资源简介

8．5　空间直线、平面的平行
8.5.1　直线与直线平行
1. 掌握基本事实4及其应用．
2. 掌握等角定理，并能解决相关问题．
活动一 基本事实4及其应用
思考1
我们知道，在同一平面内，不相交的两条直线是平行直线，并且当两条直线都与第三条直线平行时，这两条直线互相平行．在空间中，是否也有类似的结论？
基本事实4　平行于同一条直线的两条直线平行．
符号表示：
思考2
经过直线外一点，有几条直线和这条直线平行？
例1　如图，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．
在空间中，直线的平行性具有传递性，同时说明了要证明两条直线平行，应该把这两条直线放在同一平面内．
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中点，画出平面D1CE与平面ABB1A1的交线，并说明理由．
活动二　等角定理及其应用　
在平面内，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．在空间中，这一结论是否仍然成立呢？
与平面中的情况类似，当空间中两个角的两条边分别对应平行时，这两个角有如图所示的两种位置．
图1 图2　
已知：
求证：
证明：
思考3
如果∠BAC 和∠B1A1C1的边AB∥A1B1，AC∥A1C1，且 AB，A1B1的方向相同，而AC，A1C1的方向相反，那么∠BAC 和∠B1A1C1之间有何关系？为什么？
定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
例2　如图，已知E，E1分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD，A1D1的中点．求证：∠C1E1B1＝∠CEB.
要说明空间中的两角相等，不仅要看它们的对应边是否平行，还要看它们的对应边的方向问题．若都同向或都反向，则这两个角相等；若有一组同向一组反向，则这两个角互补．
如图，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且＝＝＝.
(1) 求证：A′B′∥AB，A′C′∥AC，B′C′∥BC；
(2) 求的值．
1. 设AA1是正方体的一条棱，在这个正方体中与AA1平行的棱共有(　　)
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
2. (2022·黄冈期中)空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是(　　)
A. 平行 B. 异面
C. 相交或平行 D. 平行或异面或相交
3. (多选)设a，b，c是空间中的三条直线，则下列说法中正确的是(　　)
A. 若a∥b，b∥c，则a∥c
B. 若a与b相交，b与c相交，则a与c也相交
C. 若a，b分别在两个相交平面内，则这两条直线可能平行、相交或异面
D. 若a与c相交，b与c异面，则a与b异面
4. (2023全国高一专题练习)如图，在正方体中，A，B，C，D分别是顶点或所在棱的中点，则A，B，C，D四点共面的图形是________．(填序号)
5. 如图，已知在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．求证：
(1) 四边形MNA1C1是梯形；
(2) ∠DNM＝∠D1A1C1.
【答案解析】
8．5.1　直线与直线平行
【活动方案】
思考1：空间中的平行直线具有与平面内的平行直线类似的性质．
符号表示： a∥c.
思考2：1条
例1　连接BD.
由题意，得EH是△ABD的中位线，
所以EH∥BD，且EH＝BD.
同理FG∥BD，且FG＝BD，
所以EH＝FG，且EH∥FG，
所以四边形EFGH是平行四边形．
跟踪训练　如图，取AB的中点F，连接EF，A1B，CF.
因为E是AA1的中点，所以EF∥A1B.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，
所以A1B∥CD1，所以EF∥CD1，
所以E，F，C，D1四点共面．
因为E∈平面ABB1A1，E∈平面D1CE，
F∈平面ABB1A1，F∈平面D1CE，
所以平面ABB1A1∩平面D1CE＝EF，
所以平面D1CE与平面ABB1A1的交线为EF.
活动二
已知：∠BAC和∠B1A1C1的边AB∥A1B1，AC∥A1C1，并且方向相同．
求证：∠BAC＝∠B1A1C1.
证明：如图，分别在∠BAC和∠B1A1C1的两边上截取 AD＝A1D1，AE＝A1E1，连接AA1，DD1，EE1，DE，D1E1.
因为AD∥A1D1，AD＝A1D1，
所以四边形AA1D1D是平行四边形，
所以AA1∥DD1，且AA1＝DD1.
同理AA1∥EE1，且AA1＝EE1，
所以DD1∥EE1，且DD1＝EE1，
所以四边形DD1E1E是平行四边形，
所以DE＝D1E1.
在△ADE和△A1D1E1中，
所以△ADE≌△A1D1E1，
所以∠BAC＝∠B1A1C1.
思考3：互补，理由略．
例2　连接EE1.
因为E1，E分别为A1D1，AD的中点，
所以A1E1∥AE，A1E1＝AE，
所以四边形A1E1EA是平行四边形，
所以A1A∥E1E，A1A＝E1E.
又因为A1A∥B1B，A1A＝B1B，
所以E1E∥B1B，E1E＝B1B，
所以四边形EE1B1B是平行四边形，
所以E1B1∥EB，同理可得E1C1∥EC.
又因为∠C1E1B1与∠CEB的两边方向相同，
所以∠C1E1B1＝∠CEB.
跟踪训练　(1) 因为AA′∩BB′＝O，且＝＝，∠AOB＝∠A′OB′，所以△AOB∽△A′OB′，所以∠ABO＝∠A′B′O，
所以AB∥A′B′.同理可得AC∥A′C′，BC∥B′C′.
(2) 因为A′B′∥AB，A′C′∥AC，且AB和A′B′，AC和A′C′的方向相反，
所以∠BAC＝∠B′A′C′.
同理，∠ABC＝∠A′B′C′，∠ACB＝∠A′C′B′，
所以△ABC∽△A′B′C′，所以＝＝，
所以＝＝.
【检测反馈】
1. C
2. D　解析：如图，可知直线AB与CD相交或平行或异面．
　　
3. AC　解析：由平行线的传递性知A正确；若a与b相交，b与c相交，则a与c可能平行、相交或异面，故B错误；C显然正确；若a与c相交，b与c异面，则a与b可能相交、平行或异面，故D错误．故选AC.
4. ①③④　解析：对于①，如图1，取GD的中点F，连接BF，EF，因为B，F均为相应边的中点，所以BF∥HG，且BF＝HG.又HG∥AE，HG＝AE，所以BF∥AE，BF＝AE，即四边形ABFE为平行四边形，所以AB∥EF，同理可得CD∥EF，则AB∥CD，即A，B，C，D四点共面，故①正确；对于②，显然AB与CD异面，故②不正确；对于③，如图2，连接AC，BD，EF，因为BE∥DF，BE＝DF，即四边形BDFE为平行四边形，所以BD∥EF.又因为A，C分别为相应边的中点，所以AC∥EF，所以BD∥AC，即A，B，C，D四点共面，故③正确；对于④，如图3，连接AC，BD，EF，GH，因为GE∥HF，GE＝HF，所以四边形GEFH为平行四边形，则GH∥EF，又A，C分别为相应边的中点，所以AC∥EF.同理可得BD∥GH，所以BD∥AC，即A，B，C，D四点共面，故④正确．综上，满足题意的是①③④.
5. (1) 连接AC.
在△ACD中，因为M，N分别是CD，AD的中点，
所以MN是△ACD的中位线，
所以MN∥AC，MN＝AC.
由正方体的性质，得AC∥A1C1，AC＝A1C1，
所以MN∥A1C1，且MN＝A1C1，即MN≠A1C1，
所以四边形MNA1C1是梯形．
(2) 因为MN∥A1C1，ND∥A1D1，且∠DNM与∠D1A1C1的两边的方向相同，所以∠DNM＝∠D1A1C1.8．5.2　直线与平面平行(1)
1. 了解直线与平面的位置关系．
2. 掌握直线与平面平行的判定定理及其简单应用．
活动一 背景引入
如图1，门扇的两边是平行的．当门扇绕着一边转动时，另一边与墙面有公共点吗？此时门扇转动的一边与墙面平行吗？
如图2，将一块矩形硬纸板ABCD平放在桌面上，把这块纸板绕边DC转动，在转动的过程中(AB离开桌面)，DC的对边AB与桌面有公共点吗？边AB与桌面平行吗？
　　
图1　　　　　　　　　　图2
活动二 直线与平面平行的判定定理
探究：如图，平面α外的直线a平行于平面α内的直线b，那么这两条直线共面吗？直线a与平面α相交吗？
思考
如何判定一条直线与一个平面平行？
直线与平面平行的判定定理：
表示 定理 图形 文字 符号
直线与 平面平 行的判 定定理
活动三　直线与平面平行的判定定理的应用　
例　求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面．
要证明一条直线与一个平面平行，只要在这个平面内找出一条直线与已知直线平行，当然这两条直线应该同在另外一个平面内．
如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．求证：
(1) E，F，G，H四点共面；
(2) BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH.
如图，已知M，N分别是底面为矩形的四棱锥P-ABCD 的棱AB，PC的中点，求证：MN∥平面PAD.
1. “直线l与平面α平行”是“直线l在平面α外”的(　　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 下列命题：①如果一条直线不在平面内，那么这条直线就与这个平面平行；②过直线外一点有无数个平面与这条直线平行；③过平面外一点有无数条直线与这个平面平行，其中正确的个数是(　　)
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3. (多选)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ平行的是(　　)
4. (2022全国高一专题练习)如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，H，G分别为BC，CD的中点，则下列结论中正确的是________．(填序号)
①BD∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形
②EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形
③HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形
④EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形
5. (2023全国高一专题练习)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是线段BC，CC1的中点．
(1) 在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC
(2) 在问题(1)中，若存在点M，则点M在什么位置？试证明你的结论？
【答案解析】
8．5　空间直线、平面的平行
8．5.2　直线与平面平行(1)
【活动方案】
活动一　
可以发现，无论门扇转动到什么位置，因为转动的一边与固定的一边总是平行的，所以它与墙面没有公共点，且与墙面是平行的；硬纸板的边AB与DC平行，只要边DC紧贴着桌面，边AB转动时就不可能与桌面有公共点，所以它与桌面平行．
探究：直线a，b共面，直线 a和平面α不相交．
思考：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．
小结：
表示 定理 图形 文字 符号
直线与平面平 行的判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 a α，b α， 且a∥b a∥α
例　已知：如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，连接EF.
求证：EF∥平面BCD.
证明：连接BD.
因为E，F分别是AB，AD的中点，
所以EF∥BD.
因为EF 平面BCD，BD 平面BCD，
所以EF∥平面BCD.
跟踪训练1　(1) 因为E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，
所以EF∥AC，GH∥AC，
所以EF∥GH，所以E，F，G，H四点共面．
(2) 因为E，H分别为AB，AD的中点，
所以EH∥BD.
因为BD 平面EFGH，EH 平面EFGH，
所以BD∥平面EFGH.
同理可证AC∥平面EFGH.
跟踪训练2　取PD的中点E，连接AE，NE.
因为N是PC的中点，
所以EN∥DC，EN＝DC.
因为在矩形ABCD中，M为AB的中点，
所以AM∥CD，AM＝CD，
所以EN∥AM，EN＝AM，
所以四边形AMNE是平行四边形，
所以MN∥AE.
又因为AE 平面PAD，MN 平面PAD，
所以MN∥平面PAD.
【检测反馈】
1. A　解析：由“直线l与平面α平行”可推出“直线l在平面α外”．若“直线l在平面α外”，则直线l与平面α平行或相交，故“直线l在平面α外”不能推出“直线l与平面α平行”，故“直线l与平面α平行”是“直线l在平面α外”的充分不必要条件．
2. C　解析：如果一条直线不在平面内，那么这条直线与这个平面平行或相交，故①错误；过直线外一点有无数个平面与这条直线平行，故②正确；过平面外一点有无数条直线与这个平面平行，且这无数条直线都在过该点与这个平面平行的平面内，故③正确．
3. BCD　解析：对于A，如图1，连接BC，取BC的中点D，连接QD.因为Q是AC的中点，所以QD∥AB.因为QD∩平面MNQ＝Q，所以QD与平面MNQ相交，所以AB与平面MNQ相交，故A错误；对于B，如图2，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ.又AB 平面MNQ，MQ 平面MNQ，所以AB∥平面MNQ，同理可证，C，D选项中均有AB∥平面MNQ.故选BCD.
图1 图2
4. ②　解析：因为E，F分别为AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，所以EF∥BD，EF＝BD.因为H，G分别为BC，CD的中点，所以GH∥BD，GH＝BD，所以EF∥GH，EF≠GH，所以四边形EFGH为梯形．因为EF∥BD，EF 平面BCD，BD 平面BCD，所以EF∥平面BCD.若EH∥平面ADC，则由线面平行的性质可得EH∥FG，而EH与FG不平行，所以EH与平面ADC不平行．
5. (1) 存在，M为线段AB的中点．
(2) M为线段AB的中点，如图，取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1.
设O为A1C与AC1的交点，则O为AC1的中点．
连接MD，OE，则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线，
所以MD∥AC且MD＝AC，OE∥AC且OE＝AC，所以MD∥OE，MD＝OE.
连接OM，则四边形MDEO为平行四边形，
所以DE∥MO.
因为直线DE 平面A1MC，MO 平面A1MC，所以直线DE∥平面A1MC，
所以线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE∥平面A1MC.8．5.2　直线与平面平行(2)
1. 巩固直线与平面的位置关系及直线与平面平行的判定定理．
2. 掌握直线与平面平行的性质定理及其简单应用．
活动一 巩固直线与平面的位置关系及直线与平面平行的判定定理
1. 直线与平面的位置关系：
位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外
直线a与平面α相交 直线a与平面α平行
公共点 无数个 有且只有1个 0个
符号表示 a α a∩α＝A a∥α
图形表示
2. 直线与平面平行的判定定理：
表示 定理 图形 文字 符号
直线与平面平行的判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 若a α，b α，a∥b，则a∥α
活动二　探究直线与平面平行的性质定理　
思考1
如图，l∥α，a α，直线l与直线a一定平行吗？为什么？
思考2
如图，a∥α，a β，α∩β＝b，满足以上条件的平面β有多少个？直线a，b有什么位置关系？
思考3
假设a与平面α内的直线b平行，那么由基本事实的推论3，过直线a，b有唯一的平面β.这样，我们可以把直线b看成是过直线a的平面β与平面α的交线．于是可得如下结论：过直线a的平面β与平面α相交于b，则a∥b.
下面来证明这一结论．
已知：
求证：
证明：
直线与平面平行的性质定理：
表示 定理 图形 文字 符号
直线与平面平行的性质定理
练习　下列命题中，正确的个数是________．
①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；
②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行；
③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行．
活动三　直线与平面平行的性质定理的应用　
例　在如图所示的一块木料中，棱BC平行于平面A′C′.
(1) 要经过平面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？
(2) 所画的线与平面AC是什么位置关系？
要得到两条直线平行，可以用基本事实4，也可以用线面平行的性质定理，在用线面平行的性质定理时，务必要注意过已知的那条直线作(或找)一个辅助平面，使得这个辅助平面与已知平面相交，所得的交线才和已知直线平行．
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，H分别为棱A1B1，D1C1上的点，且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G，求证：FG∥平面ADD1A1.
1. 若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线(　　)
A. 只有一条，不在平面α内 B. 有无数条，不一定在平面α内
C. 只有一条，且在平面α内 D. 有无数条，一定在平面α内
2. 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，AC交BD于点O，E为AD的中点，点F在PA上，AP＝λAF，PC∥平面BEF，则λ的值为(　　)
A. 1
B.
C. 2
D. 3
3. (多选)若直线a平行于平面α，则下列结论中正确的是(　　)
A. 直线a与平面α无交点
B. 直线a平行于平面α内的所有直线
C. 平面α内有无数条直线与直线a平行
D. 平面α内存在无数条直线与直线a为异面直线
4. (2023铜仁统考)如图，圆锥SO的轴截面SAB是边长为4的等边三角形，过OB的中点N作弦CD⊥OB，过CD作平面CDM∥SA，交SB于点M，已知此平面与圆锥侧面的交线是以M为顶点的抛物线的一部分，则·＝________．
5. (2022烟台期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点，点M在侧棱PC上，且PM＝tPC，若PA∥平面MQB，试确定实数t的值．
【答案解析】
8．5.2　直线与平面平行(2)
【活动方案】
思考1：不一定，还可能是异面直线．
思考2：无数个，a∥b.
思考3：已知：a∥α，a β，α∩β＝b.
求证：a∥b.
证明：因为α∩β＝b，所以b α.
因为a∥α，所以a与b无公共点．
又a β，b β，所以a∥b.
表示 定理 图形 文字 符号
直线与平面平 行的性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 若a∥α，a β， α∩β＝b，则a∥b
练习：0　解析：对于①，当l∩α＝A时，除点A以外所有的点均不在α内，故①错误；对于②，当l∥α时，α中有无数条直线与l是异面的关系，故②错误；对于③，另一条直线可能在这个平面内．
例　(1) 如图，在平面A′C′内，过点P作直线EF，使EF∥B′C′，并分别交棱A′B′，D′C′于点E，F.连接BE，CF，则EF，BE，CF就是应画的线．
(2) 因为BC∥平面A′C′，平面BC′∩平面A′C′＝B′C′，所以BC∥B′C′.
由(1)知，EF∥B′C′，所以EF∥BC.
又BC 平面AC，EF 平面AC，
所以EF∥平面AC.
显然，BE，CF都与平面AC相交．
跟踪训练1　连接MO.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以O是AC的中点．
因为M是PC的中点，所以AP∥OM.
因为AP 平面BDM，OM 平面BDM，
所以AP∥平面BDM.
因为AP 平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，所以AP∥GH.
跟踪训练2　因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，
所以EH∥B1C1.
因为EH 平面BCC1B1，B1C1 平面BCC1B1，
所以EH∥平面BCC1B1.
因为EH 平面FGHE，平面FGHE∩平面BCC1B1＝FG，所以EH∥FG，所以FG∥A1D1.
因为FG 平面ADD1A1，A1D1 平面ADD1A1，
所以FG∥平面ADD1A1.
【检测反馈】
1. C　解析：由线面平行的性质定理知，过点P平行于直线a的直线只有一条，且在平面α内．
2. D　解析：如图，设AO交BE于点G，连接FG.因为E为AD的中点，所以AE＝AD＝BC.因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，所以△AEG∽△CBG，所以＝＝，所以＝.因为PC∥平面BEF，PC 平面PAC，平面BEF∩平面PAC＝GF，所以GF∥PC，所以λ＝＝＝3.
3. ACD　解析：由题意知，直线a平行于平面α.对于A，直线a与平面α无交点，故A正确；对于B，直线a与平面α内的直线可能平行或异面，故B不正确；对于C，平面α内有无数条直线与直线a平行，故C正确；对于D，平面α内存在无数条直线与直线a为异面直线，故D正确．故选ACD.
4. －2　解析：如图，连接CO.根据题意知ON＝1，OC＝2，CD⊥OB，所以CN＝DN＝.因为SA∥平面CDM，且SA 平面SAB，平面SAB∩平面CDM＝MN，所以SA∥MN，所以△BMN∽△BSA，所以＝＝.又SA＝4，所以MN＝1.因为N为CD的中点，所以＋＝2.又－＝，所以(＋)2－(－)2＝4·＝42－2.又MN＝1，CN＝，所以·＝2－×2＝|2－|2＝1－3＝－2.
5. 如图，连接BD，AC，AC交BQ于点N，交BD于点O，连接MN，易知O为BD的中点．
因为BQ，AO分别为正三角形ABD的边AD，BD上的中线，
所以点N为正三角形ABD的中心．
设菱形ABCD的边长为a，
则AN＝a，AC＝a.
因为PA∥平面MQB，PA 平面PAC，平面PAC∩平面MQB＝MN，
所以PA∥MN，
所以＝＝＝，
即PM＝PC，所以实数t的值为.8．5.3　平面与平面平行
1. 理解并掌握两个平面平行与两个平面相交的定义．
2. 掌握两个平面平行的判定定理和性质定理，并能运用其解决一些具体问题．
活动一 背景引入
如图1，a和b分别是矩形硬纸片的两条对边所在直线，它们都和桌面平行，那么硬纸片和桌面平行吗？如图2，c和d分别是三角尺相邻两边所在直线，它们都和桌面平行，那么三角尺和桌面平行吗？从中你可以得出什么结论？
图1 图2
　　
活动二　两个平面平行的判定定理　
实例：你知道工人师傅是怎样用水平仪来检测桌面是否水平的？
问题1：如果平面β内有一条直线与平面α平行，那么α，β平行吗？
问题2：如果平面β内有两条直线与平面α平行，那么α，β平行吗？
两个平面平行的判定定理：
表示 定理 图形 文字 符号
两个平面平行 的判定定理
例1　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：平面AB1D1∥平面BC1D.
要得到两个平面平行，只能根据面面平行的判定定理，注意要证明一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，坚决不能由线线平行得到面面平行．
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上(不与端点重合)，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.
活动三　两个平面平行的性质定理　
观察长方体ABCD-A1B1C1D1中的两个平面：平面ABCD及平面A1B1C1D1.
思考1
平面A1B1C1D1中的所有直线都平行于平面ABCD吗？
思考2
若m 平面ABCD，n 平面A1B1C1D1，则m∥n吗？
思考3
过BC的平面交平面A1B1C1D1于B2C2，B2C2与BC是什么关系？
思考4
如果两个平面平行，那么
(1) 一个平面内的直线是否平行于另一个平面？
(2) 分别在两个平面内的两条直线是否平行？
(3) 如果第三个平面与这两个平面相交，那么所得的交线平行吗？
探究：两个平面平行的性质定理：
已知：
求证：
证明：
例2　求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等．
由面面平行不仅可以得到线面平行，也可以直接得到线线平行．
1. 设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是(　　)
A. α内有无数条直线与β平行 B. α，β平行于同一条直线
C. α内有两条相交直线与β平行 D. α，β垂直于同一平面
2. (2023银川贺兰县第一中学高一期末)已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论中正确的是(　　)
A. 若a α，b β，α∥β，则a∥b
B. 若a α，b β，a∥b，则α与β相交
C. 若α∩β＝a，b β，则a与b平行
D. 若a α，b β，α∥β，则a，b不可能相交
3. (多选)如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法正确的是(　　)
A. BM∥平面ADE B. CN∥平面BAF
C. 平面BDM∥平面AFN D. 平面BDE∥平面NCF
4. (2022滨州期末)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于点M，交BC于点N，则＝________．
5. (2023铜川高一期中)如图，在底面为正方形的四棱锥P-ABCD中，AB＝2，PA＝4，PB＝PD＝2，AC与BD相交于点O，E为PD的中点．
(1) 求证：EO∥平面PBC；
(2) PA上是否存在点F，使平面OEF∥平面PBC.若存在，请指出并给予证明；若不存在，请说明理由．
【答案解析】
8．5.3　平面与平面平行
【活动方案】
活动一
不平行　平行　如果一个平面内有两条平行直线与另一个平面平行，那么这两个平面不一定平行；如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面是平行的．
实例：工人师傅将水平仪在桌面上交叉放置两次，如果水平仪的气泡两次都在中央，那么就能判断桌面是水平的．
问题1：如果平面β内有一条直线与平面α平行，那么α，β不一定平行．
问题2：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
如果一个平面内有两条平行直线都平行于另一个平面，那么这两个平面不一定平行．
填表：图形：
文字：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．
符号：a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α β∥α.
例1　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1，
所以四边形ABC1D1是平行四边形，
所以AD1∥BC1.
因为BC1 平面BC1D，AD1 平面BC1D，
所以AD1∥平面BC1D.
因为AD∥B1C1，AD＝B1C1，
所以四边形ADC1B1是平行四边形，
所以AB1∥C1D.
因为C1D 平面BC1D，AB1 平面BC1D，
所以AB1∥平面BC1D.
因为AD1∩AB1＝A，AD1 平面AB1D1，AB1 平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面BC1D.
跟踪训练　因为PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，
所以MQ∥AD，NQ∥BP.
因为BP 平面PBC，NQ 平面PBC，
所以NQ∥平面PBC.
因为底面ABCD为平行四边形，
所以BC∥AD，所以MQ∥BC.
因为BC 平面PBC，MQ 平面PBC，
所以MQ∥平面PBC.
又MQ∩NQ＝Q，MQ 平面MNQ，NQ 平面MNQ，所以平面MNQ∥平面PBC.
思考1：平面A1B1C1D1中的所有直线都平行于平面ABCD.
思考2：不一定，m与n平行或异面．
思考3：BC∥B2C2.
思考4：(1) 根据两个平面平行及直线和平面平行的定义可知，两个平面平行，其中一个平面内的直线必定平行于另一个平面．
(2) 分别在两个平行平面内的两条直线必定没有公共点，所以只能判定它们平行或异面．
(3) 如果第三个平面与这两个平行平面相交，那么所得的两条交线平行．
探究：已知：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b.
求证：a∥b.
证明：因为α∩γ＝a，β∩γ＝b，所以a α，b β.
又α∥β，所以a，b没有公共点．
又a，b同在平面γ内，所以a∥b.
例2　已知：如图，α∥β，AB∥CD，且A∈α，C∈α，B∈β，D∈β.
求证：AB＝CD.
证明：过平行线AB，CD作平面γ，与平面α和β分别相交于AC和BD.
因为α∥β，所以BD∥AC.
又AB∥CD，
所以四边形ABDC是平行四边形，
所以AB＝CD.
【检测反馈】
1. C　解析：对于A，当α与β相交时，α内也有无数条直线与β平行，所以A不正确；对于B，当α，β平行于同一条直线时，α与β可能相交，所以B不正确；对于C，根据面面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行，所以C正确；对于D，当α，β垂直于同一平面，则α与β可能垂直，例如墙角的三个面，所以D不正确．
2. D　解析：若a α，b β，α∥β，则a与b可能平行或异面，故A错误，D正确；若a α，b β，a∥b，则α与β平行或相交，故B错误；若α∩β＝a，b β，则a与b可能平行或相交，故C错误．
3. ABCD　解析：以ABCD为下底还原正方体，如图所示，则BM∥平面ADE，CN∥平面BAF，故A，B正确；在正方体ABCDEFMN中，BD∥FN，FN 平面AFN，BD 平面AFN，所以BD∥平面AFN，同理BM∥平面AFN.又BM∩BD＝B，BM 平面BDM，BD 平面BDM，所以平面BDM∥平面AFN，同理平面BDE∥平面NCF，故C，D正确．故选ABCD.
4. 　解析：因为平面MNE∥平面ACB1，由面面平行的性质定理可得EN∥CB1，EM∥AB1.又E为BB1的中点，所以M，N分别为AB，BC的中点，所以MN＝AC，所以＝.
5. (1) 因为O，E分别是BD，PD的中点，
所以EO∥PB.
又EO 平面PBC，PB 平面PBC，
所以EO∥平面PBC.
(2) 存在，F是PA的中点，连接EF，OF.
因为O，F分别是AC，AP的中点，
所以OF∥PC.
又OF 平面PBC，PC 平面PBC，
所以OF∥平面PBC.
由(1)可知，EO∥平面PBC，且OF∩EO＝O，且OF 平面OEF，EO 平面OEF，
所以平面OEF∥平面PBC，
所以PA上存在中点F，使平面OEF∥平面PBC.

展开更多......

收起↑