4中（要求不得与图2，图3相同），并根据图形写出一条正确的数学结论．
【答案】（1）
（2）解：如图3， ， ，
理由如下：
∵，
∴， ， ，
∴，
在 和 中
∴，
∴， ，
∴；
（3）解：答案不唯一，符合题意即可．
如图，把 和 重合，
∵，
∴ ， ，
∴， ，
∴四边形 是平行四边形；
如图，把 和 重合，连接 ，
∵，
∴ ，
∴， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵和 都是等腰三角形，
∴ ， ，
∴．
结论：
如图1， ；或 ；或四边形 是平行四边形等；
如图2， ；或 ；或四边形 是平行四边形； 等．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1） ，理由如下：
∵， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵， ，
∴
∴
【分析】（1）利用 ， ， ，得出 ，推出 ，再根据 ， ，推出 ，即可得解；
（2）利用 ，得出，推出，，即可得解；
（3）把和 重合，根据，得出四边形是平行四边形；把和 重合，连接 ，证出四边形是平行四边形，根据和都是等腰三角形，得出 ， ，即可得出结论。
5．（2022八下·太原期末）综合与实践：
已知，等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°．现要将其剪成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形（不能有剩余）．下面是小文借助尺规解决这一问题的过程，请阅读后完成相应任务．
作法：如图1所示， ①分别作AB，AC的垂直平分线，交于点P； ②连接PA，PB，PC． 结论：沿线段PA，PB，PC剪开，即可得到三个等腰三角形， 理由：∵点P在线段AB的垂直平分线上， ∴…….. （依据）． 同理，PA＝PC． ∴PA＝PB＝PC． ∴△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形
任务：
（1）上述过程中，横线上的结论为　 　，括号中的依据为　 　．
（2）受小文的启发，同学们想到另一种思路：如图2，以B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点D，交AB于点E．在此基础上构造两条线段（以图中标有字母的点为端点）作为裁剪线，也可解决问题！请在图2中画出一种裁剪方案，直接写出得到的三个等腰三角形及相应顶角的度数．
（3）如图3，等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，请从A，B两题中任选一题作答、我选择　 　题．
A．请在图3中设计出一种裁剪方案，将该三角形纸片分成三个等腰三角形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，说明裁剪线）．
B．请在图3中设计出一种裁剪方案，将该三角形纸片分成四个等腰三角形，且四个三角形互不全等（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，说明裁剪线）．
【答案】（1）PA=PB；线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
（2）解：如图，连接BD、DE，
由作法知，BC=BD=BE，则△BCD、△BDE是等腰三角形，
∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC=∠ACB=72°，∵BC=BD，
∴∠BDC=∠ACB=72°，∴∠DBC=36°，
∴∠EBD=∠ABC ∠DBC=36°，
∵BD=BE，∴∠BED=∠BDE =72°，
∴∠AED=180° ∠BED=108°，
∴∠EDA=180° ∠BAC ∠AED=36°，
∴AE=DE，即△ADE是等腰三角形．
综上，△ADE的顶角为108°，△BDE的顶角为36°，△BDC的顶角为36°；
如图，连接DE、CE，则BC=BE，∴△BCE是等腰三角形，且顶角为72°，∠BEC=∠BCE=54°，∴∠DCE=∠ACB←∠BCE=18°，
连接BD，由上一种裁剪方法知，
BD平分∠ABC，则△BCD≌△BED（SAS），
∴CD=DE，即△DCE是等腰三角形，且顶角∠EDC=180° 2×18°=144°，∴∠ADE=180° ∠EDC=36°=∠BAC，
∴AE=DE，即△AED是等腰三角形，且顶角；
综上，△ADE的顶角为108°，△BCE的顶角为72°，△DCE的顶角为144°．
（3）解：选A：分别以B、C为圆心，AB长为半径画弧，两弧与BC相交于点D、E，连接AD、AE，则△ABD、△ACE、△ADE三个三角形都是等腰三角形，如下图所示；裁剪线段为AD、AE；选B：以B为圆心，AB长为半径画弧，与BC相交于D，连接AD，对于等腰△ABD，按照图1中的裁剪方法，即可得到四个等腰三角形：△ACD、△ADE、△DEF、△BEF，其中裁剪线为AD、DE、EF．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：（1）∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA=PB．
同理，PA＝PC．
∴PA＝PB＝PC．
∴△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形．
故答案为：PA=PB；线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质解答；
（2）根据三角形内角和定理，等腰三角形的性质解答；
（3）根据等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质解答。
6．（2021八下·太原期末）综合与实践
问题情境：数学课上，同学们以等腰直角三角形为背景探究图形变化中的数学问题．如图1，将两张等腰直角三角形纸片重叠摆放在桌面，其中，，，点A，D在的同侧，点B，C在线段上，连接并延长交于点O，已知．将从图1中的位置开始，绕点O顺时针旋转（保持不动），旋转角为．
（1）数学思考：“求索小组”的同学发现图1中，请证明这个结论；
（2）操作探究：如图2，当时，“笃行小组”的同学连接线段，．
请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择 ▲ 题．
A．①猜想，满足的数量关系，并说明理由；
②若，请直接写出时，C，E两点间的距离；
B．①猜想，满足的位置关系，并说明理由；
②若，请直接写出点F落在延长线时，C，F两点间的距离．
【答案】（1）证明：∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
又∵AO⊥BC，
∴OB=OC=OA，
同理可证明OE=OF=0D，
∴OE-OB=OF-OC，
∴BE=CF，
（2）A． ①，理由如下：
∵∠AOB=∠EOD=90°，
∴∠BOE=∠AOD，
在△OBE和△OAD中，
∴△OBE≌△OAD（SAS），
∴AD=BE，②；
B． ①，
理由如下：
如图2，延长DA交BE于点P，交EF于点Q，
∵∠AOB=∠EOD=90°，
∴∠BOE=∠AOD，
在△OBE和△OAD中，
∴△OBE≌△OAD（SAS），
∴∠BEO=∠ADO，
∵∠EQP=∠AQO，
∴∠EPQ=∠QOD，
∴AD⊥BE，
②
【知识点】旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（2）A②：过点E作EH⊥CO，交CO的延长线于H，
当旋转角α=45°时，∠BOE=45°，∠COE=135°，
∵AB=AC=2
由勾股定理得：BC＝ ，
∴OC= ，
如图所示，在Rt△EHO中，OE=2，
∴HE=HO= ，
在Rt△EHC中，由勾股定理得：
CE= ；
B②：过O点作OQ⊥AF于点Q，
则△OCQ为等腰直角三角形，QO=QC=1，
在Rt△OQF中，由勾股定理得：FQ= ，
∴．
【分析】（1）先证明△ABC是等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质可得OB=OC=OA，OE=OF=0D，最后利用线段的和差可得BE=CF；
（2）A：①利用“SAS”证明△OBE≌△OAD，即可得到AD=BE；②利用勾股定理求解即可；
B：①利用“SAS”证明△OBE≌△OAD，可得∠BEO=∠ADO，再结合∠EQP=∠AQO，可得∠EPQ=∠QOD，因此AD⊥BE；②利用勾股定理和线段的和差求解即可。
7．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册18.2 平行四边形的判定（2）同步练习）综合与实践
问题情境
在综合实践课上，老师让同学们“以三角形的旋转”为主题进行数学活动，如图（1），在三角形纸片ABC中，AB=AC，∠B=∠C=α．
操作发现
（1）创新小组将图（1）中的△ABC以点B为旋转中心，逆时针旋转角度α，得到△DBE，再将△ABC以点A为旋转中心，顺时针旋转角度α，得到△AFG，连接DF，得到图（2），则四边形AFDE的形状是　 　．
（2）实践小组将图（1）中的△ABC以点B为旋转中心，逆时针逆转90°，得到△DBE，再将△ABC以点A为旋转中心，顺时针旋转90°，得到△AFG，连接DF、DG、AE，得到图（3），发现四边形AFDB为正方形，请你证明这个结论．
拓展探索
（3）请你在实践小组操作的基础上，再写出图（3）中的一个特殊四边形，并证明你的结论．
【答案】（1）平行四边形
（2）证明：∵△DBE是由△ABC绕点B逆时针旋转90°得到的，△AFG是由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到的，
∴∠DBA＝∠FAB＝90°，DB＝AB＝AF，
∴∠DBA＋∠FAB＝180°，
∴DB∥AF，
∵DB＝AF，
∴四边形DBAF是平行四边形，
∵∠DBA＝90°
∴平行四边形DBAF是正方形．
（3）证明：四边形AEDG是平行四边形．
证明：∵四边形ABDF是正方形，
∴∠DFA＝∠DBA＝90°，AB＝DF，
又∵∠DBE＝∠AFG＝α，
∴∠EBA＝∠GFD．
在△ABE和△DFG中， ，
∴△ABE≌△DFG，
∴AE＝DG，
又∵DE＝AG＝AB，
∴四边形DEAG是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】 解：∵△DBE是由△ABC绕点B逆时针旋转90°得到的，△AFG是由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到的．
∴DE＝AC＝AF，∠BAF＝α，∠DBE＝∠ABC＝α，∠DEB＝∠C＝α，
∴∠DEB＝∠BAF，
∴DE∥AF，
∵DE＝AF，
∴四边形AFDE是平行四边形
【分析】（1）证明：∵△DBE是由△ABC绕点B逆时针旋转α得到的，△AFG是由△ABC绕点A顺时针旋转α得到，∴DE＝AC＝AF，∠BAF＝α，∠DBE＝∠ABC＝α，∠DEB＝∠C＝α，∴∠DEB＝∠BAF，∴DE∥AF，∵DE＝AF，∴四边形AFDE是平行四边形 ；（2）证明过程与（1）同理，只需证平行四边形DBAF有一个内角为90°即可；（3）在正方形ABDF中可得到 ，从而利用SAS证得△ABE≌△DFG，即可得到AE＝DG，再结合DE＝AG＝AB，即可证得四边形DEAG是平行四边形.
二、实践探究题
8．[探究与证明]折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．
[动手操作]如图①，将矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B落在EF上，并使折痕经过点A，得到折痕AM，点B，E的对应点分别为B'，E'，展平纸片，连结AB'，BB'，BE'．请完成：
（1）观察图①中∠1，∠2和∠3，试猜想这三个角的大小关系；
（2）证明(1)中的猜想；
（3）[类比操作]如图②，N为矩形纸片ABCD的边AD上的一点，连接BN，在AB上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕EF ；折叠纸片，使点B，P分别落在EF，BN上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为B'，P'，展平纸片，连接BB'，P'B'．请完成：
求证：BB'是∠NBC的一条三等分线．
【答案】（1）解：.
（2）证明：由折叠的性质可得垂直平分，垂直平分，
，
是等边三角形，
，平分，
，
，
，
.
（3）证明：如图②，
连接OP' ，OP ，OB，B'P，
由折叠的性质可得垂直平分，，，，
，，
，，
，
，
，
，
，
是的一条三等分线.
【知识点】线段垂直平分线的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】(1)(2)由折叠的性质可得垂直平分，垂直平分，利用垂直平分线的性质可证得是等边三角形，进而得到，再通过矩形的性质得到，故可证得.
(3)由折叠的性质可得垂直平分，，，，利用垂直平分线的性质可证得，，再通过SSS判定，进而证得，然后利用平行线的性质证得，故可判定是的一条三等分线.
9．（2022八下·深圳期末）【问题背景】
某“数学学习兴趣小组”在学习了“等腰三角形的性质”和“平行四边形的性质和判定”后，在习题中发现了这样一个问题：如图1，在等腰中，，点D、E分别是边上的点，点P是底边上的点，且，过点B作于点F，请写出线段、、之间满足的数量关系式．
同学们经过交流讨论，得到了如下两种解决思路：
解决思路1：如图2，过点P作于点G；
解决思路2：如图3，过点B作，交的延长线于点H；
（1）上述两种解决思路都可以证明一组三角形全等，判定一个四边形为平行四边形，从而可证得线段之间满足的数量关系式为　 　．
（2）【类比探究】
如图4，在等腰中，，点D、E分别是边上的点，点P是底边上的点，且，过点B作交于点F，请写出线段之间满足的数量关系式，并说明理由．
（3） 【拓展应用】
如图5，在与中，，，点A、B、P在同一条直线上，若，，则　 　．
【答案】（1）PD+PE=BF
（2）解：PD+PE=BF，理由如下：
过点P作PM∥AC，
∵，
∴四边形PEFM是平行四边形，
∴PE=MF，∠PMB=∠MFE=∠PEC，
∴∠PDB=∠PMB，
∵AB=AC，
∴∠DBP=∠C=∠BPM，
∵PB=PB，
∴△BDP≌△PMB，
∴PD=BM，
∴PD+PE=BM+MF，即PD+PE=BF；
（3）1+
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：(1)PD+PE=BF，理由：
图2：∵BF⊥AC，PG⊥BF，
∴∠PGF=∠GFE=∠PEF=90°，
∴四边形PGFE是矩形，PG∥EF，
∴PE=GE，
∵AB=AC，
∴∠DBP=∠C=∠GPB，
∵∠BDP=∠BGP=90°，BP=BP，
∴△BDP≌△PGB，
∴BG=DP，
∴DP+PE=BG+GF，即PD+PE=BF；
图3：∵，BF⊥AC，
∴∠H=∠BFE=∠PEF=90°，
∴四边形HBFE是矩形，
∴BF=HE，BH∥EF，
∵AB=AC，
∴∠DBP=∠C=∠CBH，
∵∠BDP=∠H=90°，BP=BP，
∴△BDP≌△BHP，
∴PD=PH，
∴PH+PE=PD+PE，即PD+PE=BF；
故答案为：PD+PE=BF；
(3)延长DP至点N，使PN=PC=2，
∵，
∴∠APN=∠APC，
∵AP=AP，
∴△APC≌△APN，
∴∠PAN=∠PAC=75°，
∵∠ABD=75°，
∴∠PAN=∠ABD，
∴AN∥BD，
过点N作NQ∥AB，交BD的延长线于Q，则四边形ABQN是平行四边形，
∴NQ=AB=6，∠PNQ=∠DPB=60°，∠NQB=∠PBD=75°，
过Q作QR⊥ND于点R，
∴∠NQR=30°，
∴NR=NQ=3，
∴PR=1，RQ=，
∵∠RQD=75°-30°=45°，
∴∠D=45°，
∴RD=RQ=，
∴PD=RP+RD=1+，
故答案为：1+．
【分析】（1）根据平行四边形的性质求解即可；
（2）先求出 四边形PEFM是平行四边形， 再求出 ∠DBP=∠C=∠BPM， 最后求解即可；
（3）结合图形，利用全等三角形的判定与性质，勾股定理计算求解即可。
10．（2024八下·南海月考）综合与实践，问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知中，，．将从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到（点D，E分别是点B，C的对应点），旋转角为，设线段AD与BC相交于点M，线段DE分别交BC，AC于点O，N．
（1）特例分析：如图2，当旋转到时，判断的形状并说明理由；
（2）探究规律：如图3，在绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段DM始终等于线段CN，请你证明这一结论；
（3）拓展延伸：①请求出当是等腰三角形时旋转角的度数；
②在图3中，作直线BD，CE交于点P，直接写出当时旋转角的度数．
【答案】（1）解：是等边三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴，
由旋转可知，，
∴是等边三角形；
（2）证明：∵，
∴，
即：，
由旋转可知，，，，
∵，
∴，则，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
则，
∴；
（3）①解：如图，当时，，
∵，
∴，
∴，
如图，当时， ，
∴，
如图，当时，，
∴，
此时和重合，这种情形不存在．
综上所述：的度数为或；
②旋转角为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定；旋转的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：（3）②如图，作直线，交于点，
，，
∴，
，
，
∴；
∵，
旋转角为．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质求得∠BAD，再根据旋转的性质求出即可；
（2）根据旋转的性质和全等三角形的判定ASA，证出，进而得出结论即可；
（3）①分当时，当时，当时，三种情况进行讨论即可；
②根据角的关系得到，再根据三角形内角和求得∠BAD即可.
11．（2023八下·台山期末）【背景介绍】
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．如图．
（1）【小试牛刀】
把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为，，．显然，，．请用，，分别表示出梯形，四边形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：　 　，　 　，　 　，则它们满足的关系式为　 　，经化简，可得到勾股定理．
（2）如图2，河道上，两点（看作直线上的两点）相距160米，，为两个菜园（看作两个点），，，垂足分别为，，米，米，现在菜农要在上确定一个抽水点，使得抽水点到两个菜园，的距离和最短，则该最短距离为　 　米．
（3）【知识迁移】
借助上面的思考过程，画图说明并求代数式的最小值．
【答案】（1）；；；
（2）200
（3）解：如下图，，，、，点为线段上一点，
设，则，
∴，
由上可得当三点共线时，距离最小，最小为，
作交延长线于点F，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴．
∴代数式的最小值为15．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的证明；勾股定理的应用；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（1）=；
由图1可知，BE=a-b，==；
+=+=
==；
∵=+
∴=+
∴化简后，可得+=.
故答案为：；；；；
（2）延长BC到点E，使BE=AD，并连接DE，延长CB到F，使BC=BF，如下图：
当点D、P、F三点在一条直线时，点P到C，D的距离和最短；
由题意可知，AB=160米，AD=70米，BC=50米；
∵ADAB，BCAB
∴AD//BC
又∵AD=BE
∴四边形ABFED是矩形
∴DE=AB=160米，BE=AD=70米
∴EF=BE+BF=70+50=120米
∴DF==200米
故答案为：200；
【分析】（1）根据三角形的面积公式和梯形的面积公式计算即可；
（2）根据两点之间线段最短的性质，判断P点的位置；再根据矩形的判定和性质，得出直角三角形的两个直角边的边长；最后根据勾股定理，计算出距离和最小值即可.
(3)设未知数，根据勾股定理，可得PD+PC的长；根据两点之间线段最短的性质，判断P点的位置，此时PD+PC=CD；根据矩形的判定和性质，得出直角三角形的两个直角边的边长；最后根据勾股定理，计算出距离和CD最小值，既是所求.
12．（2023八下·深圳期末）问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边的边BC上一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接CE.
（1）【猜想证明】
试猜想BD与CE的数量关系，并加以证明；
（2）【探究应用】
如图2，点D为等边内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接CE，若B、D、E三点共线，求证：EB平分；
（3）【拓展提升】
如图3，若是边长为2的等边三角形，点D是线段BC上的动点，将线段AD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连接CE.点D在运动过程中，的周长最小值=　 　（直接写答案）
【答案】（1）解：结论：BD=CE
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAD+∠DAC=60°，
∵将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，
∴AD=AE，∠DAC+∠CAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE
（2）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAD+∠DAC=60°，
∵ 将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE ，
∴AD=AE，∠DAE=60°=∠DAC+∠EAC，
∴∠BAD=∠EAC，△ADE是等边三角形，
∴∠ADE=∠AEB=60°，
∴∠ADB=180°-∠ADE=180°-60°=120°，
在△BAD和△CAE中
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠AEC=∠ADB=120°
∴∠BEC=120°-∠AED=120°-60°=60°，
∴∠AED=∠BEC，
∴EB平分∠AEC
（3）
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：当AD⊥BC时，AD最短，此时△DEC的周长最小，连接AE，
∵△ABC是等边三角形，
∴BD=BC=1，∠DAC=∠BAC=×60°=30°，
∴，
∵ 将线段AD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，
∴AD=DE，∠ADE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
∴∠EAC=∠DAE-∠DAC=60°-30°=30°，
∴∠DAC=∠CAE，
在△DAC和△EAC中
∴△DAC≌△EAC（SAS）
∴DC=CE=1，
∴△DEC的周长最小值为
故答案为：
【分析】（1）利用等边三角形的性质可证得∴AB=AC，∠BAD+∠DAC=60°，利用旋转的性质可得到AD=AE，∠DAC+∠CAE=60°，由此可推出∠BAD=∠CAE；利用SAS证明△BAD≌△CAE，利用全等三角形的性质可得到BD与CE的数量关系.
（2）利用等边三角形的性质可证得∴AB=AC，∠BAD+∠DAC=60°，利用旋转的性质可得到AD=AE，∠DAC+∠CAE=60°，由此可推出∠BAD=∠CAE，同时可证得△ADE是等边三角形，据此可求出∠ADE=∠AEB=60°，∠ADB=120°；利用SAS证明△BAD≌△CAE，利用全等三角形的性质可得到∠AEC=∠ADB=120°，可求出∠BEC的度数，可推出∠AED=∠BEC，利用角平分线的定义可证得结论.
（3）当AD⊥BC时，AD最短，此时△DEC的周长最小，连接AE，利用等边三角形的性质可求出BD的长，∠DAC的度数，利用勾股定理求出AD的长；利用旋转的性质可得到AD=DE，∠ADE=60°，利用等边三角形的判定和性质可求出∠EAC的度数，可推出∠DAC=∠CAE，利用SAS证明△DAC≌△EAC，利用全等三角形的性质可求出CE的长，即可求出△DEC的周长最小值.
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