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2024年五华县初中毕业水平考试模拟试题
数 学
说明：
1.全卷共6页，分选择题、填空题和解答题三大题25小题，全卷满分为120分，考试用时为120分钟。
2.答卷前，考生先用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上填上自己的学校、班级、姓名、座号，再在考生号栏下写上14位考生号，最后用2B铅笔把考生号对应的地方涂黑。
3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上。
4.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
5.考生务必保持答题卡的整洁。考试结束时只交回答题卡。
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的。
1.下列四个实数中，最小的是
A． B． C．1 D．4
2.中国古代数学著作《九章算术》中，将两底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”.将一个“堑堵”按如图方式摆放，则它的左视图为
A． B． C． D．
3.下列运算中，正确的是
A． B．
C． D．
4.世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公元前二世纪中国的《淮南万毕术》。书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”.现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的.如第4题图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是
第4题图
A．内错角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行
C．对顶角相等 D．两点确定一条直线
5.一组数据0，1，1，2，若添加一个数3后得到一组新数据，则这组新数据的中位数是
A．0 B．1 C．2 D．3
6.下面是琳琳作业中的一道题目：
已知：6，求的值.
“”处都是0但发生破损，琳琳查阅后发现本题答案为5，则破损处“0”的个数为
A．9 B．10 C．11 D．12
7.若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是
A． B． C．且 D．且
8.如第8题图，点A，B，C在⊙O上，C为弧AB的中点.若，则∠BAC等于
第8题图
A．36° B．45° C．30° D．48°
9.如第9题图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数（）的图象上，点A，B在x轴上，且PA⊥PB，PA交y轴于点C，.若△ABP的面积是2，则k的值是
第9题图
A． B．2 C．1 D．
10.已知抛物线（，a，b，c是常数）开口向上，过，两点（其中），下列四个结论：
①；②若，则；③对于任意实数t，总有；④关于x的一元二次方程（）必有两个不相等的数根.其中正确的是
A．①②④ B．①③ C．③④ D．①③④
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。
11.的立方根是 .
12.已知点和点关于原点对称，则的值为 .
13.如第13题图，“中国七巧板”是由七个几何图形组成的正方形，其中1、2、3、5、7是等腰直角三角形，4是正方形，6是平行四边形.一只体型微小的小虫在七巧板上随机停留，则刚好停在6号板区域的概率是 .
第13题图
14.代数式的最小值为 .
15.如第15题图，以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，分别交AB，AC于D，E，则图中阴影部分的面积是 .
第15题图
16.如第16题图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，4为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连结OQ.则线段OQ的最小值是 .
第16题图
三、解答题：本大题共9小题，满分72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤.
17.（本题满分6分）
计算：。
18.（本题满分6分）
先化简：，再从，，0和2中选择一个合适的数作为x代入求值。
19.（本题满分6分）
某校为了助力宣传“百千万工程”弘扬五华美食文化，特举办五华特色美食知识竞赛。为此该校收集了五个当地美食图片（除正面图案外其余完全相同），依次记为A：酿豆腐，B：五华鱼生，C：白切鸡，D：擂茶，E：横陂小炒，然后背面朝上，参赛的同学从中随机抽取一张来介绍该美食文化。
A：酿豆腐 B：五华鱼生
C：白切鸡 D：擂茶
（1）小麦抽到“A：酿豆腐”的概率为 ；
（2）若小英从中随机抽取一张卡片记录下名称后，将卡片放回洗匀，小涛再随机从中抽取一张卡片记录下名称，请用列表或画树状图的方法求出他们抽取的美食相同的概率。
20.综合与实践（本题满分8分）
数学活动课上，同学们用尺规作图法探究用菱形一条对角线来作菱形。如图，AC是菱形ABCD的一条对角线，且顶点B在射线AE上。
（1）[动手操作]请用尺规把这个菱形补充完整。（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）[拓展延伸]若，，求菱形ABCD的面积。
21.（本题满分8分）
如图，在Rt△ABC中，，点O在边AC上，且，过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D，以点O为圆心，OD的长为半径作⊙O交BO于点E。
（1）求证：AB是⊙O的切线。
（2）若⊙O的半径为3，，求线段AB的长。
22.（本题满分8分）
五华，这片士地孕育了深厚的足球文化。从亚洲球王李惠堂到近年来唯一的县级中超球队梅州客家，他们的存在不仅彰显了五华足球的历史，更推动了当地体育事业的蓬勃发展。五华某校致力于发展足球运动，决定加大投入购买足球和足球锥形桶。在商场发现若购买20个足球和40个足球锥形桶需要花费1800元，且购买1个足球锥形桶比1个足球少花30元。
（1）求每个足球和足球锥形桶的单价
（2）根据学校计划，该中学需足球、足球锥形桶共120个，且足球的数量不少于足球锥形桶数量的，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用。
23.（本题满分8分）
图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂AC是可伸缩的（10m≤AC≤20m），且起重臂AC可绕点A在一定范围内转动，张角为∠CAE（90°≤∠CAE≤150°），转动点A距离地面BD的高度AE为4m。
① ②
（1）当起重臂AC长度为12m，张角∠CAE为120°时，求云梯消防车最高点C距离地面的高度CF；
（2）某日，一居民家突发险情，该居民家距离地面的高度为21m，请问该消防车能否实施有效救援？（参考数据：，）
24.（本题满分10分）
（1）如图1，在矩形ABCD中，点C，D分别在边DC，BC上，AB⊥AB，垂足为点G.求证：△ADE∽△DCF。
图1
【问题解决】
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE=DF，延长BC到点H，使，连接DH.求证：。
图2
【类比迁移】
（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，，，，求CF的长：
图3
25.（本题满分12分）
如图，抛物线与x轴交于A，B两点，其中，与y轴交于点C。
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，平面内是否存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由。
图1
（3）如图2，若点P是线段BC（不与端点重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM.
图2
①如图3，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求证：四边形PCNM为菱形；
图3
②当△PCM和△ABC相似时，求点P的坐标。
2024年五华县初中学业水平数学模拟检测题
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.
1-10．BBCAB CAACD
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.（第14题1+2=3分）
11． 12． 13． 14．4 15． 16．3
三、解答题：本大题共9小题，满分72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤.
17．（本题满分6分）解：
解：
．
18．（本题满分6分）
解：
，
∵当，，2时，原分式无意义，
∴，
当时，原式．
19．（本题满分6分）
解：
（1）．
（2）列表如下：
小涛小英 A B C D E
A
B
C
D
E
共有25种等可能的结果，其中他们抽取的美食相同的结果有5种，
∴他们抽取的美食相同的概率为．
20．（本题满分8分）
解：
（1）如图所示；
（2）设BD，AC交于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，，
∵，
∴，
∴，
∴菱形ABCD的面积．
21.（本题满分8分）
解：
（1）过点O作OF⊥AB，垂足为F．
∵AD⊥OD，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴AO为∠DAB的角平分线
∵OD⊥AD，OF⊥AB，
∴，
即OF为⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线．
（2）∵⊙O的半径为3，，
由题意得，．
在Rt△OBF中，由勾股定理可得．
∵，，
∴△OBF∽△ABD，
∴
∴
∴．
22.（本题满分8分）
解：
（1）设每个足球的价格是x元，每个足球锥形桶的价格是b元．
依题意，得，
解得：，
答：每个足球的价格是50元，每个足球锥形桶的价格是20元；
（2）设学校购买了足球a个，需要的总费用为W元，则
由题意得：．
∴．
∴（）
∵，
∴W随a的增大而增大
∴当时，．
（个）
答：当购买40个足球，80个足球锥形桶时，总费用最少，最低费用为3600元．
23.（本题满分8分）
（1）如图，作AG⊥CF于点G，
∵，
∴四边形AEFG为矩形，
∴，，
∴，
在Rt△ACG中，，
∴，
∴；
（2）如图，作AG⊥CF于点G，
∵，
∴四边形AEFG为矩形，
∴，，
∴，
在Rt△ACG中，，
∴，
∴；
∵21米＜21.32米，
∴能实施有效救援．
24.（本题满分10分）
（1）证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴，
∵AE⊥DF，
∴，
∴，
∴，
又∵
∴△ADE∽△DCF；
（2）证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，，
∵，
∴△ADE≌△DCF（HL），
∴，
又∵，
∴，
∵点H在BC的延长线上，
∴，
∵，
∴△DCF≌△DCH（SAS），
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图，延长BC到点G，使，连接DG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，，
∴，
∴△ADE≌△DCG（SAS），
∴，，
∵，
∴，
∴△DFG是等边三角形，
∴，
∴．
25.（本题满分12分）
解：
（1）依题意，得
∴
∴抛物线解析式为：；
（2）平面内存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标为或或．
【解题思路不作评分依据】
在中，
令，得：，
解得：，，
∴，，
令得
∴，
存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
设点D的坐标为，
解题思路一：如图，分情况讨论：
（1）当AB为边时，
①把AB平移到，此时有移动到，
则点移动到，所以；
②把AB平移到，此时有移动到，
则点移动到，所以；
（2）AB为对角线时，
把AC平移到，此时有移动到，
则点移动到，所以；
解题思路2：如图，分情况讨论：
①当AB为对角线时，，，
解得：，，
∴；
②当AC为对角线时，，，
解得：，，
∴；
③当BC为对角线时，，，
解得：，，
∴；
综上所述，平面内存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标为或或．
（3）①证明：
∵△PCM沿CM对折，P的对应为点N
∴
∵PM垂直于x轴CN在y轴上
∴
∴
∴
∴
∴
∴四边形PCNM为菱形
②设直线BC解析式为，
∵，，
∴，
解得：，
∴直线BC解析式为：，
设，
则，
∴，
∵，，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
要使△PCM和△ABC相似，共有两种可能：
1）当△CPM∽△CBA，
∴，即，
解得：，（不合，舍去）
∴；
2）当△CPM∽△ABC，
∴，
即，
解得：，（不合，舍去）
∴；
综上所述，点P的坐标为或；
（本卷每道题仅提供一种解法，其余正确解法参照给分）

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