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8．3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
1. 了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式．
2. 能用公式解决简单的实际问题．
活动一 圆柱、圆锥、圆台的表面积
思考1
圆柱OO′及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？
思考2
圆锥SO及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？
思考3
圆台OO′及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？
名称 图形 表面积公式
旋转体 圆柱 S圆柱＝2πr(r＋l)
圆锥 S圆锥＝πr(r＋l)
圆台 S圆台＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
思考4
圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间有什么关系？你能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗？
例1　若一个圆锥的轴截面是边长为4 cm 的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为________cm2，表面积为________cm2.
圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图，是求其侧面积的基本依据．
圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为(　　)
A. 81π　 B. 100π
C. 168π D. 169π
活动二　圆柱、圆锥、圆台的体积　
1. 圆柱、圆锥、圆台的体积
我们以前学习过圆柱、圆锥的体积公式，即
V圆柱＝πr2h(r是底面半径，h是高)，V圆锥＝πr2h(r是底面半径，h是高).
由于圆台是由圆锥截成的，因此可以利用圆锥的体积公式推导出圆台的体积公式
V圆台＝πh(r′2＋r′r＋r2)(r′，r分别是上、下底面半径，h是高).
思考5
圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系？结合棱柱、棱锥、棱台的体积公式，你能将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗？柱体、锥体、台体的体积公式之间又有怎样的关系？
V柱体＝Sh(S为底面积，h为柱体高)；
V锥体＝Sh(S为底面积，h为锥体高)；
V台体＝(S′＋＋S)h(S′，S分别为上、下底面面积，h为台体高).
当S′＝S时，台体变为柱体，台体的体积公式也就是柱体的体积公式；当S′＝0时，台体变为锥体，台体的体积公式也就是锥体的体积公式．
例2　有一堆相同规格的六角螺帽毛坯共重6kg.已知毛坯底面正六边形的边长是12mm，高是10mm，内孔直径是10mm.那么这堆毛坯约有多少个？(铁的密度是7.8g/cm3)
　　
柱、锥、台的体积中，解决高的问题是关键．
用一张长12cm，宽8cm的矩形纸片围成圆柱形的侧面，求这个圆柱的体积．
活动三　球的表面积和体积　
2. 球的表面积公式：S＝4πR2(R为球的半径).
例3　如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3 m，圆柱高0.6 m，如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5 kg涂料，那么给1 000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？(π取3.14)
思考6
在小学，我们学习了圆的面积公式，你记得是如何求得的吗？类比这种方法，你能由球的表面积公式推导出球的体积吗？
3. 球体截面的特点：
球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆．
例4　如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比．
利用球的表面积与体积公式去计算．
已知平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为(　　 )
A. π　　　　　B. 4π
C. 4π　 D. 6π
拓展：
1. 正方体的内切球．
球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝，过在一个平面上的四个切点作截面，如图1.
图1
2. 球与正方体的各条棱相切．
球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面，有r2＝a，如图2.
图2
3. 长方体的外接球．
长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径．若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面，有球的半径为r3＝，如图3.
图3
4. 正方体的外接球．
正方体棱长a与外接球半径R的关系为2R＝a.
当多面体与球组成组合体后，一定要分清是内切还是外接，然后可以画出几何体的截面图，有利于一些长度的计算．
1. 若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为(　　)
A. 1∶2 B. 1∶ C. 1∶ D. ∶2
2. (2023贵阳三模)已知一圆锥内接于球，圆锥的表面积是其底面面积的3倍，则圆锥与球的体积之比是(　　)
A. B. C. D.
3. (多选)下列命题中，正确的是(　　)
A. 圆柱的母线与它的轴可以不平行
B. 圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形
C. 若在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线
D. 圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的
4. (2022保定期末)某圆台的上、下底面圆的半径分别为，5，且该圆台的体积为139π，则该圆台的高为________.
5. 沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8 cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的(细管长度忽略不计).
(1) 若该沙漏每秒钟漏下0.02 cm3的细沙，则该沙漏的一个沙时为多少秒(精确到1 s)
(2) 细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，求此锥形沙堆的高度(精确到0.1 cm).
【答案解析】
8．3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
【活动方案】
思考1：S圆柱侧＝2πrl，
S圆柱表＝2πr(r＋l).
思考2：S圆锥侧＝πrl，
S圆锥表＝πr(r＋l).　
思考3：S圆台侧＝π(r＋r′)l，
S圆台表＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl).
思考4：S圆柱＝2πr(r＋l)S圆台＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)S圆锥＝πr(r＋l).
例1　 8π　12π　解析：如图，因为圆锥的轴截面是边长为4 cm的等边三角形，所以OB＝2 cm，PB＝4 cm，所以圆锥的侧面积S侧＝π×2×4＝8π(cm2)，表面积S表＝8π＋π×22＝12π(cm2).
跟踪训练　C　解析：圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，则它的母线长为l＝＝＝5r＝10，所以r＝2，R＝8，故S侧＝π(R＋r)l＝π×(8＋2)×10＝100π，S表＝S侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.
思考5：V柱体＝ShV台体＝h(S＋＋S′)V锥体＝Sh.
例2　因为V六棱柱＝×122×6×10≈3 741(mm3)，
V圆柱＝π×52×10≈785(mm3)，
所以V螺帽＝3 741－785＝2 956(mm3)＝2.956(cm3)，
≈260(个)，
故这堆毛坯约有260个．
跟踪训练　设圆柱的底面半径为R.
当圆柱的高为8cm时，则2πR＝12，所以R＝，
所以V＝π××8＝ (cm3)；
当圆柱的高为12cm时，则2πR＝8，所以R＝，
所以V＝π××12＝ (cm3).
故圆柱的体积为 cm3或 cm3.
例3　一个浮标的表面积为2π×0.15×0.6＋4π×0.152＝0.847 8(m2)，
所以给1 000个这样的浮标涂防水漆约需涂料0.847 8×0.5×1 000＝423.9(kg).
思考6：类比利用圆周长求圆面积的方法，我们可以利用球的表面积求球的体积．如图，把球O的表面分成n个小网格，连接球心O和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成n个“小锥体”．
当n越大，每个小网格越小时，每个“小锥体”的底面就越平，“小锥体”就越近似于棱锥，其高越近似于球半径R.设OABCD是其中一个“小锥体”，它的体积是VOABCD≈SABCDR.
由于球的体积就是这n个“小锥体”的体积之和，而这n个“小锥体”的底面积之和就是球的表面积．因此，球的体积V球＝S球R＝×4πR2·R＝πR3.
由此，我们得到球的体积公式V球＝πR3.
例4　设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R.
因为V球＝πR3，V圆柱＝πR2·2R＝2πR3，
所以V球∶V圆柱＝πR3∶2πR3＝2∶3.
跟踪训练　B　解析：如图，设截面圆的圆心为O′，M为截面圆上的任意一点，则OO′＝，O′M＝1，所以OM＝＝，即球的半径为，所以V球＝π×()3＝4π.
【检测反馈】
1. C　解析：设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，所以其母线长l＝r，所以S侧＝πrl＝πr2，S底＝πr2，所以S底∶S侧＝1∶.
2. B　解析：如图，设圆锥的底面圆圆心为D，延长AD与球面交于点B.设圆锥底面的半径为r，母线为l，则πrl＋πr2＝3πr2，得l＝2r，所以圆锥的高h＝＝r.设球的半径为R.在Rt△ABC中，因为CD⊥AB，所以CD2＝AD·BD，即r2＝h·(2R－h)，即r2＝r·(2R－r)，所以R＝，故＝＝.
3. BD　解析：圆柱的母线与它的轴是平行的，故A错误；圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形，故B正确；在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，这两点的连线不一定是圆台的母线，故C错误，D显然正确．故选BD.
4. 12　解析：设该圆台的高为h，则由圆台的体积V＝(S＋＋S′)h＝πh＝139π，得h＝12.
5. (1) 开始时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为H＝×8＝(cm)，底面半径为r＝×4＝(cm)，
V＝πr2H＝××＝ (cm3)≈39.72(cm3)，
所以一个沙时为39.72÷0.02＝1 986(s)，
所以该沙漏的一个沙时约为1 986 s.
(2) 细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径为4 cm，设高为H′ cm，
则V＝π×42×H′＝，
解得H′＝≈2.4，
故此锥形沙堆的高度约为2.4 cm.

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