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模块三：二次函数、一元二次方程及不等式的解法
1、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 (1) 一元二次方程的解集
利用配方法,总可以将 化为 的形式,即:
其中 ,则
1) 当 时,方程 的解集为:
2) 当 时,方程 的解集为:
3) 当 时,方程 的解集为:
2、一元二次方程根与系数的关系
当一元二次方程 的解集不是空集时,方程的解记为 ,则有
3、二次函数的图象与性质
CONEXHISK
解析式 一般式: 顶点式: 交点式:
一般式与顶点式互化:
图 象
对称轴 直线
顶点
增减性 时, 随 增大而减小 时, 随 增大而增大 时, 随 增大而增大 时, 随 增大而减小.
最 值 当 时, 有最小值, 当 时, 有最大值,
4、二次函数在闭区间上最值
二次函数 在闭区间 上的最大值为 ,最小值为 ,
其中对称轴 ,区间 上的中点 .
(1) (2) (3) (4)
(1) 若 ,则 ;
(2) 若 ,则 ;
(3) 若 ,则 ;
(4) 若 ,则 .
5、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
的图象
的根 有两个不相等的实数 根 没有实数根
的解集
的解集
6、分式不等式解法
(1) ,且 ;
(2) ,且 .
7、绝对值不等式解法
(1) 三角不等式: .
(2) 绝对值不等式的解法:
1. ;
2. 或 ;3. 的解法: 先求出使每个绝对值符号内的数学式子等于 0 的未知数的值,再将 这些值依次在数轴上标注出来, 它们把数轴分成若干个区间, 最后讨论每个绝对值符号内的式子在每个 区间上的符号, 去掉绝对值符号, 使之转化为不含绝对值的不等式去求解, 这种方法叫零点分段法.
8、一元二次不等式恒成立问题
2. 在某范围内恒成立
1. 在 上恒成立
一元二次不等式在 上恒成立问题的题 型及求解策略
一元二次不等式 对任意实数 恒 成立的条件
且
且
且
且
解决一元二次不等式在某范围内恒成立 问题, 可结合二次函数的图象进行求解.
设 .
1) 确定形如当 时, 或 的不等式中 的范围时,常转化为求二次函 数的最值或用分离参数法求最值.
2) 确定形如当 时, 或 的不等式中 的范围时,要注意变换主元, 一般地, 知道谁的范围, 就选谁当主元, 求谁 的范围, 谁就是参数.
9、一元二次方程根的分布
(1) 一元二次方程根的 0 分布
方程的根相对于零的关系: 比如二次方程有一正根, 有一负根, 其实就是指这个二次方程一个根比零大, 一 个根比零小, 或者说, 这两个根分布在零的两侧. 0 分布结合判别式, 韦达定理以及 0 处的函数值列不等式, 即可 求出参数的取值范围。
(2) 一元二次方程根的 分布
分布情况 两根都小于 即 两根都大于 即 一根小于 ，一大于 即
大致图象
得出的结论
2024 新高考数学基础知识梳理与课本优秀题目巩固
分布情况 两根都小于 即 两根都大于 即 一根小于 ，一大于 即
大致图象
得出的结论
(2) 一元二次方程根在区间上的分布
分布情况 两根都在 内 两根仅有一根在 内（图 象有两种情况，只画了一 种) 一根在 内，另一根在 内,
大致图象
得出的结论
大致图象
得出的结论
【课本优质习题汇总】
新人教 A 版必修一 P55
6. 如图,据气象部门预报,在距离某码头南偏东 方向 处的热带风暴中心正以 的速度向正北方向移动,距风 暴中心 以内的地区都将受到影响. 据以上预报估计,从 现在起多长时间后, 该码头将受到热带风暴的影响, 影响时间 大约为多长 (精确到 )
新人教 A 版必修一 P58
6. 当 取什么值时,一元二次不等式 对一切实数 都成立
新人教 A 版必修一 P58
9. 如图, 居民小区要建一座八边形的休闲场所, 它的主体造型平面图
是由两个相同的矩形 和 构成的面积为 的十字 形地域. 计划在正方形 上建一座花坛,造价为 元 ; 在四个相同的矩形 (图中阴影部分) 上铺花岗岩地坪, 造价为 元 ; 再在四个空角 (图中四个三角形) 上铺草坪,造价为 . 设总造价为 (单位: 元), 长为 (单位: ). 当 为何值时, 最小 并求出这个最小值.
新人教 A 版必修一 P100
4. 已知函数 在 上具有单调性,求实数 的取值范围.
新人教 A 版必修一 P155
7. 设函数 ,且 ,求证: 函数 在 内至少有一个零点. 新人教 A 版必修一 P156
13. 有一道题 “若函数 在区间 内恰有一个零点,求实数 的取 值范围”, 某同学给出了如下解答:
由 ,解得 .
所以,实数 的取值范围是 .
上述解答正确吗 若不正确, 请说明理由, 并给出正确的解答.新人教 B 版必修一 P53
(2) 已知方程 的两根为 与 ,求下列各式的值:
(1) ; (2) .
(3) 已知关于 的方程 的两根同号,求实数 的取值范围. 新人教 B 版必修一 P58
新人教 B 版必修一 P60
(1) 已知方程 的两根为 与 ,求下列各式的值:
(1) ; (2) .
(1) 已知关于 的方程 有实数根,并且两根的平方和 比两根之积大 21,求实数 的值.
新人教 B 版必修一 P75
(5) 求关于 的不等式 的解集.
新人教 B 版必修一 P81
(2) 已知不等式 的解集为 ,求 的值.
(3) 已知 ,分别求 的取值范围.
(4) 已知 ,求实数 的取值范围.新人教 B 版必修一 P81
(3) 已知 的解集为 ,求 的取值范围.
(2) 已知 的解集是 ,求 的解集.
新人教 B 版必修一 P81
(10) 已知关于 的不等式 的解集是 ,求 的值.
新人教 B 版必修一 P81
(2) 已知使不等式 成立的任意一个 ,都满足不等式 , 求实数 的取值范围.
新人教 B 版必修一 P85
1. 已知 是 的三边长,关于 的方程 的 解集中只有一个元素,方程 的根为 .
(1) 判断 的形状;
(2) 若 为关于 的方程 的两个实数根,求实数 的值.
2. 已知关于 的方程 的两个实数根的平方和为 7,求 的值.
3. 已知 和 是方程 的两根,求 的值. 新人教 B 版必修一 P126
(2) 已知 ,且 对任意实数 均成立,求实数 取值的集合.
新人教 B 版必修一 P127
(1) 求证: 方程 在 上至少有两个实根.
(2) 已知 ,不等式 的解集是 ,且 , 求实数 的取值范围.
(3) 设函数 ,已知 恒成立,求自然数 的值.
(4) 已知关于 的方程 有两个不相等的正实数根,求实 数 的取值组成的集合.
(5) 已知函数 有一个零点在区间 内, 求实数 的取值范围.
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