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【拓展提高】 二元一次方程组的六种特殊解法
解法1：用整体代入法解二元一次方程组
【例题1】（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）阅读以下材料：
解方程组，由①得③，把③代入②，得，解得，把代入③得．∴，这种解法称为“整体代入法”．
请你用这种方法解方程组：．
【变式1】（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）先阅读材料，然后解方程组．
材料：解方程组：，
由①，得．③
把③代入②，得，解得．
把代入③，得．
原方程组的解为；
这种方法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组：．
【变式2】（23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）材料：解方程组
将①整体代入②，得，
解得，
把代入①，得，
所以
这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请解方程组
【变式3】2023七年级上·全国·专题练习）解方程组
解法2：用特殊消元法解二元一次方程组
类型1：方程组中两未知数系数之差的绝对值相等
【例题2】（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于，的方程组
(1)若方程组的解互为相反数，求的值
(2)若方程组的解满足方程，求的值．
【变式1】（23-24七年级下·四川宜宾·阶段练习）解下列方程或方程组
(1)
(2)
(3)
【变式2】（2024·广东肇庆·一模）解二元一次方程组．
【变式3】（23-24八年级上·山东济南·期末）解下列方程组：
(1)；
(2)．
类型2：方程组中两未知数系数之和的绝对值相等
【例题3】（23-24七年级下·福建福州·阶段练习）已知关于，的方程组，为常数．
(1)求方程组的解（用含的式子表示）；
(2)平面直角坐标系中，若以方程组的解为横、纵坐标的点在第一、三象限的角平分线上，求的值．
【变式1】（2024年贵州省黔南州中考一模考试数学模拟试题）解方程组：
【变式2】（23-24七年级下·四川宜宾·阶段练习）甲、乙两人同时解方程组，甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得，试求原方程组的解．
【变式3】（23-24七年级下·全国·随堂练习）用加减法解下列方程组：
(1) (2)
解法3：用换元法解二元一次方程组
【例题4】（22-23八年级上·四川成都·阶段练习）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想：
(1)解方程组，我们利用加减消元法，可以求得此方程组的解为 ___________；
(2)如何解方程组呢，我们可以把分别看成一个整体，设，，请补全过程求出原方程组的解；
(3)若关于m，n的方程组，则方程组的解为 ______．
【变式1】（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）计算：解方程组
【变式2】（23-24七年级下·福建泉州·阶段练习）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想：
(1)已知方程组的解为，如何解大于的方程组呢，我们可以把分别看成一个整体，设，则原方程组的解为______________________；
(2)若方程组的解是，求方程组的解．
(3)已知m，n为定值，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是，求的值．
【变式3】（23-24八年级下·上海浦东新·阶段练习）用换元法解方程组：．
解法4：用同解交换法解二元一次方程组
【例题5】（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）已知关于的方程组和的解相同．求的值．
【变式1】（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）已知关于x，y的方程组和的解相同，求的值．
【变式2】（23-24七年级下·四川眉山·阶段练习）数学学霸甲、乙两人在一次解方程组比赛中，甲求关于的方程祖的正确解与乙求关于的方程组的正确的解相同．则的值为多少？
【变式3】（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）已知关于x，y的方程组与方程组的解相同，求的值．
解法5：用主元法解方程组
【例题6】（22-23八年级上·四川成都·期中）已知，，，则的值为 ．
【变式1】（2023九年级·全国·专题练习）已知（x，y，z均不为0），求的值．
【变式2】（20-21八年级上·全国·课时练习）已知．
（1）用含z的代数式表示x，y；
（2）求的值．
【变式3】已知x，y，z都不为零，且满足，．求的值．
解法6：用设辅助元法解方程组
【例题7】【观察思考】怎样判断两条直线是否平行？
　　如图①，很难看出直线a、n是否平行，可添加“第三条线”（截线c），把判断两条直线的位置关系转化为判断两个角的数量关系．我们称直线c为“辅助线”．在部分代数问题中，很难用算术直接计算出结果，于是，引入字母解决复杂问题，我们称引入的字母为“辅助元”．事实上，使用“辅助线”、“辅助元”等“辅助元素”可以更容易地解决问题．
【理解运用】
（1）计算这个算式直接计算很麻烦，请你引入合适的“辅助元”完成计算．
【拓展提高】
（2）若关于x，y的方程组的解是，则关于x、y的方程组的解为 ．
【变式1】．（22-23七年级下·广西玉林·期末）【阅读·领会】怎么判断两条直线是否平行？
如图①，很难看出直线是否平行，可添加“第三条线”（截线），把判断两条直线的位置关系转化为判断两个角的数量关系，我们称直线为“辅助线”. 在部分代数问题中，难用算术直接计算出结果，于是，引入字母解决复杂问题，我们称引入字母为“辅助元”或“整体代换”．事实上，使用“辅助线”、“辅助元”等“辅助元素”可以更容易地解决问题．

【实践·体验】
（1）已知，则______（引入“辅助元”或“整体代换”计算）.
（2）如图②，已知，求证：，请你添加适当的“辅助线”，并完成证明．

【创造·突破】
（3）若关于的方程组的解是，则关于的方程组的解为______．
【变式2】【阅读 领会】怎样判断两条直线否平行？

如图1，很难看出直线、是否平行，可添加“第三条线”（截线），把判断两条直线的位置关系转化为判断两个角的数量关系．我们称直线为“辅助线”．
在部分代数问题中，很难用算术直接计算出结果，于是，引入字母解决复杂问题，我们称引入的字母为“辅助元”．
事实上，使用“辅助线”、“辅助元”等“辅助元素”可以更容易地解决问题．
【实践 体悟】
(1)计算这个算式直接计算很麻烦，请你引入合适的“辅助元”完成计算．
(2)如图2，已知，求证，请你添加适当的“辅助线”，并完成证明．
【创造 突破】
(3)若关于的方程组的解是，则关于的方程组的解为___________．
(4)如图3，，，，我们把大于平角的角称为“优角”，若优角，则优角___________．
【变式3】．（20-21七年级下·江苏无锡·期中）[阅读 领会]
如图①，为了判断两直线的位置关系．我们添加了直线c为“辅助线”．
在部分代数问题中，引入字母解决复杂问题，我们称引入的字母为“辅助元”．
【实践 体悟】
（1）计算，这个算式直接计算很麻烦，请你引入合适的“辅助元”完成计算．
（2）若关于x、y的方程组的解是的解是，则关于x、y的方程组的解为　 　．
【创造 突破】
（3）已知直线ABCD．如图2，请写出∠ABE、∠E、∠CDE的数量关系，并添加适当的辅助线说明理由．
（4）已知直线ABCD．如图3，∠ABM＝∠MBE，∠CDN＝∠NDE，直线MB、ND交于点F，若∠F＝m°，则∠E=　 　．（用含m的代数式表示）
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【拓展提高】 二元一次方程组的六种特殊解法
解法1：用整体代入法解二元一次方程组
【例题1】（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）阅读以下材料：
解方程组，由①得③，把③代入②，得，解得，把代入③得．∴，这种解法称为“整体代入法”．
请你用这种方法解方程组：．
【答案】．
【分析】本题考查的是在解二元一次方程组时整体思想的应用．仿照所给的题例先把①变形，再代入②中求出y的值，进一步求出方程组的解即可．
【详解】解：由①得③，即，
把代入②，得，
解得，
把代入③得，
解得．
∴
【变式1】（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）先阅读材料，然后解方程组．
材料：解方程组：，
由①，得．③
把③代入②，得，解得．
把代入③，得．
原方程组的解为；
这种方法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组：．
【答案】．
【分析】本题考查了解二元一次方程组．根据材料的方法，利用整体代入法求解即可．
【详解】解：由①，得．③
把③代入②，得，解得．
把代入③，得．
原方程组的解为
【变式2】（23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）材料：解方程组
将①整体代入②，得，
解得，
把代入①，得，
所以
这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请解方程组
【答案】
【分析】本题考查解二元一次方程组．理解并掌握整体代入法解方程组，是解题的关键．利用整体代入法解方程组即可．
【详解】解：由①得：③，
将③代入②得：，
解得：，
将代入①得：，
解得：，
∴方程组的解为
【变式3】2023七年级上·全国·专题练习）解方程组
【答案】
【分析】本题考查解二元一次方程组．读懂题意，掌握整体代入法的步骤是解题关键．将①变形为，再整体代入②中，即可求出y的值．再将y的值代入，即可求出x的值，方程组得解．
【详解】解：
由①得，，
代入②得，
解得，
把代入③得，，
解得．
故原方程组的解为
解法2：用特殊消元法解二元一次方程组
类型1：方程组中两未知数系数之差的绝对值相等
【例题2】（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于，的方程组
(1)若方程组的解互为相反数，求的值
(2)若方程组的解满足方程，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了用加减消元法解二元一次方程组．已知二元一次方程组的根的情况求参数以及相反数的应用.
（1）解方程组得出，，根据方程组的解互为相反数，得出，即，解关于k的方程即可；
（2）解方程组得，然后代入原方程即可求出k的值．
【详解】（1）解：
①②，得，
①②，得．
∵方程组的解互为相反数，
∴，
即，
∴．
（2）
②①，得，
∵，
解得，
代入②得：，
∴
【变式1】（23-24七年级下·四川宜宾·阶段练习）解下列方程或方程组
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】本题考查的是一元一次方程和二元一次方程组的求解，正确的掌握求方程和方程组的一般步骤是解题的关键．
（1）先去括号，再移项，之后合并同类项，系数化为1即可；
（2）先去分母，再去括号、移项，之后合并同类项，系数化为1即可；
（3）利用加减消元即可求出方程组的解．
【详解】（1）解：去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得；
（2）
解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得；
（3）解：，
，得
解得．
把代入①，得，
解得．
所以原方程组的解为
【变式2】（2024·广东肇庆·一模）解二元一次方程组．
【答案】
【分析】用加减消元法解方程组即可；
【详解】
解：得，
解得．
将代入（1）得．
所以该方程组的解为
【变式3】（23-24八年级上·山东济南·期末）解下列方程组：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查加减消元法解二元一次方程组，掌握加减法的运算方法是解题的关键．
（1）运用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）整理为系数相同后，再运用加减消元法即可求解．
【详解】（1）解：
①②得，，
把的值代入②得，，
∴原方程组的解为；
（2）解：
得，，
解得，，
把的值代入①得，，
∴原方程组的解为．
类型2：方程组中两未知数系数之和的绝对值相等
【例题3】（23-24七年级下·福建福州·阶段练习）已知关于，的方程组，为常数．
(1)求方程组的解（用含的式子表示）；
(2)平面直角坐标系中，若以方程组的解为横、纵坐标的点在第一、三象限的角平分线上，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，一，三象限角平分线上点的坐标特点，熟练的解方程组是解本题的关键．
（1）直接利用加减消元法解方程组即可；
（2）由一，三象限角平分线上的点的横纵坐标相等，再建立方程求解即可．
【详解】（1）解：，
，得，
∴．
将代入①，得．
原方程组的解为：；
（2）∵以方程组的解为横、纵坐标的点在第一、三象限的角平分线上，
∴，
解得：
【变式1】（2024年贵州省黔南州中考一模考试数学模拟试题）解方程组：
【答案】
【分析】灵活运用加减消元法解方程组是解题的关键．选择相加消元后直接解方程即可．
【详解】，
得，
解得，
把代入①，可得，
解得，
是原方程的解
【变式2】（23-24七年级下·四川宜宾·阶段练习）甲、乙两人同时解方程组，甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得，试求原方程组的解．
【答案】．
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，加减消元法解方程组．把甲的解代入②中求出n的值，把乙的解代入①中求出m的值；把m与n的值代入方程组求解即可得到答案．
【详解】解：把代入②得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
把，代入方程组得：，
得：，即，
把代入①得：，
则方程组的解为
【变式3】（23-24七年级下·全国·随堂练习）用加减法解下列方程组：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解方程组的一般方法，准确计算．
（1）用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）用加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】（1）解：，
，得，
，得，
解得，
把代入①，得，
解得：，
所以这个方程组的解是．
（2）解：
，得，
，得，
解得：，
把代入②，得，
解得：，
所以这个方程组的解是．
解法3：用换元法解二元一次方程组
【例题4】（22-23八年级上·四川成都·阶段练习）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想：
(1)解方程组，我们利用加减消元法，可以求得此方程组的解为 ___________；
(2)如何解方程组呢，我们可以把分别看成一个整体，设，，请补全过程求出原方程组的解；
(3)若关于m，n的方程组，则方程组的解为 ______．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查二元一次方程组的解法，会利用题中换元方法解方程组是解答的关键．
（1）根据加减消元法解方程组即可；
（2）根据（1）中的解得到，进而求解即可；
（3）根据（1）中的解得到，进而解方程组即可求解．
【详解】（1）解：，
得，则，
得，则，
∴方程组的解为，
故答案为：；
（2）解：设，，
则原方程组化为，解得，
∴，解得，
∴原方程组的解为；
（3）解：原方程组可化为
设，，
则原方程组化为，解得，
∴，即
得，则，
得，则，
∴原方程组的解为．
故答案为：．
【变式1】（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）计算：解方程组
【答案】
【分析】利用换元法和加减消元法解方程组即可．
【详解】解：令，
原式，
得：，
解得：，
将代入得：，
解得：，
，
两式相加得：，
解得：，
将代入，
解得：，
【变式2】（23-24七年级下·福建泉州·阶段练习）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想：
(1)已知方程组的解为，如何解大于的方程组呢，我们可以把分别看成一个整体，设，则原方程组的解为______________________；
(2)若方程组的解是，求方程组的解．
(3)已知m，n为定值，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法，理解同解方程的意义，并用整体思想解题是关键．
（1）利用整体思想得到关于的方程，进而即可求解；
（2）把，分别看成一个整体，设， ，即可解题；
（3）把代入方程，依次求出m、n，即可解题．
【详解】（1）解：由题意可得，
∴，
故答案为：；
（2）解；原方程组可化为：
，
令，则，
解得：；
（3）解：去分母得：，
把代入，得，
恒成立，
，
即，
【变式3】（23-24八年级下·上海浦东新·阶段练习）用换元法解方程组：．
【答案】
【分析】本题考查了换元法解方程组，设，，则原方程组可化为，求出，从而得到，求解即可，正确换元是解此题的关键．
【详解】解：设，，则原方程组可化为，
解得，
于是，得，
得，
检验：把，代入原方程组中所含各分式的分母，各分母的值不为零，
原方程组的解是
解法4：用同解交换法解二元一次方程组
【例题5】（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）已知关于的方程组和的解相同．求的值．
【答案】
【分析】本题主要考查解二元一次方程组，掌握加减消元法解二元一次方程组的方法是解题的关键．
根据两个方程组有相同的解，将①与④组合可求出的值，再代入②与③组合的方程组中即可求解．
【详解】解：方程组与的解相同，
∴①与④组合得，，
①④得，，
∴，
把代入②与③组合的方程组中得，
，
把③代入②得，，
∴，
∴
【变式1】（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）已知关于x，y的方程组和的解相同，求的值．
【答案】1
【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，乘方的性质，解题的关键是掌握二元一次方程组的求解，正确求得的值．由题意可得：方程组和方程组的解相同，求得的值，代入求解即可．
【详解】解：由题意可得：方程组和方程组的解相同，
解方程组可得：，
将代入可得：，
解得：，
将代入可得，原式，
即的值．
【变式2】（23-24七年级下·四川眉山·阶段练习）数学学霸甲、乙两人在一次解方程组比赛中，甲求关于的方程祖的正确解与乙求关于的方程组的正确的解相同．则的值为多少？
【答案】1
【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
联立不含a与b的方程求出x与y的值，进而确定出a与b的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】解：联立得：，
解得：，
代入得：，
解得：，
∴
【变式3】（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）已知关于x，y的方程组与方程组的解相同，求的值．
【答案】
【分析】本题考查的是解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题关键．先解方程组，再根据两个方程组同解，得到关于、的方程，求解即可计算求值．
【详解】解：，
得：，
解得：，
将代入①得：，
方程组的解集为，
方程组与方程组的解相同，
，
解得：，
解法5：用主元法解方程组
【例题6】（22-23八年级上·四川成都·期中）已知，，，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是根据题意得出，，将、代入求出结果即可．
【详解】解：由题意得：，
，得：，
即，
将代入①，得：，
解得：，
将、代入得：
．
故答案为：
【变式1】（2023九年级·全国·专题练习）已知（x，y，z均不为0），求的值．
【答案】
【分析】本题不能直接求出x，y，z的值，这时可以把其中一个未知数当成一个常数，然后用含这个未知数的式子去表示另外两个未知数．
【详解】解：将原方程组变形，得
解得
所以
【点睛】本题不是考查学生直接解方程的能力，而是让学生理清三个未知数之间的关系，所以未知数之间的转换就是关键
【变式2】（20-21八年级上·全国·课时练习）已知．
（1）用含z的代数式表示x，y；
（2）求的值．
【答案】（1），；（2）．
【分析】（1）根据加减消元法解关于x、y的方程组即可
（2）将（1）中的结果代入分式中进行运算即可
【详解】解：（1）
①②得，解得．
把代入①，得，
解得．
【点睛】本题考查了用加减法解方程组的特殊解法，把x、y看作未知数解方程组是解题的关键
【变式3】已知x，y，z都不为零，且满足，．求的值．
【答案】
【分析】先根据题意用含有z的式子来表示x、y，然后代入即可得．
【详解】由 ，解得 ，
∵x，y，z都不为零，
∴．
【点睛】本题主要考查解方程组，代数式求值，能根据具体问题选择合适的解法，如本题中用含有z的代数式来表示x、y，这是解题的关键
解法6：用设辅助元法解方程组
【例题7】【观察思考】怎样判断两条直线是否平行？
　　如图①，很难看出直线a、n是否平行，可添加“第三条线”（截线c），把判断两条直线的位置关系转化为判断两个角的数量关系．我们称直线c为“辅助线”．在部分代数问题中，很难用算术直接计算出结果，于是，引入字母解决复杂问题，我们称引入的字母为“辅助元”．事实上，使用“辅助线”、“辅助元”等“辅助元素”可以更容易地解决问题．
【理解运用】
（1）计算这个算式直接计算很麻烦，请你引入合适的“辅助元”完成计算．
【拓展提高】
（2）若关于x，y的方程组的解是，则关于x、y的方程组的解为 ．
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）设，将式子进行变形，即可求解；
（2）把代入得到不含x、y的方程，通过与方程组比较，得到答案．
【详解】解：（1），则
原式=
=
=
（2）把代入得，，
∵，
∴，
∴
【点睛】掌握题目中引入的辅助元思想和整体对比的方法是本题解题的关键．
【变式1】．（22-23七年级下·广西玉林·期末）【阅读·领会】怎么判断两条直线是否平行？
如图①，很难看出直线是否平行，可添加“第三条线”（截线），把判断两条直线的位置关系转化为判断两个角的数量关系，我们称直线为“辅助线”. 在部分代数问题中，难用算术直接计算出结果，于是，引入字母解决复杂问题，我们称引入字母为“辅助元”或“整体代换”．事实上，使用“辅助线”、“辅助元”等“辅助元素”可以更容易地解决问题．

【实践·体验】
（1）已知，则______（引入“辅助元”或“整体代换”计算）.
（2）如图②，已知，求证：，请你添加适当的“辅助线”，并完成证明．

【创造·突破】
（3）若关于的方程组的解是，则关于的方程组的解为______．
【答案】（1）4；（2）见解析；（3）
【分析】（1）把变形为，然后整体代入求值即可；
（2）利用“辅助线”延长交于点F，由三角形内角和定理以及等量代换可得，由同位角相等，两直线平行可得结论；
（3）将代入关于x、y的方程组可得，，再代入关于x、y的方程组可得答案．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
故答案为：4
（2）如图，延长到，使与相交于点，

∵
∴，
∴；
（3）将代入关于x、y的方程组可得，，
再代入关于x、y的方程组可得，，
所以，
故答案为：．
【点睛】本题考查二元一次方程组，平行线的性质以及有理数的运算，掌握二元一次方程组的解法、平行线的性质和判定，理解“辅助线”、“辅助元”、“辅助元素”的意义是正确解答的前提．
【变式2】【阅读 领会】怎样判断两条直线否平行？

如图1，很难看出直线、是否平行，可添加“第三条线”（截线），把判断两条直线的位置关系转化为判断两个角的数量关系．我们称直线为“辅助线”．
在部分代数问题中，很难用算术直接计算出结果，于是，引入字母解决复杂问题，我们称引入的字母为“辅助元”．
事实上，使用“辅助线”、“辅助元”等“辅助元素”可以更容易地解决问题．
【实践 体悟】
(1)计算这个算式直接计算很麻烦，请你引入合适的“辅助元”完成计算．
(2)如图2，已知，求证，请你添加适当的“辅助线”，并完成证明．
【创造 突破】
(3)若关于的方程组的解是，则关于的方程组的解为___________．
(4)如图3，，，，我们把大于平角的角称为“优角”，若优角，则优角___________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
(4)
【分析】（1）设，将式子进行变形，即可求解；
（2）延长交于点，利用平行线的判定定理可得出结论；
（3）把代入方程组得到不含，的方程组，通过与方程组比较便可得到答案；
（4）连接、，分成两个五边形，利用多边形的内角和进行求解即可得到答案．
【详解】（1）解：设，
原式
；
（2）延长交于点，如图所示：

是的外角，
，
又，
，
；
（3）把代入方程组得：，
与方程组比较得：，
方程组的解为：，
故答案为：；
（4）连接、，分成两个五边形，如图所示：

五边形的内角和为，
两个五边形的内角和为，
两个五边形的内角和
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，平行线的性质与判断，解二元一次方程组，多边形的内角和等知识，加入了“辅助”的思想解题的关键是正确找到“辅助线”、“辅助元”等“辅助元素”．
【变式3】．（20-21七年级下·江苏无锡·期中）[阅读 领会]
如图①，为了判断两直线的位置关系．我们添加了直线c为“辅助线”．
在部分代数问题中，引入字母解决复杂问题，我们称引入的字母为“辅助元”．
【实践 体悟】
（1）计算，这个算式直接计算很麻烦，请你引入合适的“辅助元”完成计算．
（2）若关于x、y的方程组的解是的解是，则关于x、y的方程组的解为　 　．
【创造 突破】
（3）已知直线ABCD．如图2，请写出∠ABE、∠E、∠CDE的数量关系，并添加适当的辅助线说明理由．
（4）已知直线ABCD．如图3，∠ABM＝∠MBE，∠CDN＝∠NDE，直线MB、ND交于点F，若∠F＝m°，则∠E=　 　．（用含m的代数式表示）
【答案】（1）；（2）；（3）∠ABE=∠CDE+∠E，理由见解析；（4）4m°
【分析】（1）设，将式子进行变形，即可求解；
（2）把代入方程组得到不含x，y的方程组，通过与方程组比较便可得到答案；
（3）延长AB，交DE于F，利用平行线的性质和三角形的外角性质可得出结论；
（4）延长AB交DE于G，延长CD交BF于H，由平行线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠E=∠ABE-∠AGE=∠ABE-∠CDE；依据∠CHB是△DFH的外角，即可得到∠F=∠CHB-∠FDH=∠ABE-∠CDE=（∠ABE-∠CDE），进而得出∠E =4∠F，从而求解．
【详解】解：（1）设，
∴原式=
=
=；
（2）把代入方程组得：，
与方程组比较得：，
∴方程组的解为：；
（3）延长AB，交DE于F，
∵AB∥CD，
∴∠BFE=∠CDE，
∵∠ABE=∠BFE+∠E，
∴∠ABE=∠CDE+∠E；
（4）如图，延长AB交DE于G，延长CD交BF于H，
∵AB∥CD，
∴∠CDG=∠AGE，
∵∠ABE是△BEG的外角，
∴∠E=∠ABE-∠AGE=∠ABE-∠CDE，①
∵∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，
∴∠ABM=∠ABE=∠CHB，∠CDN=∠CDE=∠FDH，
∵∠CHB是△DFH的外角，
∴∠F=∠CHB-∠FDH=∠ABE-∠CDE=（∠ABE-∠CDE），②
由①代入②，可得∠E=4∠F=4m°．
【点睛】本题考查了整式的混合运算、方程组的求解、平行线的性质，三角形外角的性质等知识点，理解“辅助线”和“辅助元”并运用辅助元素是解决本题的关键．
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