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2024年广东省深圳市福田区中考数学二模试卷
一.选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（3分）计算（﹣2024）×（﹣1）的结果为（　　）
A．2024 B．﹣2024 C． D．
2．（3分）截至2023年12月底，全国累计发电装机容量约2920000000千瓦，这个容量用科学记数法可表示为（　　）
A．0.292×109千瓦 B．2.92×109千瓦
C．0.292×1010千瓦 D．2.92×1010千瓦
3．（3分）计算（ab）2正确的是（　　）
A．a2b B．ab2 C．a2b2 D．a3b3
4．（3分）车间有15名工人，某一天他们生产的机器零件个数统计如下：
生产个数（个） 6 7 8 9 10 11 13 15 16
工人人数（人） 1 2 4 1 2 1 1 2 1
为提高工作效率和工人的积极性，管理者准备实行“每天定额生产，超产有奖，奖励大多数”的措施，决定用这一天的众数来作为生产定额，则定额数量为（　　）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
5．（3分）如图，一辆货车，为了方便装运货物，使用了三角形钢架，已知∠BCA＝90°，∠BAC＝α，BC＝h，则AB的长为（　　）
A． B． C．hsinα D．hcosα
6．（3分）如图，在已知△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AC于点E，交BC于点F，连接AF．若AB＝AC，∠BAC＝120°，则∠FAB的大小为（　　）
A．70° B．80° C．90° D．100°
7．（3分）如图，点A，B，C在半径为3的⊙O上，∠ACB＝30°，则的长为（　　）
A．3 B． C．π D．
8．（3分）如图1，是简易伽利略温度计的结构示意图，图2反映了其工作原理．在t1，t2，t3三个时刻，观察到液面分别处于管壁的A，B，C三处．测得AB＝BC＝3cm，且已知t1，t2两个时刻的温差是2℃，则t1时刻的温度比t3时刻的温度（　　）
A．高6℃ B．低6℃ C．高4℃ D．低4℃
9．（3分）如图，若设从2019年到2021年我国海上风电新增装机容量的平均增长率为x，根据这个统计图可知，x应满足（　　）
A．x＝
B．14.5%（1+x）2＝452.3%
C．1.98（1+x）2＝16.9
D．1.73（1+x）2＝3.06
10．（3分）如图，△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，一束光线从AB上的点P出发，以垂直于AB的方向射出，经镜面AC，BC反射后，需照射到AB上的“探测区”MN上，已知MN＝2，NB＝1，则AP的长需满足（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）因式分解：m3﹣9m＝　 　．
12．（3分）甲、乙两位选手各10次射击成绩的平均数都是9环，方差分别是s甲2＝0.8，s乙2＝0.4，则 　 　选手成绩更稳定．（填“甲”或“乙”）
13．（3分）如图1，“幻方”源于我国古代夏禹时期的“洛书”．把“洛书”用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方、三阶幻方中，要求每行、每列及对角线上的三个数的和都相等．小明在如图2的格子中填入了代数式，若它们能满足三阶幻方要求，则x+y﹣3＝　 　．
14．（3分）如图，在平行四边形OABC中，点C在y轴正半轴上，点D是BC的中点，若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A，D两点，且△ACD的面积为2，则k＝　 　．
15．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，F为对角线AC上一动点，延长BF，AD交于点E，若BF BE＝24，则CF＝　 　．
三、解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）
16．（5分）计算：（﹣2024）0﹣+（﹣）﹣1+4cos45°．
17．（7分）先化简，再求值：，其中x＝4．
18．（8分）“龙腾冰雪，逐梦亚冬”，壮观的冰雪大世界吸引了众多的“南方小土豆”．寒假初期，班长委托甲、乙、丙、丁、戊5位同学组团先到哈尔滨了解景点情况．第一天，5位同学中的甲、乙、丙3位被指派分别前往冰雪大世界、东北虎林园、中央步行街三个景点（分别用A，B，C表示）考查，其余2位须在上述3个景点中任选一个考查，且每人每天刚好只够考查一个景点．
（1）关于“第一天”的以下事件：
①甲考查A景点；
②乙考查A景点；
③丁考查A景点；
④丁、戊两人都考查A景点，
其中，是随机事件的是 　 　.（填序号）．
（2）结合本题条件，仿第（1）问写两条事件，要求它们是随机的等可能事件．
事件①：　 　；事件②：　 　．
（3）小明对如下问题：“求5位同学在这一天中，恰好有两位同学在冰雪大世界考查的概率是多少？”他是这样解的：
解：5名同学与景点的匹配关系，可能形成如下几种人员分布状态：
景区人员数 冰雪大世界（A） 东北虎林园（B） 中央步行街（C）
第一种 1人 3人 1人
第二种 1人 1人 3人
第三种 1人 2人 2人
第四种 2人 1人 2人
第五种 2人 2人 1人
第六种 3人 1人 1人
总共有6种等可能的分布状态，其中A景区恰好有两人的占两种，所以，P（恰好有两位同学在冰雪大世界考查）＝．
请对以上解法给出评价，并给出你的解法．（要求列表或用树状图，景区用字母表示）
19．（8分）坐拥1200余座公园的深圳被誉为“千园之城”．当前，这些公园正在举办一系列“公园十市集”消费体验活动．笑笑在“五一”假期租了一个公园摊位，销售“文创雪糕”与“K牌甜筒”，其中一个“文创雪糕”的进货价比一个“K牌甜筒”的进货价多1元，用800元购进“K牌甜筒”的数量与用1200元购进“文创雪糕”的数量相同．
（1）求：每个“文创雪糕”、“K牌甜筒”的进价各为多少元？
（2）“K牌甜筒”每个售价5元．根据销售经验，笑笑发现“文创雪糕”的销量y（个）与售价x（元/个）之间满足一次函数关系：y＝﹣20x+200，且售价不高于10元．若“文创雪糕”与“K牌甜筒”共计每天最多能进货200个，且所有进货均能全部售出．问：“文创雪糕”销售单价为多少元时，每天的总利润W（元）最大，此时笑笑该如何进货？
20．（8分）如图1，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，点D为的中点，连接AD，CD，过点C作CE∥AD交AB于点E，连接DE，DB．
（1）证明：DC＝DE．
（2）如图2，过点D作⊙O的切线交EC的延长线于点F，若，且，求EF的长．
21．（9分）背景：双目视觉测距是一种通过测量出左、右两个相机视野中，同一物体的成像差异，来计算距离的方法．它在“AI”领域有着广泛的应用．
材料一：基本介绍
如图1，是双目视觉测距的平面图．两个相机的投影中O1，Or的连线叫做基线，距离为t，基线与左、右投影面均平行，到投影面的距离为相机焦距f，两投影面的长均为l（t，f，l是同型号双目相机中，内置的不变参数），两投影中心O1，Or分别在左、右投影面的中心垂直线上．根据光的直线传播原理，可以确定目标点P在左、右相机的成像点，分别用点P1，Pr表示d1，d2分别是左、右成像点到各投影面左端的距离．
材料二：重要定义
①视差﹣﹣点P在左、右相机的视差定义为d＝|d1﹣d2|．
②盲区﹣﹣相机固定位置后，在基线上方的某平面区域中，当目标点P位于该区域时，若在左、右投影面上均不能形成成像点，则该区域称为盲区（如图2，阴影区域是盲区之一）．
③感应区﹣﹣承上，若在左、右投影面均可形成成像点，则该区域称为感应区．
材料三：公式推导片段
以下是小明学习笔记的一部分：
如图3，显然，△O1P1E∽△PO1H，
△OrPrF∽△POrH，
可得，，
所以，（依图）…
任务：
（1）请在图2中（A，B，C，D是两投影面端点），画出感应区边界，并用阴影标示出感应区．
（2）填空：材料三中的依据是指 　 　；已知某双目相机的基线长为200mm，焦距f为4mm，则位于感应区的目标点P到基线的距离z（mm）与视差d（mm）之间的函数关系式为 　 　．
（3）如图4，小明用（2）中那款双目相机（投影面CD长为10mm）正对天空连续拍摄时，一物体M正好从相机观测平面的上方从左往右飞过．已知M的飞行轨迹是抛物线的一部分，且知，当M刚好进入感应区时，d1＝0.05mm，当M刚好经过点Or的正上方时，视差d＝0.02mm，在整个成像过程中，d呈现出大﹣小﹣大的变化规律，当d恰好减小到上述d1的时，开始变大．
①小明以水平基线为x轴，右投影面的中心垂直线为y轴，建立了如图4所示的平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为 　 　（友情提示：注意横、纵轴上的单位：1m＝1000mm）；
②求物体M刚好落入“盲区”时，距离基线的高度．
22．（10分）【初步探究】
（1）如图1，四边形ABCD是矩形，点P是平面内任一点，则下列结论成立的是（　　）
A．PA+PD＝PB+PC
B．PA+PC＝PB+PD
C．PA2+PD2＝PB2+PC2
D．PA2+PC2＝PB2+PD2
【深入探究】
（2）如图2，正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上一动点，连接PA，PC，PD，设PA＝x，PC＝y．（如有需要，可直接使用（1）中你所得的结论）
①求x2+y2的最小值；
②直接写出|x﹣y|的最大值，并直接写出此时PD的长．
2024年广东省深圳市福田区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（3分）计算（﹣2024）×（﹣1）的结果为（　　）
A．2024 B．﹣2024 C． D．
【分析】根据有理数的乘法法则计算即可．
【解答】解：（﹣2024）×（﹣1）＝+（2024×1）＝2024．
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的乘法，掌握有理数的乘法法则是解答本题的关键．
2．（3分）截至2023年12月底，全国累计发电装机容量约2920000000千瓦，这个容量用科学记数法可表示为（　　）
A．0.292×109千瓦 B．2.92×109千瓦
C．0.292×1010千瓦 D．2.92×1010千瓦
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：2920000000千瓦＝2.92×109千瓦，
故选：B．
【点评】本题主要考查了科学记数法的表示方法，掌握形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数是关键．
3．（3分）计算（ab）2正确的是（　　）
A．a2b B．ab2 C．a2b2 D．a3b3
【分析】根据积的乘方运算法则计算即可．
【解答】解：（ab）2＝a2b2．
故选：C．
【点评】本题考查了积的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
4．（3分）车间有15名工人，某一天他们生产的机器零件个数统计如下：
生产个数（个） 6 7 8 9 10 11 13 15 16
工人人数（人） 1 2 4 1 2 1 1 2 1
为提高工作效率和工人的积极性，管理者准备实行“每天定额生产，超产有奖，奖励大多数”的措施，决定用这一天的众数来作为生产定额，则定额数量为（　　）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
【分析】根据众数的定义即可得到结论．
【解答】解：由题意得，这一天的众数为8个，
∵决定用这一天的众数来作为生产定额，
定额数量为8个，
故选：B．
【点评】本题考查了众数，熟练掌握众数的定义是解题的关键．
5．（3分）如图，一辆货车，为了方便装运货物，使用了三角形钢架，已知∠BCA＝90°，∠BAC＝α，BC＝h，则AB的长为（　　）
A． B． C．hsinα D．hcosα
【分析】在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC＝α，BC＝h，
∴AB＝＝，
∴AB的长为，
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
6．（3分）如图，在已知△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AC于点E，交BC于点F，连接AF．若AB＝AC，∠BAC＝120°，则∠FAB的大小为（　　）
A．70° B．80° C．90° D．100°
【分析】由等腰三角的性质和三角形内角和定理求出∠C，根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质求出∠FAC，即可求出答案．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝＝30°，
由作图的步骤可知，直线MN是线段AC的垂直平分线，
∴AF＝CF，
∴∠FAC＝∠C＝30°，
∴∠FAB＝∠BAC﹣∠FAC＝120°﹣30°＝90°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了基本作图，线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，综合运用这些知识是解决问题的关键．
7．（3分）如图，点A，B，C在半径为3的⊙O上，∠ACB＝30°，则的长为（　　）
A．3 B． C．π D．
【分析】先求出圆心角∠AOB的度数，再根据弧长公式求出的长度即可．
【解答】解：∵∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝60°，
∴的长＝＝π，
故选：C．
【点评】本题考查了弧长公式和圆周角定理，能熟记弧长公式是解此题的关键．
8．（3分）如图1，是简易伽利略温度计的结构示意图，图2反映了其工作原理．在t1，t2，t3三个时刻，观察到液面分别处于管壁的A，B，C三处．测得AB＝BC＝3cm，且已知t1，t2两个时刻的温差是2℃，则t1时刻的温度比t3时刻的温度（　　）
A．高6℃ B．低6℃ C．高4℃ D．低4℃
【分析】根据所给函数图象，得出温度与容器内空气体积的关系，再根据AB＝BC，且t1，t2两个时刻的温差是2℃即可解决问题．
【解答】解：令容器内空气体积为V，温度为T，细管液面高为H，
由图2可知，
V＝aT（a＞0），H＝bV（b＜0），
所以H＝abT．
因为ab＜0，
所以H随T的增大而减小，
所以点A处的温度低于点C处的温度，
即t1＜t3．
因为AB＝BC，且t1，t2两个时刻的温差是2℃，
所以t1与t3两个时刻的温度差是4℃，
即t1时刻的温度比t3时刻的温度低4℃．
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的图象和性质，能根据图2得出温度与容器内空气体积的关系是解题的关键．
9．（3分）如图，若设从2019年到2021年我国海上风电新增装机容量的平均增长率为x，根据这个统计图可知，x应满足（　　）
A．x＝
B．14.5%（1+x）2＝452.3%
C．1.98（1+x）2＝16.9
D．1.73（1+x）2＝3.06
【分析】利用2021年我国海上风电新增装机容量＝2019年我国海上风电新增装机容量×（1+平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：1.98（1+x）2＝16.9．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．（3分）如图，△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，一束光线从AB上的点P出发，以垂直于AB的方向射出，经镜面AC，BC反射后，需照射到AB上的“探测区”MN上，已知MN＝2，NB＝1，则AP的长需满足（　　）
A． B．
C． D．
【分析】易得△ABC是直角三角形，那么可得∠B的正弦值，余弦值和正切值；根据光的反射可得：∠ADP＝∠CDE，∠CED＝∠BEF，可推断出∠BFE＝90°．根据光线需要照射到AB上的“探测区”MN上，点F可能与点N重合，也可能与点M重合．根据∠B的三角函数值可推断出不同情况下AP的值，即可求得AP的取值范围．
【解答】解：∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，
∴AC2+BC2＝AB2．
∴∠C＝90°．
∴∠A+∠B＝90°，∠CDE+∠CED＝90°，sinB＝＝，cosB＝＝，tanB＝＝．
∵DP⊥AB，
∴∠APD＝90°．
∴∠A+∠ADP＝90°．
∴∠B＝∠ADP．
由光的反射可得：∠ADP＝∠CDE，∠CED＝∠BEF．
∴∠B＝∠CDE．
∴∠B+∠BEF＝90°．
∴∠BFE＝90°．
①点F与点N重合．
∵BN＝1，
∴BE＝＝1×＝．
∴CE＝BC﹣BE＝．
∴CD＝＝×＝．
∴AD＝AC﹣CD＝．
∴AP＝AD sinB＝×＝．
②点F与点M重合．
∵MN＝2，NB＝1，
∴BM＝3．
∴BE＝＝3×＝5．
∴CE＝BC﹣BE＝1．
∴CD＝＝1×＝．
∴AD＝AC﹣CD＝．
∴AP＝AD sinB＝×＝．
∴≤AP≤．
故选：C．
【点评】本题考查解直角三角形的应用．理解光线需要照射到AB上的“探测区”MN上，那么点F可能与点N重合，也可能与点M重合是解决本题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）因式分解：m3﹣9m＝　m（m+3）（m﹣3）　．
【分析】原式提取m，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝m（m2﹣9）
＝m（m+3）（m﹣3），
故答案为：m（m+3）（m﹣3）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．（3分）甲、乙两位选手各10次射击成绩的平均数都是9环，方差分别是s甲2＝0.8，s乙2＝0.4，则 　乙　选手成绩更稳定．（填“甲”或“乙”）
【分析】根据方差越大波动越大越不稳定，作出判断即可．
【解答】解：∵s甲2＝0.8，s乙2＝0.4，
∴S乙2＜S甲2，
∴成绩最稳定的是乙．
故答案为：乙．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
13．（3分）如图1，“幻方”源于我国古代夏禹时期的“洛书”．把“洛书”用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方、三阶幻方中，要求每行、每列及对角线上的三个数的和都相等．小明在如图2的格子中填入了代数式，若它们能满足三阶幻方要求，则x+y﹣3＝　﹣4　．
【分析】根据每行、每列及对角线上的三个数的和都相等．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：由题意得：，
解得：，
∴x+y﹣3＝﹣2+1﹣3＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
14．（3分）如图，在平行四边形OABC中，点C在y轴正半轴上，点D是BC的中点，若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A，D两点，且△ACD的面积为2，则k＝　　．
【分析】根据条件可知S OABC＝8，设点A坐标为（a，b），OC a＝8，OC＝AB＝，所以B（a，b+），C（0，），由中点坐标公式得D（，），根据反比例函数图象上点的坐标特征列出ab＝（），求出ab值即可．
【解答】解：如图，延长BA交点x轴于E，
∵△ACD的面积为2，点D是BC的中点，
∴S OABC＝4S△ACD＝4×2＝8，
设点A坐标为（a，b），
∵OC a＝8，
∴OC＝AB＝，
∴B（a，b+），C（0，），
根据中点中点坐标公式可得D（，），
∵A、D都在反比例函数图象上，
∴ab＝（），
解得ab＝．
∴k＝．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握图象上点的坐标特征是解答本题的关键．
15．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，F为对角线AC上一动点，延长BF，AD交于点E，若BF BE＝24，则CF＝　　．
【分析】通过正方形的性质和勾股定理可求得AC的长，设DE＝x，可求得AE和BE的长．求出△BCF∽△EAF后可求得各边的长，由BF BE＝24得到一元二次方程，求解可求得DE，最后可求CF的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB＝AD＝4，AD∥BC，∠BAD＝∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，根据勾股定理可得 ，
设DE＝x，则AE＝AD+DE＝4+x，
在Rt△ABE中，根据勾股定理，有，
∵AD∥BC，
∴∠CBF＝∠E，∠BCF＝∠EAF，
∴△BCF∽△EAF，
∴，
∵AF＝AC﹣CF＝4﹣CF，EF＝BE﹣BF＝﹣BF，
∴，
整理得（8+x）CF＝16，
（8+x）BF＝4，
解得CF＝，BF＝，
由BF BE＝24，得，
整理得x2+2x﹣16＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝﹣1﹣（舍去），
∴x＝﹣1，
检验：当 ﹣1时，8+x≠0，x2+8x+32＝（x+4）2+16＞0成立，
∴ 的根，
∴ ，
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理和正方形的性质，理清各边的关系从而了解各边比例是求解的关键．
三、解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）
16．（5分）计算：（﹣2024）0﹣+（﹣）﹣1+4cos45°．
【分析】直接利用零指数幂的性质、二次根式的性质、负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简，进而得出答案．
【解答】解：原式＝1﹣2﹣3+4×
＝1﹣2﹣3+2
＝﹣2．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
17．（7分）先化简，再求值：，其中x＝4．
【分析】先把括号里面的分式通分后相减，再把各个分式的分子和分母分解因式，除法化成乘法，进行约分化简，最后把x＝4代入化简后的式子进行计算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝，
当x＝4时，原式＝2．
【点评】本题主要考查了分式的化简求值，解题关键是熟练掌握分式的通分和几种常见的分解因式的方法．
18．（8分）“龙腾冰雪，逐梦亚冬”，壮观的冰雪大世界吸引了众多的“南方小土豆”．寒假初期，班长委托甲、乙、丙、丁、戊5位同学组团先到哈尔滨了解景点情况．第一天，5位同学中的甲、乙、丙3位被指派分别前往冰雪大世界、东北虎林园、中央步行街三个景点（分别用A，B，C表示）考查，其余2位须在上述3个景点中任选一个考查，且每人每天刚好只够考查一个景点．
（1）关于“第一天”的以下事件：
①甲考查A景点；
②乙考查A景点；
③丁考查A景点；
④丁、戊两人都考查A景点，
其中，是随机事件的是 　③④　.（填序号）．
（2）结合本题条件，仿第（1）问写两条事件，要求它们是随机的等可能事件．
事件①：　第一天，丁考查B景点　；事件②：　第一天，戊考查A景点　．
（3）小明对如下问题：“求5位同学在这一天中，恰好有两位同学在冰雪大世界考查的概率是多少？”他是这样解的：
解：5名同学与景点的匹配关系，可能形成如下几种人员分布状态：
景区人员数 冰雪大世界（A） 东北虎林园（B） 中央步行街（C）
第一种 1人 3人 1人
第二种 1人 1人 3人
第三种 1人 2人 2人
第四种 2人 1人 2人
第五种 2人 2人 1人
第六种 3人 1人 1人
总共有6种等可能的分布状态，其中A景区恰好有两人的占两种，所以，P（恰好有两位同学在冰雪大世界考查）＝．
请对以上解法给出评价，并给出你的解法．（要求列表或用树状图，景区用字母表示）
【分析】（1）根据随机事件的定义可得答案．
（2）根据题意，结合随机事件的定义可得答案．
（3）由题意可知，小明的解法不对．列表可得出所有等可能的结果数以及还有一名同学在冰雪大世界考查的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知，甲考查A景点是必然事件，乙考查A景点是不可能事件，丁考查A景点是随机事件，丁、戊两人都考查A景点是随机事件，
∴是随机事件的是③④．
故答案为：③④．
（2）事件①：第一天，丁考查B景点；
事件②：第一天，戊考查A景点（答案不唯一）．
故答案为：第一天，丁考查B景点；第一天，戊考查A景点．
（3）评价：小明的解法不对，表格中列举的6种人员分布状态，并非6种等可能结果．
丁、戊两名同学与景点的匹配关系，列表如下：
A B C
A （A，A） （A，B） （A，C）
B （B，A） （B，B） （B，C）
C （C，A） （C，B） （C，C）
共有9种等可能的结果．
∵甲同学已在冰雪大世界考查，
∴还有一名同学在冰雪大世界考查的结果有：（A，B），（A，C），（B，A），（C，A），共4种，
∴恰好有两位同学在冰雪大世界考查的概率是．
【点评】本题考查列表法与树状图法、随机事件，熟练掌握列表法与树状图法、随机事件的定义是解答本题的关键．
19．（8分）坐拥1200余座公园的深圳被誉为“千园之城”．当前，这些公园正在举办一系列“公园十市集”消费体验活动．笑笑在“五一”假期租了一个公园摊位，销售“文创雪糕”与“K牌甜筒”，其中一个“文创雪糕”的进货价比一个“K牌甜筒”的进货价多1元，用800元购进“K牌甜筒”的数量与用1200元购进“文创雪糕”的数量相同．
（1）求：每个“文创雪糕”、“K牌甜筒”的进价各为多少元？
（2）“K牌甜筒”每个售价5元．根据销售经验，笑笑发现“文创雪糕”的销量y（个）与售价x（元/个）之间满足一次函数关系：y＝﹣20x+200，且售价不高于10元．若“文创雪糕”与“K牌甜筒”共计每天最多能进货200个，且所有进货均能全部售出．问：“文创雪糕”销售单价为多少元时，每天的总利润W（元）最大，此时笑笑该如何进货？
【分析】（1）设每个“文创雪糕”的进价为a元，则每个“K牌甜筒”的进价为（a﹣1）元，根据题意列方程并求解即可；
（2）根据题意，“K牌甜筒”进货200﹣y＝20x（个），根据每天的总利润＝“文创雪糕”的销售利润+“K牌甜筒”的销售利润写出W关于x的函数关系式，根据x的取值范围和二次函数求最值的方法求出W最大时x的值，从而求出y的值和（200﹣y）的值即可．
【解答】解：（1）设每个“文创雪糕”的进价为a元，则每个“K牌甜筒”的进价为（a﹣1）元．
根据题意，得＝，
解得a＝3，
经检验，a＝3是所列分式方程的根，
3﹣1＝2（元），
∴每个“文创雪糕”的进价为3元，每个“K牌甜筒”的进价为2元．
（2）根据题意，“K牌甜筒”进货200﹣y＝20x（个）．
根据每天的总利润＝“文创雪糕”的销售利润+“K牌甜筒”的销售利润，得W＝（x﹣3）y+（5﹣2）×20x＝﹣20（x﹣8）2+680，
∵x≤10，
∴当x＝8时，W的值最大，
此时“文创雪糕”进货﹣20×8+200＝40（个），“K牌甜筒”进货200﹣40＝160（个），
∴“文创雪糕”销售单价为8元时，每天的总利润最大，此时笑笑应该“文创雪糕”进货40个，“K牌甜筒”进货160个．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握分式方程的解法和二次函数求最值的方法是本题的关键．
20．（8分）如图1，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，点D为的中点，连接AD，CD，过点C作CE∥AD交AB于点E，连接DE，DB．
（1）证明：DC＝DE．
（2）如图2，过点D作⊙O的切线交EC的延长线于点F，若，且，求EF的长．
【分析】（1）如图1，设BD与DE交于G，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据平行线的性质得到∠BGE＝∠ADB＝90°，得到∠ABD＝∠CBD，根据全等三角形的性质得到EB＝CB，DC＝DE；
（2）如图2，连接OD，OC交于K，根据等腰直角三角形的性质得到∠AOD＝∠COD＝45°，求得∠ADO＝∠DAO＝（180°﹣45°）＝67.5°，同理∠ODC＝∠OCD＝（180°﹣45°）＝67.5°，得到∠ADO＝∠DKF＝67.5°，根据切线的性质得到OD⊥DF，根据平行线的性质得到∠DKC＝∠ADK＝67.5°求得∠F＝∠DCE﹣∠CDF＝22.5°，得到DC＝CF，∠DCE＝45°，由（1）知，DC＝DE，求得∠DEC＝∠DCE＝45°，根据勾股定理得到EC＝＝2，于是得到EF＝EC+CF＝2+．
【解答】（1）证明：如图1，
设BD与DE交于G，
∵AB为⊙O的直径，
∵∠ADB＝90°，
∵CE∥AD，
∴∠BGE＝∠ADB＝90°，
∵点D为的中点，
∴，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵BG＝BG，
∠BGE＝∠BGC＝90°，
∴△GBC≌△GBE（ASA），
∴EB＝CB，
∵∠ABD＝∠CBD，DB＝DB，
∴△DCB≌△DEB（SAS），
∴DC＝DE；
（2）如图2，连接OD，OC交于K，
∵，
∴∠AOC＝90°，
∴∠AOD＝∠COD＝45°，
∵OD＝OA，
∴∠ADO＝∠DAO＝（180°﹣45°）＝67.5°，
同理∠ODC＝∠OCD＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∵EC∥AD，
∴∠ADO＝∠DKF＝67.5°，
∵DF是⊙O的切线，
∴OD⊥DF，
∴∠ODF＝90°，
∴∠FDC＝∠ODF﹣∠ODC＝22.5°，
∵AD∥CE，
∴∠DKC＝∠ADK＝67.5°，
∴∠F＝∠DCE﹣∠CDF＝22.5°，
∴DC＝CF，∠DCE＝45°，
由（1）知，DC＝DE，
∴∠DEC＝∠DCE＝45°，
∴△DCE是等腰直角三角形，
∵弧AD与弧CD相等，
∴CD＝AD，
∵AD＝，
∴AD＝DE＝DC＝CF＝．
在等腰直角三角形DCE中，
EC＝＝2，
∴EF＝EC+CF＝2+．
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，正确地找出辅助线是解题的关键．
21．（9分）背景：双目视觉测距是一种通过测量出左、右两个相机视野中，同一物体的成像差异，来计算距离的方法．它在“AI”领域有着广泛的应用．
材料一：基本介绍
如图1，是双目视觉测距的平面图．两个相机的投影中O1，Or的连线叫做基线，距离为t，基线与左、右投影面均平行，到投影面的距离为相机焦距f，两投影面的长均为l（t，f，l是同型号双目相机中，内置的不变参数），两投影中心O1，Or分别在左、右投影面的中心垂直线上．根据光的直线传播原理，可以确定目标点P在左、右相机的成像点，分别用点P1，Pr表示d1，d2分别是左、右成像点到各投影面左端的距离．
材料二：重要定义
①视差﹣﹣点P在左、右相机的视差定义为d＝|d1﹣d2|．
②盲区﹣﹣相机固定位置后，在基线上方的某平面区域中，当目标点P位于该区域时，若在左、右投影面上均不能形成成像点，则该区域称为盲区（如图2，阴影区域是盲区之一）．
③感应区﹣﹣承上，若在左、右投影面均可形成成像点，则该区域称为感应区．
材料三：公式推导片段
以下是小明学习笔记的一部分：
如图3，显然，△O1P1E∽△PO1H，
△OrPrF∽△POrH，
可得，，
所以，（依图）…
任务：
（1）请在图2中（A，B，C，D是两投影面端点），画出感应区边界，并用阴影标示出感应区．
（2）填空：材料三中的依据是指 　比例的性质　；已知某双目相机的基线长为200mm，焦距f为4mm，则位于感应区的目标点P到基线的距离z（mm）与视差d（mm）之间的函数关系式为 　z＝　．
（3）如图4，小明用（2）中那款双目相机（投影面CD长为10mm）正对天空连续拍摄时，一物体M正好从相机观测平面的上方从左往右飞过．已知M的飞行轨迹是抛物线的一部分，且知，当M刚好进入感应区时，d1＝0.05mm，当M刚好经过点Or的正上方时，视差d＝0.02mm，在整个成像过程中，d呈现出大﹣小﹣大的变化规律，当d恰好减小到上述d1的时，开始变大．
①小明以水平基线为x轴，右投影面的中心垂直线为y轴，建立了如图4所示的平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为 　y＝﹣x2+x+40　（友情提示：注意横、纵轴上的单位：1m＝1000mm）；
②求物体M刚好落入“盲区”时，距离基线的高度．
【分析】（1）连接O1B和OrC，交于一点后延长，交点上方的部分为感应区；
（2）观察材料3的推导公式可以得到依据为比例的性质，根据材料三可得：＝，将f＝4，O1Or＝200代入，可得z＝；
（3）①由题意得抛物线与y轴交点的坐标为（0，40），抛物线的顶点坐标为（20，48），设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），将 （﹣20，16），（0，40）代入即可求得答案；
②联立方程组得：，解方程组即可求得距离基线的高度为16．
【解答】解：（1）感应区边界和感应区如图所示，
（2）在材料三中，由，
得：（依据：比例的性质）；
根据材料三可得：＝，
∴＝，
∴z＝，
故答案为：比例的性质；z＝．
（3）①如图，M刚好进入感应区时，d1＝0.05，d2＝0，此时d＝d1﹣d2＝0.05，
此时，z＝＝16000（mm）＝16（m），
∵投影面CD长为10mm，f＝4mm，
∴OP所在直线解析式为y＝﹣x，令y＝16，得x＝﹣20，即，P（﹣20，16）．
当M经过点Or 的正上方时，视差d＝0.02，
此时，
即抛物线与y轴交点的坐标为（0，40），
当d减小到上述d1的时，z＝3×16＝48（m），之后d开始变大，z开始变小，
即抛物线顶点的纵坐标为48．
设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），将（﹣20，16），（0，40）代入得，
，
解得：b1＝，b2＝﹣，
∵a＜0，对称轴在y轴右侧，
∴b＞0，
∴b＝，
∴a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+40，
故答案为：y＝﹣x2+x+40．
②由于直线OD的解析式为，联立方程组得：，
解得：x1＝20，x2＝﹣20（舍去），
∴y＝×20＝16，
故距离基线的高度为16．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，二次函数的综合运用，运用待定系数法求出二次函数表达式是解决本题的关键．
22．（10分）【初步探究】
（1）如图1，四边形ABCD是矩形，点P是平面内任一点，则下列结论成立的是（　　）
A．PA+PD＝PB+PC
B．PA+PC＝PB+PD
C．PA2+PD2＝PB2+PC2
D．PA2+PC2＝PB2+PD2
【深入探究】
（2）如图2，正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上一动点，连接PA，PC，PD，设PA＝x，PC＝y．（如有需要，可直接使用（1）中你所得的结论）
①求x2+y2的最小值；
②直接写出|x﹣y|的最大值，并直接写出此时PD的长．
【分析】（1）如图1中，过点P作PF⊥AB于点F，PE⊥DA交DA的延长线于点E，交CB的延长线于点G．利用勾股定理证明选项D正确；
（2）①连接BP，BD．则，，由（1）知，x2+y2＝22+PD2，所以，当PD最小时，x2+y2 最小；
②如图3中，在BA，BC上分别截取BM＝BN＝1，利用相似三角形的性质证明PM＝x，PN＝y，由|PM﹣PN|≤MN＝，推出|x﹣y|≤2（等号成立时，点P在直线MN与⊙B的交点处，如图4中），可得|x﹣y|的最大值为2．再求出此时PD的值即可．
【解答】解：（1）如图1中，过点P作PF⊥AB于点F，PE⊥DA交DA的延长线于点E，交CB的延长线于点G．则四边形PEAF，四边形PGBF，四边形EGCD都是矩形．
∴AE＝PF＝GB，PE＝AF，PG＝BF，ED＝GC，
∵PA2＝PE2+AE2，PC2＝PG2+CG2，PB2＝PG2+GB2．PD2＝ED2+PE2，
∴PA2+PC2＝PB2+PD2，
故选：D；
（2）①x2+y2 的最小值为 ．理由如下：
如图5，连接BP，BD．则，，
由（1）知，x2+y2＝22+PD2，
所以，当PD最小时，x2+y2 最小，
而 （等号成立时，点P位于BD上），
所以，x2+y2 的最小值为 ；
②如图3中，在BA，BC上分别截取BM＝BN＝1，
∵PB＝2，BM＝1，BA＝4，
∴PB2＝BM BA，
∴＝，
∵∠PBM＝∠ABP，
∴△PBM∽△ABP，
∴PM：AP＝PB：AB＝1：2，
∴PM＝x，
同理可得PN＝PC＝y，
∵|PM﹣PN|≤MN＝，
∴|x﹣y|≤2（等号成立时，点P在直线MN与⊙B的交点处，如图4中），
∴|x﹣y|的最大值为2．
连接BD，AC，BD交MN于点F，则BD⊥AC，
∵MN∥AC，
∴MN⊥BD，
∵MN＝，BD＝4，
∴BF＝，DF＝，
∴PF＝＝＝，
∴PD＝＝＝2．
【点评】本题属于圆综合题，考查了圆的有关性质，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．

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