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第三单元 因数与倍数
一、填空题
1．a和b是两个连续的奇数，a和b的最大公因数是( )，a和b的最小公倍数是( )。
2．小明和小芳是图书馆志愿者，小明每4天去一次图书馆，小芳每5天去一次图书馆。3月19日两人同时去图书馆，下一次两人同时去图书馆是( )月( )日。
3．在1、2、5、9、11、18、24中，奇数有( )，质数有( )。
4．一个三位数82□，如果它是3的倍数，且有因数5，那么这个三位数是( )。
5．学校体操队有27名男生和36名女生。如果男女生分别排队，要使每排人数相同，每排最多排( )人，这时男女生一共要排成( )排。
6．一个四位数，它个位上的数是最大的一位数，十位上的数是最小的合数，百位上的数是合数且是奇数，千位上最小的质数，这个四位数是( )。
7．一个数的最小倍数与最小因数的差是24，这个数的因数有( )个，把这个数分解质因数是( )。
8．45□既是2的倍数，又有因数3，□里最大填( )；45□既是3的倍数，又是5的倍数，□里填( )。
9．从0、1、2、7四张数字卡片中选三张组成三位数，最大的奇数是( )，是3的倍数中最小的是( )。
10．一般渡轮最初在河的右岸，运送31次后（往返各算1次），现在渡轮在河的( )岸。
二、判断题
11．5个连续奇数从小到大依次排列，若它们的和是35，则正中间的数是7。( )
12．只有两个质数才能成为互质数，两个合数不能成为互质数。( )
13．因为1.2÷0.4＝3，所以1.2是3的倍数。( )
14．两个数的最大公因数是4，最小公倍数是12，这两个数可能是8和12。( )
15．4AA0A5这个数一定是3和5的倍数。( )
三、选择题
16．一张长24厘米，宽18厘米的长方形纸，要分成大小相等的小正方形，且没有剩余。最少可以分成（ ）。
A．12个 B．15个 C．9个 D．6个
17．把40块水果糖和35块巧克力分别平均分给一个组的同学，结果水果糖少2块，巧克力少1块。这个组最多有（ ）位同学。
A．5 B．6 C．7 D．8
18．淘气最初面向东站立，听到第一声指令“向后转”就面向西站立，当他听到第17次这样的指令后，面向（ ）站立。
A．东 B．南 C．西
19．小青用2、3、5、8四张数字卡片摆出的所有四位数（ ）。
A．一定是2的倍数 B．一定是3的倍数 C．一定是5的倍数
20．著名的“哥德巴赫猜想”被喻为“数学皇冠上的明珠”，猜想认为：任何大于2的偶数都是两个质数之和。下列算式中，符合这个猜想的是（ ）。
A．6＝1＋5 B．15＝2＋13 C．12＝3＋9 D．24＝11＋13
四、计算题
21．求下列每组数的最大公因数和最小公倍数。
7和11 6和16 8和9 17和51
五、连线题
22．连一连。
六、解答题
23．小明家卫生间的地面是一个长3米、宽2.4米的长方形，如果给卫生间的地面铺上地砖，选择下面哪种规格的地砖能正好铺满？请简要说明理由。
24．亮亮和丽丽去图书馆借书，亮亮每4天去一次，丽丽每7天去一次，7月31日他们两人在图书馆相遇，下一次相遇是几月几日？
25．如果一个直角三角形的两个锐角的度数均为质数，则称这种三个角形为“质数直角三角形”。那么，有一边长度为1的“质数直角三角形”有多少个？
26．雯雯家打算给卧室的地面铺正方形地砖，要求只铺一种规格的地砖，且铺得既整齐又没有剩余。地面的形状是一个长42分米、宽36分米的长方形，有几种不同规格的正方形地砖可供雯雯家选择？如果选用最大规格的正方形地砖，那么需要多少块？（只考虑地砖的大小，地砖边长为整分米数）
27．有三个连续的自然数，它们的和是三位数，且是2和5的倍数，这个三位数最小是多少？此时这三个连续的自然数分别是多少？想一想，三个连续的自然数的和是几的倍数？
28．小丽到文具店买日记本，日记本的单价已看不清楚，她买了3本日记本，售货员阿姨说应付15.2元，小丽认为不对，你能解释这是为什么吗？
29．学校召开运动会，开幕式上每个年级派出一个方队进行风采展示。方队中每行的人数和行数都是质数（每行人数都相等）。四个小朋友在看台上数出五年级方队的总人数如下表，其中只有一个小朋友数对了。五年级方队有多少人？为什么？
芳芳 亮亮 红红 兵兵
66 72 77 80
30．有5张卡片，分别写有数字1、2、3、4、6.现从中取出3张卡片，并排放在一起，组成一个三位数，可以组成多少个奇数？
参考答案
1．1 ab
【分析】两个连续的奇数互质，互质的两个数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积，据此解答。
【详解】由分析可知，a和b是两个连续的奇数，a和b的最大公因数是1，a和b的最小公倍数是ab。
2．4 8
【分析】小明每隔4天去一次图书馆，小芳每隔5天去一次图书馆，他们同时去图书馆的时间是4和5的最小公倍数，找出4和5的最小公倍数也就是他们经过多少天同时去图书馆，从3月19日过这些天就是他们下一次同时去图书馆的日期。
【详解】4和5是互质数，所以4和5的最小公倍数是4×5＝20。
从3月19日再过20天是4月8日。
因此下一次两人同时去图书馆是4月8日。
3．1、5、9、11 2、5、11
【分析】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。
除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。
【详解】在1、2、5、9、11、18、24中，奇数有1、5、9、11，质数有2、5、11。
4．825
【分析】3的倍数特征是：每一位上数字之和能被3整除；有因数5，说明是5的倍数，5的倍数特征是：个位上是0、5的数，据此解答。
【详解】8＋2＝10，10至少加上2才是3的倍数，但是如果个位上是2就不是5的倍数，所以要使82□既是3的倍数，又有因数5，□里只能填5。
所以这个三位数是825。
5．9 7
【分析】全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。
求出男女生人数的最大公因数，就是每排最多人数；总人数÷每排人数＝排成的排数，据此列式计算。
【详解】27＝3×3×3
36＝2×2×3×3
3×3＝9（人）
（27＋36）÷9
＝63÷9
＝7（排）
每排最多排9人，这时男女生一共要排成7排。
6．2949
【分析】最大的一位数是9；根据合数的意义：在自然数中，除了1和它本身还有别的因数的数是合数；最小的合数是 4；百位上的数是合数且是奇数，即百位上是9，在自然数中，除了1和它本身，没有别的因数的数是质数，最小的质数是2，由此即可解答。
【详解】由分析可知：这个四位数是：2949。
【分析】本题主要考查质数、合数的意义，熟练掌握它们的意义并灵活运用。
7．3 25＝5×5
【分析】一个数的最小因数是1，最大因数和最小倍数都是它本身，根据“最小倍数与最小因数的差是24”可知此数为24＋1＝25；分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式；据此解答即可。
【详解】由“一个数的最小倍数与最小因数的差是24”可知，这个数是：24＋1＝25
25的因数有：1，5，25，共3个；
把25分解质因数是：25＝5×5
【分析】考查了一个数的因数、倍数的求法，以及分解质因数的方法。
8．6 0
【分析】既是2的倍数又是3的倍数的数的特征：个位上是0、2、4、6或8，且各个数位上的数字之和是3的倍数。求□里最大填几，从8开始试，4＋5＋8＝17，17不是3的倍数， 4＋5＋6＝15，15是3的倍数，那么456既是2的倍数又是3的倍数，即□里最大填6；既是3的倍数又是5的倍数的数的特征：个位上是0或5，且各个数位上的数字之和是3的倍数。4＋5＋0＝9，9是3的倍数，4＋5＋5＝14，14不是3的倍数，那么450既是3的倍数又是5的倍数，即□里可以填0。
【详解】据上分析，45□既是2的倍数，又有因数3，□里最大填6；45□既是3的倍数，又是5的倍数，□里填0。
【分析】要熟练掌握2、3和5的倍数特征并灵活运用。
9．721 102
【分析】从0、1、2、7四张数字卡片中选三张组成三位数，求最大的奇数，就是要选取三个最大的数7、2、1，然后把这三个数按照从大到小的顺序排列即可得到721；3的倍数特征是各个数位上的数相加的和能被3整除，最小就选择1、0、2这三个数字符合条件，答案就是102。
【详解】从0、1、2、7四张数字卡片中选三张组成三位数，可排成的奇数有：127、172、271、217、207、721；最大的奇数是：721；
组成的3的倍数有：102、207、702、720；其中3的倍数中最小的是102。
【分析】本题是根据指定数组数，根据指定数字组数时，把指定数字从大到小排列组成的数最大，反而最小，但最高位不能是0。
10．左
【分析】运送一次、三次、五次……也就是奇数次在左岸，偶数次在右岸。据此判断。
【详解】1、3、5、7……在左岸，就是奇数次在左岸。
一艘渡轮最初在河的右岸，运送31次后（往返各算1次），现在渡轮在河的左岸。
【分析】掌握奇偶原理是解决本题的关键。
11．√
【分析】根据奇数的意义和奇数的排列规律，相邻的两个奇数相差2；根据平均数的意义，35÷5＝7得到中间的数，据此解答即可。
【详解】35÷5＝7，即中间的数是7
所以原题说法正确。
故答案为：√
【分析】此题主要考查奇数的意义和排列规律，根据求平均数的方法解答即可。
12．×
【分析】公因数只有1的两个数为一组互质数，根据这个概念，结合质数和合数的概念，再通过举例子的方式来判断题干正误即可。
【详解】只有公因数1的两个数为互质数，因此两个质数一定是互质数，合数也可能成为互质数，比如8和9都是合数，但是8和9的公因数只有1，因此8和9也是互质数，所以本题说法错误。
故答案为：×
13．×
【分析】只在自然数（零除外）范围内研究倍数和因数。如果a×b＝c（a、b、c都是非0的自然数）那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。
【详解】1.2÷0.4＝3，1.2和0.4都是小数，不在因数、倍数的研究范围，所以1.2不是3的倍数。
原题干说法错误。
故答案为：×
14．×
【分析】最大公因数是两个数的公有的质因数的乘积，最小公倍数是两个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积，据此可设这两个数分别是4x，4y，x和y互质，且4xy＝12，据此求出xy的积，进而推出x和y的值，最后推出这两个数。据此解答。
【详解】设这两个数分别是4x，4y，
4xy＝12
解：4xy÷4＝12÷4
xy＝3
3＝1×3
1×4＝4
3×4＝12
两个数的最大公因数是4，最小公倍数是12，这两个数是4和12。原题干说法错误。
故答案为：×
【分析】本题考查了最大公因数和最小公倍数的认识和应用。
15．√
【分析】根据3的倍数的特征：各个数位上的数字之和是3的倍数的数是3的倍数；根据5的倍数的特征：个位上是0，5的数是5的倍数，据此解答。
【详解】4＋A＋A＋0＋A＋5
＝4＋3A＋5
＝9＋3A
9＋3A为3的倍数，4AA0A5末位为5，是5的倍数，因此4AA0A5这个数一定是3和5的倍数，原题说法正确。
故答案为：√
【分析】此题主要考查了3、5的倍数特征。
16．A
【分析】要求最少可以分成多少个大小相等的小正方形，小正方形个数最少，也就是分成的小正方形的边长最长；先求出长方形的长与宽的最大公因数是多少；再用长与宽所包含的最大公因数的个数相乘，所得的积就是最少可以分成的小正方形的个数。
【详解】24＝2×2×2×3，18＝2×3×3
24和18的最大公因数是2×3＝6。
（24÷6）×（18÷6）
＝4×3
＝12（个）
因此最少可以分成12个大小相等的小正方形。
故答案为：A
17．B
【分析】根据题意可知，如果水果糖有40＋2＝42块，巧克力有35＋1＝36块，正好分完，由此可知，求这个组最多有几名同学，就是求42和36的最大公因数，最大公因数：两个数的公有质因数的连乘积，就是这两个数的最大公因数，据此解答。
【详解】40＋2＝42（块）
35＋1＝36（块）
42＝2×3×7
36＝2×3×2×3
42和36的最大公因数是2×3＝6；最多有6位同学。
把40块水果糖和35块巧克力分别平均分给一个组的同学，结果水果糖少2块，巧克力少1块。这个组最多有6位同学。
故答案为：B
18．C
【分析】由题意可知：听到第1次指令面向西，听到第2次指令面向东，听到第3次指令面向西，听到第4次指令面向东，……即当奇数次指令时，他总是面向西；偶数次指令时，他总是面向东。据此规律解答即可。
【详解】因为奇数次指令时面向西，偶数次指令时面向东，17为奇数，所以当他听到第17次这样的指令后，面向西站立。
故答案为：C
【分析】生活中的一些数学问题，可以利用数的奇偶性来解答。
19．B
【分析】个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数，个位上是0或5的数是5的倍数。各位上数的和是3的倍数的数，是3的倍数。据此分析解题。
【详解】用2、3、5、8四张数字卡片摆出的四位数个位上不一定是2或8，也可能是3或5，那么摆成的所有四位数不一定是2的倍数；
同理，摆成的四位数个位不一定是5，也可能是2、3、8，那么摆成的所有四位数不一定是5的倍数；
2＋3＋5＋8＝18，18是3的倍数，那么不论怎么摆，用2、3、5、8四张数字卡片摆出的所有四位数一定是3的倍数。
故答案为：B
【分析】本题考查了2、3、5的倍数，掌握2、3、5的倍数特征是解题的关键。
20．D
【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。
一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数；1既不是质数也不是合数；
根据题意，逐项分析各选项的算式是否符合“任何大于2的偶数都是两个质数之和”，据此解答。
【详解】A．6＝1＋5；其中1不是质数，不符合题意；
B．15＝2＋13；其中15是奇数，不是偶数，不符合题意；
C．12＝3＋9；其中9是合数，不符合题意；
D．24＝11＋13；24是偶数，11和13是质数，符合题意。
著名的“哥德巴赫猜想”被喻为“数学皇冠上的明珠”，猜想认为：任何大于2的偶数都是两个质数之和。下列算式中，符合这个猜想的是24＝11＋13。
故答案为：D
【分析】掌握奇数与偶数、质数与合数的定义是解题的关键。
21．7和11的最大公因数是1，最小公倍数是77；
6和16的最大公因数是2，最小公倍数是48；
8和9的最大公因数1，最小公倍数是72；
17和51的最大公因数是17，最小公倍数是51
【分析】求两个数的最大公因数和最小公倍数，如果两个数互质，则这两个数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积；
如果两个数是倍数关系，则这两个数的最大公因数是其中较小的数，最小公倍数是其中较大的数；
如果两个数既不互质，也不是倍数关系，则先把两个数分别分解质因数，这两个数的最大公因数是两个数的公有的质因数的乘积，最小公倍数是两个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积，据此解答。
【详解】7和11互质，
7×11＝77
7和11的最大公因数是1，最小公倍数是77；
6＝2×3
16＝2×2×2×2
2×2×2×2×3＝48；
6和16的最大公因数是2，最小公倍数是48；
8和9互质，
8×9＝72
8和9的最大公因数是1，最小公倍数是72；
51÷17＝3
17和51是倍数关系，它们的最大公因数是17，最小公倍数是51。
22．见详解
【分析】根据质数与合数的意义，在自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数；除了1和它本身，还有别的因数的数为合数，据此解答。
【详解】
【分析】本题考查质数与合数的意义，根据质数与合数的意义进行解答。
23．6分米；理由见详解
【分析】根据题意，要将正方形地砖铺满长方形的区域，找到长和宽的公因数作为正方形的边长，则可正好铺满，据此解答。注意地砖的边长以分米为单位，可先将所有单位换算为分米，1米＝10分米。
【详解】3米＝30分米
2.4米＝24分米
30的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30；
24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24；
30和24的公因数有：1、2、3、6；
5不是30和24的公因数，6是30和24的公因数，所以选边长是6分米的正方形地砖能正好铺满；
答：选边长是6分米的正方形地砖能正好铺满，因为6是30和24的公因数。
24．8月28日
【分析】4和7 的最小公倍数是28,也就是每28天两人同时去图书馆借书一次,7月31日再过28天是8月 28日,所以下一次相遇是8月28日。
【详解】4和7的最小公倍数是28，所以他们下一次相遇是8月28日。
答：下一次相遇是8月28日。
【分析】本题考查了最小公倍数的应用 。
25．27个
【分析】先找出和为90的质数共有多少对，每一对角度中可构成边长为1的“质数直角三角形”3个，再用求出和为质数有多少对×3，就是有一边长为1的“质数直角三角形”有多少个；据此解答。
【详解】和为90的质数有：
83＋7、79＋11、73＋17、71＋19、67＋23、61＋29、59＋31、47＋43、53＋37，一共有9对。
9×3＝27（个）
答：有一边长为1的“质数直角三角形”有27个。
【分析】本题考查合数与质数，关键是找出和为90的质数一个有多少对。
26．4；42块
【分析】首先求出42和36的公因数，它们之间有几个公因数就有几种不同规格的正方形地砖可选择；地面是一个长方形，用长和宽分别除以最大公因数，可得长能放的块数和宽能放的块数，最后相乘，就是需要砖的块数。
【详解】42的因数有：1，2，3，6，7，14，21，42
36的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36
42和36的公因数有：1，2，3，6，有4个公因数。
42和36的最大公因数是：6
42÷6＝7（块）
36÷6＝6（块）
6×7＝42（块）
答：有4种不同规格的正方形地砖可供雯雯家选择。如果选用最大规格的正方形地砖，那么需要42块。
【分析】本题是一道关于最大公因数应用题目，注意求最大公因数的方法和计算的正确性。
27．这个三位数最小是120，此时这三个连续的自然数分别是39、40、41；三个连续的自然数的和是3的倍数。
【分析】本题考查2、3和5的倍数的特征。设三个连续的自然数分别是a－1、a和a＋1，它们的和是（a－1）＋a＋（a＋1）＝3a，所以任意三个连续的自然数之和一定是3的倍数。这个三位数同时是2，3和5的倍数，它的个位上是0，且各个数位上的数字之和是3的倍数，所以这个三位数最小是120，120÷3＝40，这三个连续的自然数分别是39、40、41。
【详解】设三个连续的自然数分别是a－1、a和a＋1，它们的和是（a－1）＋a＋（a＋1）＝3a，所以任意三个连续的自然数之和一定是3的倍数。它们的和又同时是2和5的倍数，即个位上的数只能是0，最小的数字组合为：，故同时是2、3和5的倍数的最小三位数是120。
中间的数为：120÷3＝40，则前一个数为：40－1＝39，后一个数为：40＋1＝41。
答：这个三位数最小是120，此时这三个连续的自然数分别是39、40、41，三个连续的自然数的和是3的倍数。
28．见详解
【分析】根据3的倍数的特征解决此题。
【详解】因为15.2元＝1520分，3本日记本的总价应是3的倍数，但1520并不是3的倍数，所以售货员计算有误。
【分析】3的倍数的特征：各个数位上的数字之和是3的倍数。
29．77人；见详解
【分析】分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。
根据题意，方队中每行的人数和行数都是质数；据此把四个人数的总人数分解质因数，其中能分解成两个质数相乘形式的合数即是五年级方队的总人数。
【详解】66＝2×3×11
72＝2×2×2×3×3
77＝7×11
80＝2×2×2×2×5
答：五年级方队有77人。因为只有77能分解成两个质数相乘，而其他三个数都不能分解为两个质数相乘，所以五年级方队有77人。
30．24个
【分析】组成奇数，那么个位的数字必须是1、3中的一个，有2种不同的选择方法，那么十位上的数字就要从剩下的4种选择一个，有4种不同的选法，百位上的数字就剩下3个数字中选择一个，有3种不同的方法，它们的积就是所有不同奇数的个数。
【详解】由分析可知：
2×4×3
＝8×3
＝24（个）
答：可以组成24个奇数。
【分析】本题根据偶数的特点找出各个位上数字的可能性，然后根据乘法原理进行求解。

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