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第八章 立体几何初步 复 习
1. 整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识．
2. 能熟练画出几何体的直观图，能熟练地计算空间几何体的表面积和体积，体会通过展开图、截面化空间为平面的方法．
活动一 知识梳理
1. 几何体的表(侧)面积和体积的有关计算．
柱体、锥体、台体和球体的表(侧)面积和体积的公式：
表面积或侧面积 体积
圆柱 S圆柱表＝2πr(r＋l) V＝Sh＝πr2h
圆锥 S圆锥表＝πr(r＋l) V＝Sh＝πr2h＝πr2
圆台 S圆台表＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) V＝πh(r′2＋r′r＋r2)
棱柱 S直棱柱侧＝ch(h是棱柱的高) V＝Sh
棱锥 S正棱锥侧＝ch′(h′是斜高) V＝Sh
棱台 S正棱台侧＝(c＋c′)h′(h′是斜高) V＝h(S′＋＋S)
球 S球表＝4πR2 V＝πR3
2. 四个基本事实．
基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．
3. 直线与直线的位置关系．
4. 平行的判定与性质．
(1) 线面平行的判定与性质：
判定 性质
定义 定理
图形
条件 a∩α＝ a α， b α， a∥b a∥α a∥α， a β， α∩β＝b
结论 a∥α b∥α a∩α＝ a∥b
(2) 面面平行的判定与性质：
判定 性质
定义 定理
图形
条件 α∩β＝ a β，b β， a∩b＝P， a∥α，b∥α α∥β， α∩γ＝a， β∩γ＝b α∥β，a β
结论 α∥β α∥β a∥b a∥α
(3) 空间中的平行关系的内在联系：
5. 垂直的判定与性质．
(1) 线面垂直的判定与性质：
图形 条件 结论
判定 a⊥b，b α(b为α内的任意直线) a⊥α
a⊥m，a⊥n，m α，n α，m∩n＝O a⊥α
a∥b，a⊥α b⊥α
性质 a⊥α，b α a⊥b
a⊥α，b⊥α a∥b
(2) 面面垂直的判定与性质：
文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 α⊥β
性质 定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 l⊥α
(3) 空间中垂直关系的内在联系：
6. 空间角．
(1) 异面直线所成的角：
①定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫作异面直线a，b所成的角(或夹角).
②范围：设两条异面直线所成的角为θ，则0°<θ≤90°.
(2) 直线和平面所成的角：
①平面的一条斜线与它在平面上的射影所成的角，叫作这条直线和这个平面所成的角．
②如果一条直线垂直于平面，那么称它们所成的角是90°；如果一条直线与平面平行，或在平面内，那么称它们所成的角是0°.
(3) 二面角的有关概念：
①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角．
②二面角的平面角：一般地，以二面角的棱上任意一点为垂足，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角．
活动二　典型例题探究　
类型一　空间几何体的表面积与体积
例1　如图，从底面半径为2a，高为a的圆柱中，挖去一个底面半径为a且与圆柱等高的圆锥，求圆柱的表面积S1与挖去圆锥后的几何体的表面积S2之比．
空间几何体的体积与表面积的计算方法．
(1) 等积变换法：三棱锥也称为四面体，它的每一个面都可作为底面来处理，恰当地进行换底等积变换便于问题的求解．
(2) 割补法：像求平面图形的面积一样，割补法是求几何体体积的一个重要方法．“割”就是将几何体分割成几个熟悉的柱、锥、台体或它们的组合体；“补”就是通过补形，使它转化为熟悉的几何体．总之，割补法的核心思想是将不熟悉的几何体转化为熟悉的几何体来解决问题．
(3) 展开法：将简单的几何体沿一条侧棱或母线展开成平面图形，这样便于将空间问题转化为平面问题，可以有效地解决简单空间几何体的表面积问题或侧面上(球除外)两点间的距离问题．
(4) 构造法：当探究某些几何体性质较困难时，我们可以将它放置在我们熟悉的几何体中，如正方体等这些对称性比较好的几何体，以此来研究所求几何体的性质．
如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，求三棱锥A1-AB1D1的高．
类型二　空间中的平行关系
例2　如图，E，F，G，H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点．求证：
(1) GE∥平面BB1D1D；
(2) 平面BDF∥平面B1D1H.
(1) 判断线面平行的两种常用方法：
①利用线面平行的判定定理．
②利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面．
(2) 判断面面平行的常用方法：
①利用面面平行的判定定理．
②利用线面垂直的性质定理(l⊥α，l⊥β α∥β).
如图，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．
类型三　空间中的垂直关系
例3　如图，斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB＝90°，点B1在底面ABC上的射影恰好是BC的中点，且BC＝AA1.求证：
(1) 平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；
(2) BC1⊥AB1.
空间垂直关系的判定方法．
(1) 判定线线垂直的方法：
①计算所成的角为90°(包括平面角和异面直线所成的角).
②线面垂直的性质(若a⊥α，b α，则a⊥b).
(2) 判定线面垂直的方法：
①线面垂直的定义(一般不易验证任意性).
②线面垂直的判定定理(若a⊥b，a⊥c，b α，c α，b∩c＝M，则a⊥α).
③面面垂直的性质定理(若α⊥β，α∩β＝l，a β，a⊥l，则a⊥α).
④面面平行的性质(若a⊥α，α∥β，则a⊥β).
⑤面面垂直的性质(若α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ，则l⊥γ).
(3) 面面垂直的判定方法：
①根据定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为90°).
②面面垂直的判定定理(若a⊥β，a α，则α⊥β).
如图，A，B，C，D为空间四点. 在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝，等边三角形ADB以AB为轴运动．
(1) 当平面ADB⊥平面ABC时，求CD的长；
(2) 当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论.
类型四　线面位置关系的综合应用
例4　如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD＝60°，AB＝AD＝CD＝2，E为棱PD上的一点，且DE＝2EP＝2.
(1) 求证：PB∥平面AEC；
(2) 求直线AE与平面PCD所成角的正弦值．
　　
空间中的线线角、线面角、二面角的大小，应先根据这些角的定义，找到相应的平面中的角，然后在三角形中解决问题．
已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝1，BC＝2，PB⊥平面ABCD，且PB＝1，点E在棱PD上，且BE⊥PD.
(1) 求证：BE⊥平面PCD；
(2) 求锐二面角B-PC-D的余弦值．
1. (2022天津和平区部分学校期末)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是(　　)
A. 若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β　 B. 若m∥n，m α，n β，则α∥β
C. 若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β　 D. 若m∥n，m∥α，则n∥α
2. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图，在堑堵ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，且AA1＝AB＝2，则下列说法中错误的是(　　)
A. 四棱锥B-A1AC-C1为“阳马”
B. 四面体A1C1CB为“鳖臑”
C. 四棱锥B-A1ACC1体积的最大值为
D. 过点A分别作AE⊥A1B于点E，AF⊥A1C于点F，则EF⊥A1B
3. (多选)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动，则下列结论中正确的是(　　)
A. 平面PB1D⊥平面ACD1
B. A1P∥平面ACD1
C. 异面直线A1P与AD1所成角的取值范围是
D. 三棱锥D1-APC的体积不变
4. 已知圆锥的母线长为10cm，侧面积为60πcm2，则此圆锥的体积为________cm3.
5. 如图，已知PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的圆O上，E为线段PB的中点，点M在上，且OM∥AC.求证：
(1) 平面MOE∥平面PAC；
(2) 平面PAC⊥平面PCB.
【答案解析】
第八章 立体几何初步 复 习
【活动方案】
例1　由题意，知S1＝2π×2a×a＋2π×(2a)2＝(4＋8)πa2，　
S2＝S1＋πa·－πa2＝(4＋9)πa2，所以S1∶S2＝(4＋8)∶(4＋9).
跟踪训练　设三棱锥A1-AB1D1的高为h，
则VA1-AB1D1＝h××(a)2＝.
又VA1-AB1D1＝VB1-AA1D1＝a×a2＝，
所以＝，解得h＝a，
所以三棱锥A1-AB1D1的高为a.
例2　(1) 取B1D1的中点O，连接GO，OB.
易证OG∥B1C1，OG＝B1C1.
又BE∥B1C1，且BE＝B1C1，
所以OG∥BE，且OG＝BE，
所以四边形BEGO为平行四边形，
所以OB∥GE.
又因为OB 平面BB1D1D，GE 平面BB1D1D，
所以GE∥平面BB1D1D.
(2) 由正方体的性质得B1D1∥BD.
因为B1D1 平面BDF，BD 平面BDF，
所以B1D1∥平面BDF.
连接HB，D1F.
易证四边形HBFD1是平行四边形，
所以HD1∥BF.
又因为HD1 平面BDF，BF 平面BDF，
所以HD1∥平面BDF.
因为B1D1∩HD1＝D1，B1D1 平面B1D1H，HD1 平面B1D1H，
所以平面BDF∥平面B1D1H.
跟踪训练　当F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD.
证明如下：连接BD交AC于点O，连接FO.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以O是BD的中点．
因为F是PB的中点，所以OF∥PD.
又OF 平面PMD，PD 平面PMD，
所以OF∥平面PMD.
又MA∥PB，MA＝PB，
所以PF∥MA，且PF＝MA，
所以四边形AFPM是平行四边形，
所以AF∥PM.
又AF 平面PMD，PM 平面PMD，
所以AF∥平面PMD.
又AF∩OF＝F，AF 平面AFC，OF 平面AFC，所以平面AFC∥平面PMD.
例3　(1) 设BC的中点为M，连接B1M.
因为点B1在底面ABC上的射影恰好是点M，
所以B1M⊥平面ABC.
因为AC 平面ABC，所以B1M⊥AC.
因为BC⊥AC，B1M∩BC＝M，BC 平面B1C1CB，B1M 平面B1C1CB，
所以AC⊥平面B1C1CB.
又因为AC 平面ACC1A1，
所以平面ACC1A1⊥平面B1C1CB.
(2) 连接B1C.
因为AC⊥平面B1C1CB，BC1 平面B1C1CB，
所以AC⊥BC1.
在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，
因为BC＝AA1＝CC1，
所以四边形B1C1CB是菱形，所以B1C⊥BC1.
又因为B1C∩AC＝C，B1C 平面ACB1，AC 平面ACB1，所以BC1⊥平面ACB1.
因为AB1 平面ACB1，所以BC1⊥AB1.
跟踪训练　(1) 取AB的中点E，连接DE，CE.
因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.
当平面ADB⊥平面ABC时，
因为平面ADB∩平面ABC＝AB，DE 平面ADB，所以DE⊥平面ABC.
因为CE 平面ABC，所以DE⊥CE.
由已知可得DE＝，EC＝1，
所以在Rt△DEC中，CD＝＝2.
(2) 当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.
证明如下：
①当点D在平面ABC内时，因为AC＝BC，AD＝BD，
所以点C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD；
②当点D不在平面ABC内时，
由(1)知AB⊥DE.
因为AC＝BC，所以AB⊥CE.
又DE∩CE＝E，DE 平面CDE，CE 平面CDE，所以AB⊥平面CDE.
因为CD 平面CDE，所以AB⊥CD.
综上所述，当△ADB以AB为轴转运时，总有AB⊥CD.
例4　(1) 如图，连接BD，交AC于点O，连接EO.
因为AB∥CD，AB＝CD，所以＝＝.
在△BDP中，DE＝2EP，则＝，
所以＝，所以BP∥OE.
又因为OE 平面AEC，PB 平面AEC，
所以PB∥平面AEC.
(2) 在平面ABCD中，过点A作AH⊥CD，垂足为H，连接EH.
因为PD⊥平面ABCD，AH 平面ABCD，
所以PD⊥AH.
又因为AH⊥CD，CD∩PD＝D，CD 平面PCD，PD 平面PCD，所以AH⊥平面PCD，
所以∠AEH为直线AE与平面PCD所成的角．
在直角三角形ADH中，AD＝2，∠HDA＝∠BAD＝60°，所以AH＝.
因为PD⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，
所以PD⊥AD.
在直角三角形ADE中，AD＝2，DE＝2，
所以AE＝2.
在直角三角形AHE中，sin ∠AEH＝＝＝，
所以直线AE与平面PCD所成角的正弦值为.
跟踪训练　(1) 如图，取BC的中点F，连接DF.
因为AD＝1，BC＝2，所以AD∥BF，AD＝BF，
所以四边形ABFD为平行四边形，
所以DF＝AB＝1，则DF＝CF＝BF＝1，
所以∠CDB＝90°，即CD⊥BD.
因为PB⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，
所以PB⊥CD.
因为BD 平面PBD，BP 平面PBD，BD∩BP＝B，所以CD⊥平面PBD.
又BE 平面PBD，所以CD⊥BE.
又BE⊥PD，PD 平面PCD，CD 平面PCD，PD∩CD＝D，所以BE⊥平面PCD.
(2) 在△PCB中，过点B作BM⊥PC垂足为M，连接EM.
由(1)知，BE⊥平面PCD，PC 平面PCD，
所以BE⊥PC.
因为BE 平面BEM，BM 平面BEM，BE∩BM＝B，所以PC⊥平面BEM.
又EM 平面BEM，所以PC⊥EM，
所以∠BME即为二面角B-PC-D的平面角．
在Rt△PCB中，BM＝＝；
在Rt△PBD中，BE＝＝，
所以sin ∠BME＝＝，
则cos ∠BME＝＝，
所以锐二面角B-PC-D的余弦值为.
【检测反馈】
1. C　解析：若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β或γ与β相交，故A错误；若m∥n，m α，n β，则α与β平行或相交，故B错误；若m∥n，m⊥α，则n⊥α.因为n⊥β，所以α∥β，故C正确；若m∥n，m∥α，则n∥α或n在平面α内，故D错误．
2. C　解析：由题意，得侧棱AA1⊥平面ABC，CC1⊥平面A1B1C1，因为BC 平面ABC，所以AA1⊥BC.对于A，因为AA1⊥BC，AC⊥BC，AA1∩AC＝A，AA1 平面A1ACC1，AC 平面A1ACC1，所以BC⊥平面A1ACC1.因为四边形A1ACC1为矩形，所以四棱锥B-A1ACC1为“阳马”，故A正确；对于B，由A知BC⊥平面A1ACC1，因为A1C 平面A1ACC1，所以A1C⊥BC，即△A1BC为直角三角形．因为CC1⊥平面A1B1C1，A1C1 平面A1B1C1，所以CC1⊥A1C1，又A1C1⊥B1C1，CC1∩B1C1＝C1，CC1 平面B1BCC1，B1C1 平面B1BCC1，所以A1C1⊥平面B1BCC1.因为CC1 平面B1BCC1，BC1 平面B1BCC1，所以A1C1⊥CC1，A1C1⊥BC1，即△A1CC1，△A1C1B为直角三角形，易知△CC1B为直角三角形，所以四面体A1C1CB为“鳖臑”，故B正确；对于C，在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2，则4≥2AC·BC，即AC·BC≤2，当且仅当AC＝BC时取等号，则VB-A1ACC1＝SA1ACC1×BC＝AA1×AC×BC＝AC×BC≤，故C错误；对于D，由BC⊥平面A1ACC1，得BC⊥AF.因为AF⊥A1C，A1C∩BC＝C，A1C 平面A1BC，BC 平面A1BC，所以AF⊥平面A1BC.因为A1B 平面A1BC，所以AF⊥A1B，又AE⊥A1B，AF∩AE＝A，AF 平面AEF，AE 平面AEF，所以A1B⊥平面AEF.因为EF 平面AEF，所以A1B⊥EF，故D正确．
3. ABD　解析：对于A，根据正方体的性质，有DB1⊥平面ACD1.因为DB1 平面PB1D，所以平面PB1D⊥平面ACD1，故A正确；对于B，连接A1B，A1C1，易证明平面BA1C1∥平面ACD1.因为A1P 平面BA1C1，所以A1P∥平面ACD1，故B正确；对于C，当点P与线段BC1的两端点重合时，A1P与AD1所成的角取最小值；当点P与线段BC1的中点重合时，A1P与AD1所成的角取最大值，故A1P与AD1所成角的取值范围是，故C错误；对于D，V三棱锥D1-APC＝V三棱锥C-AD1P，点C到平面AD1P的距离不变，且三角形AD1P的面积不变，所以三棱锥D1-APC的体积不变，故D正确．故选ABD.
4. 96π　解析：圆锥的侧面积为πrl＝10πr＝60π，解得r＝6，则h＝＝＝8，所以圆锥的体积为πr2h＝×62×8＝96π(cm3).
5. (1) 因为E为PB的中点，O为AB的中点，
所以OE∥PA.
因为PA 平面PAC，OE 平面PAC，
所以OE∥平面PAC.
因为OM∥AC，AC 平面PAC，OM 平面PAC，所以OM∥平面PAC.
因为OE∩OM＝O，OE 平面MOE，OM 平面MOE，所以平面MOE∥平面PAC.
(2) 因为点C在以AB为直径的圆O上，
所以∠ACB＝90°，即BC⊥AC.
因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
所以PA⊥BC.
因为PA∩AC＝A，AC 平面PAC，PA 平面PAC，所以BC⊥平面PAC.
因为BC 平面PCB，所以平面PAC⊥平面PCB.

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