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课时提升作业(十)
万有引力理论的成就
一、选择题(本题共5小题,每小题7分,共35分。多选题已在题号后标出)
1.(2014·舟山高一检测)天文学家发现某恒星有一颗行星在圆形轨道上绕其
运动,并测出了行星的轨道半径和运动周期,若知道比例系数G,由此可推算
出(　　)
A.行星的质量 B.行星的半径
C.恒星的质量 D.恒星的半径
【解析】选C。恒星对行星的引力为行星绕恒星运动提供向心力,即G=mr,故M=,恒星的质量M可求出,选项C正确;其他的几个物理量无法根据行星的轨道半径和运动周期求出,A、B、D错误。
2.(多选)2013年6月11日,我国航 ( http: / / www.21cnjy.com )天员王亚平、聂海胜和张晓光乘坐“神舟十号”载人飞船顺利进入太空。与“神舟九号”相比,“神舟十号”的轨道更高,若宇宙飞船绕地球的运动可视为匀速圆周运动,则“神舟十号”比“神舟九号”的(　　)
A.线速度小 B.向心加速度大
C.运行周期大 D.角速度大
【解析】选A、C。轨道越高,宇宙飞船的线速度、角速度和向心加速度都越小,只有运行周期越大。故A、C正确,B、D错误。
3.(2014·济宁高一检测)在同一轨道平 ( http: / / www.21cnjy.com )面上绕地球做匀速圆周运动的卫星A、B、C,某时刻恰好在同一过地心的直线上,如图所示,当卫星B经过一个周期时(　　)
A.A超前于B,C落后于B
B.A超前于B,C超前于B
C.A、C都落后于B
D.各卫星角速度相等,因而三颗卫星仍在同一直线上
【解析】选A。由G=mr可得T=2π,故轨道半径越大,周期越大。当B经过一个周期时,A已经完成了一个多周期,而C还没有完成一个周期,所以选项A正确,B、C、D错误。
4.(2014·新课标全国卷Ⅱ)假设地球可 ( http: / / www.21cnjy.com )视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0;在赤道的大小为g;地球自转的周期为T,引力常量为G。地球的密度为(　　)
A. B.
C. D.
【解析】选B。由万有引力定律可知:G=mg0,在地球的赤道上:G-mg=m()2R,地球的质量M=πR3ρ,联立三式可得:ρ=,选项B正确。
【变式训练】一物体静置在平 ( http: / / www.21cnjy.com )均密度为ρ的球形天体表面的赤道上。已知万有引力常量G,若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零,则天体自转周期为(　　)
A.(　 B.(
C.(　 D.(
【解析】选D。由万有引力提供向心力得:G=mR,而M=ρ,解得T=(,故选项D正确。
5.(多选)已知地球的质量为M,月球的 ( http: / / www.21cnjy.com )质量为m,月球绕地球运行的轨道半径为r,周期为T,万有引力常量为G,则月球绕地球运转轨道处的重力加速度大小等
于(　　)
A.　　　　 B.　　　　
C. D.r
【解析】选B、D。对月球,由牛顿第二定律得G=man=mr,解得an=G=r,故选项B、D正确。
二、非选择题(15分)
6.(2014·昆明高一检测)已知太阳光从太阳射到地球需时间t,地球公转轨道可近似看成圆轨道,公转周期为T,地球半径为R,地球表面的重力加速度为g,试计算太阳质量M与地球质量m之比。(真空中的光速为c)
【解析】因为太阳对地球的万有引力提供地球绕太阳做匀速圆周运动的向心力,有
G=mω2r=mr,
解得M==
设地球半径为R,则地面上质量为m'的物体的重力近似等于物体与地球的万有引力,故有:
F引'=m'g,即: = m'g　 m=
所以, = =
答案:
一、选择题(本题共4小题,每小题7分,共28分。多选题已在题号后标出)
1.(多选)利用下列哪种数据,可以算出地球的质量(引力常量G已知)(　　)
A.已知地面的重力加速度g
B.已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径r和周期T
C.已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径r和线速度v
D.已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期T
【解析】选B、C。在地面附近重力近似等于万有引力,即G=mg,故M=,若想计算地球的质量,需要知道g、R和G,故选项A错误;卫星绕地球运动时万有引力提供向心力,即G=m=mv=mr,故M===,选项B、C正确,选项D错误。
【变式训练】(多选)在万有引力常量G已知的情况下,已知下列哪些数据,可以计算出地球质量(　　)
A.地球绕太阳运动的周期及地球离太阳的距离
B.人造地球卫星在地面附近绕行的速度和运行周期
C.月球绕地球运行的周期及地球半径
D.若不考虑地球自转,已知地球半径和地球表面的重力加速度
【解析】选B、D。已知地球绕太阳运动的情况只能求太阳的质量,A错误。由G=m和T=得,M=,B正确。已知月球绕地球的周期及轨道半径才能求地球的质量,C错误。由mg=G得M=,D正确。
2.(2014·安庆高一检测)2013年6月13日13时18分,“神舟十号”载人飞船成功与“天宫一号”目标飞行器交会对接。如图所示,“天宫一号”对接前从圆轨道Ⅰ变至圆轨道Ⅱ,已知地球半径为R,轨道Ⅰ距地面高度为h1,轨道Ⅱ距地面高度为h2,则关于“天宫一号”的判断正确的是(　　)
A.调整前后线速度大小的比值为
B.调整前后周期的比值为
C.调整前后向心加速度大小的比值为
D.需加速才能从轨道Ⅰ变至轨道Ⅱ
【解析】选B。“天宫一号”绕地球转动时万有引力提供向心力,即G=m=man=mr,解得v=,an=G,T=2π,故调整前后线速度大小的比值为,A错;调整前后周期的比值为,B对;调整前后向心加速度大小的比值为,C错;需减速后做向心运动才能从轨道Ⅰ变至轨道Ⅱ,D错。
3.(2014·温州高一检测)宇航 ( http: / / www.21cnjy.com )员在月球上做自由落体实验,将某物体由距月球表面高h处释放,经时间t后落到月球表面(设月球半径为R)。据上述信息推断,飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动所必须具有的速率为(　　)
A.　　 B.　　 C.　　 D.
【解析】选D。物体在月球上做自由落体运动时,h=g月t2,所以g月=;飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动时,mg月=m,所以v===,选项D正确。
4.天文学家新发现了太阳系外的一颗 ( http: / / www.21cnjy.com )行星,这颗行星的体积是地球的4.7倍,质量是地球的25倍。已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4h,引力常量G=6.67×10-11N·m2/kg2,由此估算该行星的平均密度约为(　　)
A.1.8×103kg/m3 B.5.6×103kg/m3
C.1.1×104kg/m3 D.2.9×104kg/m3
【解析】选D。近地卫星绕地球做圆周运动时,所受万有引力充当其做圆周运动的向心力,即G=mR;密度、质量和体积关系为M=ρπR3,由两式解得:
ρ=≈5.60×103kg/m3。由已知条件可知该行星密度是地球密度的倍,即
ρ'=5.60×103×kg/m3≈2.9×104kg/m3,选项D正确。
【总结提升】天体密度的估算
(1)卫星绕天体做半径为r的圆周运动,若天体的半径为R,则天体的密度ρ=,将M=代入得:ρ=。当卫星环绕天体表面运动时,其轨道半径r等于天体半径R,则ρ=。
(2)已知天体表面的重力加速度为g,则ρ===。
二、非选择题(本题共2小题,共22分)
5.(10分)(2014·襄阳高一检测)经过近7年时间,2亿千米在太空中穿行后,美航天局和欧航天局合作研究出的“卡西尼”号土星探测器于美国东部时间6月30日抵达预定轨道,开始“拜访”土星及其卫星家族,这是人类首次针对土星及其31颗已知卫星最详尽的探测。若“卡西尼”号土星探测器进入环绕土星上空的圆轨道飞行,已知土星半径为R,探测器离土星表面高度为h,环绕n周的飞行时间为t。求土星的质量M和平均密度ρ(球体体积公式V=)。
【解析】土星对探测器的引力提供探测器运行的向心力:=m(R+h)
探测器运行的周期:T=
联立以上二式解得土星的质量为M=
由M=Vρ和V=联立解得土星的平均密度ρ为
ρ=
答案:　
6.(12分)我国执行首次载人航天飞行的“神 ( http: / / www.21cnjy.com )舟五号”飞船于2003年10月15日在中国酒泉卫星发射中心发射升空。飞船由“长征-2F”运载火箭先送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道,在B点实施变轨后,再进入预定圆轨道,如图所示。已知飞船在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t,近地点A距地面高度为h1,地球表面附近的重力加速度为g,地球半径为R,求:
(1)飞船在近地点A的加速度aA为多大
(2)远地点B距地面的高度h2为多少
【解题指南】解答本题时可按以下步骤进行:
(1)写出在地面附近重力和万有引力的关系;
(2)写出飞船在A点受到的地球引力的表达式;
(3)由牛顿第二定律求出aA;
(4)求出飞船的运行周期;
(5)由万有引力提供向心力求出h2。
【解析】(1)设地球质量为M,飞船的质量为m,地球表面附近有G=mg,则GM=gR2
在A点,受到的地球引力为F=G
由牛顿第二定律得aA===
(2)飞船飞行的周期T=
由牛顿运动定律得G=m()2(R+h2)
解得h2=-R
答案:(1)　 (2)-R(共57张PPT)
4
万有引力理论的成就
学习
目标 1.了解万有引力定律在天文学上的重要应用。
2.会用万有引力定律计算天体质量，理解“称量地球质量”“计算太阳质量”的基本思路。
3.掌握运用万有引力定律和圆周运动知识分析天体运动问题的思路。
一、计算天体的质量
1.地球质量的计算:
(1)依据：地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体的重力
等于地球对物体的万有引力，即mg= 。
(2)结论：M= ,只要知道g、R的值，就可计算出地球的质
量。
2.太阳质量的计算:
(1)依据：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太
阳间的万有引力充当向心力，即 = 。
(2)结论：M= ,只要知道行星绕太阳运动的周期T和半
径r就可以计算出太阳的质量。
3.其他行星的质量计算:同理，若已知卫星绕行星运动的周
期T和卫星与行星之间的距离r,可计算行星的质量M，公式是
M= 。
【自我思悟】
1.重力与万有引力之间存在什么样的关系？
提示：重力是万有引力的分力，若不考虑地球自转的影响，
可以认为重力等于万有引力。
2.在计算中心天体的质量时，我们一般使用公式
而不是 为什么？
提示：通过天文观测我们容易获得行星或卫星的周期T，
但是不容易获得它们的线速度。
二、发现未知天体
1.海王星的发现:英国剑桥大学的学生_______和法国年轻的天
文学家_______根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计
算出天王星外“新”行星的轨道。1846年9月23日，德国的
_____在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。
2.其他天体的发现:近100年来，人们在海王星的轨道之外又发
现了_______、阋神星等几个较大的天体。
亚当斯
勒维耶
伽勒
冥王星
【自我思悟】
1.哪颗行星被称为“笔尖上发现的行星”？
提示:“笔尖上发现的行星”是海王星。
2.海王星、冥王星的发现在物理学史上具有什么样的价值？
提示:海王星、冥王星的发现最终确立了万有引力定律的地位，也成为科学史上的美谈。
一、天体质量和密度的计算 规律方法
1.天体质量的计算:
(1)“自力更生法”:若已知天体(如地球)的半径R和天体(如地
球)表面的重力加速度g，根据在地面附近，物体的重力近似等
于地球与物体间的引力，得mg= 解得天体(如地球)质
量为M= ，g、R是天体(如地球)自身的参量，俗称“自力
更生法”。
(2)“借助外援法”:借助绕中心天体做圆周运动的行星或卫星计算中心天体的质量，常见的情况如下：
已知绕行天体的r和v可以求M。
已知绕行天体的r和ω可以求M。
已知绕行天体的r和T可以求M。
2.天体密度的计算:若天体的半径为R，则天体的密度
将 代入上式可得
特殊情况,当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r可认为等
于天体半径R，则
【微思考】
(1)计算地球的质量时可以有两种不同的思路，这两种思路是什么？
提示:思路1：忽略地球自转的影响，地面附近的物体所受的重力等于地球对物体的万有引力。
思路2：卫星绕地球转动时万有引力提供向心力。
(2)若已知月球绕地球转动的周期T和半径r，由此可以求出地
球的质量吗？能否求出月球的质量呢？
提示:能求出地球的质量。利用 求出的质量
M= 为中心天体的质量。做圆周运动的月球的质量m在等
式中已消掉，所以根据月球的周期T、公转半径r无法计算月
球的质量。
【题组通关】
【示范题】已知万有引力常量G，地球半径R，月球和地球之间
的距离r，同步卫星距地面的高度h，月球绕地球的运转周期
T1，地球的自转周期T2，地球表面的重力加速度g。某同学根
据以上条件，提出一种估算地球质量M的方法：同步卫星绕地
球做圆周运动，由
(1)请判断上面的结果是否正确，并说明理由。如不正确，请给出正确的解法和结果。
(2)请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果。
【解题探究】(1)同步卫星的周期与地球的自转周期之间存在什么样的关系
提示:同步卫星的周期与地球的自转周期相同。
(2)地球与月球、同步卫星之间的万有引力分别怎样表示
提示:
【规范解答】(1)上面结果是错误的，地球的半径R在计算过程中不能忽略。正确的解法和结果是
由万有引力提供向心力得：
(2)方法一：对月球绕地球做圆周运动，由
方法二：在地面附近重力近似等于万有引力，由
答案:见规范解答
【通关1+1】
1.(拓展延伸)利用【示范题】中的已知量计算地球的平均密度。(写出三种表示形式)
【解析】地球的密度
答案：
2.(多选)由下列哪一组物理量可以计算地球的质量( )
A.月球的轨道半径和月球的公转周期
B.月球的半径和月球的自转周期
C.卫星的质量和卫星的周期
D.卫星离地面的高度、卫星的周期和地球的半径
【解析】选A、D。只要知道天体的一颗卫星或行星的周期和轨
道半径，利用公式 就可以计算出中心天体的
质量，故选项A、D正确。
【变式训练】1.在某行星上，宇航员用弹簧测力计称得质量为m的砝码重力为F，乘宇宙飞船在靠近该星球表面空间飞行时，测得其环绕周期为T，万有引力常量为G,根据这些数据求该星球的质量。
【解析】设行星的质量为M，半径为R，表面的重力加速度为g,由万有引力定律得:
F=mg= ①
飞船沿星球表面做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得：
②
联立①②式得：
答案：
2.(2014·扬州高一检测)一艘宇宙飞船贴近一恒星表面飞行，测得它做匀速圆周运动的周期为T，设万有引力常数为G，则此恒星的平均密度为( )
【解析】选B。宇宙飞船贴着恒星表面飞行，则
所以， 恒星的密度
故选项B正确，选项A、C、D错误。
【素养升华】
求解天体质量的注意事项
(1)计算天体质量的方法： 不仅适用于
地球，也适用于其他任何星体。
(2)注意R、r的区分。R指中心天体的半径，r指行星或卫星的轨道半径。若绕近中心天体轨道运行，则有R=r。
二、天体运动的分析与计算 规律方法
1.解决天体运动问题的基本思路:一般行星或卫星的运动可看
作匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有引
力提供，所以研究天体时可建立基本关系式： =ma，式
中a是向心加速度。
2.常用的关系式:
(1) 万有引力全部用来提供行
星或卫星做圆周运动的向心力。
(2)mg= 即gR2=GM，物体在天体表面时受到的引力等于
物体的重力。该公式通常被称为黄金代换式。
3.四个重要结论:设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动。
(1)由 r越大，天体的v越小。
(2)由 r越大，天体的ω越小。
(3)由 r越大，天体的T越大。
(4)由 r越大，天体的an越小。
以上结论可总结为“一定四定,越远越慢”。
【微思考】
(1)行星绕恒星做匀速圆周运动时线速度的大小是由什么因素
决定的？
提示：由 可见行星线速度的大小是由
恒星的质量和行星的轨道半径共同决定的。
(2)行星、卫星绕中心天体运动时的线速度、角速度、周期和
向心加速度与自身质量有关吗？
提示：无关。因为在等式 各
项中都含有m，可以消掉。
【题组通关】
【示范题】(多选)(2014·南京高一检测)据观测，某行星外围有一模糊不清的环，为了判断该环是行星的连续物还是卫星群，又测出了环中各层的线速度的大小和该层至行星中心的距离R，以下判断中正确的是( )
A.若v与R只成正比，则环是连续物
B.若v与R成反比，则环是连续物
C.若v2与R只成反比，则环是卫星群
D.若v2与R成正比，则环是卫星群
【解题探究】(1)若环是行星的连续物，则其角速度与行星自转的角速度之间有什么关系
提示:若环是行星的连续物，则其角速度与行星自转的角速度相同。
(2)若环是行星的卫星群，则v与R之间存在什么样的关系
提示:若环是行星的卫星群，则由
【规范解答】选A、C。若环是行星的连续物，则其角速度与行
星自转的角速度相同，故v与R成正比，A对，B错。若环是行星
的卫星群，则由 即v2与R成反比，
C对，D错。
【通关1+1】
1.(多选)假如一颗做匀速圆周运动的人造地球卫星的轨道半
径增大到原来的2倍，仍做匀速圆周运动，则( )
A.根据公式v=ωr，可知卫星运动的线速度将增大到原来的2倍
B.根据公式F= 可知卫星所需的向心力将减少到原来的
C.根据公式F= 可知地球提供的向心力将减少到原来的
D.根据上述B和C给出的公式，可知卫星运动的线速度将减少到
原来的
【解析】选C、D。人造卫星绕地球运动时万有引力提供向心
力，即
当轨道半径r增加时，v和ω都减小，故A、B错误；由F=
可知，r增大到原来的2倍时，向心力将减少到原来的 ，选
项C正确；由v= 可知，当r增大到原来的2倍时，线速度
将减小到原来的 ，选项D正确。
2.火星探测项目是我国继神舟载人航天工程、嫦娥探月工程之后又一个重大太空探索项目。假设火星探测器在火星表面附近圆形轨道运行周期为T1，神舟飞船在地球表面附近圆形轨道运行周期为T2，火星质量与地球质量之比为p，火星半径与地球半径之比为q，则T1、T2之比为( )
【解析】选D。设中心天体的质量为M，半径为R，当航天器在
星球表面飞行时，由 因此有
故选D。
【变式训练】1.据报道，天文学家近日发现了一颗距地球40光
年的“超级地球”，名为“55 Cancri e”。该行星绕母星(中
心天体)运行的周期约为地球绕太阳运行周期的 ，母星的
体积约为太阳的60倍。假设母星与太阳密度相同，“55
Cancri e”与地球均做匀速圆周运动，则“55 Cancri e”与
地球的( )
A.轨道半径之比约为
B.轨道半径之比约为
C.向心加速度之比约为
D.向心加速度之比约为
【解析】选B。由公式 可得通式
从而判断A错、
B对；再由 则
所以C、D皆错。
2.(2013·天津高考)“嫦娥一号”和“嫦娥二号”卫星相继完
成了对月球的环月飞行，标志着我国探月工程的第一阶段已经
完成。设“嫦娥二号”卫星环绕月球的运动为匀速圆周运动，
它距月球表面的高度为h，已知月球的质量为M、半径为R，引
力常量为G，则卫星绕月球运动的向心加速度a= ，线速
度v= 。
【解析】卫星做匀速圆周运动，设卫星质量为m，
由万有引力提供向心力知
答案：
【素养升华】
利用万有引力定律解决天体运动问题的技巧
(1)挖掘隐含条件：如地球公转一周时间是365天，自转一周是24小时，其表面的重力加速度约为9.8 m/s2等。
(2)巧用一个代换：由mg= 可以得到：GM=gR2。由于G和M(地球质量)这两个参数往往不易记住，而g和R容易记住。所以粗略计算时，一般都采用上述代换，这就避开了万有引力常量G值和地球的质量M值，非常方便。
(3)紧扣两个关键：一是紧扣物理模型，即将天体的运动看成是匀速圆周运动；二是紧扣物体做圆周运动的动力学特征，即天体的向心力由万有引力提供。
(4)牢记一个结论：在线速度、角速度、周期和向心加速度四个物理量中只有周期随着轨道半径的增加而增加，其余的三个都随轨道半径的增加而减小。
【资源平台】备选角度：“双星”问题
【示范题】(多选)冥王星与其附近的星体卡戎可视为双星系统，质量之比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动。由此可知卡戎绕O点运动的( )
A.角速度大小约为冥王星的7倍
B.向心力大小约为冥王星的
C.轨道半径约为冥王星的7倍
D.周期大小与冥王星周期相同
【标准解答】选C、D。由题图可知，冥王星与卡戎绕O点转动
时每转一圈所用的时间相同，故D对，A错；冥王星与卡戎绕O
点转动时万有引力提供向心力，即 =M冥ω2r冥=
m卡ω2r卡，故 B错，C对。
卫星的变轨问题
【案例剖析】(多选)(2014·扬州高一检测)
如图所示是某次同步卫星发射过程的示意图,
先将卫星送入一个近地圆轨道,然后在P点点
火加速,进入椭圆转移轨道,其中P是近地点,
Q是远地点,在Q点再次点火加速进入同步轨道。设卫星在近地圆轨道的运行速率为v1,加速度大小为a1;在P点短时间点火加速之后,速率为v2,加速度大小为a2;沿转移轨道刚到达Q点速率为v3,加速度大小为a3;在Q点点火加速之后进入圆轨道,速率为v4,加速度大小为a4,则(　　)
A.v1=v2　a1B.v1C.v3D.v3【精讲精析】选B、C。卫星在近地圆轨道上运行时所受到的万
有引力大小保持不变,由 =ma可知a1=a2;在P点短时间点
火加速之后卫星的速率增大,故v1点点火加速,故v3保持不变,由 =ma可知a3=a4,所以C对,D错。
【名师指津】判断卫星变轨时速度、加速度变化情况的思路
1.判断卫星在不同圆轨道的运行速度大小时，可根据“越远越慢”的规律判断。
2.判断卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度大小时，可根据开普勒行星运动第二定律判断，即离中心天体越远，速度越小。
3.判断卫星由圆轨道进入椭圆轨道或由椭圆轨道进入圆轨道时的速度大小如何变化时，可根据离心运动或近心运动的条件进行分析。
4.判断卫星的加速度大小时，可根据 判断。
【自我小测】
1.如图所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运行的3颗人造卫星，下列说法正确的是( )
A.b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度
B.b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向
心加速度
C.c加速可追上同一轨道上的b，b减速可等候同一轨道上的c
D.a卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将变大
【解析】选D。因为b、c在同一轨道上运行,故其线速度大小、
加速度大小均相等。又b、c轨道半径大于a轨道半径,由v=
知vb=vc错;当c加速时,c受的万有引力F< ,故它将偏离原轨道,做
离心运动;当b减速时,b受到的万有引力F> ,它将偏离原轨
道,而离圆心越来越近。所以无论如何c也追不上b,b也等不到c,
故C选项错;对a卫星,当它的轨道半径缓慢减小时,在转动一段
较短时间内,可近似认为它的轨道半径未变,视作稳定运行,由
v= 知,r减小时v逐渐增大,故选项D正确。
2.(2014·宜春高一检测)2013年12月2日1时30分，“嫦娥三号”探测器由“长征三号乙”运载火箭从西昌卫星发射中心发射，首次实现月球软着陆和月面巡视勘察，“嫦娥三号”的飞行轨道示意图如图所示。假设“嫦娥三号”在环月段圆轨道和椭圆轨道上运动时，只受到月球的万有引力，则以下说法正确的是( )
A.若已知“嫦娥三号”环月段圆轨道的半径、运动周期和引力常量，则可以计算出月球的密度
B.“嫦娥三号”由环月段圆轨道变轨进入环月段椭圆轨道时，应让发动机点火使其加速
C.“嫦娥三号”在从远月点P向近月点Q运动的过程中，加速度变大
D.“嫦娥三号”在环月段椭圆轨道上P点的速度大于Q点的速度
【解析】选C。根据“嫦娥三号”环月段圆轨道的半径、运动周期和引力常量可以求出月球的质量，但是由于不知道月球的半径，故无法求出月球的密度，A错；“嫦娥三号”由环月段圆轨道变轨进入环月段椭圆轨道时，轨道半径减小，故应让发动机点火使其减速，B错；“嫦娥三号”在从远月点P向近月点Q运动的过程中所受万有引力逐渐增大，故加速度变大，C对；“嫦娥三号”在环月段椭圆轨道上运动时离月球越近速度越大，故P点的速度小于Q点的速度，D错。(共30张PPT)
4
万有引力理论的成就
回顾1 如图所示，r虽大于两球的半径，但两球的半径不能忽略，而球的质量分布均匀，大小分别为m1与m2，则两球间万有引力的大小为（ ）
r1
r
r2
A、
B、
C、
D、
D
回顾2：
关于万有引力定律及其公式，下列说法不正确的是（ ）
A、万有引力定律对质量大的物体适用，对质量小的物体不适用
B、天体间的万有引力与它们的质量成正比，与其间的距离成反比
C、万有引力与质量、距离和万有引力常量都成正比
D、当r趋于零时，万有引力趋于无穷大
E、物体间的万有引力总是等大反向，是一对平衡力
F、不同星球上，引力常量的数值G是不同的
G、公式中的G为引力常量，是一个没有单位的常数，其数值是牛顿测定的
H、地球周围物体所受的重力其实就是地球对物体的万有引力
I、物体所受重力的方向与所受万有引力的方向一定不相同
θ
Fn
R
M
G
m
w
r
F引
讨论:地球表面物体的重力与地球对物体的万有引力的关系。
重力是万有引力的一个分力
实际上随地球自转的物体向心力远小于重力，在忽略自转的影响下万有引力大小近似等于重力大小。
如何求天体表面某一高度处重力加速度？
可求天体表面重力加速度,看课本43页第一题
我们还可以从中总结出一条规律：（黄金代换式）
若不考虑地球自转的影响，地面上物体的重力等于地球对它的引力。
　M＝
其中g、R在卡文迪许之前已经知道，而卡文迪许测出G后，就意味着我们也测出了地球的质量。
　　思考１：卡文迪许为什么把他自己的实验说成是“称量地球的重量”？
一、“科学真是迷人”
【自主检测1】
１、已知G=6.67×10－１１Ｎ·m2 /kg2，g=9.8m/s2，地球半径为R=6370km，求地球的质量M。
6.0×1024 kg
二、天体质量的计算
行星（例如地球）作圆周运动的向心力是由什么力来提供的？
应用万有引力可算出地球的质量，能否算出其它天体的质量呢 （例如太阳）
地球作圆周运动的向心力是由太阳对地球的万有引力来提供的
太阳
建立物理模型
行星（例如地球）绕太阳做匀速圆周运动
地球作圆周运动的向心力是由太阳对地球的万有引力来提供的
r
M
m
F
该表达式与地球（环绕天体）质量m有没有关系？
总结推广
求解思路：
环绕天体的向心力由中心天体对其万有引力独家提供
具体方法：
特点：
须知道待求天体（M）的某一环绕天体的运行规律，且与环绕天体的质量（m）无关.
中心天体M
环绕天体m
二、计算天体的质量
思维扩展
计算地球的质量，除了一开始的方法外，还可以怎么求？
借助于月球，那么需要知道哪些量？
月球绕地球运行的周期T=27.3天，
月球与地球的平均距离r=3.84×108m
M=5.98×1024kg
拓展：回答下面3个小问题。
①如果以水星绕太阳做匀速圆周运动为研究对
象，需要知道哪些量才能求得太阳的质量？
水星的公转周期T及公转半径 r
②水星和地球的公转周期T和公转半径是不同的，用两者的数据求解出来的太阳的质量一样吗？
③你现在能弄明白开普勒第三定律
中的k与什么有关吗？
　　根据前面的探究，请同学们归纳总结计算天体的质量的基本思路。
1、表面法（g、R法）（忽略天体自转）
2、绕行法（找到一个绕其运动的天体或卫星）
【自主检测2】
要计算地球的质量,除已知的一些常数外,还必须知道某些数据,现给出下列各组数据,可以计算出地球质量的有( )
A.已知地球的半径R
B.已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r和线速度v
C.已知卫星绕地球做匀速圆周运动的周期T和线速度v
D.地球的公转周期T和公转半径r
拓展：天体密度的计算
（1）用表面法求质量然后求天体自身的密度
（2）用绕行法求天体的质量然后求天体的密度
M＝
当r=R时
【自主检测３】
若已知太阳的一个行星绕太阳运转的轨道半径为r,周期为T,引力常数为G,则可求得 ( )
A.该行星的质量
B.太阳的质量
C.该行星的平均密度
D.太阳的平均密度
请阅读课本“发现未知天体”，回到如下问题：
问题1：笔尖下发现的行星是哪一颗行星？
问题2：人们用类似的方法又发现了哪颗星？
三、发现未知天体
当时有两个青年——英国的亚当
斯和法国的勒威耶在互不知晓的情况
下分别进行了整整两年的工作。1845
年亚当斯先算出结果，但格林尼治天
文台却把他的论文束之高阁。1846年
9月18日，勒威耶把结果寄到了柏林，
却受到了重视。柏林天文台的伽勒于
1846年9月23日晚就进行了搜索，并
且在离勒威耶预报位置不远的地方发
现了这颗新行星。 海王星的发现使哥
白尼学说和牛顿力学得到了最好的证明。
科学史上的一段佳话
发现未知天体
英国的亚当斯和法国的勒维耶
1846年9月23日晚,由德国的伽勒在柏林天文台用望远镜在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星
柏林
天文台
理论轨道
实际轨道
海王星发现之后，人们发现它的轨道也与理
论计算的不一致．于是几位学者用亚当斯和勒维列
的方法预言另一颗新星的存在．
在预言提出之后，1930年3月14日，汤博发现
了这颗新星——冥王星．
发现未知天体
三、发现未知天体
海王星的发现和1705年英国天文学家哈雷根据万有引力定律正确预言了哈雷彗星的回归最终确立了万有引力定律的地位，也成为科学史上的美谈。
诺贝尔物理学奖获得者，物理学家冯·劳厄说：
“没有任何东西向牛顿引力理论对行星轨道的计算那样，如此有力地树起人们对年轻的物理学的尊敬。从此以后，这门自然科学成了巨大的精神王国…… ”
四、小结
5.了解了万有引力定律在天文学中具有的重要意义.
1、万有引力和重力的关系：
重力是万有引力的一个分力，忽略自转时，两者近似相等
2、天体表面或任意高度处重力加速度的求算
3、黄金代换式的认识
4、求天体质量的两种方法（表面法和绕行法）
1.一名宇航员来到某一星球上，如果该星球的质量为地球的
一半，它的直径也为地球的一半，那么这名宇航员在该星球
上的重力是他在地球上的重力的( )
A.4倍 B.0.5倍 C.0.25倍 D.2倍
D
M/2
(R/2)2
2.近地人造卫星1和2绕地球做匀速圆周运动的周期分别为T1和T2,设在卫星1、卫星2各自所在的高度上的重力加速度大小分别为g1、g2,则( )
A. B. C. D.
3.可以发射一颗人造卫星，使其圆轨道满足的条件是( )
A.与地球表面上某一纬度线(非赤道)是共面的同心圆
B.与地球表面上某一经度线是共面的同心圆
C.与地球表面上的赤道线是共面同心圆,且卫星相对地面是运动的
D.与地球表面上的赤道线是共面同心圆,且卫星相对地面是静止的
CD
4.宇宙中两颗相距很近的恒星常常组成一个双星系统.它们以相互间的万有引力彼此提供向心力，从而使它们绕着某一共同的圆心做匀速圆周运动，若已知它们的运转周期为T，两星到某一共同圆心的距离分别为R1和R2，那么，这双星系统中两颗恒星的质量关系是( )
A.这两颗恒星的质量必定相等
B.这两颗恒星的质量之和为
C.这两颗恒星的质量之比为m1∶m2=R2∶R1
D.必有一颗恒星的质量为
BCD
【解析】选B、C、D.对于两星有共同的周期T，由牛顿第二定
律得 ，所以两星的质量之比
m1∶m2=R2∶R1，C正确；由上式可得 ，
，D正确，A错误； ，
B正确.故正确答案为B、C、D.课时提升作业(十)
万有引力理论的成就
(15分钟·50分)
一、选择题(本题共5小题，每小题8分，共40分。多选题已在题号后标出)
1.(2015·北京高考)假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动，已知地球到太阳的距离小于火星到太阳的距离，那么( )
A.地球公转周期大于火星的公转周期
B.地球公转的线速度小于火星公转的线速度
C.地球公转的加速度小于火星公转的加速度
D.地球公转的角速度大于火星公转的角速度
【解析】选D。万有引力充当地球和火星绕太阳做圆周运动的半径，G=mr，G=m，G=ma，G=mω2r，可得T=2π，a=，v=，ω=，地球到太阳的距离小于火星到太阳的距离，所以地球公转周期小于火星公转周期，地球公转的线速度、加速度、角速度均大于火星公转的线速度、加速度、角速度，选项A、B、C错误，选项D正确。
2.(2015·连云港高一检测)人造卫星在受到地球外层空间大气阻力的作用后，卫星绕地球运行的半径、角速度、速率将( )
A.半径变大，角速度变大，速率变大
B.半径变小，角速度变大，速率变大
C.半径变大，角速度变小，速率变小
D.半径变小，角速度变大，速率变小
【解析】选B。人造卫星在受到地球外层空间大气阻力的作用后，阻力做负功，它的总机械能会减小，做向心运动，运动的半径减小。根据万有引力提供向心力，即G=m=mω2r，得：v=，ω=，半径减小时，速率增大，角速度增大。
3.(多选)利用下列哪种数据，可以算出地球的质量(引力常量G已知)( )
A.已知地面的重力加速度g
B.已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径r和周期T
C.已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径r和线速度v
D.已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期T
【解析】选B、C、D。在地面附近重力近似等于万有引力，即G=mg，故M=，若想计算地球的质量，需要知道g、R和G，故选项A错误；卫星绕地球运动时万有引力提供向心力，即G=m=mv=mr，故M===，选项B、C正确；由v=得r=，故M=，选项D正确。
【补偿训练】(多选)在万有引力常量G已知的情况下，已知下列哪些数据，可以计算出地球质量( )
A.地球绕太阳运动的周期及地球离太阳的距离
B.人造地球卫星在地面附近绕行的速度和运行周期
C.月球绕地球运行的周期及地球半径
D.若不考虑地球自转，已知地球半径和地球表面的重力加速度
【解析】选B、D。已知地球绕太阳运动的情况只能求太阳的质量，A错误。由G=m和T=得M=，B正确。已知月球绕地球运行的周期及轨道半径才能求地球的质量，C错误。由mg=G得M=，D正确。
4.(2015·济宁高一检测)2013年12月14日21时许，“嫦娥三号”携带“玉兔”探测车在月球虹湾成功软着陆，在实施软着陆过程中，“嫦娥三号”离月球表面4m高时最后一次悬停，确认着陆点。若总质量为M的“嫦娥三号”在最后一次悬停时，反推力发动机对其提供的反推力为F，已知引力常量为G，月球半径为R，则月球的质量为( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.　　　 B.　　　 C.　　 　D.
【解题指南】解答本题应明确以下两点：
(1)悬停时，“嫦娥三号”受力平衡。
(2)月球表面物体所受的重力等于月球对它的万有引力。
【解析】选A。设月球的质量为M′，由G=Mg和F=Mg解得M′=，选项A正确。
5.(2015·保定高一检测)某行星 ( http: / / www.21cnjy.com )和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆。每过N年，该行星会运行到日地连线的延长线上，如图所示。该行星与地球的公转半径之比为( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A. B.
C. D.
【解题指南】解答本题应明确以下两点：
(1)地球和行星的轨道半径与周期均满足G=mr。
(2)每过N年，地球比行星多转一圈。
【解析】选B。设地球和行星的轨道半径分别为r1、r2，运行周期分别为T1、T2。由G=mr得=(，又NT1=(N-1)T2，联立解得=(。
二、计算题(10分。要有必要的文字说明和解题步骤，有数值计算的要注明单位)
6.(2015·昆明高一检测)已知太阳 ( http: / / www.21cnjy.com )光从太阳射到地球需时间t，地球公转轨道可近似看成圆轨道，公转周期为T，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，试计算太阳质量M与地球质量m之比。(真空中的光速为c)
【解析】因为太阳对地球的万有引力提供地球绕太阳做匀速圆周运动的向心力，有
G=mω2r=mr，
解得M==
地球半径为R，则地面上质量为m′的物体的重力近似等于物体与地球的万有引力，故有：
F引′=m′g，即：=m′g，m=
所以，==
答案：
(25分钟·50分)
一、选择题(本题共4小题，每小题8分，共32分。多选题已在题号后标出)
1.(2015·玉溪高一检测)人造卫星离地球表面距离等于地球半径R，卫星以速度v沿圆轨道运动，设地面上的重力加速度为g，则( )
A.v= B.v=
C.v= D.v=
【解析】选D。人造卫星的轨道半径为2R，所以G=m，又因为mg=G，联立可得：v=，选项D正确。
2.(2015·淄博高一检测)北斗卫星导 ( http: / / www.21cnjy.com )航系统空间段计划由35颗卫星组成，包括5颗静止轨道卫星、27颗中地球轨道卫星、3颗倾斜同步轨道卫星。中地球轨道卫星和静止轨道卫星都绕地球球心做圆周运动，中地球轨道卫星离地面高度低，则中地球轨道卫星与静止轨道卫星相比，做圆周运动的( )
A.周期大 B.线速度小
C.角速度小 D.向心加速度大
【解析】选D。因为中地球轨道卫星的轨道半径小于静止轨道卫星的轨道半径，根据G=m=mω2r=mr可得：中地球轨道卫星的周期较小，线速度较大，角速度较大，根据G=ma可得：中地球轨道卫星的向心加速度较大，选项D正确。
3.(2015·铜陵高一检测)一个 ( http: / / www.21cnjy.com )国际研究小组借助于智利的甚大望远镜，观测到了一组双星系统，它们绕两者连线上的某点O做匀速圆周运动，如图所示。此双星系统中体积较小成员能“吸食”另一颗体积较大星体表面物质，达到质量转移的目的，被吸食星体的质量远大于吸食星体的质量。假设在演变的过程中两者球心之间的距离保持不变，则在最初演变的过程中( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.它们做圆周运动的万有引力保持不变
B.它们做圆周运动的角速度不断变大
C.体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度也变大
D.体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度变小
【解题指南】解答本题应注意以下两点：
(1)它们做圆周运动的半径不是它们之间的距离，它们之间的距离等于它们的轨道半径之和。
(2)两星间的万有引力提供它们做圆周运动的向心力：G=Mω2r1=mω2r2
【解析】选C。它们做圆周运动的万有引力F=G，由于M变小，m变大，且M+m恒定，所以F变大，选项A错误；由牛顿第二定律得G=Mω2r1=mω2r2，解得r1=r，m变大，r1变大，又解得ω=，ω保持不变，由v=ωr得，r1变大，v1变大，选项B、D错误，C正确。
4.(2015·安庆高一检测)2013年6月13日13时18分，“神舟十号”载人飞船成功与“天宫一号”目标飞行器交会对接。如图所示，“天宫一号”对接前从圆轨道Ⅰ变至圆轨道Ⅱ，已知地球半径为R，轨道Ⅰ距地面高度为h1，轨道Ⅱ距地面高度为h2，则关于“天宫一号”的判断正确的是(　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
A.调整前后线速度大小的比值为
B.调整前后周期的比值为
C.调整前后向心加速度大小的比值为
D.需加速才能从轨道Ⅰ变至轨道Ⅱ
【解析】选B。“天宫一号”绕地球转动时万有引力提供向心力，即G=m=man=mr，解得v=，an=G，T=2π，故调整前后线速度大小的比值为，A错；调整前后周期的比值为，B对；调整前后向心加速度大小的比值为，C错；“天宫一号”需减速后做向心运动才能从轨道Ⅰ变至轨道Ⅱ，D错。
二、计算题(本题共2小题，共18分。要有必要的文字说明和解题步骤，有数值计算的要注明单位)
5.(8分)(2015·襄阳高一检测)经过近7年时间， 2亿千米在太空中穿行后，美航天局和欧航天局合作研究出的“卡西尼”号土星探测器于美国东部时间6月30日抵达预定轨道，开始“拜访”土星及其卫星家族，这是人类首次针对土星及其31颗已知卫星最详尽的探测。若“卡西尼”号土星探测器进入环绕土星上空的圆轨道飞行，已知土星半径为R，探测器离土星表面高度为h，环绕n周的飞行时间为t。求土星的质量M和平均密度ρ(球体体积公式V=)。
【解析】土星对探测器的引力提供探测器运行的向心力：=m(R+h)
探测器运行的周期：T=
联立以上二式解得土星的质量为M=
由M=Vρ和V=联立解得土星的平均密度ρ为ρ=
答案：　
【总结提升】天体密度的估算
(1)卫星绕天体做半径为r的圆周运动，若天体的半径为R，则天体的密度
ρ=，将M=代入得：ρ=。当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则ρ=。
(2)已知天体表面的重力加速度为g，则ρ===。
6.(10分)我国探月工程已规划至“嫦娥四号”，并计划在2017年将“嫦娥四号”探月卫星发射升空，到时将实现在月球上自动巡视机器人勘测。已知万有引力常量为G，月球表面的重力加速度为g，月球的平均密度为ρ，月球可视为球体，球体积计算公式V=πR3。求：
(1)月球质量M。
(2)“嫦娥四号”探月卫星在近月球表面做匀速圆周运动的环绕速度v。
【解析】(1)设月球半径为R，则G=mg
月球的质量为：M=ρπR3
联立得：M=，R=。
(2)万有引力提供向心力：G=m
又因为R=
所以：v=
答案：(1)　(2)(共54张PPT)
4　
万有引力理论的成就
一、计算天体的质量
1.地球质量的计算：
(1)思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体的重力等于地
球对物体的万有引力。
(2)关系式：mg=______。
(3)结果：M=______，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质
量。
2.太阳质量的计算：
(1)思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动
时，行星与太阳间的万有引力充当向心力。
(2)关系式： =______。
(3)结论：M=_______，只要知道行星绕太阳运动的周期T和半径r就
可以计算出太阳的质量。
(4)推广：若已知卫星绕行星运动的周期T和卫星与行星之间的距离
r，可计算行星的质量M，公式是M=______。
【想一想】知道行星绕太阳运动的周期T和轨道半
径r能计算出行星的质量吗？
提示：不能，由 可见公式无法推导m，
行星绕太阳运动的周期T和半径r与行星质量无关。
二、发现未知天体
1.海王星的发现：英国剑桥大学的学生_______和法国年轻的天文学
家_______根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星
外“新”行星的轨道。1846年9月23日，德国的_____在勒维耶预言
的位置附近发现了这颗行星——海王星。
2.其他天体的发现：近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了
_______、阋神星等几个较大的天体。
亚当斯
勒维耶
伽勒
冥王星
【判一判】(1)天王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现
的。( )
(2)海王星的发现确立了万有引力定律的地位。( )
(3)牛顿根据万有引力定律计算出了海王星的轨道。( )
提示：(1)×。人们依据万有引力定律计算的轨道发现的是海王星等，不是天王星。
(2)√。海王星的发现有力证实了万有引力定律的正确性。
(3)×。计算出海王星轨道的是亚当斯和勒维耶。
一、天体质量和密度的计算
思考探究：
观察下面图片，请思考：
(1)如果知道自己的重力，你能求出地球的质量吗？如果能，还需要知道哪些物理量？
(2)如何能测得地球的密度呢？
提示：(1)能，若知道自己的重力，就能结合自己的质量确定该处地
球的重力加速度g，再结合地球的半径和万有引力常量G，就能依据
mg= 计算地球的质量。
(2)求出地球的质量，再结合地球的半径，依据 可计
算地球的密度。
【归纳总结】
1.天体质量的计算：
“自力更生法” “借助外援法”
情景 已知天体(如地球)的半径R和天体(如地球)表面的重力加速度g 行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动
“自力更生法” “借助外援法”
思路 物体的重力近似等于天体(如地球)与物体间的万有引力：
行星或卫星受到的万有引力充当向心力：
“自力更生法” “借助外援法”
结果 天体(如地球)质量：
中心天体质量：
2.天体密度的计算：
(1)一般思路：若天体半径为R，则天体的密度 将质量代入
可求得密度。
(2)特殊情况：当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r可认为等于
天体半径R，依据 ， R=r，可得：
【典例示范】(2015·赣州高一检测)“嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道。观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间t通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ(弧度)，如图所示。已知引力常量为G，由此可推导出月球的质量为( )
【解题探究】
(1)根据月球的卫星计算月球质量的思路是：___________________充当向心力。
(2)为了计算月球的质量，应该确定“嫦娥三号”的_________和
_______。
卫星受到的万有引力
轨道半径
角速度
【正确解答】选A。根据弧长及对应的圆心角，可得“嫦娥三号”的
轨道半径r= ，根据转过的角度和时间，可得ω= ，由于月球对
“嫦娥三号”的万有引力提供“嫦娥三号”做圆周运动的向心力，可
得 =mω2r，由以上三式可得M= 。
【过关训练】
1.(拓展延伸)在【典例示范】中，若月球表面的重力加速度为g，根据月球的重力加速度g和【典例示范】中的已知条件计算月球的密度。
【解析】若月球半径为R，则月球对其表面物体的万有引力等于物体的重力，mg=
月球的密度ρ=
由以上两式以及M= 可得：
答案：
2.(多选)(2015·孝感高一检测)科学家在研究地月组成的系统时，从地球向月球发射激光，测得激光往返时间为t。若还已知万有引力常量G，月球绕地球旋转(可看成匀速圆周运动)的周期T，光速c(地球到月球的距离远大于它们的半径)。则由以上物理量可以求出( )
A.月球到地球的距离
B.地球的质量
C.月球受地球的引力
D.月球的质量
【解析】选A、B。根据激光往返时间为t和激光的速度可求出月球
到地球的距离，A正确；又因知道月球绕地球旋转的周期T，根据
可求出地球的质量M= ，B正确；根据题中数据
只能计算中心天体的质量，D不对；因不知月球的质量，无法计算月
球受地球的引力，C也不对。
3.(多选)由下列哪一组物理量可以计算地球的质量( )
A.月球的轨道半径和月球的公转周期
B.月球的半径和月球的自转周期
C.卫星的质量和卫星的周期
D.卫星离地面的高度、卫星的周期和地球的半径
【解析】选A、D。只要知道天体的一颗卫星或行星的周期和轨道半
径，利用公式 就可以计算出中心天体的质量，故选
项A、D正确。
【补偿训练】(2015·扬州高一检测)一艘宇宙飞船贴近一行星表面飞行，测得它做匀速圆周运动的周期为T，设万有引力常量为G，则此行星的平均密度为( )
【解析】选B。宇宙飞船贴着行星表面飞行，则
所以， 行星的密度 故选项B正
确，选项A、C、D错误。
【误区警示】求解天体质量的注意事项
(1)计算天体质量的方法： 不仅适用于计算地球
和太阳的质量，也适用于其他星体。
(2)注意R、r的区分。R指中心天体的球体半径，r指行星或卫星的轨
道半径。若行星或卫星绕近中心天体轨道运行，则有R=r。
二、天体运动的分析与计算
思考探究：
2014年3月31日“长征二号丙”运载卫星发射“实践十一号06星”成功；2014年8月9日，“长征四号丙”发射“遥感卫星二十号”成功。若两颗卫星均绕地球做匀速圆周运动，请思考：
(1)卫星定轨高度越高，速度越大还是越小？
(2)如何比较两颗卫星的周期大小和角速度大小？
提示：(1)根据 分析可得：卫星离地面越高，速度越
小。
(2)根据 分析卫星的周期大小，根据 =mω2r
分析卫星的角速度大小。
【归纳总结】
1.解决天体运动问题的基本思路：一般行星或卫星的运动可看作匀速
圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供，所以
研究天体时可建立基本关系式： =ma，式中a是向心加速度。
2.常用的关系式：
(1) 万有引力全部用来提供行星或卫星
做圆周运动的向心力。
(2)mg= 即gR2=GM，物体在天体表面时受到的引力等于物体的
重力。该公式通常被称为黄金代换式。
3.四个重要结论：设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动。
(1)由 r越大，天体的v越小。
(2)由 r越大，天体的ω越小。
(3)由 r越大，天体的T越大。
(4)由 r越大，天体的an越小。
以上结论可总结为“一定四定，越远越慢”。
【典例示范】(多选)据观测，某行星外围有一模糊不清的环，为了判断该环是行星的连续物还是卫星群，又测出了环中各层的线速度的大小和该层至行星中心的距离R，以下判断中正确的是( )
A.若v与R成正比，则环是连续物
B.若v与R成反比，则环是连续物
C.若v2与R成反比，则环是卫星群
D.若v2与R成正比，则环是卫星群
【解题探究】
(1)若环是行星的连续物，则其角速度与行星自转的角速度之间有什么关系？
提示：若环是行星的连续物，则其角速度与行星自转的角速度相同。
(2)若环是行星的卫星群，则v与R之间存在什么样的关系？
提示：若环是行星的卫星群，则由
【正确解答】选A、C。若环是行星的连续物，则其角速度与行星自转
的角速度相同，故v与R成正比，A对，B错。若环是行星的卫星群，则
由 即v2与R成反比，C对，D错。
【过关训练】
1.(多选)(2015·潍坊高一检测)我国自主研制的“嫦娥三号”，携带“玉兔”月球车已于2013年12月2日1时30分在西昌卫星发射中心发射升空，落月点有一个富有诗意的名字“广寒宫”。落月前的一段时间内，“嫦娥三号”绕月球表面做匀速圆周运动。若已知月球质量为M，月球半径为R，引力常量为G，对于绕月球表面做圆周运动的卫星，以下说法正确的是( )
A.线速度大小为
B.线速度大小为
C.周期为
D.周期为
【解析】选B、D。“嫦娥三号”绕月球表面做匀速圆周运动，可认为
轨道半径等于月球半径R，月球对“嫦娥三号”的万有引力提供“嫦
娥三号”做圆周运动的向心力，由 A错
误，B正确；由 C错误，D正确。
2.(2015·郑州高一检测)如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带。假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是( )
A.太阳对各小行星的引力相同
B.各小行星绕太阳运动的周期均小于一年
C.小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值
D.小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值
【解析】选C。各小行星距太阳远近不同，质量各异，由F引=
知，太阳对小行星的引力不同，A错；地球绕太阳的轨道半径小于小
行星绕太阳的轨道半径，由 显然轨道半
径r越大，绕太阳周期T也越大，地球绕太阳周期T地=1年，所以小行
星绕太阳周期大于1年，B错；由 可见，内侧小
行星向心加速度大于外侧小行星向心加速度，选项C正确；由
小行星轨道半径r小大于地球绕太阳轨道半径
r地，v地>v小，选项D错。
3.“嫦娥一号”和“嫦娥二号”卫星相继完成了对月球的环月飞行，标志着我国探月工程的第一阶段已经完成。设“嫦娥二号”卫星环绕月球的运动为匀速圆周运动，它距月球表面的高度为h，已知月球的质量为M、半径为R，引力常量为G，则卫星绕月球运动的向心加速度为多少？线速度为多少？
【解析】卫星做匀速圆周运动，设卫星质量为m，
由万有引力提供向心力知
答案：　
【补偿训练】我国古代神话传说中：地上的“凡人”过一年，天上的 “神仙”过一天。如果把看到一次日出就当作“一天”，某卫星的运
行半径为月球绕地球运行半径的 ，则该卫星上的宇航员24h内在
太空中度过的“天”数约为(已知月球的运行周期为27天)( )
A.1 B.8 C.16 D.24
【解析】选B。根据天体运动的公式 解得卫
星运行的周期为3h，故24h内看到8次日出，B项正确。
【规律方法】天体运动问题解决技巧
(1)比较围绕同一个中心天体做匀速圆周运动的行星或卫星的v、ω、T、an等物理量的大小时，可考虑口诀“越远越慢”(v、ω、T)、“越远越小”(an)。
(2)涉及绕同一个中心天体做匀速圆周运动的行星或卫星的计算问题
时，若已知量或待求量中涉及重力加速度g，则应考虑黄金代换式
gR2=GM(mg= )的应用。
(3)若已知量或待求量中涉及v或ω或T，则应考虑从
中选择相应公式应用。
【拓展例题】考查内容：天体运动中的临界问题
【典例示范】一物体静置在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上。已知万有引力常量为G，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为( )
【正确解答】选D。物体随天体一起自转，当万有引力全部提供向心
力时，物体对天体的压力恰好为零，则
选项D正确。
双星模型
1.建模背景：宇宙中两颗靠得很近的天体构成一个“双星系统”，两颗天体以它们连线上的一点为圆心，做匀速圆周运动，两天体与圆心始终在同一条直线上。
2.模型特点：
(1)运动特点：两颗子星绕着连线上的一点做圆周运动，所以它们的周期T是相等的，角速度ω也是相等的，又根据v=ωr，可得它们的线速度与轨道半径成正比。
(2)动力学特点：两颗子星间的万有引力提供它们做圆周运动的向心力，若两子星的质量分别为M1和M2，轨道半径分别为r1、r2，相距L，角速度为ω，由万有引力定律和牛顿第二定律得：
对M1： =M1ω2r1
对M2： =M2ω2r2
L=r1+r2
【案例体验】两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的质量之和。
【解析】设两星质量分别为M1、M2，都绕连线上O点做周期为T的圆周运动，星球1和星球2到O点的距离分别为l1、l2。由万有引力定律和牛顿第二定律及几何条件可得：
对M1：
所以
所以
而R=l1+l2，所以，两星的质量之和：
答案：
【补偿训练】(多选)冥王星与其附近的星体卡戎可视为双星系统，质量之比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动。由此可知卡戎绕O点运动的( )
A.角速度大小约为冥王星的7倍
B.向心力大小约为冥王星的
C.轨道半径约为冥王星的7倍
D.周期大小与冥王星周期相同
【解析】选C、D。由题图可知，冥王星与卡戎绕O点转动时每转一圈
所用的时间相同，故D对，A错；冥王星与卡戎绕O点转动时万有引力
提供向心力，即 =M冥ω2r冥=m卡ω2r卡，故
B错，C对。【世纪金榜】2016版高中物理 6.4万有引力理论的成就（精讲优练课型）课时自测 新人教版必修2
1.下列说法正确的是( )
A.海王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的
B.天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的
C.海王星是人们经过长期的太空观测而发现的
D.天王星的运行轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差，其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用，由此人们发现了海王星
【解析】选D。由行星的发现历史可知，天王星并不是根据万有引力定律计算出轨道而发现的；海王星不是通过观测发现，也不是直接由万有引力定律计算出轨道而发现的，而是人们发现天王星的实际轨道与理论轨道存在偏差，然后运用万有引力定律计算出“新”星的轨道，从而发现了海王星。由此可知，A、B、C错误，D正确。
2.(2014·新课标全国卷Ⅱ)假设地 ( http: / / www.21cnjy.com )球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0；在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G。地球的密度为( )
A.　　　　　　　 B.
C. D.
【解析】选B。由万有引力定律可知：G=mg0，在地球的赤道上：G-mg=m()2R，地球的质量M=πR3ρ，联立三式可得：ρ=，选项B正确。
3.(2015·济宁高一 ( http: / / www.21cnjy.com )检测)在同一轨道平面上绕地球做匀速圆周运动的卫星A、B、C，某时刻恰好在同一过地心的直线上，如图所示，当卫星B经过一个周期时( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.A超前于B，C落后于B
B.A超前于B，C超前于B
C.A、C都落后于B
D.各卫星角速度相等，因而三颗卫星仍在同一直线上
【解析】选A。由G=mr可得T=2π，故轨道半径越大，周期越大。当B经过一个周期时，A已经完成了一个多周期，而C还没有完成一个周期，所以选项A正确，B、C、D错误。
4.(多选)(2015·嘉兴高一检测)不可回收的航天器在使用后，将成为太空垃圾。如图所示是漂浮在地球附近的太空垃圾示意图，对此如下说法中正确的是( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.离地越低的太空垃圾运行周期越小
B.离地越高的太空垃圾运行角速度越小
C.由公式v=得，离地越高的太空垃圾运行速率越大
D.太空垃圾一定能跟同一轨道上同向飞行的航天器相撞
【解析】选A、B。太空垃圾绕地球做匀速圆周运动，根据G=m=mω2r=mr，可得：离地越低，周期越小，角速度越大，速度越大，选项A、B正确，C错误。太空垃圾与同一轨道上同向飞行的航天器速率相等，不会相撞，选项D错误。
5.(2015·无锡高一检测)经天文学家观察，太阳在绕着银河系中心(银心)的圆形轨道上运行，这个轨道半径约为3×104光年(约等于2.8×1020m)，转动一周的周期约为2亿年(约等于6.3×1015s)。太阳做圆周运动的向心力是来自位于它轨道内侧的大量星体的引力，可以把这些星体的全部质量看作集中在银河系中心来处理问题。用给出的数据来计算太阳轨道内侧这些星体的总质量 (G=6.67×10-11N·m2/kg2)。
【解题指南】解答本题应明确以下两点：
(1)太阳做匀速圆周运动，向心力来自它轨道内侧的大量星体的引力。
(2)太阳轨道内侧的大量星体相当于太阳圆周运动的中心天体。
【解析】假设太阳轨道内侧这些星体的总质量为M，太阳的质量为m，轨道半径为r，周期为T，太阳做圆周运动的向心力来自这些星体的引力，则
G=mr
故这些星体的总质量为
M==kg
≈3.3×1041kg。
答案：3.3×1041kg
【补偿训练】已知引力常量G=6.67×10-11N·m2/kg2，重力加速度g=9.8m/s2，地球半径R=6.4×106m，则可知地球质量的数量级是( )
A.1018kg
B.1020kg
C.1022kg
D.1024kg
【解析】选D。根据mg=G得地球质量为M==6.0×1024kg，故选项D正确。(共32张PPT)
4 万有引力理论的成就
阿基米德在研究杠杆原理后，曾经说过一句名言
“给我一个支点，我可以撬动地球。”
那我们又是怎么知道巨大的地球的质量的呢
那给我们一个杠杆(天平)是否就可以称量地球的质量了呢？
不能
嫦娥五号卫星将于2017年由海南卫星发射场发射升空，卫星为什么不落回地面？卫星在轨运行遵守什么规律呢？这些问题都可以通过万有引力定律找到答案。
1.了解万有引力定律在天文学上的应用。
2.会用万有引力定律计算天体的质量和密度。
3.掌握综合运用万有引力定律和圆周运动学知识
分析具体问题的方法。
（重点）
（难点）
万有引力定律的发现对天文学的发展起到了巨大的推动作用，在天体物理学计算、卫星发射和回收等天文活动中，万有引力定律可称为最有力的工具。但牛顿并没有给出引力常量的数值，你知道G是怎么得到的吗？
一、科学真是迷人 一百多年前,英国人卡文迪许用他自己设计的扭秤，“第一次称出了地球的质量”。
他是怎么做的？他是用扭秤直接称出的地球质量吗？
称量地球的重量
卡文迪许为什么说自己的实验是“称量地球的重量（质量）”？请你解释一下原因。
不考虑地球自转的影响
M是地球质量，r是物体距地心的距离，
即地球半径R
重力加速度g和地球半径R在卡文迪许之前就知道了，一旦测得引力常量G，则可以计算出地球的质量M。
【对点训练1】设地面附近的重力加速度g=9.8m/s2，地球半径R =6.4×106m，引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2，试估算地球的质量。
答案：6×1024kg
解：
1.地球实际轨道是什么形状？为了解决问题的方便，我们通常可以认为地球在绕怎样的轨道做什么运动？
用万有引力定律可算出地球的质量，能否用它算出太阳的质量呢
通常可以认为地球绕太阳做匀速圆周运动。
二、计算天体的质量
2.地球做圆周运动的向心力是由什么力来提供的？
r
M
m
F
地球做圆周运动的向心力是由太阳对地球的万有
引力来提供的。
地球公转角速度 不能直接测出,但我们知道地球公转的周期 。
该表达式与地球（环行天体）质量m有没有关系？
r
M
m
F
v
T
【对点训练2】把地球绕太阳的公转看作是匀速圆周运动，轨道半径约为1.5×1011 m，已知引力常量G=6.67×10－11 N·m2/kg2，则可估算出太阳的质量约为 kg。
解题关键：
1.地球绕太阳公转的周期可以认为已知,即t=365天；
2.地球与太阳间的万有引力提供地球做圆周运动的向心力。
解：地球绕太阳运转的周期:
T=365×24×60×60s=3.15×107s
地球绕太阳做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供，
答案：2×1030
互动探究：与地球、月亮有关的常数，你知道哪些？
1.物体在天体表面时受到的重力等于万有引力
g---------天体表面的重力加速度
R--------天体的半径
【方法总结】计算天体质量的两条基本思路
2.行星（或卫星）做匀速圆周运动所需的万有引力
提供向心力
只能求出中心天体的质量！！！
根据上面两种方式算出中心天体的质量M，
结合球体体积计算公式
物体的密度计算公式
求出中心天体的密度
当r=R时
【对点训练3】宇航员站在一个星球表面上的某高处h自由释放一小球，经过时间t落地，该星球的半径为R，你能求解出该星球的质量吗？
解题关键：
1.用哪种方法求质量？
2.需要先求出哪个物理量？
3.该星球的重力加速度和地球表面的重力加速度相等吗？
解析：由星球表面附近重力等于万有引力得
解得：
释放小球后小球做匀加速运动
故星球质量为
【对点训练4】一艘宇宙飞船飞近某一个不知名的行星，并进入靠近该行星表面的圆形轨道，宇航员进行预定的考察工作，宇航员能不能仅用一只表通过测定时间来测定该行星的密度？说明理由及推导过程。
解析：
=
r=R
【规律总结】
利用万有引力定律提供向心力，我们只能求出中心天体的质量和密度。所以要求太阳的质量和密度就要以它的行星为研究对象。若要求地球的质量和密度，就要以它的卫星为研究对象；也可以以地面上的物体利用重力近似等于万有引力求得。
海王星的轨道由英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文爱好者勒维耶各自独立计算出来。1846年9月23日晚，由德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星,人们称其为“笔尖下发现的行星”。
三、预测未知天体——海王星的发现
理论轨道
实际轨道
海王星发现之后，人们发现它的轨道也与理论计算的
不一致。于是几位学者用亚当斯和勒维耶列的方法预言另
一颗行星的存在。
在预言提出之后，1930年3月14日，汤博发现了这颗行
星——冥王星。
两条基本思路
1.重力等于万有引力
2.万有引力提供向心力
定律的成就
1.计算中心天体的质量和密度
2.发现未知天体
1.（多选）飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞
行，认为行星是密度均匀的球体，要确定该行星
的密度，只需要测量( )
A.飞船的轨道半径
B.飞船的质量
C.飞船的运行周期
D.行星的质量
AC
2.设行星绕恒星的运动轨道是圆，则其运行周期T的
平方与其运动轨道半径R的三次方之比为常量k，那么
k的大小（ ）
A.只与行星质量有关
B.只与恒星质量有关
C.与行星及恒星的速度都有关
D.以上都不正确
B
3.若已知太阳的一个行星绕太阳运转的轨道半径为r,
周期为T,引力常数为G,则可求得（ ）
A.该行星的质量
B.太阳的质量
C.该行星的平均密度
D.太阳的平均密度
B
4.中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密
度很大。现有一中子星，观测到它的自转周期为T=
s。问该中子星的最小密度应是多少才能维持该
星不致因自转而瓦解。计算时星体可视为均匀球体
(引力常量 )
解题关键：中子星不因自转而瓦解的物理模型是：
中子星表面一个质点所受的万有引力恰好使它绕球
心做匀速圆周运动，且周期等于中子星的自转周期。
5.(2014·新课标全国卷Ⅱ)假设地球可视为质量均
匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的
大小为g0;在赤道的大小为g;地球自转的周期为T,
引力常量为G。地球的密度为(　　)
A． 　　 B．
C. 　　 D．
B
互动探究：地球赤道和两极处的重力加速度为什么不同？
不能因为人生的道路坎坷，就使自己的身躯变得弯曲；不能因为生活的历程漫长，就使求索的脚步迟缓。

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