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2024人教八下数学期末复习 04压轴选填必刷60题12个考点
一．动点问题的函数图象（共4小题）
1．（2023春 海安市期末）如图1，中，，两动点，同时从点出发，点在边上以的速度匀速运动，到达点时停止运动，点沿的路径匀速运动，到达点时停止运动．的面积与点的运动时间的关系图象如图2所示，已知，则下列说法正确的是　　
①点的运动速度是；
②的长度为；
③的值为7；
④当时，的值为或9．
A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④
【分析】由点的速度和路程可知，时，点和点重合，过点作于点，求出的长，进而求出的长，得出点的速度；由图2可得当时，点和点重合，进而可求出的长；根据路程除以速度可得出时间，进而可得出的值；由图2可知，当时，有两种情况，根据图象分别求解即可得出结论．
【解答】解：，点的速度为，
当点从点到点，用时，
当时，过点作于点，
，
，
在中，，
，，
，
点的运动速度是；故①正确；
点从到，用时，
由图2可知，点从到用时，
，故②正确；
，故③正确；
当点未到点时，过点作于点，
，
解得，负值舍去；
当点在上时，过点作交延长线于点，
此时，
，
，
解得，
当时，的值为或9．故④正确；
故选：．
【点评】本题主要考查函数图象问题，涉及平行四边形的性质，含直角三角形的性质，熟练掌握各图形的性质，分别列出关于的方程是解题的关键．
2．（2023春 望奎县期末）如图，边长为2的等边和边长为1的等边△，它们的边，位于同一条直线上，开始时，点与点重合，固定不动，然后把△自左向右沿直线平移，移出外（点与点重合）停止，设△平移的距离为，两个三角形重合部分的面积为，则关于的函数图象是　　
A． B．
C． D．
【分析】分为、、三种情况画出图形，依据等边三角形的性质和三角形的面积公式，求得与的函数关系式，进而求解．
【解答】解：如图1所示：当时，过点作．
和△均为等边三角形，
为等边三角形．
．
．
当时，，且抛物线的开口向上．
如图2所示：时，过点作，垂足为．
．
函数图象是一条平行于轴的线段．
如图3所示：时，过点作，垂足为．
，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上．
故选：．
【点评】本题主要考查的是动点问题的函数图象，求得函数的解析式是解题的关键．
3．（2023春 丰台区校级期末）如图，扇形的半径，圆心角，是上不同于、的动点，过点作于点，作于点，连接，点在线段上，且．设的长为，的面积为，选项中表示与的函数关系式的图象可能是　　
A． B．
C． D．
【分析】根据已知得出四边形是矩形，再根据矩形的性质得出，进而得出，，从而得出，，表示出的长，进而得出的面积，根据图象得出符合要求的图象．
【解答】解：连接，作于一点，
扇形的半径，圆心角，于点，
于点，
四边形是矩形，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．结合解析式得出只有图象符合要求；
．图象是一次函数与二次函数一部分，
不符合上面解析式，故此选项错误；
．是反比例函数图象，
不符合上面解析式，故此选项错误；
．图象是两部分一次函数，
不符合上面解析式，故此选项错误．
故选：．
【点评】此题主要考查了动点问题的函数图象，得出函数解析式进而得出符合要求的图象是解决问题的关键．
4．（2023春 岳阳县期末）如图①，在矩形中，动点从点出发，沿方向运动至点处停止，设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图②所示，则矩形的面积是　20　．
【分析】根据图象横坐标的变化，问题可解．
【解答】解：由图象可知，时，点到达，时，点到点，则，
矩形的面积是20．
【点评】本题为动点问题的函数图象探究题，考查了动点到达临界点前后图象趋势的趋势变化．解答时，要注意数形结合．
二．一次函数图象上点的坐标特征（共8小题）
5．（2023春 岚山区期末）如图放置的△，△，△，，△，都是以，，，，为直角顶点的三角形，点，，，，都在直线上，，点在轴上，，，则点的坐标是　　
A．， B． C． D．
【分析】由定理可证明各直角三角形全等，进而证明．由三角函数求出的横坐标，由求出其纵坐标，进而求出的坐标．同理，可求出、的坐标，由规律写出的坐标，是关于的代数式，从而求出当时的坐标．
【解答】解：，，
△△△△．
．
．
，
，
．
，
点的横坐标为，纵坐标为，即，．
点的横坐标为，纵坐标为，即，．
同理，，，，；，，，；
，，，，，，．
当时，，，
，．
故选：．
【点评】本题考查一点的坐标及一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键通过点、、的坐标找到规律，将坐标表示为的代数式．
6．（2023春 青山区期末）如图，已知点，点，分别是直线和直线上的动点，连接，．则的最小值为　　
A．2 B． C． D．
【分析】在坐标系中构造边长为6的正方形，得点关于的对称点，连接，，则，当且仅当，，三点共线时，，即的最小值为的长，根据点到直线，垂线段最短，过点作垂直直线于点，即于点，交直线于点，此时最小，利用等积法求出的长即可．
【解答】解：如图，在正方形 中，，
直线经过点，，
直线是正方形的对称轴，
点在上，
可得点关于的对称点，
当时，，
即直线经过点，
过点作垂直直线于点，即于点，交直线于点，
和关于关于对称，
，
，即的最小值为的长，
，
，
，
，
解得，
即的最小值为，
故选：．
【点评】此题考查了正方形的性质、勾股定理、轴对称的性质、一次函数的图象和性质等知识，熟练掌握 相关性质和数形结合是解题的关键．
7．（2023春 南部县校级期末）如图，已知直线分别交轴、轴于点、两点，，、分别为线段和线段上一动点，交轴于点，且．当的值最小时，则点的坐标为　　
A． B． C． D．
【分析】首先证明，取点，连接，，．由，推出，推出，因为，推出的最小值为线段的长，推出当，，共线时，的值最小，求出直线的解析式即可解决问题．
【解答】解：由题意，，，
，
取点，连接，，．
，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
的最小值为线段的长，
当，，共线时，的值最小，
直线的解析式为：，
，
当的值最小时，则点的坐标为，
故选：．
【点评】本题考查一次函数图象上的点的特征、最短问题等知识，解题的关键是学会构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
8．（2023春 潮南区期末）如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于，两点，过原点作垂直于直线交于点，过点作 垂直于轴交轴于点，过点作垂直于直线交于点，过点作 垂直于轴交轴于点，依此规律作下去，则点的坐标是　　
A． B． C． D．
【分析】根据一次函数的图象分别与轴、轴交于，，可得是等腰直角三角形，进而得出四边形是正方形，可求出点的坐标，进而可以得出四边形，四边形也是正方形，求出点的坐标，点的坐标，根据点，点，点的坐标呈现的规律，可以得出点的坐标．
【解答】解：过、、、分别作，，，垂足分别为、、、，
一次函数的图象分别与轴、轴交于，，
，
，
，
，
可得四边形是正方形，
同理可得四边形，四边形也是正方形，
点，即，，，
可求，
点，即，，，
同理，，即，，，
，，即，，，也就是，，
故选：．
【点评】考查一次函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形、正方形的性质，点的坐标与线段长度之间的互相转化是解决问题的关键．
9．（2023春 德城区校级期末）如图，平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、，以为一边向右作等边，以为一边向左作等边，连接交直线于点．则点的坐标为　　
A．， B．， C．， D．，
【分析】求出点、点的坐标，得到的表达式，将的表达式与直线的表达式联立，即可求解．
【解答】解：①，
令，则，令，则，
故点、的坐标分别为：，、，
即，，则，
，故，
而为等边三角形，则与轴的夹角为，
则，
，
故点，，
同理可得点的坐标为：，
设直线的表达式为，则，解得：，
故直线的表达式为：②，
联立①②并解得：，，
故点的坐标为：，，
故选：．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，本题的关键是求出点、的坐标，进而求解．
10．（2023春 永定区期末）如图，过点作轴垂线交直线于点，以的长为边在右侧作正方形；延长交直线于点，以的长为边在右侧作正方形；延长交直线于点，以的长为边在右侧作正方形则的坐标为　　
A．， B．，
C．， D．，
【分析】由点作轴垂线交直线于点，求出，再以的长为边在右侧作正方形，求出，同理求出，，即可得出规律求出的坐标．
【解答】解：过点作轴垂线交直线于点，
，
以的长为边在右侧作正方形，
，
同理，可得，，
的坐标为，，
故选：．
【点评】本题考查了一次函数，通过求出前三个点的坐标找出规律是解决本题的关键．
11．（2023春 宝清县校级期末）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，依次进行下去，则点的坐标为 　，　．
【分析】根据题意，先求得前至少8个点的坐标，然后找到规律即可．
【解答】解：当时，，
点的坐标为；
当时，，
点的坐标为；
同理可得，，，，，，
，
，
，
为自然数），
，
点的坐标为，，
即点的坐标为，．
故答案为：，．
【点评】本题考查的是坐标系中点的规律，解题的关键是对前几个点作出分析，找到规律．
12．（2023春 清河区校级期末）如图，正方形的对角线在直线上，点在第一象限．若正方形的面积是50，则点的坐标为　　．
【分析】如图作，交的延长线于，作轴于，轴于．首先证明是等腰直角三角形，可得，求出、的坐标即可解决问题；
【解答】解：如图作，交的延长线于，作轴于，轴于．
四边形是正方形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
由，可得，，
正方形的面积是50，
，
点在直线上，
，，
，
，
故答案为
【点评】主要考查了一次函数的应用、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
三．待定系数法求一次函数解析式（共3小题）
13．（2023春 定州市期末）如图所示，直线分别与轴、轴交于点、，以线段为边，在第二象限内作等腰直角，，则过、两点直线的解析式为　　
A． B． C． D．
【分析】过作垂直于轴，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，以及，利用得到三角形与三角形全等，由全等三角形对应边相等得到，，由求出的长，即可确定出坐标，然后根据待定系数法即可求得过、两点的直线对应的函数表达式．
【解答】解：对于直线，令，得到，即，，
令，得到，即，，
过作轴，可得，
，
为等腰直角三角形，即，，
，
，
在和中，
，
，
，，即，
，
设直线的解析式为，
，
，
解得．
过、两点的直线对应的函数表达式是．
故选：．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键．
14．（2023春 黄石期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，为轴上一点，菱形的边长为2，，点是边上一动点（不与点，重合），点在边上，且，下列结论：
①；②的大小随点的运动而变化；
③直线的解析式为；④的最小值为．
其中正确的有 　①③④　．（填写序号）
【分析】根据菱形的边长为2，，可得为等边三角形，又，可证；由，可以证出为等边三角形，所以大小不变；求出，的坐标可以求出直线的解析式为；根据垂线段最短，当时有最小值．
【解答】解：菱形的边长为2，，
，为等边三角形，，
，，
，（故①正确），
，，
，
为等边三角形，
，
的大小随点的运动是不变化的，（故②不正确），
设直线的解析式为，
过，，
（故③正确），
根据垂线段最短，
当时有最小值，
的最小值为，（故④正确）．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
15．（2023春 德州期末）如图，四边形的顶点坐标分别为，，，，当过点的直线将四边形分成面积相等的两部分时，则直线的函数表达式为 　　．
【分析】根据题意画出直线，再设解析式，代入点坐标，分别求出和得解析式，根据铅垂高水平宽等于的面积，即可求出的值，再代入、点坐标即可求出解析式．
【解答】解：如图所示，作直线交于点，过点作轴，交于点．
设直线将四边形的面积分成面积相等的两部分，
设直线的解析式为，代入点，，
得，
设直线的解析式为，代入点，，
得，
设，则，
四边形的面积为，
，
解得，
点坐标为，
设的解析式为，代入和，
解得，
的解析式为．
【点评】本题考查了一次函数和三角形面积，正确求出一次函数解析式并表示出的面积是解决本题的关键．
四．一次函数的应用（共4小题）
16．（2023春 辛集市期末）容积为1500升的蓄水池装有一个进水管和一个出水管，单位时间内进、出水量都一定，单开进水管30分钟可把空池注满，单开出水管20分钟可把满池的水放尽．现水池内有水250升，先打开进水管10分钟后，再两管同时开放，直至把池中的水放完．这一过程中蓄水池中的蓄水量（升随时间（分变化的图象是　　
A． B．
C． D．
【分析】根据实际意义进行图象的判断，注意特殊点的寻找．
【解答】解：因为进水速度是升分，单开出水管20分钟可把满池的水放尽，则出水速度是升分，
所以先打开进水管10分钟，水池中有升的水，两管同时开放，直至把水池中的水放完共用了分钟，
故（分钟）
故选：．
【点评】本题主要考查了根据实际意义读图的能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
17．（2023春 抚顺县期末）甲、乙两位同学周末相约骑自行车去游玩，沿同一路线从地出发前往地，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，甲比乙早出发5分钟．甲骑行20分钟后，乙以原速的1.5倍继续骑行，经过一段时间，乙先到达地，甲一直保持原速前往地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程（单位：与甲骑行的时间（单位：之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是　　
A．甲的骑行速度是 B．，两地的总路程为
C．乙出发后追上甲 D．甲比乙晚到达地
【分析】根据函数与图象的关系以此计算即可判断．
【解答】解：甲骑行，故速度为，
故正确；
设乙的速度为，则有，
解得：，
乙的速度为，
甲骑行20分钟后，乙以原速的1.5倍，即继续骑行，
乙先到达地，
由题意可得两地的总路程为，
故正确；
乙出发后追上甲，
则，
解得，即乙出发后追上甲，
故错误．
甲的路程为，
甲比乙晚到达地，
故正确．
故选：．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
18．（2023春 新市区期末）甲、乙两人在同一直线道路上同起点、同方向、同时出发，分别以不同的速度匀速跑步1000米，甲超出乙150米时，甲停下来等候乙，甲、乙会合后，两人分别以原来的速度继续跑向终点，先到终点的人在终点休息，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离（米与乙出发的时间（秒之间的关系如图所示，则甲到终点时，乙距离终点还有　50　米．
【分析】乙从开始一直到终点，行1000米用时200秒，因此乙的速度为米秒，甲停下来，乙又走秒才与甲第一次会和，第一次会和前甲、乙共同行使秒，从起点到第一次会和点的距离为米，因此甲的速度为米秒，甲行完全程的时间为秒，甲到终点时乙行驶时间为秒，因此乙距终点还剩秒的路程，即米．
【解答】解：乙的速度为：米秒，从起点到第一次会和点距离为米，
甲停下来到乙到会和点时间秒，之前行驶时间秒，
甲的速度为米秒，
甲到终点时乙行驶时间秒，
还剩10秒路程，即米，
故答案为50米．
【点评】考查函数图象的意义，将行程类实际问题和图象联系起来，理清速度、时间、路程之间的关系是解决问题关键．
19．（2023春 禹城市期末）甲、乙两人沿同一条直路走步，如果两人分别从这条直路上的，两处同时出发，都以不变的速度相向而行，图1是甲离开处后行走的路程（单位：与行走时间（单位：的函数图象，图2是甲、乙两人之间的距离（单位：与甲行走时间（单位：的函数图象，则　　．
【分析】从图1，可见甲的速度为，从图2可以看出，当时，二人相遇，即：，解得：乙的速度，乙的速度快，从图2看出乙用了分钟走完全程，甲用了分钟走完全程，即可求解．
【解答】解：从图1，可见甲的速度为，
从图2可以看出，当时，二人相遇，即：，解得：乙的速度，
乙的速度快，从图2看出乙用了分钟走完全程，甲用了分钟走完全程，
，
故答案为．
【点评】本题考查了一次函数的应用，把一次函数和行程问题结合在一起，关键是能正确利用待定系数法求一次函数的解析式，明确三个量的关系：路程时间速度．
五．一次函数综合题（共2小题）
20．（2023春 和平区校级期末）如图，直线分别与、轴交于点、，点在线段上，线段沿翻折，点落在边上的点处．以下结论：
①；
②直线的解析式为；
③点，；
④若线段上存在一点，使得以点、、、为顶点的四边形为菱形，则点的坐标是，．
正确的结论是　　
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【分析】先求出点，点坐标，由勾股定理可求的长，可判断①；由折叠的性质可得，，，由勾股定理可求的长，可得点坐标，利用待定系数法可求解析式，可判断②；由面积公式可求的长，代入解析式可求点坐标，可判断③；由菱形的性质可得，可得点纵坐标为，可判断④，即可求解．
【解答】解：直线分别与、轴交于点、，
点，点，
，，
，故①正确；
线段沿翻折，点落在边上的点处，
，，，
，
，
，
，
点，
设直线解析式为：，
，
，
直线解析式为：，故②正确；
如图，过点作于，
，
，
，
，
当时，，
，
点，，故③正确；
线段上存在一点，使得以点、、、为顶点的四边形为菱形，且，
，
点纵坐标为，故④错误，
故选：．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了利用待定系数法求解析式，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，面积法，菱形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
21．（2023春 禹城市期末）如图，已知点是第一象限内横坐标为的一个定点，轴于点，交直线于点．若点是线段上的一个动点，，，则点在线段上运动时，点不变，点随之运动．求当点从点运动到点时，点运动的路径长是　　．
【分析】（1）首先，需要证明线段就是点运动的路径（或轨迹），如答图②所示．利用相似三角形可以证明；
（2）其次，如答图①所示，利用相似三角形△，求出线段的长度，即点运动的路径长．
【解答】解：由题意可知，，点在直线上，轴于点，则为等腰直角三角形，．
如答图①所示，设动点在点（起点）时，点的位置为，动点在点（终点）时，点的位置为，连接
，，，
又，，（此处也可用角的△三边长的关系来求得），
△，且相似比为，
．
现在来证明线段就是点运动的路径（或轨迹）．
如答图②所示，当点运动至上的任一点时，设其对应的点为，连接，，
，，，
又，，，
△，．
又△，，
，
点在线段上，即线段就是点运动的路径（或轨迹）．
综上所述，点运动的路径（或轨迹）是线段，其长度为．
故答案为：．
【点评】本题考查坐标平面内由相似关系确定的点的运动轨迹，难度很大．本题的要点有两个：首先，确定点的运动路径是本题的核心，这要求考生有很好的空间想象能力和分析问题的能力；其次，由相似关系求出点运动路径的长度，可以大幅简化计算，避免陷入坐标关系的复杂运算之中．
六．勾股定理的证明（共2小题）
22．（2023春 东西湖区期末）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连结，相交于点、与相交于点．若，则的值是　　
A． B． C． D．
【分析】先证明，得出．设，则，，再由勾股定理得出，即可得出答案．
【解答】解：四边形为正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
设，
为，的交点，
，，
四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，
，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
23．（2023春 丰台区期末）勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一．如图，在中，，以各边为边向外作正方形、正方形、正方形．连接、、，若，，则这个六边形的面积为　　
A．28 B．26 C．32 D．30
【分析】根据，，想法把，，求出来，想到作辅助线，构造直角三角形．
【解答】解：设，，，过作作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为，
，，
，
在与中，
，
，
，，
同理可证，
，，
在中，，即，
在中，，即，
，，．
．
故选：．
【点评】本题考查了勾股定理，关键是构造直角三角形，求出，，．
七．平行四边形的性质（共8小题）
24．（2023春 辛集市期末）如图，中，，，，动点从出发，以的速度沿向点运动，动点从点出发，以的速度沿着向运动，当点到达点时，两个点同时停止．则的长为时点的运动时间是　　
A． B．或 C． D．或
【分析】过点作于点，由，可得是等腰直角三角形，过点作于点，得矩形，利用勾股定理得，由题意可得 ， ，然后分两种情况列方程求出的值即可．
【解答】解：在中，，，
如图，过点作于点，
，
是等腰直角三角形，
，
过点作于点，
得矩形，
，，
，
，
由题意可知： ， ，
，，
，
，
解得，
当点在点左侧时，
由题意可知： ， ，
，，
，
，
解得，
点到达点时，两点同时停止运动，
，解得．
不符合题意，舍去，
的长为时点的运动时间是，
故选：．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是利用勾股定理得到的值．
25．（2023春 渠县期末）如图，在平行四边形中，，于，于，，相交于，与的延长线相交于点，下面给出四个结论：①； ②； ③； ④，其中正确的结论是　　
A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③
【分析】①由等腰直角三角形的性质可求；
②由余角的性质和平行四边形的性质可求；
③由“”可证，可得；
④在和中，只有三个角相等，没有边相等，则与不全等．
【解答】解：，，
，
，
，故①正确；
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，故②正确；
，
，
在和中，
，
，
，故③正确，
在和中，只有三个角相等，没有边相等，
与不全等，故④错误．
故选：．
【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
26．（2023春 碑林区校级期末）如图，的对角线、交于点，平分交于点，且，，连接．下列结论：
①平分；
②
③；
④，
成立的个数有　　个
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据平行四边形的性质得到，，，求得，根据等边三角形的性质得到，，求得，推出平分．故①正确；求得，故②正确；得到，故③错误；根据三角形中位线定理得到，设，根据勾股定理得到，于是得到结论．
【解答】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
平分．
故①正确；
，
，
故②正确；
，
为中点，
，
故③错误；
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，故④正确；
故正确的为：①②④，
故选：．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
27．（2023春 开江县校级期末）如图，在平行四边形中，分别以、为边向外作等边和等边，延长交于点，点在点、之间，连接、、，则以下四个结论，正确的是　　
①；②；③；④是等边三角形．
A．③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④
【分析】根据为平行四边形，、是等边三角形逐一进行证明即可判断．
【解答】解：、是等边三角形，
，，
，，
，，
，，
，
，故①正确；
，
，
，故②正确；
在等边三角形中，
等边三角形顶角平分线、底边上的中线、高和垂直平分线是同一条线段，
如果，则是的中点，，，题目缺少这个条件，不能求证，故③错误；
同理①②可得：，
，，
，
，
，
，
，
是等边三角形，故④正确．
故选：．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
28．（2023春 渠县期末）如图，在平行四边形中，对角线，在的平分线上，且，点为的中点，连接，若，．则的长为　　
A．12 B．20 C．24 D．30
【分析】延长交于，利用证明可得，，即可证明是的中位线，可求解的长，进而可求解的长，再结合平行四边形的性质利用勾股定理可求解．
【解答】解：延长交于，
平分，，
，，
在和中，
，
，
，，
点是的中点，
是的中点，
是的中位线，
，
，
，
在平行四边形中，，，，
，
，
，
故选：．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，三角形的中位线，勾股定理，求解的长是解题的关键．
29．（2023春 振兴区校级期末）如图，平行四边形中，，，在上，且，是的中点，过分别作于，于，则等于　　
A． B． C． D．
【分析】连接、，过作于，过作于，根据三角形的面积和平行四边形的面积得出，求出，设，，则，，，，，，求出，，代入求出即可．
【解答】解：连接、，过作于，过作于，
根据三角形的面积和平行四边形的面积得：，
即，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
设，，
，是的中点，
，，
，，
由勾股定理得：，，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了平行四边形面积，勾股定理，三角形的面积，含30度角的直角三角形等知识点的应用，关键是求出和求出、的值．
30．（2023春 渠县期末）如图，平行四边形中，为对角线交点，平分，平分，，，则　1.5　．
【分析】延长交于，由平行四边形的性质得，，，，再证，则，然后证，由等腰三角形的性质得，最后证是的中位线，即可求解．
【解答】解：延长交于，如图所示：
四边形是平行四边形，
，，，，
，，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
，
，
是的中位线，
，
故答案为：1.5．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的性质，证出为的中位线是解题的关键．
31．（2023春 凤城市期末）如图，在中，，，，垂足分别为点，．．，则　5　．
【分析】由平行四边形的性质可求得，再利用含角的直角三角形的性质求解，，的长，进而可求解的长，
【解答】解：在中，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，含角的直角三角形的性质，求解，的长是解题的关键．
八．平行四边形的判定与性质（共3小题）
32．（2023春 西峡县期末）如图，中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，在如图所示的甲、乙、丙三种方案中，正确的方案有　　
A．甲、乙、丙 B．甲、乙 C．甲、丙 D．乙、丙
【分析】方案甲，连接，由平行四边形的性质得，，则，得四边形为平行四边形，方案甲正确；
方案乙，证，得，再由，得四边形为平行四边形，方案乙正确；
方案丙，证，得，，则，证出，得四边形为平行四边形，方案丙正确．
【解答】解：方案甲中，连接，如图所示：
四边形是平行四边形，为的中点，
，，
，，
，
四边形为平行四边形，故方案甲正确；
方案乙中，四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，，
在和中，
，
，
，
又，
四边形为平行四边形，故方案乙正确；
方案丙中，四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，平分，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
四边形为平行四边形，故方案丙正确；
故选：．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
33．（2023春 市南区期末）如图，已知是边长为3的等边三角形，点是边上的一点，且，以为边作等边，过点作，交于点，连接，，则下列结论：
①；②四边形是平行四边形；③；④．其中正确的有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】连接，作于．首先证明，根据可证明，再证明是等边三角形即可解决问题．
【解答】解：作于．
，都是等边三角形，
，，，
，
在与中，
，
，故①正确；
，，
，
，
是等边三角形，
，，
，
四边形是平行四边形，故②正确，
，故③正确，
，，
，，
，
，故④错误，
①②③都正确，
故选：．
【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题．
34．（2023春 萧县期末）如图，直线与轴，轴分别交于点，，且点，，另有两点，，若点是直线上的动点，点为轴上的动点，要使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，且线段为平行四边形的一边，则满足条件的点坐标为 　或　．
【分析】先根据，两点求出的函数解析式，根据可得出点横坐标是2或，进而求得点的坐标．
【解答】解：设直线的解析式为：，由题意得，
，
，
，
，，
，
，，
点的横坐标为：2或，
当时，，
，
当时，，
，
故答案为：或．
【点评】本题考查了平行四边形性质，求一次函数的解析式等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
九．菱形的性质（共5小题）
35．（2023春 泸县校级期末）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，，若菱形的面积为，则的长为　　
A．4 B． C．8 D．
【分析】在中先求得的长，根据菱形面积公式求得长，再根据勾股定理求得长．
【解答】解：，
，
四边形是菱形，
，，，
（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半），
，，
由得，
，
，
，
，
故选．
【点评】本题考查了菱形性质，直角三角形性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是先求得的长．
36．（2022秋 铁西区校级期末）如图，菱形的顶点、在轴上在的左侧），顶点、在轴上方，对角线的长是，点为的中点，点在菱形的边上运动．当点到所在直线的距离取得最大值时，点恰好落在的中点处，则菱形的边长等于　　
A． B． C． D．3
【分析】如图1中，当点是的中点时，作于，连接．首先说明点与点重合时，的值最大，如图2中，当点与点重合时，连接交于，交于．设．利用相似三角形的性质构建方程求解即可．
【解答】解：如图1中，当点是的中点时，作于，连接．
，，
，，
，
，
，
当点与重合时，的值最大．
如图2中，当点与点重合时，连接交于，交于．设．
，，
，，
四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查菱形的性质，坐标与图形的性质，相似三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
37．（2023春 温江区校级期末）如图，菱形中，，，点在对角线上，连接，，点为直线上一动点．连接，以、为邻边构造平行四边形，连接．则的最小值为 　　．
【分析】过作，作于，交于，作于，作于，由直角三角形的性质求出，令，得到，因此，求出的值，得到的值，即可求出的值，由，即可解决问题．
【解答】解：过作，作于，交于，作于，作于，
四边形是菱形，
，，，
，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
令，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
的最小值是．
故答案为：．
【点评】本题考查菱形的性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，关键是通过作辅助线，构造直角三角形，由直角三角形的性质求出的长，由，即可求出的最小值．
38．（2023春 浦东新区校级期末）对于任意三角形，如果存在一个菱形，使得这个菱形的一条边与三角形的一条边重合，且三角形的这条边所对的顶点在菱形的这条边的对边上，那么称这个菱形为该三角形的“最优覆盖菱形”．
问题：如图，在中，，，且的面积为．如果存在“最优覆盖菱形”为菱形，那么的取值范围 　　．
【分析】由的面积为可得的高为，然后再分三角形的高取最大值和最小值两种情况求解即可．
【解答】解：的面积为，
的边上的为高，
如图：当高取最小值时，为等边三角形，
点与或重合，
如图：过作，垂足为
等边三角形，，
，，．
，
，
，即．
如图：
当高取最大值时，菱形为正方形，
点在的中点，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，正方形的性质，等边三角形的性质以及勾股定理，灵活运用相关知识是解答本题关键．
39．（2023春 潢川县期末）如图，菱形中，，，、分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为 　　．
【分析】如图，的下方作，在上截取，使得，连接，．证明，推出，，根据求解即可．
【解答】解：如图，的下方作，在上截取，使得，连接，．
四边形是菱形，，
，，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
的最小值为，
故答案为．
【点评】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
一十．矩形的性质（共8小题）
40．（2023春 阜平县期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，．若不改变矩形的形状和大小，当矩形顶点在轴的正半轴上上下移动时，矩形的另一个顶点始终在轴的正半轴上随之左右移动，已知是边的中点，连接，．下列判断正确的是　　
结论Ⅰ：在移动过程中，的长度不变；
结论Ⅱ：当时，四边形是平行四边形．
A．结论Ⅰ、Ⅱ都对 B．结论Ⅰ、Ⅱ都不对
C．只有结论Ⅰ对 D．只有结论Ⅱ对
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以判断结论Ⅰ；根据，证明，，即可判断结论Ⅱ，进而可以解决问题．
【解答】解：是边的中点，，
，故结论Ⅰ正确；
，
四边形是矩形，
，
，，
，，
，，
，，
四边形是平行四边形，故结论Ⅱ正确，
故选：．
【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，坐标与图形性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握以上知识是解题的关键．
41．（2023春 德州期末）如图，在矩形中，交于点，点在上，连接交于点，且，若，则的值是　　
A． B． C． D．8
【分析】连接交于点，连接，令交于点，根据三角形中位线定理、平行线的性质、对顶角相等和余角的性质可得，设，，则，解方程求出的值，即可求出的值．
【解答】解：连接交于点，连接，令交于点，
，
，
又四边形是矩形，
，，，
是的中位线，
，，
，
，
，，
，
，
，
，，
设，
则，
，，
，
，
在中，，
又，
，
四边形是矩形，
，
，
解得：，
，
故选：．
【点评】本题是矩形综合题，考查了矩形的性质，三角形中位线定理，平行线的性质，勾股定理，对顶角相等和余角的性质等，熟练掌握相关性质和定理是解题的关键．
42．（2023春 梁园区期末）如图，在矩形中，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是　　
A．2 B．4 C． D．
【分析】根据中位线定理可得出点点的运动轨迹是线段，再根据垂线段最短可得当时，取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知，故的最小值为的长，由勾股定理求解即可．
【解答】解：如图：
当点与点重合时，点在处，，
当点与点重合时，点在处，，
且．
当点在上除点、的位置处时，有．
由中位线定理可知：且．
点的运动轨迹是线段，
当时，取得最小值．
矩形中，，，为的中点，
、、为等腰直角三角形，．
，．
．
．
，即，
的最小值为的长．
在等腰直角中，．
．
的最小值是．
故选：．
【点评】本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，有难度．
43．（2023春 惠城区校级期末）如图，平行四边形的四个顶点分别在矩形的四条边上，，分别交，于点，，过点作，分别交，于点，，要求得平行四边形的面积，只需知道下列哪个四边形的面积即可　　
A．四边形 B．四边形 C．四边形 D．四边形
【分析】连接，，依据，即可得出，再根据，即可得到，进而得出要求得平行四边形的面积，只需知道四边形的面积即可．
【解答】解：如图所示，连接，，
由题可得，，，
，
又，，
，
，
又，
，
，
，
即，
要求得平行四边形的面积，只需知道四边形的面积即可．
故选：．
【点评】本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的性质的运用，解决问题的方法是作辅助线，通过连接四边形的对角线，将四边形的面积问题转化为三角形的面积问题来解决．本题的关键在于在复杂图形中找出，发现这一对应边相等的条件．
44．（2023春 邹城市期末）如图，矩形中，，．点为边上的一个动点，△与关于直线对称，当△为直角三角形时，的长为 　9或18　．
【分析】分两种情况分别求解，（1）当时，如图（1），根据轴对称的性质得，得；
（2）当时，如图（2），根据轴对称的性质得，，，得、、在同一直线上，根据勾股定理得，设，则，根据勾股定理得，，代入相关的值，计算即可．
【解答】解：（1）当时，如图（1），
，
根据轴对称的性质得，
，
是等腰直角三角形，
；
（2）当时，如图（2），
根据轴对称的性质得，，，
△为直角三角形，
即，
，
、、在同一直线上，
根据勾股定理得，
，
设，则，
在△中，，
即，
解得，
即；
综上所述：的长为9或18；
故答案为：9或18．
【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质，熟练掌握矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质的综合应用，分情况讨论，划出图形是解题关键．
45．（2023春 吉首市期末）如图，矩形中，，，是的中点，是线段上一动点，为的中点，连接，则线段的最小值为 　　．
【分析】如图，取中点，连接交于，连接，根据矩形的性质得到可得，当时，有最小值，即可求解．
【解答】解：如图，取中点，连接交于，连接，
四边形是矩形，
，，，
点是中点，点是中点，
，
，
四边形是矩形，
点是的中点，
即为点的运动轨迹，
当时，有最小值，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质等知识，确定点的运动轨迹是本题的关键．
46．（2023春 叙州区期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点分别作轴于点，轴于点，已知经过点的直线将矩形分成的两部分面积比为时，则的值为 　或　．
【分析】将点代入得，得，设直线与轴交于，与交于，分两种情况画图讨论：①当时，②当时；当直线过时，可以验证此时将矩形分成的两部分面积比为．
【解答】解：将点代入直线，得，
，
直线，
当直线与线段、相交时，如图，设直线与轴交于，与交于，
则，，，，
，，
直线将矩形分成的两部分面积比为，
①当时，，
，
解得；
②当时，，
，
解得（此时直线与边无交点，舍去），
当直线过点时，如图：
由、可得直线解析式为，
令得，
，
，，
，此时，
综上所述，或．
故答案为：或．
【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及矩形的性质、待定系数法、两点间距离公式、梯形面积等知识，解题的关键是分类讨论．
47．（2023春 随县期末）如图，矩形中，为的中点，过点的直线分别与，交于点，，连接交于点，连接，．若，，则下列结论：
①；
②；
③；
④四边形是菱形．
其中正确的结论有 　①②③④　（填写所有正确结论的序号）．
【分析】①②根据题中矩形和等边三角形的性质证明出，即可证明；
③由全等三角形的性质即可判断；
④根据菱形的判定方法证明即可．
【解答】解：①如图，连接，
四边形是矩形，
、、互相平分，
为中点
也过点，
，
，，
是等边三角形，
，，
在与中，
，
，
与关于直线对称，
，，故①②正确，
②，
，，
，，
，
，，
，
，
，，
，
，
，故③正确；
，
，
四边形是菱形，故④正确．
其中正确结论是①②③④，共4个．
故答案为：①②③④．
【点评】本题属于四边形的综合题，主要考查矩形的性质、等边三角形的判定和性质．全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明四边形是菱形，属于中考常考题型．
一十一．矩形的判定与性质（共2小题）
48．（2023春 西华县期末）如图，菱形的对角线，相交于点，，，点是边上的一动点，过点作于点，于点，连接，则的最小值为 　4.8　．
【分析】连接，证四边形是矩形，则，当时，的值最小，再由面积法求出的值，即可得出结论．
【解答】解：如图，连接，
四边形是菱形，，，
，，，，
，
，
于点，于点，
，
四边形是矩形，
，
当时，的值最小，
此时，，
，
，
，
的最小值为4.8，
故答案为：4.8．
【点评】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理、三角形面积等知识；熟练掌握菱形的性质，证明四边形为矩形是解决问题的关键．
49．（2023春 五莲县期末）如图，在中，，，，点在边上，，，垂足分别为点、，连接，则线段的最小值等于 　4.8　．
【分析】连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．
【解答】解：如图，连接．
，，，
，
，，，
四边形是矩形，
，
由垂线段最短可得时，线段的值最小，
，
，
解得，
．
故答案为：4.8．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出时，线段的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程．
一十二．正方形的性质（共11小题）
50．（2023春 邹城市期末）如图，正方形和正方形中，点在上，已知，，点是的中点，则的长是　　
A．5 B．3.5 C．4 D．
【分析】根据正方形的性质求出，，，延长交于，连接、，求出，，，根据正方形性质求出，根据直角三角形斜边上的中线性质求出，根据勾股定理求出即可．
【解答】解：正方形和正方形中，点在上，，，
，，，
延长交于，连接、，
则，，，
四边形和四边形是正方形，
，
，
为的中点，
，
在中，由勾股定理得：，
，
故选：．
【点评】本题考查了勾股定理，正方形的性质，直角三角形斜边上的中线的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线，并求出的长和得出，有一定的难度．
51．（2023春 新吴区期末）如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，过点作，交延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．在下列结论中：
①；②；③；④．其中正确的是　　
A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
【分析】①过作于点，过作于点，如图所示：根据正方形的性质得到，，推出四边形为正方形，由矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，故①正确；
②利用已知条件可以推出矩形为正方形；根据正方形的性质得到，推出，故②正确；
③根据②的结论可得，所以，故③正确；
④当时，点与点重合，得到不一定等于，故④错误．
【解答】解：①过作于点，过作于点，如图所示：
四边形是正方形，
，，
，
，
四边形为正方形，
四边形是矩形，
，，
，
又，
在和中，
，
，
，故①正确；
②矩形为正方形；
，，
四边形是正方形，
，，
，
在和中，
，
，故②正确；
③根据②得，，
，
，故③正确；
④当时，点与点重合，
不一定等于，故④错误，
综上所述：①②③正确．
故选：．
【点评】本题属于中考选择题的压轴题，主要考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
52．（2023春 渝北区期末）如图，在正方形中，是边上一点，是延长线上一点，连接交对角线于点，连接，若，，则　　
A． B． C． D．
【分析】连接，，根据正方形的性质证明，得，，证得是等腰直角三角形，过作，交于，然后证明，得，再根据等腰三角形的性质得，利用三角形的外角定义即可解决问题．
【解答】解：如图，连接，，
四边形为正方形，
，，
在和中，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
过作，交于，
，，
四边形为正方形，
，
是等腰直角三角形，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形外角定义，解决本题的关键是得到．
53．（2023春 太湖县期末）如图，正方形中，点，点为上一点，且，连接，过点作交于点，过点作，交轴于点，交于点，则点的坐标为　　
A． B． C．， D．，
【分析】由是正方形，，得，，又，知，，根据，可证明，即知，，设直线为，用待定系数法可得直线为，根据设直线为，可得直线为，令即可得，．
【解答】解：是正方形，，
，，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
设直线为，把，代入得：
，解得，
直线为，
由设直线为，把代入得：
，
解得，
直线为，
在中，令得，
解得，
，，
故选：．
方法二：
，，
，
，
，
，
，
点，，
，，
，
解答，
，
，，
故选：．
【点评】本题考查正方形与一次函数综合应用，解题的关键是求出的坐标，从而得出直线的解析式．
54．（2023春 平桥区期末）如图，边长为2的正方形的对角线相交于点，点是边上的动点，连接并延长交的延长线于点，过点作交于点，交延长线于点，连接．若点恰好是中点时，则的长为　　
A．2 B． C． D．
【分析】作于，由正方形的性质可以证明得到，因此是等腰直角三角形，由平行线分线段成比例定理求出的长，由等腰直角三角形的性质得到的长，由勾股定理求出的长，即可得到的长．
【解答】解：作于，
四边形是正方形，
和是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，，
，
，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，关键是证明，得到是等腰直角三角形．
55．（2023春 江阴市期末）如图，为正方形中边上的一点，且，，、分别为边、上的动点，且始终保持，则的最小值为　　
A．8 B． C． D．12
【分析】由勾股定理可求的长，由“”可证，可得，通过证明四边形是平行四边形，可得，，由，可得当点，点，点三点共线时，的最小值为，由勾股定理即可求解．
【解答】解：过点作，交于点，过点作，过点作，两直线交于点，连接，如图，
四边形是正方形，
，，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，，，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
当点，点，点三点共线时，的最小值为，
．
故选：．
【点评】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造平行四边形是解题的关键．
56．（2023春 清丰县校级期末）如图，四边形是边长为4的正方形，点在边上，且，作分别交、于点、，、分别是，的中点，则的长是　　
A．2 B．2.5 C．3 D．4
【分析】连接，．证明，则是直角三角形，利用是斜边上的中线，可得，因为，再利用勾股定理求出的长即可．
【解答】解：连接，．如图所示，
四边形是边长为4的正方形．
，且平分．
．
．
．
是等腰直角三角形．
为中点．
．
是直角三角形．
．
．
．
四边形是矩形．
点为的中点．
过点．即点为的中点．
在中，．
．
在中，．
．
故选：．
【点评】本题考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质等，添加辅助线构造直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质是解题的关键．
57．（2023春 和平区校级期末）如图，正方形的边长是6，对角线的交点为，点在边上且，，连接，则：
（1） 　　；
（2）　　．
【分析】（1）在上截取，根据正方形性质，得，，，再根据同角的余角相等，得，从而证明，进而得到；
（2）在中，根据勾股定理，得，再根据等面积法求出，再通过两次勾股定理的应用得出．
【解答】解：（1）在上截取，
在正方形，，，，，，、分别平分、，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：；
（2）在中，根据勾股定理，得，
，
在中，根据勾股定理，得，
，
在中，根据勾股定理，得，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正方形性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，掌握这三个性质定理的综合应用，其中勾股定理的应用是解题关键．
58．（2023春 黄岩区期末）如图，在边长为2的正方形中，点，分别在边，上，，垂足为点，以，为边作矩形．若图中阴影部分面积为3，则矩形的面积为 　3　．
【分析】过点作于，交于，先证明，可推出，进而可得，，再求得，由，可得，即，再由直角三角形面积可得，利用，即可求得答案．
【解答】解：如图，过点作于，交于，
正方形的边长为2，
，，，
，
，垂足为点，
，
，
，
，
即，
，
，
，
即，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：3．
【点评】本题是正方形与矩形综合题，考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积，矩形面积，相似三角形的判定和性质等，综合性较强，有一定难度．
59．（2023春 襄汾县期末）如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，过点作，交延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．在下列结论中：
①；
②；
③；
④．
其中正确的结论序号是 　①②③　．
【分析】过作于点，过作于点，如图所示：根据正方形的性质得到，，推出四边形为正方形，由矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，故①正确；推出矩形为正方形；根据正方形的性质得到，推出，故②正确；可得，所以，故③正确；当时，点与点重合，得到不一定等于，故④错误．
【解答】解：过作于点，过作于点，如图所示：
四边形是正方形，
，，
，
，
四边形为正方形，
四边形是矩形，
，，
，
又，
在和中，
，
，
，故①正确；
矩形为正方形；
，，
四边形是正方形，
，，
，
在和中，
，
，故②正确；
，，
，
，故③正确；
当时，点与点重合，
不一定等于，故④错误，
综上所述：①②③．
故答案为：①②③．
【点评】本题属于中考填空题的压轴题，考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
60．（2023春 潮南区期末）如图，正方形中，在的延长线上取点，，使，，连接分别交，于，，下列结论：
①；②；③；④图中只有8个等腰三角形．
其中正确的有 　②③　（填序号）．
【分析】根据正方形的性质和已知推出四边形是平行四边形，得到，，无法证出为的中点；得到，推出，求出，得到，求出即可；根据三角形的面积公式推出和四边形的面积相等；可得有9个等腰三角形．
【解答】解：正方形，，
，，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
要使，只要为的中点即可，
但，，
，
即和不全等，
不是中点，①错误；
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，②正确；
，，，，
，
要使和四边形的面积相等，只要和的面积相等即可，根据已知条件，
③；正确，
等腰三角形有，，，，，，，，；④错误；
故答案为：②③．
【点评】本题主要考查对三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，正方形的性质，平行四边形的性质和判定等知识．综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
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2024人教八下数学期末复习 04压轴选填必刷60题12个考点
一．动点问题的函数图象（共4小题）
1．（2023春 海安市期末）如图1，中，，两动点，同时从点出发，点在边上以的速度匀速运动，到达点时停止运动，点沿的路径匀速运动，到达点时停止运动．的面积与点的运动时间的关系图象如图2所示，已知，则下列说法正确的是　　
①点的运动速度是；
②的长度为；
③的值为7；
④当时，的值为或9．
A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④
2．（2023春 望奎县期末）如图，边长为2的等边和边长为1的等边△，它们的边，位于同一条直线上，开始时，点与点重合，固定不动，然后把△自左向右沿直线平移，移出外（点与点重合）停止，设△平移的距离为，两个三角形重合部分的面积为，则关于的函数图象是　　
A． B．
C． D．
3．（2023春 丰台区校级期末）如图，扇形的半径，圆心角，是上不同于、的动点，过点作于点，作于点，连接，点在线段上，且．设的长为，的面积为，选项中表示与的函数关系式的图象可能是　　
A． B．
C． D．
4．（2023春 岳阳县期末）如图①，在矩形中，动点从点出发，沿方向运动至点处停止，设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图②所示，则矩形的面积是　　．
二．一次函数图象上点的坐标特征（共8小题）
5．（2023春 岚山区期末）如图放置的△，△，△，，△，都是以，，，，为直角顶点的三角形，点，，，，都在直线上，，点在轴上，，，则点的坐标是　　
A．， B． C． D．
6．（2023春 青山区期末）如图，已知点，点，分别是直线和直线上的动点，连接，．则的最小值为　　
A．2 B． C． D．
7．（2023春 南部县校级期末）如图，已知直线分别交轴、轴于点、两点，，、分别为线段和线段上一动点，交轴于点，且．当的值最小时，则点的坐标为　　
A． B． C． D．
8．（2023春 潮南区期末）如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于，两点，过原点作垂直于直线交于点，过点作 垂直于轴交轴于点，过点作垂直于直线交于点，过点作 垂直于轴交轴于点，依此规律作下去，则点的坐标是　　
A． B． C． D．
9．（2023春 德城区校级期末）如图，平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、，以为一边向右作等边，以为一边向左作等边，连接交直线于点．则点的坐标为　　
A．， B．， C．， D．，
10．（2023春 永定区期末）如图，过点作轴垂线交直线于点，以的长为边在右侧作正方形；延长交直线于点，以的长为边在右侧作正方形；延长交直线于点，以的长为边在右侧作正方形则的坐标为　　
A．， B．，
C．， D．，
11．（2023春 宝清县校级期末）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，依次进行下去，则点的坐标为 　　．
12．（2023春 清河区校级期末）如图，正方形的对角线在直线上，点在第一象限．若正方形的面积是50，则点的坐标为　　．
三．待定系数法求一次函数解析式（共3小题）
13．（2023春 定州市期末）如图所示，直线分别与轴、轴交于点、，以线段为边，在第二象限内作等腰直角，，则过、两点直线的解析式为　　
A． B． C． D．
14．（2023春 黄石期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，为轴上一点，菱形的边长为2，，点是边上一动点（不与点，重合），点在边上，且，下列结论：
①；②的大小随点的运动而变化；
③直线的解析式为；④的最小值为．
其中正确的有 　　．（填写序号）
15．（2023春 德州期末）如图，四边形的顶点坐标分别为，，，，当过点的直线将四边形分成面积相等的两部分时，则直线的函数表达式为 　　．
四．一次函数的应用（共4小题）
16．（2023春 辛集市期末）容积为1500升的蓄水池装有一个进水管和一个出水管，单位时间内进、出水量都一定，单开进水管30分钟可把空池注满，单开出水管20分钟可把满池的水放尽．现水池内有水250升，先打开进水管10分钟后，再两管同时开放，直至把池中的水放完．这一过程中蓄水池中的蓄水量（升随时间（分变化的图象是　　
A． B．
C． D．
17．（2023春 抚顺县期末）甲、乙两位同学周末相约骑自行车去游玩，沿同一路线从地出发前往地，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，甲比乙早出发5分钟．甲骑行20分钟后，乙以原速的1.5倍继续骑行，经过一段时间，乙先到达地，甲一直保持原速前往地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程（单位：与甲骑行的时间（单位：之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是　　
A．甲的骑行速度是 B．，两地的总路程为
C．乙出发后追上甲 D．甲比乙晚到达地
18．（2023春 新市区期末）甲、乙两人在同一直线道路上同起点、同方向、同时出发，分别以不同的速度匀速跑步1000米，甲超出乙150米时，甲停下来等候乙，甲、乙会合后，两人分别以原来的速度继续跑向终点，先到终点的人在终点休息，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离（米与乙出发的时间（秒之间的关系如图所示，则甲到终点时，乙距离终点还有　　米．
19．（2023春 禹城市期末）甲、乙两人沿同一条直路走步，如果两人分别从这条直路上的，两处同时出发，都以不变的速度相向而行，图1是甲离开处后行走的路程（单位：与行走时间（单位：的函数图象，图2是甲、乙两人之间的距离（单位：与甲行走时间（单位：的函数图象，则　　．
五．一次函数综合题（共2小题）
20．（2023春 和平区校级期末）如图，直线分别与、轴交于点、，点在线段上，线段沿翻折，点落在边上的点处．以下结论：
①；
②直线的解析式为；
③点，；
④若线段上存在一点，使得以点、、、为顶点的四边形为菱形，则点的坐标是，．
正确的结论是　　
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
21．（2023春 禹城市期末）如图，已知点是第一象限内横坐标为的一个定点，轴于点，交直线于点．若点是线段上的一个动点，，，则点在线段上运动时，点不变，点随之运动．求当点从点运动到点时，点运动的路径长是　　．
六．勾股定理的证明（共2小题）
22．（2023春 东西湖区期末）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连结，相交于点、与相交于点．若，则的值是　　
A． B． C． D．
23．（2023春 丰台区期末）勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一．如图，在中，，以各边为边向外作正方形、正方形、正方形．连接、、，若，，则这个六边形的面积为　　
A．28 B．26 C．32 D．30
七．平行四边形的性质（共8小题）
24．（2023春 辛集市期末）如图，中，，，，动点从出发，以的速度沿向点运动，动点从点出发，以的速度沿着向运动，当点到达点时，两个点同时停止．则的长为时点的运动时间是　　
A． B．或 C． D．或
25．（2023春 渠县期末）如图，在平行四边形中，，于，于，，相交于，与的延长线相交于点，下面给出四个结论：①； ②； ③； ④，其中正确的结论是　　
A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③
26．（2023春 碑林区校级期末）如图，的对角线、交于点，平分交于点，且，，连接．下列结论：
①平分；
②
③；
④，
成立的个数有　　个
A．1 B．2 C．3 D．4
27．（2023春 开江县校级期末）如图，在平行四边形中，分别以、为边向外作等边和等边，延长交于点，点在点、之间，连接、、，则以下四个结论，正确的是　　
①；②；③；④是等边三角形．
A．③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④
28．（2023春 渠县期末）如图，在平行四边形中，对角线，在的平分线上，且，点为的中点，连接，若，．则的长为　　
A．12 B．20 C．24 D．30
29．（2023春 振兴区校级期末）如图，平行四边形中，，，在上，且，是的中点，过分别作于，于，则等于　　
A． B． C． D．
30．（2023春 渠县期末）如图，平行四边形中，为对角线交点，平分，平分，，，则　　．
31．（2023春 凤城市期末）如图，在中，，，，垂足分别为点，．．，则　　．
八．平行四边形的判定与性质（共3小题）
32．（2023春 西峡县期末）如图，中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，在如图所示的甲、乙、丙三种方案中，正确的方案有　　
A．甲、乙、丙 B．甲、乙 C．甲、丙 D．乙、丙
33．（2023春 市南区期末）如图，已知是边长为3的等边三角形，点是边上的一点，且，以为边作等边，过点作，交于点，连接，，则下列结论：
①；②四边形是平行四边形；③；④．其中正确的有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
34．（2023春 萧县期末）如图，直线与轴，轴分别交于点，，且点，，另有两点，，若点是直线上的动点，点为轴上的动点，要使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，且线段为平行四边形的一边，则满足条件的点坐标为 　　．
九．菱形的性质（共5小题）
35．（2023春 泸县校级期末）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，，若菱形的面积为，则的长为　　
A．4 B． C．8 D．
36．（2022秋 铁西区校级期末）如图，菱形的顶点、在轴上在的左侧），顶点、在轴上方，对角线的长是，点为的中点，点在菱形的边上运动．当点到所在直线的距离取得最大值时，点恰好落在的中点处，则菱形的边长等于　　
A． B． C． D．3
37．（2023春 温江区校级期末）如图，菱形中，，，点在对角线上，连接，，点为直线上一动点．连接，以、为邻边构造平行四边形，连接．则的最小值为 　　．
38．（2023春 浦东新区校级期末）对于任意三角形，如果存在一个菱形，使得这个菱形的一条边与三角形的一条边重合，且三角形的这条边所对的顶点在菱形的这条边的对边上，那么称这个菱形为该三角形的“最优覆盖菱形”．
问题：如图，在中，，，且的面积为．如果存在“最优覆盖菱形”为菱形，那么的取值范围 　　．
39．（2023春 潢川县期末）如图，菱形中，，，、分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为 　　．
一十．矩形的性质（共8小题）
40．（2023春 阜平县期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，．若不改变矩形的形状和大小，当矩形顶点在轴的正半轴上上下移动时，矩形的另一个顶点始终在轴的正半轴上随之左右移动，已知是边的中点，连接，．下列判断正确的是　　
结论Ⅰ：在移动过程中，的长度不变；
结论Ⅱ：当时，四边形是平行四边形．
A．结论Ⅰ、Ⅱ都对 B．结论Ⅰ、Ⅱ都不对
C．只有结论Ⅰ对 D．只有结论Ⅱ对
41．（2023春 德州期末）如图，在矩形中，交于点，点在上，连接交于点，且，若，则的值是　　
A． B． C． D．8
42．（2023春 梁园区期末）如图，在矩形中，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是　　
A．2 B．4 C． D．
43．（2023春 惠城区校级期末）如图，平行四边形的四个顶点分别在矩形的四条边上，，分别交，于点，，过点作，分别交，于点，，要求得平行四边形的面积，只需知道下列哪个四边形的面积即可　　
A．四边形 B．四边形 C．四边形 D．四边形
44．（2023春 邹城市期末）如图，矩形中，，．点为边上的一个动点，△与关于直线对称，当△为直角三角形时，的长为 　　．
45．（2023春 吉首市期末）如图，矩形中，，，是的中点，是线段上一动点，为的中点，连接，则线段的最小值为 　　．
46．（2023春 叙州区期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点分别作轴于点，轴于点，已知经过点的直线将矩形分成的两部分面积比为时，则的值为 　　．
47．（2023春 随县期末）如图，矩形中，为的中点，过点的直线分别与，交于点，，连接交于点，连接，．若，，则下列结论：
①；
②；
③；
④四边形是菱形．
其中正确的结论有 　　（填写所有正确结论的序号）．
一十一．矩形的判定与性质（共2小题）
48．（2023春 西华县期末）如图，菱形的对角线，相交于点，，，点是边上的一动点，过点作于点，于点，连接，则的最小值为 　　．
49．（2023春 五莲县期末）如图，在中，，，，点在边上，，，垂足分别为点、，连接，则线段的最小值等于 　　．
一十二．正方形的性质（共11小题）
50．（2023春 邹城市期末）如图，正方形和正方形中，点在上，已知，，点是的中点，则的长是　　
A．5 B．3.5 C．4 D．
51．（2023春 新吴区期末）如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，过点作，交延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．在下列结论中：
①；②；③；④．其中正确的是　　
A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
52．（2023春 渝北区期末）如图，在正方形中，是边上一点，是延长线上一点，连接交对角线于点，连接，若，，则　　
A． B． C． D．
53．（2023春 太湖县期末）如图，正方形中，点，点为上一点，且，连接，过点作交于点，过点作，交轴于点，交于点，则点的坐标为　　
A． B． C．， D．，
54．（2023春 平桥区期末）如图，边长为2的正方形的对角线相交于点，点是边上的动点，连接并延长交的延长线于点，过点作交于点，交延长线于点，连接．若点恰好是中点时，则的长为　　
A．2 B． C． D．
55．（2023春 江阴市期末）如图，为正方形中边上的一点，且，，、分别为边、上的动点，且始终保持，则的最小值为　　
A．8 B． C． D．12
56．（2023春 清丰县校级期末）如图，四边形是边长为4的正方形，点在边上，且，作分别交、于点、，、分别是，的中点，则的长是　　
A．2 B．2.5 C．3 D．4
57．（2023春 和平区校级期末）如图，正方形的边长是6，对角线的交点为，点在边上且，，连接，则：
（1） 　　；
（2）　　．
58．（2023春 黄岩区期末）如图，在边长为2的正方形中，点，分别在边，上，，垂足为点，以，为边作矩形．若图中阴影部分面积为3，则矩形的面积为 　　．
59．（2023春 襄汾县期末）如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，过点作，交延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．在下列结论中：
①；
②；
③；
④．
其中正确的结论序号是 　　．
60．（2023春 潮南区期末）如图，正方形中，在的延长线上取点，，使，，连接分别交，于，，下列结论：
①；②；③；④图中只有8个等腰三角形．
其中正确的有 　　（填序号）．
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