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10．1　随机事件与概率
10.1.1　有限样本空间与随机事件
1. 理解随机试验的概念及特点．
2. 理解样本点和样本空间，会求所给试验的样本点和样本空间．
3. 理解随机事件、必然事件、不可能事件的概念，并会判断某一事件的性质．
活动一 随机试验的概念及特点
　 观察下列现象：
(1) 将一枚硬币抛掷2次，观察正面、反面出现的情况；
(2) 从班级中随机选择10名学生，统计近视的人数；
(3) 在一批灯管中任意抽取一只，测试它的寿命；
(4) 从一批发芽的水稻种子中随机选取一些，观察分蘖数；
(5) 记录某地区7月份的降雨量等等．
我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示．
随机试验的特点：
(1) 试验可以在相同条件下重复进行；
(2) 试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
(3) 每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．
活动二 有限样本空间的概念及应用
思考1
体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同、分别标号0，1，2，…，9的球放入摇奖器中，经过充分搅拌后摇出一个球，观察这个球的号码．这个随机试验共有多少个可能结果？如何表示这些结果？
样本点、样本空间的概念．
随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间．一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点. 我们只讨论Ω为有限集的情况．如果一个随机试验有n个可能结果ω1, ω2，…， ωn，那么称样本空间Ω＝{ω1, ω2，…， ωn}为有限样本空间．
思考2
抛掷一对骰子，可建立36个样本点，则样本空间Ω1如何表示？每个结果是基本结果吗？
思考3
在思考2的试验中，如果建立只包含4个可能结果的样本空间Ω2＝{(偶，偶)，(偶，奇)，(奇，偶)，(奇，奇)}，每个结果是基本结果吗？请说明理由．
例1　抛掷一枚硬币，观察它落地时哪一面朝上，写出试验的样本空间．
在写试验结果时，一般采用列举法写出，必须首先明确事件发生的条件，根据日常生活经验，按一定次序列举，才能保证所列结果没有重复，也没有遗漏．当样本空间中的样本点是文字表述时，可以用字母或数字简洁地表示．
　抛掷一枚骰子，观察它落地时朝上的面的点数，写出试验的样本空间．
　同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为(x，y).
(1) 写出这个试验的样本空间；
(2) 求这个试验的样本点的总数；
(3) “x＋y＝5”这一事件包含哪几个样本点？“x<3且y>1”呢？
(4) “xy＝4”这一事件包含哪几个样本点？“x＝y”呢？
① ②
活动三　随机事件的理解　
思考4
在体育彩票摇号试验中，摇出“球的号码是奇数”是随机事件吗？摇出“球的号码为3的倍数”是否也是随机事件？如果用集合的形式来表示它们，那么这些集合与样本空间有什么关系？
1. 由于随机试验的所有结果是明确的，从而样本点也是明确的．
2. 样本空间与随机试验有关，即不同的随机试验有不同的样本空间．
3. 随机试验、样本空间与随机事件的关系：
随机试验―→样本空间随机事件．
一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示．为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生．Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件．而空集 不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称 为不可能事件．必然事件与不可能事件不具有随机性．为了方便统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形．这样，每个事件都是样本空间Ω的一个子集．
例2　指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件：
(1) 某地1月1日刮西北风；
(2) 当x是实数时， x2≥0；
(3) 手电筒的电池没电，灯泡发亮；
(4) 一个电影院某天的上座率超过50%；
(5) 如果a＞b，那么a－b＞0；
(6) 从分别标有数字1，2，3，4，5的5张标签中任取1张，得到4号签；
(7) 某电话机在1 min内收到2次呼叫；
(8) 随机选取一个实数x，得|x|<0.
例3　如图，一个电路中有A，B，C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效．把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常．
(1) 写出试验的样本空间；
(2) 用集合表示下列事件：M＝“恰好两个元件正常”；N＝“电路是通路”；T＝“电路是断路”．
1. 用样本点表示随机事件，首先弄清试验的样本空间，不重不漏地列出所有样本点，然后找出满足随机事件要求的样本点，从而用这些样本点组成的集合表示随机事件．
2. 随机事件可以用文字表示，也可以将事件表示为样本空间的子集，后者反映了事件的本质，且更便于今后计算事件发生的概率．
某人做摸球试验，从一个装有标号为1，2，3，4的小球的盒子中，无放回地取两个小球，每次取一个，先取的小球的标号为x，后取的小球的标号为y，这样构成有序实数对(x，y).
(1) 写出这个试验的样本空间；
(2) 用集合表示“第一次取出的小球上的标号为2”这一随机事件．
1. (2023全国高一专题练习)下列事件中，是随机事件的是(　　)
A. 所有四边形的内角和为180°
B. 在标准大气压下，水温达到100 ℃，水会沸腾
C. 袋中有2个黄球，3个绿球，共5个球，随机摸出一个球是红球
D. 抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上
2. 若一个家庭有两个孩子，把第一个孩子的性别写在前边，第二个孩子的性别写在后边，则所有的样本点有(　　)
A. (男，女)，(男，男)，(女，女) B. (男，女)，(女，男)
C. (男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女) D. (男，男)，(女，女)
3. (多选)下列事件中，是随机事件的是(　　)
A. 连续掷一枚硬币两次，两次都出现正面朝上 B. 异性电荷相互吸引
C. 在标准大气压下，水在1 ℃结冰 D. 买一注彩票中了特等奖
4. 先后抛掷两枚质地均匀的骰子，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则事件“log2xy＝1”包含的样本点有__________________．
5. 在不透明的袋子中有9个大小和质地相同的球，标号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，从中随机摸出1个球．
(1) 写出试验的样本空间；
(2) 用集合表示事件A＝“摸到球的号码小于5”，事件B＝“摸到球的号码大于4”，事件C＝“摸到球的号码是偶数”．
【答案解析】
10．1　随机事件与概率
10．1.1　有限样本空间与随机事件
【活动方案】
思考1：共有10种可能结果，所有可能结果可用集合表示为{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}．
思考2：样本空间Ω1＝{(x，y)|x，y∈{1，2，3，4，5，6}，其中每个结果就是基本结果．
思考3：每个结果不是基本结果，例如在样本空间Ω2 中无法正确求出“点数之和为5”的概率．
例1　 因为落地时只有正面朝上和反面朝上两个可能结果，所以试验的样本空间可以表示为Ω＝{正面朝上，反面朝上}．如果用h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上”，那么样本空间Ω＝{h，t}．
跟踪训练1　用i表示朝上面的“点数为i”．因为落地时朝上面的点数有1，2，3，4，5，6共6个可能的基本结果，所以试验的样本空间可以表示为Ω＝{1，2，3，4，5，6}．
跟踪训练2　(1)Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．
(2) 样本点的总数为16.
(3) “x＋y＝5”包含以下4个样本点：(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)；
“x<3且y>1”包含以下6个样本点：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4).
(4) “xy＝4”包含以下3个样本点：(1，4)，(2，2)，(4，1)；
“x＝y”包含以下4个样本点：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4).
思考4：“球的号码为奇数”和“球的号码为3的倍数”都是随机事件．我们用A表示随机事件“球的号码为奇数”，则A发生，当且仅当摇出的号码为1，3，5，7，9之一，即事件A发生等价于摇出的号码属于集合{1，3，5，7，9}．因此可以用样本空间Ω＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}的子集{1，3，5，7，9}表示随机事件A.
类似地，可以用样本空间的子集{0，3，6，9}表示随机事件“球的号码为3的倍数”．
例2　随机事件：(1)(4)(6)(7)，必然事件：(2)(5)，不可能事件：(3)(8).
例3　 (1) 分别用x1，x2 和x3 表示元件A，B和C的可能状态，则这个电路的工作状态可用(x1，x2，x3)表示．进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态，则样本空间Ω＝{(0，0，0)，(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)，(1，1，1)}．
(2) “恰好两个元件正常”等价于(x1，x2，x3)∈Ω，且x1，x2，x3中恰有两个为1，
所以M＝{(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)}．
“电路是通路”等价于(x1，x2，x3)∈Ω，x1＝1，且x2，x3 中至少有一个是1，
所以N＝{(1，1，0)，(1，0，1)，(1，1，1)}．
同理，“电路是断路”等价于(x1，x2，x3)∈Ω，x1＝0，或x1＝1，x2＝x3＝0，
所以T＝{(0，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，(0，1，1)，(1，0，0)}．
跟踪训练　(1) 试验的样本空间是{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}．
(2) 记“第一次取出的小球上的标号为2”为事件A，则A＝{(2，1)，(2，3)，(2，4)}．
【检测反馈】
1. D　解析：对于A，因为所有四边形的内角和为360°，所以所有四边形的内角和为180°是不可能事件；对于B，在标准大气压下，水温达到100 ℃，水会沸腾，是必然事件；对于C，袋中有2个黄球，3个绿球，共5个球，随机摸出一个球是红球，是不可能事件；对于D，抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上，可能发生，也可能不发生，是随机事件．
2. C　解析：由题意知所有的样本点是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女).
3. AD　解析：根据题意，得A，D是随机事件，B为必然事件，C为不可能事件．故选AD.
4. (1，2)，(2，4)，(3，6)　解析：先后掷两枚质地均匀的骰子，骰子朝上的面的点数有36种结果．解方程log2xy＝1，得y＝2x，则符合条件的样本点有(1，2)，(2，4)，(3，6).
5. (1) Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}．
(2) A＝{1，2，3，4}，B＝{5，6，7，8，9}，C＝{2，4，6，8}．10．1.2　事件的关系和运算
1. 理解并掌握事件的关系和运算．
2. 能够将事件的运算关系知识灵活运用到实际事件中．
活动一 背景引入
在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多随机事件，例如：
Ci＝“点数为i”，i＝1，2，3，4，5，6；
D1＝“点数不大于3”；D2＝“点数大于3”；
E1＝“点数为1或2”；E2＝“点数为2或3”；
F＝“点数为偶数”；G＝“点数为奇数”．
思考1
请用集合的形式表示这些事件．借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间有几种关系？可以进行怎样的运算？
活动二 事件的关系和运算
1. 事件的关系和运算．
定义 表示法 图示
事件的运算 包含关系 一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) B A(或A B)
并事件 一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B)
交事件 一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB)
互斥关系 一般地，若事件A与事件B不能同时发生，则称事件A与事件B互斥(或互不相容) 若A∩B＝ ，则A与B互斥
对立关系 一般地，若事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，则称事件A与事件B互为对立，可记为B＝或A＝ 若A∩B＝ ，A∪B＝Ω，则A与B对立
思考2
(1) 并事件、交事件和集合的并集、交集意义一样吗？
(2) 互斥事件和对立事件的关系是怎样的？
2. 从运算的含义看事件的关系和运算的含义．
事件的关系或运算 含义 符号表示
包含 A发生导致B发生 A B
并事件(和事件) A与B至少一个发生 A∪B或A＋B
交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB
互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B＝
互为对立 A与B有且仅有一个发生 A∩B＝ ，A∪B＝Ω
3. 多个事件的和事件以及积事件．
例如，对于三个事件A，B，C，A∪B∪C(或A＋B＋C)发生当且仅当A，B，C中至少一个发生，A∩B∩C(或ABC)发生当且仅当A，B，C同时发生，等等．
例1　一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件R1＝“第一次摸到红球”，R2＝“第二次摸到红球”，R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，M＝“两个球颜色相同”，N＝“两个球颜色不同”．
(1) 用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；
(2) 事件R与R1，R与G，M与N之间各有什么关系？
(3) 事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？事件R1与事件R2的交事件与事件R有什么关系？
互斥事件、对立事件关系的判断方法：
(1) 两个事件是互斥事件还是对立事件，要根据互斥事件与对立事件的定义来判断，互斥事件是在任何一次试验中不能同时发生的两个事件，对立事件除要求两个事件互斥外，还要求在一次试验中必有一个事件发生．
(2) 对立事件一定是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件．
判断下列各事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．
某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中：
(1) 恰有1名男生和恰有2名男生；
(2) 至少有1名男生和至少有1名女生；
(3) 至少有1名男生和全是男生；
(4) 至少有1名男生和全是女生．
例2　如图，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效．设事件A＝“甲元件正常”，B＝“乙元件正常”．
(1) 写出表示两个元件工作状态的样本空间；
(2) 用集合的形式表示事件A，B 以及它们的对立事件；
(3) 用集合的形式表示事件A∪B和事件∩，并说明它们的含义及关系．
事件运算的规律：
(1) 利用事件间运算的定义，列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．
(2) 利用Venn图，借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，并进行运算．
盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝“3个球中有1个红球2个白球”，事件B＝“3个球中有2个红球1个白球”，事件C＝“3个球中至少有1个红球”，事件D＝“3个球中既有红球又有白球”．求：
(1) 事件D与A，B是什么样的运算关系？
(2) 事件C与A的交事件是什么事件？
1. 某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是(　　)
A. 至多一次中靶　 B. 两次都中靶
C. 只有一次中靶　 D. 两次都没有中靶
2. (2023合肥期末)从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是(　　)
A. 至少有一个黑球与都是黑球
B. 至少有一个黑球与至少有一个红球
C. 恰有一个黑球与恰有两个黑球
D. 至少有一个黑球与都是红球
3. (多选)若干个人站成排，其中不是互斥事件的是(　　)
A. “甲站排头”与“乙站排头” B. “甲站排头”与“乙不站排尾”
C. “甲站排头”与“乙站排尾” D. “甲不站排头”与“乙不站排尾”
4. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，事件P＝“向上的点数是1”，事件Q＝“向上的点数是3或4”，M＝“向上的点数是1或3”，则P∪Q＝_________
_____，M∩Q＝______________.
5. (2023全国高一专题练习)从装有2个红球和2个白球的口袋中任取两个球，则下列哪些事件是互斥事件？它们是不是对立事件？
①至少有一个白球与都是白球；②至少有一个白球与至少有一个红球；③恰有一个白球与都是白球；④至少有一个白球与都是红球．
【答案解析】
10．1.2　事件的关系和运算
【活动方案】
思考1：略
思考2：(1) 并事件、交事件和集合的并集、交集的意义一样．
(2) 互斥事件包括对立事件，即对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件．
例1　 (1) 用数组(x1，x2)表示可能的结果，x1是第一次摸到的球的标号，x2是第二次摸到的球的标号，则试验的样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}．
事件R1＝“第一次摸到红球”，即x1＝1或x1＝2，则R1＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)}；
事件R2＝“第二次摸到红球”，即x2＝1或x2＝2，则R2＝{(2，1)，(3，1)，(4，1)，(1，2)，(3，2)，(4，2)}．
同理，有R＝{(1，2)，(2，1)}，
G＝{(3，4)，(4，3)}，
M＝{(1，2)，(2，1)，(3，4)，(4，3)}，
N＝{(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}．
(2) 因为R R1，所以事件R1包含事件R.
因为R∩G＝ ，所以事件R与事件G互斥．
因为M∪N＝Ω，M∩N＝ ，所以事件M与事件N互为对立事件．
(3) 因为R∪G＝M，所以事件M是事件R与事件G的并事件．
因为R1∩R2＝R，所以事件R是事件R1与事件R2的交事件．
跟踪训练　(1) 是互斥事件，不是对立事件．
在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质是选出“1名男生和1名女生”，它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件，但其并事件不是必然事件，所以不是对立事件．
(2) 不是互斥事件，也不是对立事件．
“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果．“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”两种结果，它们可同时发生．
(3) 不是互斥事件，也不是对立事件．
“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”，这与“全是男生”可同时发生．
(4) 是互斥事件，也是对立事件．
“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果，它与“全是女生”不可能同时发生，其并事件是必然事件，所以是对立事件．
例2　(1) 用x1，x2分别表示甲、乙两个元件的状态，则可以用(x1，x2)表示这个并联电路的状态．以1表示元件正常，0表示元件失效，则样本空间为Ω＝{(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}．
(2) A＝{(1，0)，(1，1)}，B＝{(0，1)，(1，1)}，
＝{(0，0)，(0，1)}，＝{(0，0)，(1，0)}．
(3) A∪B＝{(0，1)，(1，0)，(1，1)}，∩＝{(0，0)}；A∪B表示电路工作正常，∩表示电路工作不正常；A∪B和∩互为对立事件．
跟踪训练　(1) 对于事件D，可能的结果为1个红球，2个白球或2个红球，1个白球，故D＝A∪B.
(2) 对于事件C，可能的结果为1个红球，2个白球或2个红球，1个白球或3个均为红球，
所以A C，故C∩A＝A.
【检测反馈】
1. D　解析：“至少一次中靶”的对立事件是“两次都没有中靶”．
2. C　解析：对于A，“至少有一个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，所以这两个事件不是互斥事件，故A错误；对于B，“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”可以同时发生，所以这两个事件不是互斥事件，故B错误；对于C，“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是“两个都是红球”，所以两个事件是互斥事件但不是对立事件，故C正确；对于D，“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，所以这两个事件是对立事件，故D错误．
3. BCD　解析：排头只能有一人，因此“甲站排头”与“乙站排头”互斥，而B，C，D中，甲、乙站位不一定在同一位置，可以同时发生，因此它们都不互斥．故选BCD.
4. {向上的点数是1或3或4}　{向上的点数是3}
5. 把2个红球分别记为a和b，2个白球分别记为c和d，任取两球，样本空间Ω＝{ab，ac，ad，bc，bd，cd}．
设事件A＝“至少有一个白球”，则A＝{ac，ad，bc，bd，cd}；
设事件B＝“至少有一个红球”，则B＝{ab，ac，ad，bc，bd}；
设事件C＝“都是白球”，则C＝{cd}；
设事件D＝“都是红球”，则D＝{ab}；
设事件E＝“恰有一个白球”，则E＝{ac，ad，bc，bd}．
对于①，因为A∩C＝{cd}，所以“至少有一个白球”与“都是白球”不是互斥事件；
对于②，因为A∩B＝{ac，ad，bc，bd}，所以“至少有一个白球”与“至少有一个红球”不是互斥事件；
对于③，因为E∩C＝ ，E∪C≠Ω，所以“恰有一个白球”与“都是白球”是互斥事件，但不是对立事件；
对于④，因为A∩D＝ ，A∪D＝Ω，所以“至少有一个白球”与“都是红球”是互斥事件，且为对立事件．
综上，③④是互斥事件，其中④是对立事件．10．1.3　古典概型(1)
1. 了解随机事件概率的含义及表示．
2. 理解古典概型的特点和概率公式．
3. 了解古典概型的一般求解思路和策略．
活动一 理解随机事件概率的意义及古典概型的特征
1. 随机事件概率的定义．
对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示．
思考1
抛掷一枚质地均匀硬币的试验中的正面情况及掷一枚质地均匀骰子的试验中的朝上的面的点数，它们的样本点分别是什么？样本点有哪些共同特征？
当试验的样本空间的样本点只有有限个，且每个样本点发生的可能性相等时，我们将这个试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
问题1：从所有整数中任取一个数的试验中“抽取一个整数”是古典概型吗？
问题2：一个班级中有18名男生、22名女生．采用抽签的方式，从中随机选择1名学生，事件A＝“抽到男生”，如何度量事件A发生的可能性大小？
问题3：抛掷一枚质地均匀的硬币3次，事件B＝“恰好一次正面朝上” ，如何度量事件B发生的可能性大小？
2. 古典概型的概率公式．
思考2
用以上的问题2和问题3，你能总结求古典概型概率的方法吗？
活动二　深化理解古典概型，初步掌握运用枚举法求古典概型的概率　
例1　抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为Ⅰ号和Ⅱ号)，观察两枚骰子分别可能出现的基本结果．
(1) 写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；
(2) 求下列事件的概率：A＝“两个点数之和是5”；B＝“两个点数相等”；C＝“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”．
求解古典概型问题的一般思路：
(1) 明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的可能结果(可借助图表)；
(2) 根据实际问题情景判断样本点的等可能性；
(3) 计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率．
某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：
一年级 二年级 三年级
男同学 A B C
女同学 X Y Z
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同).
(1) 用表中字母列举出所有可能的结果；
(2) 设事件M为“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．
例2　一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球.
(1) 写出所有的基本事件；
(2) 求摸出的2只球都是白球的概率．
先列出样本空间，再列出事件A中包含的样本点，最后根据古典概型的计算公式即可解得．
豌豆的高矮性状的遗传由它的一对基因决定，其中决定高的基因记为D，决定矮的基因记为d，则杂交所得第一子代的一对基因为Dd.若第二子代的D，d基因的遗传是等可能的，求第二子代为高茎的概率．(高茎可以为DD，Dd，矮茎只能为dd)
一个不透明的口袋中有形状、大小均相同的6只小球，其中有2只白球，2只红球，2只黄球，从中一次摸出2只球，求：
(1) 2只球都是红球的概率；
(2) 2只球同色的概率；
(3) 恰有1只球是白球的概率是2只球都是白球概率的多少倍？
1. 若书架上放有5本数学书、3本物理书和2本化学书，则随机抽出一本是物理书的概率为(　　)
A. B. C. D.
2. 某部三册的小说，任意排放在书架上，则各册从左到右或从右到左恰好为第1，2，3册的概率为(　　)
A. B. C. D.
3. (多选)下列概率模型中，是古典概型的是(　　)
A. 从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小
B. 同时掷两枚质地均匀的骰子，点数和为6的概率
C. 近三天中有一天降雨的概率
D. 10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
4. (2023上海高二期末)同时抛掷两颗骰子，得到的点数分别记为a，b，则|a－b|≤2的概率是________．
5. (2023榆林高二阶段练习)2022年3月22日是第三十届“世界水日”，我国将3月22日～3月28日确定为“中国水周”，并将“推进地下水超采综合治理，复苏河湖生态环境”作为相关宣传活动的主题．某地区为了制定更加合理的节水方案，通过随机抽样，调查了上一年度200户居民的月均用水量(单位：t)，并将数据分成以下9组：[0，2)，[2，4)，[4，6)，[6，8)，[8，10)，[10，12)，[12，14)，[14，16)，[16，18]，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1) 求a的值，并估计该地区居民的月均用水量(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；
(2) 若该地区有居民20万户，估计该地区月均用水量不低于14 t的居民户数；
(3) 为了进一步了解居民的节水、用水情况，在月均用水量为[2，4)和[14，16)的两组中，按月均用水量用分层随机抽样的方法抽取6户居民，再从这6户居民中随机抽取2户进行问卷调查，求抽取的这2户居民来自不同组的概率．
【答案解析】
10．1.3　古典概型(1)
【活动方案】
思考1：抛掷一枚质地均匀硬币的试验，样本点有两个，正面朝上和正面朝下，由于质地均匀，因此样本点出现的可能性是相等的．
掷一枚质地均匀骰子的试验，样本点有6个，出现的点数为1，2，3，4，5，6，由于质地均匀，因此样本点出现的可能性是相等的．
所以共同特征是：
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
问题1：不是，因为有无数个样本点．
问题2：班级中共有40名学生，从中选择1名学生，因为是随机选取的，所以选到每个学生的可能性都相等，这是一个古典概型．
显然，这个随机试验的样本空间中有40个样本点，而事件A＝“抽到男生”包含18个样本点，因此，事件A发生的可能性大小为＝0.45.
问题3：我们用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则试验的样本空间Ω＝{(1，1，1)，(1，1，0)，(1，0，1)，(1，0，0)，(0，1，1)，(0，1，0)，(0，0，1)，(0，0，0)}，共有8个样本点，且每个样本点是等可能发生的，所以这是一个古典概型．
因为B＝{(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)}，所以事件B发生的可能性大小为＝0.375.
思考2：一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝.
其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
例1　 (1) 用数字m表示Ⅰ号骰子出现的点数是m，数字n表示Ⅱ号骰子出现的点数是n，则数组(m，n)表示这个试验的一个样本点．因此该试验的样本空间Ω＝{(m，n)|m，n∈{1，2，3，4，5，6}}，其中共有36个样本点．
由于骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型．
(2) 因为A＝{(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}，
所以n(A)＝4，所以P(A)＝＝＝.
因为B＝{(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)}，所以n(B)＝6，所以P(B)＝＝＝.
因为C＝{(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)}，
所以n(C)＝15，所以P(C)＝＝＝.
跟踪训练　(1) 从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的样本空间为{(A，B)，(A，C)，(A，X)，(A，Y)，(A，Z)，(B，C)，(B，X)，(B，Y)，(B，Z)，(C，X)，(C，Y)，(C，Z)，(X，Y)，(X，Z)，(Y，Z)}，共15种．
(2) 选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的样本空间为{(A，Y)，(A，Z)，(B，X)，(B，Z)，(C，X)，(C，Y)}，共6种，
所以事件M发生的概率P(M)＝＝.
例2　(1) 可用枚举法找出所有的样本点．
分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，样本点(1，2)表示“摸到1，2号球”(其余类推)，则样本空间Ω为
Ω＝ {(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)}，共有10个样本点．
(2) 记“摸出的2只球都是白球”为事件A，则A＝ {(1，2)，(1，3)，(2，3)}，所以P(A)＝.
跟踪训练1　由于第二子代的D，d基因的遗传是等可能的，而Dd与Dd的搭配方式有4种：DD，Dd，dD，dd，其中只有第四种表示为矮茎，所以第二子代为高茎的概率为＝0.75.
跟踪训练2　从6只球中一次摸2只球的所有基本事件有15个．
(1) 2只球都是红球的基本事件有1个，
所以2只球均为红球的概率为.
(2) 2球同色的概率为＝.
(3) 恰有1只球是白球的概率为＝，2只球都是白球的概率为，故恰有1只球是白球的概率是2只球都是白球的概率的8倍．
【检测反馈】
1. B　解析：基本事件总数为10，“抽出一本是物理书”包含3个基本事件，所以其概率为.
2. B　解析：所有样本点为(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1).其中从左到右或从右到左恰好为第1，2，3册包含2个样本点，所以其概率为＝.
3. ABD　解析：古典概型的特点：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等．显然A，B，D符合古典概型的特征，所以A，B，D是古典概型；C选项，每天是否降雨受多方面因素影响，不具有等可能性，不是古典概型．故选ABD.
4. 　解析：同时抛掷两枚骰子共有6×6＝36(个)等可能的样本点，其中满足|a－b|≤2的样本点有(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)，(1，2)，(2，1)，(2，3)，(3，2)，(3，4)，(4，3)，(4，5)，(5，4)，(5，6)，(6，5)，(1，3)，(3，1)，(2，4)，(4，2)，(3，5)，(5，3)，(4，6)，(6，4)，共24个，所以|a－b|≤2的概率为＝.
5. (1) 由频率分布直方图的性质可知，
(0.005＋0.015＋0.030＋0.055＋a＋0.120＋0.160＋0.030＋0.005)×2＝1，
解得a＝0.080，
所以估计该地区居民的月均用水量
＝1×0.01＋3×0.03＋5×0.06＋7×0.11＋9×0.16＋11×0.24＋13×0.32＋15×0.06＋17×0.01＝10.48(t).
(2) 月均用水量不低于14 t的居民的频率为2×(0.030＋0.005)＝0.07，
又20×0.07＝1.4，所以估计20万户居民中月均用水量不低于14 t的居民户数为1.4万．
(3) [2，4)的频率为0.015×2＝0.03，有200×0.03＝6(户)，
[14，16)的频率为0.030×2＝0.06，有200×0.06＝12(户)，
在月均用水量为[2，4)和[14，16)的两组中，共18户，
所以在[2，4)组中抽取×6＝2(户)，记为a1，a2，
在[14，16)组中抽取×6＝4(户)，记为b1，b2，b3，b4，
则从中抽取2户有(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，b3)，(b2，b4)，(b3，b4)，共15个等可能的样本点，
抽取的这2户居民来自不同组有(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，共8个等可能的样本点，
所以抽取的这2户居民来自不同组的概率为.10．1.3　古典概型(2)
1. 强化古典概型概率的求解，学会运用树形图、列表等方法解决问题．
2. 能正确区分有放回抽样与无放回抽样，并能解决与之相关的问题．
活动一 运用枚举法求解古典概型的概率
例1　从两名男生(记为B1和B2)、两名女生(记为G1和G2)中任意抽取两人．
(1) 分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间．
(2) 在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率．
先写出样本空间中的样本点，再写出具体事件所包含的样本点，利用古典概型的计算公式即可求得结果．
书架上放有三套不同的小说，每套均分上、下册，共六本，从中任取两本，求下列事件的概率：
(1) 取出的书不成套；
(2) 取出的书均为上册；
(3) 取出的书上、下册各一本，但不成套．
活动二　运用树形图求解古典概型的概率　
例2　用3种不同的颜色给下图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求：
(1) 3个矩形颜色都相同的概率；
(2) 3个矩形颜色都不同的概率．
树形图直观反映了基本事件的状况，为解决古典概型的问题提供了又一条途径．
甲、乙、丙、丁四位同学分别写了一张新年贺卡，然后放在一起，现在四人均从中抽取一张．求：
(1) 这四位同学恰好都抽到别人的贺卡的概率；
(2) 这四位同学恰好都抽到自己写的贺卡的概率．
活动三　正确区分有序抽样与无序抽样、有放回抽样与无放回抽样　
例3　某人有4把钥匙，其中2把能打开门，如果随机地取1把钥匙试着开门，把试过的钥匙扔掉，那么第二次才能打开门的概率有多大？如果试过的钥匙又混进去，第二次能打开门的概率又有多大？
“放回”和“不放回”的样本空间是不一样的，解题时一定要分清．
袋中有大小相同的红、黄两种颜色的球各1个，每次从中任取1个，有放回地抽取3次．求：
(1) 3次全是红球的概率；
(2) 3次颜色全相同的概率；
(3) 3次颜色不全相同的概率．
1. 一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏，让孩子把分别写有“1”“3”“1”“4”的四张卡片随机排成一行．若卡片按从左到右的顺序排成“1314”，则孩子会得到父母的奖励，那么孩子受到奖励的概率为(　　)
A. B. C. D.
2. (2023湖北高三联考)从长度为2，4，6，8，10的5条线段中任取3条，则这3条线段能构成一个三角形的概率是(　　)
A. B. C. D.
3. (多选)一个袋子中装有3件正品和1件次品，若按以下要求抽取2件产品，则下列结论中正确的是(　　)
A. 任取2件，则取出的2件中恰有1件次品的概率是
B. 每次抽取1件，不放回地抽取两次，样本点总数为16
C. 每次抽取1件，不放回地抽取两次，则取出的2件中恰有1件次品的概率是
D. 每次抽取1件，有放回地抽取两次，样本点总数为16
4. 现有7名数理化成绩优秀者，分别用A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2表示，其中A1，A2，A3的数学成绩优秀，B1，B2的物理成绩优秀，C1，C2的化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则A1和B1不全被选中的概率为________．
5. 质量监督局检测某种产品的三个质量指标x，y，z，用综合指标Q＝x＋y＋z核定该产品的等级．若Q≤5，则核定该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
产品编号 A1 A2 A3 A4 A5
质量指标(x，y，z) (1，1，2) (2，1，2) (2，2，2) (1，3，1) (1，2，3)
产品编号 A6 A7 A8 A9 A10
质量指标(x，y，z) (1，2，2) (2，3，1) (3，2，1) (1，1，1) (2，1，1)
(1) 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
(2) 在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标均满足Q≤4”，求事件B的概率．
【答案解析】
10．1.3　古典概型(2)
【活动方案】
例1　设第一次抽取的人记为x1，第二次抽取的人记为x2，则可用数组(x1，x2)表示样本点．
(1) 根据相应的抽样方法可知：
有放回简单随机抽样的样本空间
Ω1＝{(B1，B1)，(B1，B2)，(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，B1)，(B2，B2)，(B2，G1)，(B2，G2)，(G1，B1)，(G1，B2)，(G1，G1)，(G1，G2)，(G2，B1)，(G2，B2)，(G2，G1)，(G2，G2)}．
不放回简单随机抽样的样本空间
Ω2＝{(B1，B2)，(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，B1)，(B2，G1)，(B2，G2)，(G1，B1)，(G1，B2)，(G1，G2)，(G2，B1)，(G2，B2)，(G2，G1)}．
按性别等比例分层抽样，先从男生中抽一人，再从女生中抽一人，其样本空间
Ω3＝{(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，G1)，(B2，G2)}．
(2) 设事件A＝“抽到两名男生”，则对于有放回简单随机抽样，A＝{(B1，B1)，(B1，B2)，(B2，B1)，(B2，B2)}．
因为抽样的样本空间Ω1中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型，
所以P(A)＝＝0.25.
对于不放回简单随机抽样，
A＝{(B1，B2)，(B2，B1)}．
因为抽样的样本空间Ω2中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型，
所以P(A)＝＝≈0.167.
因为按性别等比例分层抽样，不可能抽到两名男生，所以A＝ ，所以P(A)＝0.
跟踪训练　将第一套书的上、下册分别记为A1，A2，第二套书的上、下册分别记为B1，B2，第三套书的上、下册分别记为C1，C2.
不区分取出的两本书的顺序，依题意可知样本空间
Ω＝{(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A2，C2)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，C1)，(B2，C2)，(C1，C2)}，共含有15个样本点，可以认为这15个样本点出现的可能性是相等的，从而用古典概型来计算概率．
(1) 设事件A＝“取出的书不成套”，则A＝{(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A2，C2)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，C1)，(B2，C2)}，样本点有12个，故P(A)＝＝.
(2) 设事件B＝“取出的书均为上册”，则B＝{(A1，B1)，(A1，C1)，(B1，C1)}，样本点有3个，故P(B)＝＝.
(3) 设事件C＝“取出的书上、下册各一本，但不成套”，则C＝{(A1，B2)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，C1)，(B1，C2)，(B2，C1)}，样本点有6个，故P(C)＝＝.
例2　用R，Y，G表示三种颜色，则由下图可知，本题的基本事件共27个．
因为对3个矩形涂色时，选用颜色是随机的，所以这27个基本事件是等可能的．
(1) 记事件A＝“3个矩形颜色都相同”．由图可知，事件A包含的基本事件有1×3＝3(个)，
故P(A)＝＝.
(2) 记事件B＝“3个矩形颜色都不同”，由图可知，事件B包含的基本事件有2×3＝6(个)，
故P(B)＝＝.
跟踪训练　设甲、乙、丙、丁写的贺卡分别记为a，b，c，d，则当甲取a时，有如下情况：
同理甲取b，c，d分别对应6种，故共有24种可能．
(1) 四位同学恰好都抽到别人的贺卡的基本事件有(b，a，d，c)，(b，c，d，a)，(b，d，a，c)，(c，a，d，b)，(c，d，a，b)，(c，d，b，a)，(d，a，b，c)，(d，c，a，b)，(d，c，b，a)，共9种，故P＝＝.
(2) 四位同学都抽到自己写的贺卡的情况为(a，b，c，d)，故P＝.
例3　用1，2表示能打开门的钥匙，用3，4表示不能打开门的钥匙，事件“第二次才能打开门”包含的样本点有(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，共4个．
若把试过的钥匙扔掉，则该试验的样本空间可表示为Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}，共有12个样本点，所以此时的概率P＝＝；
若试过的钥匙又混进去，则样本空间可表示为Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}，共有16个样本点，所以此时的概率为P＝＝.
跟踪训练　(1) 　(2) 　(3)
【检测反馈】
1. A　解析：由题意得，样本空间为{(1，1，3，4)，(1，1，4，3)，(1，3，1，4)，(1，3，4，1)，(1，4，1，3)，(1，4，3，1)，(3，1，1，4)，(3，1，4，1)，(3，4，1，1)，(4，1，3，1)，(4，1，1，3)，(4，3，1，1)}，共有12种不同排法，而卡片排成“1314”只有1种情况，故所求事件的概率P＝.
2. A　解析：由题意，得样本空间Ω＝{(2，4，6)，(2，4，8)，(2，4，10)，(2，6，8)，(2，6，10)，(2，8，10)，(4，6，8)，(4，6，10)，(4，8，10)，(6，8，10)}，共有10种等可能的样本点，其中，能构成三角形的样本点为(4，6，8)，(4，8，10)，(6，8，10)，共3个，所以能构成一个三角形的概率为.
3. ACD　解析：记4件产品分别为1，2，3，a，其中a表示次品．对于A，样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，a)，(2，3)，(2，a)，(3，a)}，“恰有1件次品”的样本点为(1，a)，(2，a)，(3，a)，所以其概率P＝＝，故A正确；对于B，每次抽取1件，不放回抽取两次，样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，a)，(2，1)，(2，3)，(2，a)，(3，1)，(3，2)，(3，a)，(a，1)(a，2)，(a，3)}，所以n(Ω)＝12，故B错误；对于C，“取出的2件中恰有1件次品”的样本点数为6，其概率为，故C正确；对于D，每次抽取1件，有放回抽取两次，样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，a)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，a)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，a)，(a，1)，(a，2)，(a，3)，(a，a)}，所以n(Ω)＝16，故D正确．故选ACD.
4. 　解析：从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，所有可能的结果组成的12个样本点为(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，则“A1和B1全被选中”有2个样本点(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，则“A1和B1不全被选中”共有10个样本点，概率为＝.
5. (1) 计算10件产品的综合指标Q，如下表：
产品编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10
Q 4 5 6 5 6 5 6 6 3 4
其中Q≤5的有A1，A2，A4，A6，A9，A10，共6件，故该样本的一等品率为＝0.6，
从而估计该批产品的一等品率为0.6.
(2) 在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，该试验的样本点有{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A6}，{A1，A9}，{A1，A10}，{A2，A4}，{A2，A6}，{A2，A9}，{A2，A10}，{A4，A6}，{A4，A9}，{A4，A10}，{A6，A9}，{A6，A10}，{A9，A10}，共15个．
在该样本的一等品中，综合指标满足Q≤4的产品编号分别为A1，A9，A10，则事件B发生的所有可能结果为{A1，A9}，{A1，A10}，{A9，A10}，共3种，所以P(B)＝＝.10．1.4　概率的基本性质
1. 理解互斥事件、对立事件的含义．
2. 理解概率的6条基本性质，重点掌握性质．
3. 掌握性质4、性质6及公式的应用条件．
4. 能灵活运用这几条重要性质解决相关的实际问题，培养数学建模和数学化归能力．
活动一 背景引入
一般而言，给出了一个数学对象的定义，就可以从定义出发研究这个数学对象的性质．例如，在给出指数函数的定义后，我们从定义出发研究了指数函数的定义域、值域、单调性、特殊点的函数值等性质，这些性质在解决问题时可以发挥很大的作用，类似地，在给出了概率的定义后，我们来研究概率的基本性质．
活动二　概率的基本性质　
思考
你认为可以从哪些角度研究概率的性质？
问题1：概率P(A)的取值范围是什么？
由概率的定义可知：任何事件的概率都是非负的；在每次试验中，必然事件一定发生，不可能事件一定不会发生，一般地，概率有如下性质：
性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0.
性质2：必然事件的概率为1, 不可能事件的概率为0, 即P(Ω)＝1，P( )＝0.
问题2：在掷骰子试验中，事件A＝“出现1点”，B＝“出现2点”，C＝“出现的点数小于3”，事件C的概率与事件A、事件B的概率之间具有怎样的关系？当两个事件是互斥事件时，它们的和事件的概率公式应该怎样？
性质3：如果事件A与事件B互斥， 那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
引申　如果事件A1，A2，…，An两两互斥，那么P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).　
问题3：若事件A与事件B互为对立事件，则事件A与事件B的概率之间有什么关系？
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件， 那么P(B)＝1－P(A), P(A)＝1－P(B).
问题4：一般地，对于事件A与事件B，如果A B，即事件A发生，则事件B一定发生，那么事件A的概率与事件B的概率的大小关系是什么？说明理由．
性质5：如果A B，那么P(A)≤P(B).
由性质5可得，对于任意事件A，因为 A Ω，所以 0 ≤ P(A) ≤1.
问题5：一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球(标号为1和2)，2个绿球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件R1＝“第一次摸到红球”，R2＝“第二次摸到红球”，R＝“两次都摸到红球”， “两个球中有红球”＝R1∪R2，那么P(R1∪R2)和P(R1)＋P(R2)相等吗？如果不相等，请你说明原因，并思考如何计算P(R1∪R2).
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).
活动三 概率的基本性质的应用
例1　从不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件A＝“抽到红心”，事件B＝“抽到方块”，P(A)＝P(B)＝，求下列事件的概率：
(1) C＝“抽到红花色”；
(2) D＝“抽到黑花色”．
1. 运用概率加法公式解题的步骤：
(1) 确定各事件彼此互斥；
(2) 先求各事件分别发生的概率，再求其和．
2. 求复杂事件的概率通常有两种方法：
(1) 将所求事件转化成彼此互斥的事件的并；
(2) 先求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率．
袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，已知得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，求得到黑球、黄球、绿球的概率分别是多少？
例2　为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料．若从一箱中随机抽出2罐，能中奖的概率为多少？
1. 对于一个较复杂的事件，一般将其分解为几个简单的事件．当这些事件彼此互斥时，即可用概率加法公式．
2. 运用事件的概率加法公式解题的步骤：
(1) 确定题中哪些事件彼此互斥；
(2) 将待求事件拆分为几个互斥事件之和；
(3) 先求各互斥事件分别发生的概率，再求和．
经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下：
排队人数 0 1 2 3 4 5人及5人以上
概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04
(1) 至多2人排队等候的概率是多少？
(2) 至少3人排队等候的概率是多少？
1. 口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是(　　)
A. 0.42 B. 0.28 C. 0.3 D. 0.7
2. (2023河池高一统考)从装有若干个红球和白球(除颜色外其余均相同)的黑色布袋中，随机不放回地摸球两次，每次摸出一个球．若事件“两个球都是红球”的概率为，“两个球都是白球”的概率为，则“两个球颜色不同”的概率为(　　)
A. B. C. D.
3. (多选)在一个试验模型中，设A表示一个随机事件，表示A的对立事件，则下列结论中正确的是(　　)
A. P(A)＝P() B. P (A∪)＝1
C. 若P(A)＝1，则P()＝0 D. P(A)＝0
4. (2022莆田期末)一商店有奖促销活动中，有一等奖与二等奖两个奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率是0.25，则不中奖的概率是________．
5. 某服务电话，打进的电话响第1声时被接通的概率是0.1，响第2声时被接通的概率是0.2，响第3声时被接通的概率是0.3，响第4声时被接通的概率是0.35.
(1) 打进的电话在响5声之前被接通的概率是多少？
(2) 打进的电话响4声而不被接通的概率是多少？
【答案解析】
10．1.4　概率的基本性质
【活动方案】
思考：①概率的取值范围；②特殊事件的概率；③事件有某些特殊关系时，它们的概率之间的关系等等．
问题1：P(A)≥0.
问题2：P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.因为事件A与事件B互斥，即A与B不含有相同的样本点，所以n(A∪B)＝n(A)＋n(B)，这等价于P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，即两个互斥事件的和事件的概率等于这两个事件概率之和，所以我们有互斥事件的概率加法公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
问题3：1＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
问题4：如果A B，那么n(A)≤n(B)，所以≤，即P(A)≤P(B).
问题5：因为n(Ω)＝12，n(R1)＝n(R2)＝6，n(R1∪R2)＝10，所以P(R1)＝P(R2)＝＝，P(R1∪R2)＝＝，
所以P(R1∪R2)≠P(R1)＋P(R2).
这是因为R1∩R2＝{(1，2)，(2，1)}≠ ，即事件R1，R2 不是互斥的，容易得到P(R1∪R2)＝P(R1)＋P(R2)－P(R1∩R2).
例1　 (1) 因为C＝A∪B，且A与B不会同时发生，所以A与B是互斥事件．
根据互斥事件的概率加法公式，得P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
(2) 因为C与D互斥，且C∪D是必然事件，
所以C与D互为对立事件，
所以P(D)＝1－P(C)＝1－＝.
跟踪训练　设得到黑球、黄球的概率分别为x，y，由题意，得解得
所以得到绿球的概率为1－－－＝.
综上，得到黑球、黄球、绿球的概率分别是，，.
例2　 设事件A＝“中奖”，事件A1＝“第一罐中奖”，事件A2＝“第二罐中奖”，
那么事件A1A2＝“两罐都中奖”，A12＝“第一罐中奖，第二罐不中奖”，1A2＝“第一罐不中奖，第二罐中奖”，且A＝A1A2∪A12∪1A2.
因为A1A2，A12，1A2两两互斥，
所以根据互斥事件的概率加法公式，
可得P(A)＝P(A1A2)＋P(A12)＋P(1A2).
我们借助树状图(如下图)来求相应事件的样本点数，
可以得到，样本空间包含的样本点个数为n(Ω)＝6×5＝30，且每个样本点都是等可能的．
因为n(A1A2)＝2，n(A12)＝8，n(1A2)＝8，
所以P(A)＝＋＋＝＝，
故中奖的概率为.
跟踪训练　记事件A＝“无人排队等候”，B＝“1人排队等候”，C＝“2人排队等候”，D＝“3人排队等候”，E＝“4人排队等候”，F＝“5人及5人以上排队等候”，则事件A，B，C，D，E，F互斥．
(1) 记事件G＝“至多2人排队等候”，
则G＝A∪B∪C，
所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2) 记事件H＝“至少3人排队等候”，
则H＝D∪E∪F，
所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.
【检测反馈】
1. C　解析：因为摸出红球、白球、黑球是互斥事件，所以摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3.
2. C　解析：设“两个球都是红球”为事件A，“两个球都是白球”为事件B，“两个球颜色不同”为事件C，则P(A)＝，P(B)＝，且＝A∪B.因为A，B，C两两互斥，所以P(C)＝1－P()＝1－P(A∪B)＝1－[P(A)＋P(B)]＝1－－＝.
3. BCD 　解析：对于A，由对立事件的性质P(A)＋P()＝1得P(A)＝P()不一定正确，故A错误；由对立事件的概念得A∪＝Ω，即P(A∪)＝P(Ω)＝1，故B正确；由对立事件的性质P(A)＋P()＝1，知P(A)＝1－P()，若P(A)＝1，则P()＝0，故C正确；由对立事件的概念得A＝ ，即P(A)＝P( )＝0，故D正确．故选BCD.
4. 0.65　解析：中奖的概率为0.1＋0.25＝0.35，中奖与不中奖为对立事件，所以不中奖的概率为1－0.35＝0.65.
5. (1) 设事件“电话响第k声时被接”为Ak(k∈N)，
那么事件Ak彼此互斥，设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A，
根据互斥事件概率加法公式，
得P(A)＝P(A1∪A2∪A3∪A4)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.35＝0.95.
(2) 事件“打进的电话响4声而不被接”是事件A“打进的电话在响5声之前被接”的对立事件，记为.
根据对立事件的概率公式，得P()＝1－P(A)＝1－0.95＝0.05.

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